第六章 定积分的应用
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来
分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的
不仅是建立计算这些几何、物理的公式,
更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题
的定积分的方法。
第一节 定积分的元素法
一 问题的提出
三 小结
二 定积分的元素法
考虑曲边梯形面积计算问题
.)(?? ba dxxfA
曲边梯形由连续曲线
)( xfy ? )0)(( ?xf, x
轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。
a b x
y
o
)(xfy ?
一 问题的提出 (Introduction)
面积表示为定积分要通过如下步骤,
2 ）
（ 1 ） 把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
个小窄曲边梯形的面积为
i
A?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1;
,)( iii xfA ??? ?（ 计算 i A ? 的近似值 ；ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值 ；ii
n
i
xfA ?? ?
?
)(
1
?
（ 4） 求极限，得 A的精确值,
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(l i m
10
?
?,)(??
b
a dxxf
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式,)( dxxf 这就是定积分的元素法,
? ba dxxf )(与
两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
?
??
n
i 10
lim
? ?
b
a
对应
ii xf ?)(?而使 dxxf )(对应
?
??
n
i 10
lim
?
ii xf ?)(?比较
一般来讲, 当所求量 U 符合下列条件,
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 ? ?ba,有关
的量；
（ 2 ） U 对于区间 ? ?ba,具有可加性，就是说，
如果把区间 ? ?ba,分成许多部分区间，则 U 相
应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之
和；
（ 3 ） 部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf ?)( ? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
二 定积分的元素法（ Element Method）
元素法的一般步骤,
1 ） 根据问题的具体情况，选取一个变量，例如
x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ） 在 ],[ ba 中任取一小区间并记为
],[ dxxx ?,求出相应于这小区间的部分量
U? 的近似值, 如果 能近似地表示为 ],[ ba 上
的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与 dx 的乘
积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；
U?
3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，
在区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做元素法,
常见应用方向有,
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力等,
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
三 小结（ summary)