第三节 三重积分的概念及其
直角坐标计算法
一 三重积分的定义
二 问题的提出
三 直角坐标下的三重积分计算
四 小结
一、问题的提出
例 非均匀物体的质量
.
),,
求此物体的质量
上的连续正值函数，是（，体密度占有空间区域
标系中的物体，在空间直角坐设有一质量非均匀分布
?? zyx?
),,),,,
,
量的近似值为值，于是整个物体的 质
质量的近似就是（则内任取一点（
的直径很小时，在当个小块分割成将区域
iiiiiiii
iii
vv
vvvn
??
????
???????
体的质量时，和式的极限就是物的最大直径当所有 0?? ?iv
?
??
?
n
i
iiii vM
10
),,l i m ?????
?
（
?
?
?? n
i
iiii vM
1
),,???? （
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域 ? 上的有界
函数，将闭区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表
示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
??? 作
乘积
iiii
vf ??),,( ???, ),,2,1( ni ??,并作和,如
果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf
在闭区域 ? 上的 三重积分,记为
???
?
dvzyxf ),,(,
二、三重积分的定义
即 ???
?
dvzyxf ),,(
iii
n
i
i vf ?? ?
?
?
),,(lim
1
0
???
?
,
.dv 叫做体积元素其中
,
)1
?的平面来划分
用平行于坐标面在直角坐标系中，如果
.d x d y d zzyxv lkji ??????则
.dxdyd z 积元素叫做直角坐标系中的体其中
的物体的质量表达为密度为 ),,()2 zyx?
????
?
d x d y d zzyxM ),,(?
由此三重积可记为,
???
?
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
直角坐标系中将三重积分化为三次积分,
x
y
z
o
?
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
a
b )(
1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
如图,
,D
xoy
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz
三、三重积分的计算（直角坐标系下）
则
的函数，只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,?? ),(
),(
2
1
),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1?? ???
?
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ?????
得
????
?
dvzyxf ),,(,),,(
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
类似可以得
.),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
d
c
zy
zy
yzx
yzx dxzyxfdydz????? dvzyxf ),,(
例 1 化三重积分 ???
?
? dxdy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ??
及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解 由 ??
?
??
??
2
22
2
2
xz
yxz
,
得交线投影区域
,122 ?? yx
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,(1 1 2 21 1
2
22
2
2? ???
?
?
?
????
x
yx
x
x dzzyxfdydxI
例 2 化三重积分 ???
?
? dx dy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中 积分区域
? 为由曲面
22
yxz ??,
2
xy ?,1?y,0?z 所围
成的空间闭区域,
? ??? ?? 1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解
.11,1
,0:
2
22
?????
????
xyx
yxz
如图,
???
?
x d x d y d z,
21
0?? ?
???
xyD
yx x d zd x d y
x
o
z
y
2
1
1
1
例 3 计 算 三 重 积 分,其中 为三
个 坐 标 面 及 平 面 所 围 成 的 闭 区 域,
???
?
x d x d y d z
?
12 ??? zyx
解 轴方向积分，得先沿 Z
所围成的区域。与直线
面上，由坐标轴是其中
12 ?? yx
O x yD xy
11,210,????? xxyD xy
1
y
2
1
x
o
?? ? ??? 21010 )21(z dyyxxdx
? ??? 10 2 481)1(41 dxxx
???
?
x d x d y d z
x
o
z
y
2
1
1
1
截面法的一般步骤,
( 1 ) 把积分区域 ? 向某轴（例如 z 轴）投影，得
投影区间 ],[
21
cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz ? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面
去截 ?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分 ??
z
D
dxdyzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分 ?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 4 计算三重积分 dxd y dzz???
?
2
,其中 ? 是由
椭球面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx ???
}1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
原式,2 ???
?
?
zD
c
c
dxdydzz x
y
z
o
zD
解
)1()1( 2
2
2
2
2
2
c
zb
c
zad x d y
zD
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2
2
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b
y
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x ???
?? ??? c c dzzczab 22
2
)1(,154 3abc??原式
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
d x d y d zdv ?
（计算时将三重积分化为三次积分）
四、小结
直角坐标计算法
一 三重积分的定义
二 问题的提出
三 直角坐标下的三重积分计算
四 小结
一、问题的提出
例 非均匀物体的质量
.
),,
求此物体的质量
上的连续正值函数，是（，体密度占有空间区域
标系中的物体，在空间直角坐设有一质量非均匀分布
?? zyx?
),,),,,
,
量的近似值为值，于是整个物体的 质
质量的近似就是（则内任取一点（
的直径很小时，在当个小块分割成将区域
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函数，将闭区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
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v? 表示第 i 个小闭区域，也表
示它的体积,在每个
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乘积
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果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf
在闭区域 ? 上的 三重积分,记为
???
?
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二、三重积分的定义
即 ???
?
dvzyxf ),,(
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?
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1
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?
,
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,
)1
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用平行于坐标面在直角坐标系中，如果
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由此三重积可记为,
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?
直角坐标系中将三重积分化为三次积分,
x
y
z
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如图,
,D
xoy
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
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22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz
三、三重积分的计算（直角坐标系下）
则
的函数，只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,?? ),(
),(
2
1
),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1?? ???
?
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得
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类似可以得
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例 1 化三重积分 ???
?
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次积分，其中积分区域 ? 为由曲面
22
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及
2
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解 由 ??
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例 2 化三重积分 ???
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次积分，其中 积分区域
? 为由曲面
22
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2
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成的空间闭区域,
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解
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例 3 计 算 三 重 积 分,其中 为三
个 坐 标 面 及 平 面 所 围 成 的 闭 区 域,
???
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?
12 ??? zyx
解 轴方向积分，得先沿 Z
所围成的区域。与直线
面上，由坐标轴是其中
12 ?? yx
O x yD xy
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1
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???
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1
1
1
截面法的一般步骤,
( 1 ) 把积分区域 ? 向某轴（例如 z 轴）投影，得
投影区间 ],[
21
cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz ? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面
去截 ?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分 ??
z
D
dxdyzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分 ?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 4 计算三重积分 dxd y dzz???
?
2
,其中 ? 是由
椭球面 1
2
2
2
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:?,|),,{( czczyx ???
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2
)1(,154 3abc??原式
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
d x d y d zdv ?
（计算时将三重积分化为三次积分）
四、小结
