第二节 偏导数
一 偏导数的定义及其计算法
二 高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
偏增量,
设函数 在点 的某邻域 ),( yxfz ? ),( yxP
内有定义,为该邻域内的点,),( yxxP ???
称函数的增量 为关于 ),(),( yxfyxxf ???
的偏增量,
x
称函数的增量 ),(),( yxfyxxf ???
为 关于的偏增量, y
定义 设函数 ),( y x f z ? 在点 ),( 0 0 y x 的某一邻
域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量
x ? 时，相应地函数有偏增量
),( ),( 0 0 0 0 y x f y x x f ? ? ?
如果 存在，则称
此极限为函数 ),( y x f z ? 在点 ),( 0 0 y x 处对 x 的
偏导数，记为
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(lim 0000
0
同理 函数 ),( y x f z ? 在点 ),( 0 0 y x 处对 y 的偏
导数, 可定义为
，, 或,
0
0yy xxx
z
?
??
?
0
0yy xxx
f
?
??
?
0
0yy xxx
Z
?
? ),( 00 yxf x
0
0yy xxy
z
?
??
?
0
0yy xxy
f
?
??
?
0
0yy xxy
Z
?
? ),( 00 yxf y或
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(lim 0000
0
记作,, 或,
x
z
?
?
x
f
?
?
xZ ),( yxf x
如果函数 在区域 内任一点
处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 的函数，它就称为函数 对
自变量 的偏导数,
),( yxfz ? D
),( yx
x
yx,),( yxfz ?
x
类似可定义函数 对自变量 的偏导 ),( yxfz ? y
数，记作,, 或, yz?? yZ ),( yxf yy
f
?
?
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如三元函数 在 处 ),,( zyxfu ? ),,( zx
,),,(),,(l i m),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx ?
????
??
,),,(),,(l i m),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy ?
????
??
.),,(),,(l i m),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz ?
????
??
例 1 求 2 2 3 y xy x z ? ? ? 在点 ) 2,1 ( 处的偏导数,
解 ???xz ;32 yx ? ???yz,23 yx ?
????
?
?
2
1
y
xx
z,82312 ????
???
?
?
2
1
y
xy
z,72213 ????
例 2 设 )1,0( ??? xxyz x
求证,zyzxxzyx 2ln 1 ??????
xxxyxyxyzxxzyx yx lnln 1ln 1 1 ??????? ?
证 1???? yyxxz xx
y
z y ln?
?
?
zxx yy 2???
解 ?
?
?
x
z
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
?
???
.|| 22 yx y??
|)|( 2 yy ?
例 3 设 2 2 arcsin y x x z ? ?,求,, xz?? y
z
?
?
???yz
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
?
????
yyx
x 1sg n
22 ??? )0( ?y
0
0
?
??
?
y
xy
z
不存在,
例 4 已知理想气体的状态方程 RT pV ?
（ R 为常数），求证,,
证 ?? VRTp ;2VRTVp ????
?? pRTV ;pRTV ??? ?? RpVT ;RVpT ???
????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1??pVRT??
1????????? pTTVVp
),0,0 ( ),0,0 (,),( 5 y x f f xy y x f z 求 设 例 ? ?
注意,1）求分界点、不连续点处的偏导数
要用定义求；
解
x
xf
xx
0|0|lim)0,0(
0
???
?0?
00|0|l i m)0,0(
0
????
? y
yf
yy
偏导数 是一个整体记号，不能拆分, 2） xz??
但函数在该点处并不连续,
偏导数存在与连续的关系
一元函数在某点可导 连续 ?
多元函数在某点偏导数存在，函数是否连续？
例如,函数 ?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
依定义知在 处, 0 ) 0,0 ( ) 0,0 ( ? ? y x f f, )0,0(
偏导数的几何意义
,),( )),(,,( 0 0 0 0 0 上一点 为曲面 设 y x f z y x f y x M ?
如图
偏导数 ),( 0 0 y x f x 就是曲面被平面 0 y y ?
所截得的曲线在点 0 M 处的切线 x T M 0 对 x 轴的
斜率,
),( 0 0 y x f y 0 x x ? 偏导数 就是曲面被平面
所截得的曲线在点 0 M 处的切线 y T M 0 对 y 轴的
斜率,
几何意义,
),,(2
2
yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(2
2
yxfy zyzy yy?????
?
??
?
?
??
?
),,(
2
yxfyx zxzy xy??????????? ???? ),(
2
yxfxy zyzx yx??????
?
??
?
?
?
?
?
?
函数 ),( y x f z ? 的二阶偏导数为
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶
偏导数,
纯偏导
二、高阶偏导数
例 5 　设 13
323
???? xyxyyxz,
求
2
2
x
z
?
?
、
xy
z
??
?
2
、
yx
z
??
?
2
、
2
2
y
z
?
?
及
3
3
x
z
?
?
.
解 xz??,33 322 yyyx ??? yz?? ;92 23 xxyyx ???
2
2
x
z
?
?,6
2xy? 2
2
y
z
?
?;182 3 xyx ??3
3
x
z
?
?,6
2y?
xy
z
??
?2
.196 22 ??? yyxyx
z
??
?2
,196 22 ??? yyx
例 6 设 by e u ax cos ?,求二阶偏导数,
解,cos byae
x
u ax?
?
? ;s i n bybe
y
u ax??
?
?
,co s22
2
byeax u ax???,c o s22
2
byeby u ax????
,s i n
2
bya b eyx u ax?????,s i n
2
bya b exy u ax?????
问题,
例 7 验证函数 2 2 ln ),( y x y x u ? ? 满足拉普拉
斯方程,02
2
2
2
?????? yuxu
定理 如果函数 ),( yxfz ? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
??
?
2
及
yx
z
??
?
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
解 ),l n (21ln 2222 yxyx ????
,22 yx xxu ?????,22 yx yyu ????
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
?
??
?
????
?
??
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
?
??
?
????
?
?
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
?
??
?
??
?
??
?
??,0?
例 8 证明 222
1
zyx
u
??
? 满足方程,
02
2
2
2
2
2
????????? z uy ux u
证明,
2
5
222
222
2
2
2
3
222
)(
2
)(
zyx
zyx
x
u
zyx
x
x
u
??
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
由 的对称性，得 zyx,,
2
5222
222
2
2
)(
2
zyx
xzy
y
u
??
???
?
?
2
5222
222
2
2
)(
2
zyx
yxz
z
u
??
???
?
?
02
2
3
2
2
2
?????????? z uy ux u
例 9 设函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
3
yx
yx
yx
yx
yxf
),0,0 ( ) 0,0 ( yx xy f f 和 求
222
3222
)(
2)(3),(
yx
xyxyxyxyxf
x ?
????
222
4
22
2
)(
23
yx
yx
yx
yx
????
时，有 当 解 (0,0) (x,y) ?
?),( yxf y
222
23
22
3
)(
2
yx
yx
yx
x
???
时，按定义有当 ( 0,0 ) ?( x,y )
0)0,0()0,(l i m)0,0(
0
???
? x
fxff
xx ?
?
?
0)0,0(),0(l i m)0,0(
0
???
? y
fyff
yy ?
?
?
0)0,0(),0(l i m)0,0(
0
???
? y
fyff xx
yxy ?
?
?
1)0,0()0,(lim)0,0(
0
???
? x
fxff yy
xyx ?
?
?