一 变力沿直线所作的功
二 水压力
三 引力
四 小结
第三节 功 水和压力
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, 如果物体在运动的过程中所受的力是变化
的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用
此公式，而 可以 采用“元素法” 解决 。
一 变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的
电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正
电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么
电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （ k 是常
数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作
的功．
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ? ??1?r
],,[ bar ?
? drr?
即功元素为,2 drrkqdw ?
所求功为 dr
r
kqw b
a?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
于区间上所作的功近似等
取 ],[ drrr ? 为 [ a,b ] 上的任一小区间,电场力在此小
,2 drrkq
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底
半径为 3 米，池内盛满了水, 问要把
池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
o x
dxx?
取 x为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
5m
3m
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 ),
x
o
3m
5m
由物理学知道，在水深为 h 处的压强
为 hp ??,这里 ? 是水的比重．如果有一
面积为 A 的平板水平地放置在水 深为 h
处，那么，平板一侧所受的水压力为
ApP ??,
如果平板垂直放置在水中,由于水深
不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受
的水压力就不能直接使用此公式，而采用
“元素法”,
二 水压力
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶
水，设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算
桶的一端面上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x为积分变量, ],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,xp ??
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ?
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2 ?? ? ?
)( 220 22 xRdxRR ???? ??
? ? RxR
0
322
3
2
??
?
??
? ??? ?
.32 3R??
例 4 将斜边定长为 L 的直角三角形薄
板垂直地浸人水中，斜边朝下，使一直角
边的边长与水面重合，问斜边与此直角边
的夹角 ? 多大时，才能使薄板一侧所受水
的压力最大？
解 建立坐标系如图
L
?
x
o a2?则斜边所在直线方程
dxLxxy d xxdp
Lxy
]c o s)c o t[()(
)
2
0(,c o s)c o t(
???
?
???
????
?????
压力微元
?? ???? ?? ??s i n0 2s i n0 )c o sc o t(LL xdxLxdpp
?? 2
3
si nc o s6L?
)
2
0(2a r c t a n2t a n
0)si nsi n c o s2(
6
32
3
?
???
???
?
????
???
，所以可得
L
d
dp
由定义域内驻点唯一知当 2a r c t a n??
时所受压力最大,
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相
距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF ?,其中 k 为引力系数，引力
的方向沿着两质点的连线方向,
如果要计算一根细棒对一个质点的引
力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离
是变化的，且各点对该质点的引力方向也是
变化的，就不能用此公式计算,
三 引力
例 5 有一长度为 l,线密度为 ? 的均匀
细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量
为 m 的质点 M,计算该棒对质点 M 的引
力,
2l
2l?
? x
y
o Ma
解 建立坐标系如图
取 y为积分变量
取任一小区间 ],[ dyyy ?
,2,2 ???????? lly
将典型小段近似看成质点
小段的质量为,dy?
ry
dyy?
小段与质点的距离为,22 yar ??
引力,22 ya dymkF ??? ?
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x ???
?
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx ??? ??
?
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
?
?? ?
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用“元素法”求
（ 1）变力作功
（ 2）水压力
（ 3）引力等物理问题,
（注意熟悉相关的物理知识）
重点是用微元法建立微元，然后积分
四 小结
二 水压力
三 引力
四 小结
第三节 功 水和压力
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, 如果物体在运动的过程中所受的力是变化
的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用
此公式，而 可以 采用“元素法” 解决 。
一 变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的
电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正
电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么
电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （ k 是常
数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作
的功．
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ? ??1?r
],,[ bar ?
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即功元素为,2 drrkqdw ?
所求功为 dr
r
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于区间上所作的功近似等
取 ],[ drrr ? 为 [ a,b ] 上的任一小区间,电场力在此小
,2 drrkq
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底
半径为 3 米，池内盛满了水, 问要把
池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
o x
dxx?
取 x为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
5m
3m
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
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3462? (千焦 ),
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由物理学知道，在水深为 h 处的压强
为 hp ??,这里 ? 是水的比重．如果有一
面积为 A 的平板水平地放置在水 深为 h
处，那么，平板一侧所受的水压力为
ApP ??,
如果平板垂直放置在水中,由于水深
不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受
的水压力就不能直接使用此公式，而采用
“元素法”,
二 水压力
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶
水，设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算
桶的一端面上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x为积分变量, ],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,xp ??
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ?
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2 ?? ? ?
)( 220 22 xRdxRR ???? ??
? ? RxR
0
322
3
2
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.32 3R??
例 4 将斜边定长为 L 的直角三角形薄
板垂直地浸人水中，斜边朝下，使一直角
边的边长与水面重合，问斜边与此直角边
的夹角 ? 多大时，才能使薄板一侧所受水
的压力最大？
解 建立坐标系如图
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由定义域内驻点唯一知当 2a r c t a n??
时所受压力最大,
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相
距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
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kF ?,其中 k 为引力系数，引力
的方向沿着两质点的连线方向,
如果要计算一根细棒对一个质点的引
力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离
是变化的，且各点对该质点的引力方向也是
变化的，就不能用此公式计算,
三 引力
例 5 有一长度为 l,线密度为 ? 的均匀
细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量
为 m 的质点 M,计算该棒对质点 M 的引
力,
2l
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解 建立坐标系如图
取 y为积分变量
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将典型小段近似看成质点
小段的质量为,dy?
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小段与质点的距离为,22 yar ??
引力,22 ya dymkF ??? ?
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
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由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用“元素法”求
（ 1）变力作功
（ 2）水压力
（ 3）引力等物理问题,
（注意熟悉相关的物理知识）
重点是用微元法建立微元，然后积分
四 小结
