第六节 曲面及其方程
一 曲面方程的概念
二 旋转曲面
三 柱面
四 二次曲面
水桶的表面、台灯的罩子面等,
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,
曲面方程的定义,
如果曲面 S 与三元方程 0),,( ?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,( ?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例,
一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面,
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为
R 的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM ?|| 0根据题意有
? ? ? ? ? ? Rzzyyxx ?????? 202020
? ? ? ? ? ? 2202020 Rzzyyxx ??????所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx ???
例 2 方程 042222 ????? yxzyx 表示怎样的曲
面？
解
原方程可化为 5)2()1(
222 ????? zyx
),0,2,1( ?所以原方程表示球心为 5半径为 的球面,
球面.时，表示的轨迹称为虚当
表示点球面.时当
的球面半径为
时，表示球心为当
项,配方后化为其特点为缺
注：设有三元二次方程
0
222
0
222
.
222
),,(0
222
2222
)(
2
)(
2
)(
0222
222
????
???
???
???????
?????????
???????
DCBA
DCBA
DCBA
CBADCBA
DCBACzByAx
zxyzxy
DCzByAxzyx
，＝
，
：、、
例 3 已知 )3,2,1(A, )4,1,2( ?B,求线段 AB 的
垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA ?
? ? ? ? ? ? 222 321 ????? zyx
? ? ? ? ? ?,412 222 ?????? zyx
化简得所求方程,07262 ???? zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 ????? yxz
根据题意有 1??z
用平面 cz ? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx
当平面 cz ? 上下移动时，
得到一系列圆
圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底,
解
c
以上几例表明研究空间曲面有 两个基本问题,
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面,
这条定直线叫旋转
曲面的 轴,播放
二、旋转曲面
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M ),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
旋转过程中的特征,
如图
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋转
一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,y o z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程,
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
播放
定义
观察柱面的形
成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线
叫柱面的 准线
，动直线 叫
柱面的 母线,
C
L
三、柱面
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在空
间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其
准线为 xo y 面上曲线 C,
（其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴 x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴 z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴 y
1 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲
面。
如球面
? ? ? ? ? ? 4321 222 ?????? zyx
圆锥面、旋转曲面等
四,二次曲面 (Quadratic Surfaces)
2、二次曲面的研究方法,(不能用描点法，而用截面法 )
1）对称性：关于坐标面，坐标轴
2）存在范围
3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
4）曲面弯曲状况。
3、几种重要的二次曲面,
1）椭球面,
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
x
y
z
用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来
勾画曲面的大体形状。
?
(Ellipsoids)
特殊情形,1）当 a=b=c时，此时为球面
azyx 2222 ???
2）当 a=b时，此时为旋转曲面
12
2
2
2
2
2
??? czayax
3) 当 a=c时，此时为旋转曲面
12
2
2
2
2
2
??? azbyax
4) 当 c=b时，此时为旋转曲面
12
2
2
2
2
2
??? czcyax
2)抛物面 (Paraboloids)
I) 椭圆抛物面 同号） q( p,
22
22
Zqp yx ??
x
y
z
(0,0,0)
p=q时，成为旋转 抛物面
(P>0,q>0)
II)双曲抛物面（马鞍面）
同号） q( p,
22
22
Z
qp
yx ???
(Elliptic Paraboloids)
(Hyperbolic Paraboloids)
II)双曲抛物面（马鞍面）
同号） q( p,22
22
Zqp yx ???
x
z
y
o
x
y
z
xyz ?
xy ?
3) 双曲面 (Hyperboloids)
I)单叶双曲面 (Hyperboloids of one sheet)
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
o
x y
z
II)双 叶双曲面 (Hyperboloids of two sheet),
12
2
2
2
2
2
???? czbyax
x
y
z
0
12
2
2
2
2
2
???? czbyax
或者
例 6、指出下列方程所表示的曲面,
2222 )()1 RRzyx ???? 1
94)2
2
22
??? zyx
194)3 2
22
??? zyx 194)4
2
22
???? zyx
xyx 2)5 22 ?? 226)6 yxz ???
226)7 yxz ???
224)8 yxz ???
221)10 yxz ???222)9 yxz ???
zyx ??
94
)12
22
22)11 yxz ??