00,1,0,,0 ?????? ?
第二节 洛必达法则
一 洛必达法则
二 其他未定式
洛必达法则型未定式解法型及一,:??00
.
)x(F
)x(f
lim
,)x(F
)x(f,)x(ax
)x(
ax
型未定式或称为
那末极限大都趋于零或都趋于无穷与
两个函数时或如果当
?
?
???
??
? 0
0
例如,,tanlim 0 x xx ? )00(,si nln
si nlnlim
0 bx
ax
x ? )(?
?
定义
定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,该法则仍然成立时当 ??x
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
.
)x(F
)x(f
lim
)x(F
)x(f
lim
);(
)x(F
)x(f
lim;xFxF
)x(f),a(a;xFxf,ax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于零及函数时当设
3
0
2
1
证
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,x),a(U 内任取一点在 ?0,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(lim AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
,)()( )()( )( 无关及的极限与 agafaxxg xf ??
辅助函数
所以定义
例 1
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式
26
6lim
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
例 2
.2t a nlim
0 x
x
x ?
求
)00(
)(
)2( t a nl i m
0 ?
??
? x
x
x
原式 1
2s e c2l i m 2
0
x
x ?
?,2?解
例 3
解
.
1
arctan
2l i m
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
例 4
.s i nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解
20 3
co s1lim
x
x
x
??
?
原式 xxx 6s inlim0??
6
1?
)00(
)00(
)00(
注意,1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不
是 未 定式不能用罗必塔法则 ；
2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化
简（尽可能地化简）、步步验证求未定式
的极限,
例 5
xx
xx
x s i n
s i nt a nl i m
20
?
?
xx
xx
x ?
??
? 20
s i nt a nlim原式
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
2
2
0 3
)( t a nl i m
x
x
x ?
?
3
1
3
l i m 2
2
0
??
? x
x
x
定理 2 )(
?
?
.,x 该法则仍然成立时当 ??
? ?
? ?
? ?
.
)x(F
)x(f
lim
)x(F
)x(f
lim
);(
)x(F
)x(f
lim;)x(F)x(F
)x(f),a(a;)x(F)x(f,ax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于无穷及函数时当设
3
0
2
1
例 6
解
.3t a nt a nlim
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
cos
3cosl i m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nc o s2
3s i n3c o s6l i m
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s in
6s inlim
2
??
?
x
x
x 2cos2
6cos6l i m
2
??
?,3?
)(??
注意 3：若导数比的极限不存在，不能判断
原函数极限不存在 。
例如,
xx
xx
x s i n
s i nlim
?
?
?? x
x
x c o s1
c o s1lim
?
??
??
1
s i n
1
s i n
1
l i m ?
?
?
???
x
x
x
x
x
xx
xx
x ee
ee
?
?
?? ?
?lim
)1(
)1(
lim 2
2
ee
ee
xx
xx
x ?
?
?? ?
?
?
1
)1(
)1(
lim 2
2
?
?
?
? ?
?
?? e
e
x
x
x
事实上
型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型, ),00( )(??
型??0.1
,10 ??????,0100 ????或步骤,
例 7,lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2
x
x
e
??
? 2lim
x
x
e
???
?,???解
型???.2
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
).1si n1(lim
0 xxx
?
?
求 )( ???
xx
xx
x si n
si nlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x cossi n
cos1l i m
0 ?
??
?,0?
解
例 8
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
.lim 0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0lim ???原式
xxxe lnlim0 ??? x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
???
? 0e?,1?
步骤,
例 9
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
lim ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim 1
1
lim
1???
x
xe,1??e
.)(co tl i m ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( c o t )l n (c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)l n (co tln 1lim
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
si n
1
cot
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x si ncos
lim
0 ?
??
??,1??? e原式
解
例 11
解
例 10