第一节 导数的基本概念
一 问题的提出
二 导数的定义
三 求导数举例
四 导数的几何意义
五 可导与连续的关系
六 小结
1.变速直线运动的速度问题
,
0t
,
t?
一、问题的提出
时刻的瞬时速度求
函数为 设动点于时刻的位置 如图,t )(tss ?
0t
,的时刻 取一邻近于 运动时间
t
sv
?
??平均速度
0t t t?
0
0
0
0 )()(
tt
tsts
tt
ss
?
??
?
??
0tt ? 取极限得
瞬时速度
当
.)()(l i m
0
0
0 tt
tstsv
tt ?
??
?
时,
2.切线问题 割线的极限位置 — 切线位置
播放
M
N
T
? ?
T
0x xo x
y
)(xfy ?
C
N
M
如图,
极限位置即
.0,0 ??? NM TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ?? ??沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(l i mt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
???
?
?
如果割线 绕
点 旋转而趋向极限位
置,直线 就称为曲
线 在点 处的 切线,
MN
M
MT
C
MT
M
(
1.函数在一点处的导数
二、导数的定义
y
记为 处的导数,在点 数
并称这个极限为函 处可导,在点
则称函数 时的极限存在,之比当
与 如果 得增量
取 相应地函数 时,仍在该邻域内 )
点 处取得增量 在 当自变量 有定义,
的某个邻域内 在点 定义 1.设函数 )( xfy ? 0x
x 0x x?
0xx ?
x? x? 0?
)( xfy ?
0x
0x
)( xfy ?
);()( 0 xfxxfy ????? y?
.0' xxy ?
导数的定义也可为下列形式,
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
)(,0
0
xf
dx
dy
xx ??
即
2,函数在区间内的导数
dx
xdf
dx
dyxfy )(,)(,或记作 ??
??y 即 x
xfxxf
x ?
???
??
)()(lim
0
很明显,)()(
00 xxxfxf ????
,
,
定义2 内的每点 在区间 如果函数
的导函数 原来函数 导数值,这个函数叫做
的一个确定的 都对应着 对于任一
内可导, 在开区间 处都可导，就称函数
)( xfy ?
)(xf
)(xf
)(xf
I
I
Ix?
3 单侧导数
左导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????
右导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????
).()(
)()()(
0
'
0
'
0
'
0
'
0
xfxf
xfxfxxf
??
??
?
?
且在,
存点可导在函数,
定义3 及内可导，且在开区间如果 )(),()( ' afbaxf ?
? ?上可导.在闭区间都存在，就说 baxfbf,)()('?
可导性.
的讨论在点设函数 0
0
0,
),(
),(
)( x
xxx
xxx
xf
?
?
?
?
?
?
?
?
4.分段函数的导数
x
xfxxf
?
???
??
)()(l i m 00
0x -
若
存在,)()()(l i m 0'00
0x -
xfx xxx ?
??
?? ???? ??
x
xfxxf
?
???
???
)()(lim 00
0x
若
存在,)()()(l i m 0'00
0x
xfx xxx ?
??
?? ????
?
??
.)(
)(
,)()(
0
0
0
'
0
'
axf
xxf
axfxf
??
??
??
且
可导在则
且
，
.0?
);()( xfxxfy ????? (1)求增量
(2)算比值 ;)()( x xfxxfxy ? ??????
.lim
0x x
yy
?
???
?? (3)求极限
(
解 h
xfhxfxf h )()(lim)( 0 ???? ?hCCh ??0lim
即,0)( ??c 常
数
三,由定义求导数举例
例 1 为常数 )的导数, 求函数 Cxf ?)( C
)()( 2
1 ?
?? xx例如,
121
2
1 ?? x,
2
1
x?
)()1( 1 ??? ?xx
11)1( ???? x,
1
2x??
解 x
xxxx nn
x
n
?
?????
??
)(l i m)(
0
]!2 )1([lim 121
0
???
??
??????? nnn
x
xxxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx
更一般地 )(.)( 1 为常数?? ?? ??? xx
即
例 2 nxy ?求函数 (n为正整数 )的导数,
,c o s x?
例 3 求函数 ?)( xf,) s i n( s i n ?xx 求,
解
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 x
x
x
x
x ?
?
?
?
??
??
x
xxxxxf
x ?
???????
??
)(si n)si n (lim) si n()(
0
故 xx co s) ( s i n ??
