第五节 重积分的应用
一 问题的提出
二 曲面的面积
三 质心
四 转动惯量
五 引力
六 小结
二重积分的元素法,
由定积分的元素法推广得到重积分的元素法,
若要计算的某个量 U 对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D 分成许多小闭区域时,所求量 U 相
相应地分成许多 部分量,且 U 等于部分量之和 ),
并且在闭区域 D 内任取一个 直径很小的闭区域 ?d
时,相应地部分量可近似地 表示为 的形 ?dyxf ),(
式,其中 在 ),( yx ?d 内.这个 ?dyxf ),( 称为所求
U的元素,记为,所求量的积分表达式为 量 dU
???
D
d x d yyxfU ),(
一 问题的提出
三重积分的元素法,
利用重积分的元素法可以讨论重积分在
几何、物理上的一些应用
U V
V dV
?dyxf ),(
若要计算的某个量 对于空间闭区域 具有可加
性,并且在闭区域 任取一个直径很小的 闭区域
时,,相 应地部分量可近似地表示为 的形
式,其中 在 内,这个 称为所
求量 的元素,记为, 所求量的积分表达式为
),,( zyx dV dvzyxf ),,(
U dV
????
V
dVzyxfU ),,(
),( yxfz ?
D
1 设曲面 S的方程为,
),( yxfz ?
,Dxoy 面上的投影区域为在
,
),(
具有连续偏导数
上在区域函数 Dyxf
下面通过微元素法来计算曲面 S的面积,
二 曲面的面积
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?取点
.
)),(,,(
?上的切平面做

S
yxfyxM
.dsdA
dAdss
zd
?
?
?
则有
,为;截切平面为柱面,截曲面
轴的小于边界为准线,母线平行以
如图,先在闭区域 D上任取一直径很小的闭区域,
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ? )),(,,( yxfyxMS 上的对应曲面
,c o s ?? ?? dAd由平面几何知识得
,1 1cos 22
yx ff ??
???
,1 22?? ????
D
yx dffA ?
?轴所成的角为上的法线与处曲面设点 ZSM
,面上的投影在为 xoydAd ?
曲面 S的面积元素 ?dffdA yx 221 ????
曲面面积公式为,d xd y)()(A
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 221
3 设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1 22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
2 设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1 22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
于是 ? ? ? ? 221 yzxz ???? ??,222 yxa
a
???

的球的表面积。求半径为例 a 1
222 yxaz ???
取上半球面方程为
222,ayxD ??
?? ???
D
dxdy
yxa
a
222
2
?? ?? a r d rrada 0 2220 12 ? ?
.4 2a??
d x d yzzA
D
yx?? ???
2212
例 2 设有 一颗地球的同步轨道
通讯卫星的轨道位于地球的赤道
平面内,且可近似认为是圆轨
道.通讯卫星运行的角速率与地
球自转的角速率相同,即人们看
到它在天空不动.若地球半径取

R
= 6 4 0 0 km,问卫星距地面的
高度 h = 3 6 0 0 0 k m 时,通讯卫星
的覆盖面积与地球的表面积的比
值是多少?
卫星
h
o x
z
?
?
222 yxRz ???
?2222 s i n,RyxD ??
卫星
h
o x
z解 如图建立坐标系
?
于是通讯卫星覆盖面积 为
dxdyzzA
D
yx?? ???
221
通讯卫星覆盖的曲面 是上半
球面被半顶角为 的圆锥面所
截得的部分,其方程为
?? ???
D
dxdy
yxR
R
222
?? ?? ?? ? s i n0 2220 1R r d rrRdR ).c os1(2 2 ?? ?? R
hR R???c os?
.2)1(2 22 hR hRhR RRA ?????? ??
通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为
.4 2 5.010)4.636(2 1036)(24 6
6
2 ???
??
?? hR
h
R
A
?
设 xo y 平面上有 n 个质点,它们分别位于 ),(
11
yx,
),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处,质量分别为
n
mmm,,,
21
?,则
该质点系的 质心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
,
力学中关于质心的计算公式最初是对质点给出的,
三 质心
当薄片是均匀的,质心坐标为
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
设有一平面薄片,占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续,平面薄片的质心
,
d)y,x(
d)y,x(x
x
D
D
??
??
?
??
??
.
d)y,x(
d)y,x(y
y
D
D
??
??
?
??
??

