第五节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
二、曲线凹凸的判定
三、曲线的拐点及其求法
问题,如何研究曲线的弯曲方向?
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
x
y
o
)(xfy ?
1x 2x
2 21
xx ?
)2( 21 xxf ?
2 )()( 21 xfxf ?
1x 2x x
y
o
)(xfy ?
2 21
xx ?
)2( 21 xxf ?
2 )()( 21 xfxf ?
x
y
o A
B
M
N
一、曲线凹凸的定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?
定义
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
a b
B
A
凹弧,曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。
凸弧,曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
递增)( xf ?
a b
B
A
0???y 递减)( xf ? 0???y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在二阶导数
内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
二、曲线凹凸的判定
任取两点 )(,2121 xxxx ?证明, 1）
分析, 要证
2
)()()
2(
2121 xfxfxxf ???
即证 0)]
2()([)]2()([
21
2
21
1 ?
????? xxfxfxxfxf
2
)()
2
)(()
2
()(
),
2
,(
21
1
21
11
21
1
21
11
xx
f
xx
xf
xx
fxf
xx
x
?
??
?
???
?
?
?
??
??
?
2
)()
2
)(()
2
()(
),,
2
(
12
2
21
22
21
2
2
21
2
xx
f
xx
xf
xx
fxf
x
xx
?
??
?
???
?
?
?
??
??
?
两式相加为,
2)]()([)]2()([)]2()([
12
12
21
2
21
1
xxffxxfxfxxfxf ?????????? ??
即证,)( 0)()(
2112 ???? ????? ff
事实上, ),( )()()(
2112 ?????? ??????? fff
而 0)( ??? ?f
同理可证明 2）
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy ?
解,3 2xy ???,6 xy ???
时，当 0?x,0???y
为凸的；在曲线 ]0,( ???
时，当 0?x,0???y 为凹的；在曲线 ),0[ ???
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
1 定义
注 1:拐点处的切线必在拐点
处穿过曲线,
.
)(
)(
点的分界点叫做曲线的拐
凹弧与凸弧）的图形上凸弧与凹弧（
上连续，我们把在区间设函数
xfy
Ixf
?
.
))(,2 00
不同于极值点的表示
来表示的，、拐点是用坐标（注 xfx
三、曲线的拐点及其求法
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
证
2 拐点的必要条件
时，图形是凹弧，当即对分界点
的不妨设它是凹弧与凸弧是拐点
0
00
),(.,
,))(,(
xxbax
xfx
??
?
.0)( ???? xf
递增；所以 )( xf ? 时，图形是凸弧，当 0xx ?
.)( 递减所以 xf ?
.)( 的极大值点递减的分界点，也就是 xf ?
递增与是函数因此点 )(0 xfx ?
由可导函数取得极值的条件,;))(,(,)()3( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
3 拐点的求法
方法 1,
);()1( xf ??求
0,0)()2( xxf 点找出实根和二阶不可导令 ???
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在注意：若
xfy
xfxxf
?
??
例 2
.
143 34
凹、凸的区间
的拐点及求曲线 ??? xxy
解 ),(,????D?
,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy
,0???y令,32,0 21 ?? xx得
x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32
)(xf ??
)(xf
? ? ?0 0
凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 )1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,( ????凹凸区间为
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线
是曲那末而
且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
.)]2,0([cossi n 的拐点内求曲线 ??? xxy
,s i nc o s xxy ???,c o ss i n xxy ?????
.s i nc o s xxy ??????
,0???y令,47,43 21 ???? xx得
2)43( ?????f,0? 2)47( ??????f,0?
例 3
解
方法 2,
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ?? ).0,47(),0,43( ??
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在若
xfy
xfxxf
?
??注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy ?
解,0时当 ?x,31 3
2?
?? xy,94 3
5?
???? xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx ????
,0,)0,( ????? y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在 ??
,0,),0( ????? y内在,),0[ 上是凸的曲线在 ??
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy ??