第九章 重积分
一元函数定积分是求与定义在某一区
间上的函数有关的某种总量的数学模型，
作为推广，二元函数的二重积分是求与定
义在某一平面区域上的函数有关的某种总
量的数学模型，三元函数的三重积分是求
与定义在某一空间区域上的函数有关的某
种总量的数学模型，这些模型的数学结构
相同，都是和式的极限。
第一节 二重积分的概念及性质
一 问题的提出
二 二重积分的定义
三 二重积分的性质
四 小结
一、问题的提出
解,对区域 D进行网状分割（如图）
1 曲顶柱体的体积
一曲顶柱体其顶为曲面
底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积 。
),( yxfz ?
ni,,
nD
???? ??，，
个小区域：可分割成区域）
21
1
x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
.),(lim
10
ii
n
i
ifV ???? ?? ?
??
曲顶柱体的体积
2）近似,每个个小区域
i??
内任取一点 ),,( ii ??
则每个小曲顶柱体的体积近似为,
iiii fV ??? ?? ).,(?
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
积之和为
??
??
?
n
i
iii
n
i
i fV
11
),( ??? ??
4）取极限,
? ??
??
??
n
i
iiifV
10
,l i m ???
?
?
其中
? ?的直径ini ?? ?? ??1m ax
2 平面薄片的质量
2）取点
3）作和
4）取极限
? ? iii ??? ??,
? ??
??
??
n
i
iiirL imM
10
,???
?
?
ni
nD
????,,
)1
21 ??，，
个小区域：可分割成区域
设平面薄片占有 xoy面上的区域为 D，它在点
（ x,y )处的密度为
求：此薄片的质量 ),( yxr
? ??
?
??
n
i
iiir
1
,???
二、二重积分的定义
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
?? 上任取 一点
),(
ii
??,
作乘积 ),( iif ?? i??, ),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
，
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),( yxf
在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(lim
1
0
,
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
注,1 在二重积分定义中，对区域 D的
划分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平
边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域
jx?
则
kji yx ???? ?
故在直角坐标系中,
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
i??
的边长为
,ky?和
行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含,
0
x
y
D
jx?
i??
ky?
直角坐标系下面积元素 ?d 图示
??
D
dxdyyxf ),(
,d x d yd ??
? ???
D
dyxf ?,
2 存在性：当 ),( yxf 在闭区域 D上连续时，函数 ),( yxf
在 D上的二重积分必定存在。以后总假定 ),( yxf 在 D上
的二重积分是存在的 。
3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数 ),( yxf
在 D上的二重积分
,),(???
D
dyxfV ?
平面薄片的质量是面密度 ),( yx? 在薄片所占闭区域 D上的
二重积分,
.),(???
D
dyxM ??
4 二重积分的几何意义,
（其中 xoy面上方柱体的体积取正,
xoy面下方柱体的体积取负） 。
3）如果 则二重积分 ? ?
??
D
dyxf ?,
解释为曲顶柱体体积的代数和。
? ?,y,xf 既有正又有负
2）如果 则二重积分 ? ?
??
D
dyxf ?,
解释
为曲顶柱体体积的负值。
? ?,y,xf 0?
1）如果 则二重积分 ? ?
??
D
dyxf ?,
解释
为曲顶柱体的体积。
? ?,y,xf 0?
三、二重积分的性质
性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重
积分号的外面，即,
? ? ? ????? ?
DD
dyxfkdyxkf ??,,
性质 2 函数的和（或差）的二重积分等于
各个函数的二重积分的和（或差）。
? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ???
DDD
dyxgdyxfdyxgyxf ???,,,,
性质 3 (区域可加性 ) 如果闭区域 D被有限条曲
线分为有限个部分闭区域，则在 D上的二重积
分等于在个部分闭区域上的二重积分的和,
? ? ? ? ? ??????? ??
??
21
,,,
,D 21
DDD
dyxfdyxfdyxf
DD
???
则例如
? 为 D 之面积
性质 4 如果在 D上
?? ?? ??
D D
dd ???1
（高为 1的平顶柱体的体积在数值上等于
柱体的底面积。）
1),( ?yxf
性质 5 若在 D上,),,(),( yxgyxf ? 则,
,),(),(?? ???
D D
dyxgdyxf ??
特别地,
?? dyxfdyxf
DD
???? ?? ),(),(
),(),(),( yxfyxfyxf ????
例 1 比较下列积分的大小,
1）
?? ?
D
dyx ?2)(
与
?? ?
D
dyx ?3)(
其中 D,
2)1()2( 22 ???? yx
0
y
x (3,0) (1,0)
(0,1)
1?? yx
,
D
解：在区域 D内，显然有
,1?? yx 故在 D内
32 )()( yxyx ???
???? ????
DD
dyxdyx ?? 32 )()(
,其中区域 D为
顶点为 A(1,0)B(1,1),C(2,0)的三角形闭区域。
2）
???? ??
DD
dyxdyx ?? 2)][ l n ( )l n ( 与
解,BC的方程 x+y=2
D内 1y)l n ( x0,21 ?????? yx
???? ???
DD
dyxdyx ?? 2)][ l n ()l n (
所以
A(1,0) B(2,0)
B(1,1)
性质 6（估值定理） 设在 D上 f(x,y)的最大值为 M，最
小值为 m,A为 D的面积，即
Mxfm ?? )( 则 MAdyxfmA
D
?? ?? ?),(
证明,因为
Mxfm ?? )(
由性质 5
?????? ??
DDD
Mddyxfmd ??? ),(
MAdyxfmA
D
?? ?? ?),(
所以
例 2
20,10
,)1(
????
??? ??
yxD
dyxI
D
是矩形闭区域：其中
?
解,
在 D内的最大值为 4，最小值为 1
区域 D的面积为 2
所以由性质 6得
812 ???? ??
D
dyx ?)(
yxyxf ??),(
性质 7(中值定理 )
),( yxf设函数
D连续,为? 之面积,则在 D上至少存在一 ),( ??
使得,
? ? ???? ).,(,fdyxf
D
???
证明：由性质 6得,
?? ??
D
Mdyxfm ?
?
),(1
点
在闭区域
根据据闭区域上连续函数的介值定理，在 D上至少
存在一点 ),,( ??
???
D
dyxff ???? ),(),( 1使得
即
?? ?
D
fdyxf ???? ),(),(
二重积分的定义
二重积分的性质
二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积）
（和式的极限）
四、小结