O x
y
0?x
y
横坐标
轴对称,所以质心的
于因为月牙型均匀薄片关
质心的纵坐标为
???
D
yd x d yAy 1
。之间的均匀薄片的质心
和求位于两圆例 ?? s i n4s i n2 3 ?? rr
??? ??? ??? sin4 sin20 s i n3 1 r d rrda
?? a d? ??? 0 4][ s i n956,3
7?
???
D
yd x d yAy 1
?3?A
所求 质 心坐标为 )
3
7,0(
,1 ???
?
? dvxMx ?
设物体占有空间闭区域 ?,在点 ),,( zyx 处的
密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在 ? 上连续,则
该物体的质心为
类似地,
,1 ???
?
? dvyMy ?
.???
?
? dvM ?其中,1 ???
?
? dvzMz ?
,4 求均匀半球体的质心例
则半球体占有空间闭区域
}.0,|),,{ 2222 ?????? zazyxzyx
0?? yx显然,质心的坐标
???
?
? dvzMz ?1,831 az d vV ??? ???
?
?
所求 质 心坐标为 )
8
3,0,0( a
解 取半球体的对称轴为 轴,原点取在
球心上,设球的半径为, a
z
设 xo y 平面上有 n 个质点,它们分别位于 ),(
11
yx,
),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处,质量分别为
n
mmm,,,
21
?,则
该质点系对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量 依次为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,?
?
?
n
i
iiy
xmI
1
2
,
力学中关于转动惯量的计算公式最初也是对
质点给出的,
(1)平面薄片的转动惯量
四 转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??,),(
2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片,占有 xo y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续,平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量

薄片对于 轴的转动惯量 yx,
薄片对于坐标原点的转动惯量
.),()( 22?? ??
D
o dyxyxI ??
(2 ) 空间物体的转动惯量 设物体占有空间闭区域 ?,在点 ),,( zyx 处的密度
为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在 ? 上连续,则该物体对坐
标面,坐标轴及原点的转动惯量为
,2???
?
? dvzI xy ?,2???
?
? dvxI yz ?,2???
?
? dvyI zx ?
,)( 22???
?
?? dvzyI x ?,)( 22???
?
?? dvxzI y ?
,)( 22???
?
?? dvyxI z ?,)( 222???
?
??? dvzyxI o ?
例 5 求均匀的半圆环形薄片 (面密度为 ) ?
对其直径边的转动惯量, 0,21 22 ???? yyx
解 所求为 xI
用极坐标计算
:D ?? ???? 0,21 r
????
D
x dy ??
2 ? ? ?? ? ??????
0
2
1
22 s i n dd
??? 21 30 2s i n ????? ? dd4152 ?? ??
M45?
其中 为薄片质量, ??2
3?M
对 z 轴的转动惯量为
???
?
?? d x d y d zyxI z )( 22?
例 6 求密度均匀的球体对于过求心的一条
轴 l 的转动惯量,
解 原点取在球心上,设球的半径为,
轴与 轴重合,则球体占有空间闭区域
a
zl
}.|),,{( 2222 azyxzyx ?????
???
?
?? ???????? dd r drrr 22222222 s i n)s i ns i nc o ss i n(
???
?
? ???? dd rdr 34 s i n
???? a drrdd 0 40 320 s i n?? ????
.158 5 ??a?
,
,

处的面密度为
设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域 D 在
),( y x ),( y x ?,假定 ),( y x ? 在 D 上连
续,计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0 ( 0 a M 处的单位质点的 引力 ) 0 ( > a
薄片对 轴上单位质点的引力 z },,,{ zyx FFFF ?
,
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
xyxGF
D
x ?? ???,)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yyxGF
D
y ?? ???
为引力常数 G,
)(
),(
23222
?? dayx yxaGF
D
z ?? ????
五 引力
例 7 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形
薄片,222 Ryx ??, 0?z 对位于 z 轴上的
点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0( >a
由积分区域的对称性知 解,0?? yx FF
o y
z
x
F
?? ????
D
dzyxaG ?? )( 1 222
?? ????
D
z dzyx
yxaGF ??
)(
),(
222
drr
ar
daG R??
?
?? 0 2220
2
3)(
1? ??
.112
22 ?
?
?
?
???
? ?
?
? a
aR
Ga ??
所求引力为
.112,0,0
22 ??
???
??
???
???
?
???
? ?
? aaR
Ga ??
几何应用:曲面的面积
物理应用:质心、转动惯量,
对质点的引力
六 小结与思考判断题