第七节 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
o
z
yx
(1)式中的三个函数均可导,
M?
,
),,(
0
0 0 0
t t t
z z y y x x M
D + =
D + D + D +
对应于; ),,,( 0 0 0 0 t t z y x M = 对应于 设
? M?
设空间曲线的方程
)1(
)(
)(
)(
　
?
?
?
?
?
=
=
=
tz
ty
tx
?
?
?
1
一、空间曲线的切线与法平面
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程
z
zz
y
yy
x
xx
D
?=
D
?=
D
? 000
tDtD tD
上式分母同除以,tD
o
z
yx
M?
? M?割线 的方程为 MM ?
,000
z
zz
y
yy
x
xx
D
?=
D
?=
D
?
,0,时 即 当 D t M M
曲线在 M处的切线方程
.
)()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
??? ?
?=
?
?=
?
?
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
? ?)(),(),( 000 tttT ??? ???=?
法平面：过 M点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 =??+??+?? zztyytxxt ???
??
,
解 当 0=t 时，,2,1,0 === zyx
,c o s tex t=?,s i nc o s2 tty ?=?,3 3 tez =?
?,1)0( =?x,2)0( =?y,3)0( =?z
切线方程,3 22 11 0 ?=?=? zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 =?+?+ zyx
t cos +,t e z 3 1 + = 在 0 = t 处的切线和法平面方程
例 1 求曲线, G, t y sin 2 = ?= t u uduex 0 c o s
.0832 =?++ zyx即
1.空间曲线方程为,)(
)(
?
?
?
=
=
xz
xy
?
?
,),,( 0 0 0 处 在 z y x M
,
)()(1 0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
?? ?
?=
?
?=?
.0))(())(()( 00000 =??+??+? zzxyyxxx ??
法平面方程为
切线方程为
3.空间曲线方程为,0),,(
0),,(
??
?
=
=
zyxG
zyxF
切线方程为
,
0
0
0
0
0
0
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx ?
=
?
=
?
法平面方程为
.0
)()()( 0
0
0
0
0
0
=
?+?+? zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6 2 2 2 = + + z y x, 0 = + + z y x 在
点 ) 1,2,1 ( ? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
?
?
?
?
?
?=+
?=+
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
?
,zy xzdxdy ??=
,zy yxdxdz ??=
由此得切向量 },1,0,1{ ?=T?
所求切线方程为,1
1
0
2
1
1
?
?=+=? zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( =??+?+? zyx
0=?? zx
,0
)1,2,1(
=
?dx
dy
?,1
)1,2,1(
?=
?dx
dz
设曲面方程为
0),,( =zyxF
)},(),(),({ 000 tttT ??? ???=?曲线在 M处的切向量
在曲面上任取一条通
过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
?
?
?
?
?
=
=
=
G
tz
ty
tx
?
?
?
n? T?
M
二、曲面的切平面与法线
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx=?令
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
=?+
?+?
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
则,Tn ??? 由于曲线是曲面上通过 的任意一
条曲线，它们在 的切线都与同一向量 垂直,
故曲面上通过 的一切曲线在点 的切线都在
同一平面上，这个平面称为曲面在点 的 切平面,
切平面方程为
M
M
M
M M
n?
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
?=?=?
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx=?
曲面在 M处的法向量即
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
通过点 而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线,
),,( 0000 zyxM
特殊地：空间曲面方程形为 ),( yxfz =
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?=?+?
.
1),(),(
0
00
0
00
0
?
?=?=? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF ?=令
曲面在 处的切平面方程为 M
曲面在 处的法线方程为 M
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?+?=?
切平面
上点的
竖坐标
的增量
全微分的几何意义
因为曲面在 处的切平面方程为 M
的全微分 在点 函数 ),( yxfz = ),( 00 yx
在 的全微分，表示
曲面 在点 处的
切平面上的点的竖坐标的增量,
),( yxfz = ),( 00 yx
),( yxfz = ),,( 000 zyx
若 a, b, g 表示曲面的法向量的方向角,
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z
轴的正向所成的角 g 是锐角，则法向量的 方向
余弦 为
,
1
c o s 22
yx
x
ff
f
++
?=a
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
++
?
=b
.
1
1c o s
22
yx ff ++
=g ),( 00 yxff xx =
),( 00 yxff yy =
其中
解,32),,( ?+?= xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( ==? yF x,22 )0,2,1()0,2,1( ==? xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( =?=? zz eF
令
切平面方程
法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 =??+?+? zyx
,042 =?+? yx
.0 01 22 1 ?=?=? zyx
例 3 求曲面 在点 处的
切平面及法线方程,
32 =+? xyez z )0,,1(
解,1),( 22 ?+= yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ ?= yxn
? },1,2,4{ ?=
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 =???+? zyx
,0624 =??+? zyx
法线方程为,1 42 14 2 ??=?=? zyx
例 4 求旋转抛物面 在点
处的切平面及法线方程,
122 ?+= yxz )4,1,2(
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 =?+?+? zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,261412 000 zyx =?=,42 000 zyx =?=?
例 5 求椭球面
使其与平面,
12 222 =++ zyx 的切平面
02 =+? zyx 平行
法向量 },4,2{ 000 zyxn =?
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,1120 ?=? x满足方程
所求切点为 ),118,221,112( ??
0)2(12)2(8)1(2 =?+?+? zyx
2164 =++? zyx
0)2(12)2(8)1(2 =+?+?+? zyx
2164 ?=++? zyx
切平面方程 (1)
切平面方程 (2)