一、换元积分法
二、常用的定积分公式及应用
第三节 定积分的换元积分
1.定理 设函数 在 上连续；函数
在 （或 ）上有连续导数；
当 在 在 （或 ）上变化时,
在 上变化，且,,
则有
? ?xf ? ?ba,
? ?t? ? ???,? ???,
t ? ?t? ? ???,? ???,
x ? ?ba,? ? a??? ? ? b???
? ? ? ?? ? ? ?dtttfdxxfba ???? ?? ??
上式叫做定积分的换元公式,
一、换元积分法
证 设, ? ? ? ?xfxG ?? ? ?tx ??
? ?? ? ? ? dtdxdx xdGtGdtd ??? ? ? ? ?txG ? ????
? ? ? ?txf ? ??? ? ?? ? ? ?ttf ?? ???
? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ???? ??? tGdtttf ???
? ?? ? ? ?? ????? GG ?? ? ? ? ?aGbG?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?aGbGxGdxxf baba ????
? ? ? ?? ? ? ?dtttfdxxfba ???? ?? ??则
2.说明
(1)定积分的换元公式中，用 把原变
量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类
换元），积分限也要换成相应于新变量 的积
分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一
? ?tx ??
x t
t
t
值即可,
? ?? ? ? ? ? ??? ?? ba dttfdxxxf ????
(3)换元公式也可反过来使用，即
(2)求出换元后的 的一个原函数
时，只要将新变量 的积分上下限分
别代入 中相减即可，不必象不定积分
那样再把 变成原变量 的函数,
? ?? ? ? ?ttf ?? ?
? ?? ?tG ? t
? ?? ?tG ?
? ?? ?tG ? x ? ?xG
换元过程为 （这如同不定积分第一类
换元），且,;若此换元
过程是采用的凑微分法，没有写出新变量,
则不必换元，即
? ?xt ??
? ? a??? ? ? b???
t
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ???? ???? xdxfdxxxf
,
解 换元：, ；
换限：,,
,,
tsinx ? td tdx c o s?
0?x 0?t
1?x 2??t
t d ttdxx co ss i n11 20 210 2 ???? ?? ?
?? 20 2co s? td t
3.例题
dxx? ?10 21例 1 计算
? ?dtt? ?? 20 2c o s121 ?
? ??
?
?
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? ??? ? ?2
0
2
0
2212c o s21
? ?
tdtdt
4
2si n
2
1
2
1 2
0
?
?
??
?
?
??
? ?? tt
注 第一步是采用的换元 （ 不定积分第二类换
元法 ）, 换元的同时必须换限 。 在计算 dtt? 20 2co s
?
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量,
41
1
0
2 ???? ? dxx
补充, 由定积分的几何意义知，该积分值等
于由,直线 所
围图形的面积（见右图）,
21 xy ?? 1,0,0 ??? xxy
4
1面积值为圆面积的,
所以没有换限,
2
1 xy ??
- 1 1 x
y
o
例 2 计算, dxxx? 20 4co s2s i n
?
解法 1,dxxx? 20 4co s2s i n
? dxxx??
2
0
5co ss i n2
?
换限：, 0?x 1?t
2
??x 0?t,
换元,, xt co s? x d xdt s i n??
原式 ＝, dtt? ?01 52 3
1
6
12 0
1
6 ?
??
?
??
??? t
解法 2,dxxx? 20 4co s2s i n
? dxxx??
2
0
5co ss i n2
?
? ?
3
1c o s
6
12c o sc o s2 2
0
62
0
5 ?
??
?
??
????? ?
?
?
xxxd
例 3 计算, ? ??
0
3s i ns i n dxxx
解 dxxxdxxx ?? ??? ?? 0 20 3 c o ss i ns i ns i n
dxxx c o ss i n0?? ?
? ? dxxxx d xx c o ssi nc o ssi n
2
2
0 ??? ??
?
?
?
xdxxdx s i ns i ns i ns i n
2
2
0 ?? ??
?
?
?
3
4
si n
3
2
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3
2
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2
32
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3
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?
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?
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xx
例 4 设 求
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?
?
?
?
?
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,0,
,0,
1
1
xe
x
xxf
x? ?dxxf? ?
