第四节 最大最小值问题
一 闭区间上连续函数的最值
二 实际问题的最值
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
一、闭区间上连续函数的最值
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
步骤,
)1)(2(6)( ???? xxxf?
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ?)4(f ;142
解
计算
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy例 1
，最大值 142)4( ?f,7)1( ?f最小值比较得
141232 23 ???? xxxy
二、实际问题的最值
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击,
速度为 2千米 /分钟,
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
.)()2( 的最小值点求 tss ?
.)24()5.0( 5.75 22 ttt ??? ??? )(ts,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
公里4B
?
公里5.0
)(ts A?
22 )24()5.0()( ttts ????
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数 )(ts
解
某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为
每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月
增加 10元时，就有一套公寓租不出去，而租出
去的房子每月需花费 20元的整修维护费,
试问房租定为多少可获得最大收入？
例 3
设房租为每月 元,
租出去的房子有 套,
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??????
??
10
18050 x
解
?????? ?? 1018050 x
x
?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?????? ??? 1035068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
???
xy
xy
xyxy
例 4
点击图片任意处播放 \暂停
如图,解
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? ),0,8(C )16,8( 200 xxB ?
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
T
x
y
o
P
A
B
C
,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
).(16,316 00 舍去?? xx
.2174096)316( 为极大值?? s
.27409 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
解得
8)316( ????s?,0?
一 闭区间上连续函数的最值
二 实际问题的最值
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
一、闭区间上连续函数的最值
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
步骤,
)1)(2(6)( ???? xxxf?
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ?)4(f ;142
解
计算
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy例 1
，最大值 142)4( ?f,7)1( ?f最小值比较得
141232 23 ???? xxxy
二、实际问题的最值
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击,
速度为 2千米 /分钟,
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
.)()2( 的最小值点求 tss ?
.)24()5.0( 5.75 22 ttt ??? ??? )(ts,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
公里4B
?
公里5.0
)(ts A?
22 )24()5.0()( ttts ????
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数 )(ts
解
某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为
每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月
增加 10元时，就有一套公寓租不出去，而租出
去的房子每月需花费 20元的整修维护费,
试问房租定为多少可获得最大收入？
例 3
设房租为每月 元,
租出去的房子有 套,
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??????
??
10
18050 x
解
?????? ?? 1018050 x
x
?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?????? ??? 1035068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
???
xy
xy
xyxy
例 4
点击图片任意处播放 \暂停
如图,解
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? ),0,8(C )16,8( 200 xxB ?
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
T
x
y
o
P
A
B
C
,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
).(16,316 00 舍去?? xx
.2174096)316( 为极大值?? s
.27409 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
解得
8)316( ????s?,0?
