一、分部积分法
二、例题
第四节 定积分的分部积分法
1.分部积分公式 设函数
在 上具有连续导数 则
? ? ? ?xvvxuu ??,
? ?ba,,,vu ??
? ? ；dxvuuvdxvu bababa ?? ????
? ? duvuvdvu bababa ?? ??或
2.说明
一、分部积分法
v?u
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对
于不含积分号的 项需将积分上下限代入求
差，另一项 仍按定积分继续计算, duvb
a?
uv
(2)应用分部积分公式时,被积函数 和 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称,
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算,
例 1 计算, dxxe x?10
解
? ? 110 ??? xee
xx dexdxxe ?? ? 1
0
1
0
? ? dxexe xx ??? 1010
二、例题
例 2 计算, dxx? 4
0
2
s i n
?
解
dttt
txtx
t d tdxxt
?
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2
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2
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2
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? ? dtttt ???? 2020 c o s2c o s2 ??
? ? 2si n2 20 ?? ?t
例 3 设, 求, ? ? dtt txf
x?? 2
1
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0
解 ? ? x xxx xxf
2
2
2 si n2
2si n ????
? ? 0si n1 11 ?? ? dtt tf
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0
xdxfdxxxf
? ? ? ?xdfxxfx ???
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22
? ? ? ?dxxfxf ??? ? 1
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2
22
1
dxx xx
21
0
2 si n2
2??? dxxx???
1
0
2s i n
? ? ? ?11c o s21c o s21si n21 102210 2 ????? ? xdxx
例 4 证明定积分公式
xd xxd xI nn
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的正奇数为大于
为正偶数，，
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3
2
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4
2
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1
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3
2
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证 ? ?xdxI nn co ss i n20 1? ???
?
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? ? ? ?dxxxn n? ??? ?20 22 s i n1s i n1 ?
? ? ? ??? ???? ? 2020 2 si n1si n1 ?? xd xnxd xn nn
? ? ? ? nn InIn 11 2 ???? ?
?,1 2???? nn InnI 积分递推公式,
,,23 42 ???? ??? nn InnI nI n 直到 的下标 递减
到 0或 1为止,于是
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