第七节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程
例 1 方程组 表示怎样的曲线？ ??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面,
6332 ??? zyx 表示平面,
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？ ?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt ? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全
部点,
空间曲线的参数方程
二、空间曲线的参数方程
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中 ?, v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
?M
M?
M 在 x o y 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c o s?
tay ?s in?
vtz?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数,解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
si n
co s
),( ??? vbt ??
螺旋线的重要 性质,
,,00 ???? ??,,00 ??? bbbz ??
上升的高度与转过的角度成正比,
即
上升的高度 ?? bh 2 螺距 ?,2??
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
曲线关于 的 投影柱面 xoy
设空间曲线的一般方程,
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
三、空间曲线在坐标面上的投影
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线 投影柱面
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线 xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影, ?
?
?
?
?
?
???
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 ?? yx
在 面上的投影为 xoy
,
0
4
322
??
?
?
?
?
??
z
yx
所以在 面上的投影为线段, xoz;
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段, yoz
.
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上,21?z
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
补充, 空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空
间
立
体
曲
面
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 xoyC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 ?? yx
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程
例 1 方程组 表示怎样的曲线？ ??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面,
6332 ??? zyx 表示平面,
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？ ?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt ? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全
部点,
空间曲线的参数方程
二、空间曲线的参数方程
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中 ?, v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
?M
M?
M 在 x o y 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c o s?
tay ?s in?
vtz?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数,解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
si n
co s
),( ??? vbt ??
螺旋线的重要 性质,
,,00 ???? ??,,00 ??? bbbz ??
上升的高度与转过的角度成正比,
即
上升的高度 ?? bh 2 螺距 ?,2??
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
曲线关于 的 投影柱面 xoy
设空间曲线的一般方程,
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
三、空间曲线在坐标面上的投影
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线 投影柱面
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线 xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影, ?
?
?
?
?
?
???
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 ?? yx
在 面上的投影为 xoy
,
0
4
322
??
?
?
?
?
??
z
yx
所以在 面上的投影为线段, xoz;
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段, yoz
.
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上,21?z
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
补充, 空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空
间
立
体
曲
面
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 xoyC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 ?? yx
