一 柱面坐标系
二 利用柱面坐标计算三重积分
三 球面坐标系
四 利用球面坐标计算三重积分
五 小结
第四节 利用柱面坐标和球面
坐标计算三重积分
的柱面坐标.M就叫点zθ,r,个数
θ,则这样的三r,的极坐标为P面上的投影x o y
在M为空间内一点,并设点z)y,M ( x,设
,0 ???? r
,20 ?? ??
.?????? z
规定,
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?注意:柱面坐标系就是平
面极坐标系加上 z 轴,
一 柱面坐标系
?
?
?
?
?
?
?
?
.
,si n
,co s
zz
ry
rx
?
?
柱面坐标与直角坐标的
关系为
柱面坐标系的三坐标面是
为常数r 圆柱面 ;
为常数θ 半平面 ;
为常数z 平
面,
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
zz
x
y
yxr
?t a n
22

二 利用柱面坐标计算三重积分
???
?
? d x d y d zzyxf ),,(,),si n,c o s(???
?
? dzrd rdzrrf ???
?d
r
x
y
z
o
dz
dr?rd
利用柱面坐标系的三组坐
标面来分割积分区域,如图,
,dzr d r ddv ??体积元素为
所以
为棱的长方体体积,,
近似等于以所围成的小柱体的体积
和,和和由
zrr
zzzrrr
???
???
?
???
,
,???
例 1 计算 ???
?
? zd x d y d zI,其中 ? 是球面
4
222
??? zyx 与抛物面 zyx 3
22
??
所围的立体,

?
?
?
?
??
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 ??? rz
球面与抛物面交线为
?? ? ? ?? 232 420 30 rr zd zrdrdI ? ?.413??
.20
,30
4
3
:
2
2
?? ??
??
????
r
rz
r

把闭区域 ? 投影到 xOy 面上
解 所围成的立体如图,
??? ?
?
d x d y d zyxz 22 2 计算例 由圆锥面其 是中 ?,
所围成的区域。与 1222 ??? zzyx
,1,22 ?? yxD
222 zyx ???
,rz ??
,20,10,1,?? ?????? rzr?
???? 110 220 r zd zdrrd? ?
? ?? 10
2
2 )
2
1(2 drrr?
.
15
2??
????
?
dzd rdzr ?2
??? ?
?
d x d y d zyxz 22
所以
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
三 球面坐标系
的球面坐标.M就叫做点θ
,r,个数面上的投影,这样的三x o y在
M为点P的角,这里OP转到有向线段
轴按逆时针方向x轴来看自z为从正θ
z 轴正向所夹的角,O M 与为有向线段
间的距离,M与点O为原点r定,其中
来确,θr,可用三个有次序的数M
为空间内一点,则点z)y,M ( x,设
?
?
?
,r ????0,20 ????,0 ????
规定,
如图,三坐标面分别为
为常数r
为常数?
为常数θ
圆锥面;
球 面;
半平面,
?
?
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
如图,
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
,轴上的投影为在点
,面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA ???则
四 利用球面坐标计算三重积分
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.si n)c o s,si nsi n,c o ssi n( 2 ???????? dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,si n2 ??? dd rdrdv ?
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d?
?
?d ?sinr
解 ? 由锥面和球面围成, 采用球面坐标,
由 2222 2 azyx ???
,2 ar ??
22 yxz ??,4????
,20,40,20,??????????? ar

2222 2 azyx ???
例 3 计算,???
?
zdv其中 ?是
所围成的立体,
22 yxz ??
???
?
zdv ?? ? ?? a drrrdd 20 220 40 s i nc o s ????? ?
ad 2
0
4
0 |4
1co ss i n2 ? ?? ? ????
4
2 a
??

?? ?? ???
?
??? c o s2c o s 320 20 s i n drrddI
?23?
?? 20 4 s i nco s215
?
??? d
例 4 计算 ???
?
?? dvzyx 222,其中 ? 由 zzyx ??? 222
和 zzyx 2
222 ???
所围空间闭区域,? 为 ?? 20 ??,
2
0
?
? ??,?? c o s2c o s ?? r,
例 5 计算 ???
?
?? d x d ydzyxI )( 22,其中 ? 是锥

222 zyx ??
,与平面 az ? )0( ?a 所围的立
体,
解 1 采用球面坐标
az ??,c o s ?ar ??
222 zyx ??,4?? ??
,20,40,c o s0,????? ???????? ar
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22
drrdd
a
? ??? 40 c os0 3420 si n
?
?? ???
?
?
??
?
da )0
c o s
(
5
1si n2
5
5
4
0
3 ??? ?
.10 5a??
解 2 采用柱面坐标
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22 ???? a
r
a dzrr drd 2
0
2
0
? ?
? ?? a drrar0 3 )(2 ? ]54[2
54 aa
a ??? ?,
10
5a??
,,222 ayxD ?? 222 zyx ???,rz ??
,20,0,,?? ??????? arazr
补充:利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意,
1、积分区域关于坐标面的对称性;
一般地,当积分区域 ? 关于 x o y 平面对称,
且被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数,则三
重积分为零, 若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的
偶函数,则三重积分为 ? 在 x o y 平面上方的半 个闭
区域的三重积分的两倍,
2、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴
的奇偶性,
例 6 利用对称性简化计算
???
? ???
???
d xd yd z
zyx
zyxz
1
)1ln(
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
????? zyxzyx,
.01 )1l n ( 222
222
???? ??????
?
d x d y d zzyx zyxz
解 积分域关于三个坐标面都对称,
被积函数是 z 的奇函数
例 7 计算 ???
?
?? d xd yd zzyx 2)( 其中 ? 是球 面
2222 ??? zyx 所围成的空间闭区域,
其中 yzxy ? 是关于 y 的奇函数,
且 ? 关于 zo x 面对称,???
?
??? 0)( dvyzxy,

)(2222 zxyzxyzyx ??????
同理 ? zx 是关于 x 的奇函数,
且 ? 关于 y o z 面对称,0?? ???
?
x zd v
则 ??????
?
dvzyx 2)( ???
?
?? dvzyx )( 222
在球面坐标系下 ? 为
,20 ?? ??,0 ?? ??,20 ?? r
?? ? ??? 20 2220 0 s i n drrrddI ???? ?
? ?? ? ??? 0 20 4si n2 drrd
.2516 ??
( 1) 柱面坐标的体积元素
dzrd rdd x d y d z ??
( 2) 球面坐标的体积元素
??? dd rdrd x d y d z si n2?
( 3) 对称性简化运算
三重积分换元法
??
? 柱面坐标
球面坐标
五、小结