第五节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、点到直线的距离
六、杂例
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线,
0,11111 ????? DzCyBxA
0,22222 ????? DzCyBxA
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
x
y
z
o
方向向量的定义,
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称
为这条直线的 方向向量,
s? L
),,,( 0000 zyxM
0M?
M?
,LM ??
),,,( zyxM
sMM ?0 //
},,,{ pnms ?? },,{ 0000 zzyyxxMM ????
二、空间直线的对称式方程与参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
直线的对称式方程
tp zzn yym xx ?????? 000令
?
?
?
?
?
??
??
??
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数
方向向量的余弦称为
直线的 方向余弦,
直线的参数方程
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线
.0432 01
??
?
????
????
zyx
zyx
解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10 ?x,063
02
00
00
?
?
?
???
???
? zy
zy
解得 2,0 00 ??? zy
点坐标 ),2,0,1( ?
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 21 nns ??? ?? },3,1,4{ ???
对称式方程,3 21 04 1 ??????? zyx
参数方程
.
32
41
?
?
?
?
?
???
??
??
tz
ty
tx
例 2 一直线过点 )4,3,2( ?A,且和 y 轴垂直相
交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0( ?B
取 BAs ?? },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 ????? zyx
定义
直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx ?????
直线,2L,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx ?????
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),co s (
pnmpnm
ppnnmmLL
?????
???^
两直线的方向向量的夹角称之,（锐角）
两直线的夹角公式
三、两直线的夹角
两直线的位置关系,
21)1( LL ?,0212121 ????? ppnnmm
21)2( LL//
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ????
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1 ??s?
},1,0,0{2 ?s?
,021 ?? ss ???,21 ss ?? ??
例如,
.21 LL ?即
例 3 求下列两直线,
?
?
?
???
???
022
0243
:
1
zyx
zyx
L 与
?
?
?
???
????
023
0264
:
2
zy
zyx
L
的夹角,
解 直线 L1的方向向量 )11,2,10()2,1,2()2,4,3(1 ???????s
195
98
412311210
|411122310|c o s
222222 ?????
???????
所求 L1与 L2的夹角
直线 L2的方向向量 )4,12,3()1,1,0()6,1,4(2 ??????s
1 9 5
98co s ar??? 为
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角,?
,,000 p zzn yym xxL ?????
,0,????? DCzByAx
},,,{ pnms ??
},,,{ CBAn ??
?
?? ?? 2),( ns ??^ ?? ?? 2),( ns ??^
???0,2?
四、直线与平面的夹角
222222
||si n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
直线与平面的夹角公式
直线与平面的 位置关系,
??L)1(,p
C
n
B
m
A ????
?L)2( //,0????? CpBnAm
? ?,co s ??? 2? ? ??? ?? c o ss i n 2?
例 4 求过点 )4,2,1( ? 且与两平面 264 ??? zyx
和 023 ??? zy 都平行的直线的方程,
解 设所求直线的方向向量 },,,{ pnms ??
于是 由题意知,,21 ???? ?? nsns
?
?
?
??
???
03
064
pn
pnm
pnpm 343 ??,解得
p
z
p
y
p
x 4
3
2
4
3
1
?
?
?
?
?
：所求直线方程
1
4
3
2
4
3
1
?
?
?
?
? zyx
即
21 得到.可由所求直线的方向向量也 nnS ??? ??：注
设直线 L过点 M0,方向向量为,s? 则点 M到直线 L
距离 d是以 为邻边的与 0 ?? sMM
.上的高平行四边形底边 ?s
||
||
0
?
?
?
?
?
s
sMM
d
因此有
M
0M
Ls?
五、点到直线的距离
的距离.到直线 求点 2 11 111,0,1( ??? ??? zyxM ）例5
）,2,1,1( )1,1,0( 0 ??? ?sM直线过点解
)0,2,2( ),0,1,1( 00 ????? ??? sMMMM
3
3
2
6
22
||
||
0 ??
?
?? ?
??
s
sMM
d
例 6 设直线
2
1
12
1 ?
?
?
?
? zyx
，平面
32 ??? zyx,求直线与平面的交点,
解
参数方程
.
21
21
?
?
?
?
?
???
??
??
tz
ty
tx
代入平面方程，得
3)21(2)()21( ??????? ttt 7
4?? t
所以交点为
)71,74,715( ?
六、杂例
例 7 求过点 )3,1,2( 且与直线
12
1
3
1
?
?
?
?
? zyx
垂
直相交的直线方程,
解
0)3()1(2)2(3 ?????? zyx
再求已知直线与这平面的交点,
令 tzyx ?????? 12 13 1
.12
13
?
?
?
?
?
??
??
??
?
tz
ty
tx
先作一过点 且与已知直线垂直的
平面
)3,1,2(
代入平面方程得,73?t 求得交点
)73,713,72( ?
取所求直线的方向向量为
}373,1713,272{ ???? },7
24,
7
6,
7
12{ ???
所求直线方程为,4 31 12 2 ?????? zyx
例 8 求通过直线
2
2
3
1
2
1 ?
?
?
?
? zyx
且与平面
0523 ???? zyx 相垂直的平面,
解,)2,3,2( 直与所求平面的法向量垂由题意 ???s
垂直.也与所求平面的法向量且 ）1,2,3( ???n
所以，所求平面的法向量可取为 )13,8,1(
123
232 ??
?
???
???
??
kji
ns
由点法式，得所求平面方程为,
0)2(13)2(8)1( ??????? zyx
09138 ???? zyx：即
注,该题也可用平面束取解,
平面束
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA由方程组设直线 L
.,,,,222111 不成比例与确定，其中系数 CBACBA
：我们建立三元一次方程
0)()( 22221111 ???????? DzCyBxADzCyBxA ??
的任意常数，为不同时为，其中 0??
直线 L的平面束方程
(plane pencil)
例 9
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程
在平面求直线
???
?
?
?
?
????
????
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
?????
???
zyx
zyx
?
.0)1()1(
)1()2(
?????
???
??
??
z
yx即
?
L
,014 ???即 41??故
,代入平面束方程将 ?,013 ???? zyx得
所求投影直线方程为,02 013
??
?
???
????
zyx
zyx
,?垂直于平面又 ?
.0)1()1(2)1(1)2( ??????????? ???