2
0 1
解 ? ? ? ?dttfxtdxxf ?? ???? 1 120 11
? ? ? ?dxxfdxxf ?? ?? ? 1001
dxxdxe x ?? ??? ? 1001 11
? ? ? ?? ?100 1 1ln xe x ??? ?
2ln1 1 ??? ?e
2解
? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
??
????
?,01,
,01,
11
1
1
1 xe
x
xxf
x
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?
?
?
?
?
?
? 1,
,1,
1
1 xe
x
x
x
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf ??? ????? 211020 111
dxxdxe x ?? ?? ? 2110 1 1
? ? dxxxde x ?? ??? ? 2110 1 11
? ? ? ? 2ln11ln 21101 ????? ? exe x
1.设 在 上连续，则 ? ?xf ? ?a,a?
? ? ? ? ? ?? ?dxxfxfdxxf aa a ?? ???? 0 ……… ①
（ 1） 若 为偶函数，, ? ? ? ?xfxf ??? ?xf
? ? ? ?dxxfdxxf aa a ?? ?? 02 ……… ②
? ?xf ? ? ? ?xfxf ???（ 2） 若 为奇函数，,
二、常用的定积分公式及应用
? ? 0??? dxxfaa ……… ③
证 ? ? ? ?dttftxatax
dtdxtxdxxf
aa ??
??????? ????
?
00
0,0;,
,
? ?? ?? a dttf0 ? ?dxxfa? ?? 0
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf aaa a ??? ?? ?? 00
? ? ? ?dxxfdxxf aa ?? ??? 00
? ? ? ?? ?dxxfxfa? ??? 0
2.设 是以 为周期的连续函数，则 T? ?xf
? ? ? ?dxxfdxxf TTaa ?? ?? 0 ……… ④
证
? ? ? ?dtTtfatTaxtTx dtdxTtxdxxf aTa
T ??
?????? ????
0,;0,
,
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdttf aaa ??? ???? 000
? ? ? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxfdxxf TaTTaTaa ???? ?? ??? 00
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxfa T a? ? ???? 0 0 0
? ?dxxfT?? 0
3.若 在 上连续, 则 ? ?10，? ?xf
? ? ? ??? ? 2020 c o ss i n ?? dxxfdxxf ……… ⑤
? ? dttsinf
t,x;t,x
dtdx,tx
dxxsinf ?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
0
2
2
0 2
0
22
0
2
?
?
?
??
?
证
? ? ? ??? ?? 2020 co sco s ?? dxxfdttf
4.若 在 上连续, 则 ? ?xf ? ?10，
? ? ? ?dxxfdxxxf? ??? ??0 0 si n2si n ……… ⑥
证
? ? ? ?? ?? ??????? ???? 0 s i n0,;,0,
?
????? dttfttxtx dtdxtx
? ???0 s i n dxxxf
? ? ? ?dttft s i n0? ?? ? ?
? ? ? ?? ??? ? ?? 0 0 s i ns i n dtttfdttf
? ? ? ??? ?? ??? 00 s i ns i n dxxxfdxxf
所以 ? ? ? ?dxxfdxxxf? ??
? ??
0 0 si n2si n
解 ? ?dxxxx?? ??2
2
45 1s i nco s
?
?
? ?? ????? 2
2
2
2
45 c o ssi nc o s?
?
?
? dx
xdxxxx
偶函数奇函数
? ? 2si n2c o s20 2
0
2
0
???? ?
?
?
xx d x
例 5 计算, ? ?dxxxx?? ??2
2
45 1s i nco s
?
?
5.例题
例 6 计算, dxex x?? ??
1
1
2
1
解 设,则 ? ? xe
xxf
??? 1
2
? ? xexxf ??? 1
2
? ? ? ? 2
22
11 xe
x
e
xxfxf
xx ??????? ?
利用定积分公式①得
3
1
3
1
1
1
0
31
0
21
1
2
??
?
?
??
???
? ??? ?
xdxxdx
e
x
x
例 7 计算, td texx t 2s i n2 c os ?? ? ?
解 被积函数 是以 为周期的连
续函数，利用定积分公式④得
te t 2s inc os ?2
dtttedtte txx t ?? ????? ?? 20 c o s2 c o s c o ss i n22s i n
021,21,0 s i n,co s 1
1
?????? ??? ? duueutut t d tdutu u?；
例 8 计算, dxx
xx?
?
?
0 2c o s1
si n
解 积分区间为,被积函数为
型，利用定积分公式⑥得
? ??,0 ? ?xxf s in
dxxxdxxxx ?? ??? ?? ? 0 20 2 c o s1 si n2c o s1 si n
? ?xdx c o sc o s1 12 0 2? ??? ??
? ?? ? 4c o sa r c t a n2
2
0
?? ? ??? x
二、常用的定积分公式及应用
第三节 定积分的换元积分
1.定理 设函数 在 上连续；函数
在 （或 ）上有连续导数；
当 在 在 （或 ）上变化时,
在 上变化，且,,
则有
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t ? ?t? ? ???,? ???,
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上式叫做定积分的换元公式,
一、换元积分法
证 设, ? ? ? ?xfxG ?? ? ?tx ??
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? ? ? ?txf ? ??? ? ?? ? ? ?ttf ?? ???
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? ? ? ?? ? ? ?dtttfdxxfba ???? ?? ??则
2.说明
(1)定积分的换元公式中，用 把原变
量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类
换元），积分限也要换成相应于新变量 的积
分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一
? ?tx ??
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t
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值即可,
? ?? ? ? ? ? ??? ?? ba dttfdxxxf ????
(3)换元公式也可反过来使用，即
(2)求出换元后的 的一个原函数
时，只要将新变量 的积分上下限分
别代入 中相减即可，不必象不定积分
那样再把 变成原变量 的函数,
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换元过程为 （这如同不定积分第一类
换元），且,;若此换元
过程是采用的凑微分法，没有写出新变量,
则不必换元，即
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解 换元：, ；
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3.例题
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注 第一步是采用的换元 （ 不定积分第二类换
元法 ）, 换元的同时必须换限 。 在计算 dtt? 20 2co s
?
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量,
41
1
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补充, 由定积分的几何意义知，该积分值等
于由,直线 所
围图形的面积（见右图）,
21 xy ?? 1,0,0 ??? xxy
4
1面积值为圆面积的,
所以没有换限,
2
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例 2 计算, dxxx? 20 4co s2s i n
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解法 1,dxxx? 20 4co s2s i n
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换限：, 0?x 1?t
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换元,, xt co s? x d xdt s i n??
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例 3 计算, ? ??
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解 dxxxdxxx ?? ??? ?? 0 20 3 c o ss i ns i ns i n
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1.设 在 上连续，则 ? ?xf ? ?a,a?
? ? ? ? ? ?? ?dxxfxfdxxf aa a ?? ???? 0 ……… ①
（ 1） 若 为偶函数，, ? ? ? ?xfxf ??? ?xf
? ? ? ?dxxfdxxf aa a ?? ?? 02 ……… ②
? ?xf ? ? ? ?xfxf ???（ 2） 若 为奇函数，,
二、常用的定积分公式及应用
? ? 0??? dxxfaa ……… ③
证 ? ? ? ?dttftxatax
dtdxtxdxxf
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,
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? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf aaa a ??? ?? ?? 00
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2.设 是以 为周期的连续函数，则 T? ?xf
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证
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3.若 在 上连续, 则 ? ?10，? ?xf
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4.若 在 上连续, 则 ? ?xf ? ?10，
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例 5 计算, ? ?dxxxx?? ??2
2
45 1s i nco s
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5.例题
例 6 计算, dxex x?? ??
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解 设,则 ? ? xe
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利用定积分公式①得
3
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例 7 计算, td texx t 2s i n2 c os ?? ? ?
解 被积函数 是以 为周期的连
续函数，利用定积分公式④得
te t 2s inc os ?2
dtttedtte txx t ?? ????? ?? 20 c o s2 c o s c o ss i n22s i n
021,21,0 s i n,co s 1
1
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例 8 计算, dxx
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0 2c o s1
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解 积分区间为,被积函数为
型，利用定积分公式⑥得
? ??,0 ? ?xxf s in
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