同样地, xx s i n) co s( ??
例 4 求函数 )1,0(l o g ??? aaxy a的导数,
x
xxxy aa
h ?
?????
?
l o g)(l o glim
0
ax
x
x
a
x ln
)1(l o g
l i m
0 ?
??
?
??
axax
x
x
h ln
1
ln
lim
0
?
?
?
?
?
(换地公式 )
解
特别地,.
1) ln(
xx ??
求函数 例 5 )1,0()( ??? aaaxf x的导数,
解 xeax aaa
ax
x
x
xxx
x
x
?
??
?
??? ?
??
??
??
1limlim)( ln
00
.ln
ln
lim
0
aa
x
ax
a
x
x
x
?
?
?
?
?? (无穷小等价代换 )
即,)( ln)( xxxx eeaaa ????
例 6 求函数 ||)( xxf ?的导数,
解 当,)(,0 xxfx ???;1)()(lim)(
0
??? ???????
?? x
xxxxf
x
xy?
x
y
o
,)(,0 xxfx ?? 当;1)()(lim)(
0
?? ?????
?? x
xxxxf
x
,0)0(,0 ?? fx 当
??? 0limx
,1lim0|0|lim)0(
00
' ??
?
???
?
????
?? ????? x
x
x
xf
xx
,1lim0|0|lim)0(
00
' ?
?
??
?
????
?? ????? x
x
x
xf
xx
)0(f? 不存在,
即,0 1
0 1)|(|
?
?
?
?
????
x
xx
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
切线方程为
法线方程为 ).0)(( )()(
1
00
0
0 ??????? xfxxxfyy
,t a n)( 0 ??? xf ?( 为斜率 )
在
表示曲线
处切线
).)(( 000 xxxfyy ????
如果函数 )(xf 0x 处可导,
)( 0xf ? )( xfy ?
在点 ))(,( 00 xfxM
的斜率，即
则
四、导数的几何意义
轴的直线,
0)( 0 ?? xf特别,当 时,
切线是平行于 y
);( 0xfy ?法线是平行于
轴的直线, ;0xx ?
x
当 ??? )( 0xf 时,
切线是平行于 y 轴的直线, ;0xx ?
法线是平行于 x 轴的直线,).( 0xfy ?
解 根据导数的几何意义,得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
2| ??? xyk
4,|yk 2x)(xy 2x2 ??????? ?
),2(44 ??? xy 即 ;04 ??? yx
),2(414 ???? xy 即
例 7 求曲线 2xy ? 在 (2,4)处的切线的斜率，并
写出在该点处的切线方程和法线方程,
.0184 ?? yx
定理,可导函数是连续函数,
.)( 0 连续在点函数 xxf?
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([l i ml i m 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
)0(0 ??? x?
五、函数可导与连续的关系
注意, 反之不成立,即连续不一定可导。 比如
||)( xxf ?函数 0x 处连续但不可导, 在
同理可证, 3 xy ? 及
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
0
1
s i n
x
x
x
x
y
在 处连续但不可导, 0x
解 由可导与连续的关系,可知,
)0()(l i m1)(l i m 00 fbaxfxf xx ????? ?? ??
)0(0 1lim0 12si n1lim)0( '
00
'
???? ??
???
?
???
??
fx beax xf
x
xx
.2,1 ??? ba所以,1lim2,1| 0 xebba xx ???? ? 即
例 8 设,0
0 2s i n1
)(
?
?
?
??
??
?
xbea
xx
xf x试确定,,ba
使得 在 0?x 在处可导, )(xf
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,;)()()( 0'0'0 axfxfaxf ????? ??2.
6,判断可导性 ?
不连续,一定不可导,
连续 ?
直接用定义 ;
左右导数是否存在且相等,
六 小结与思考判断题
一 问题的提出
二 导数的定义
三 求导数举例
四 导数的几何意义
五 可导与连续的关系
六 小结
1.变速直线运动的速度问题
,
0t
,
t?
一、问题的提出
时刻的瞬时速度求
函数为 设动点于时刻的位置 如图,t )(tss ?
0t
,的时刻 取一邻近于 运动时间
t
sv
?
??平均速度
0t t t?
0
0
0
0 )()(
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0tt ? 取极限得
瞬时速度
当
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时,
2.切线问题 割线的极限位置 — 切线位置
播放
M
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0x xo x
y
)(xfy ?
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如图,
极限位置即
.0,0 ??? NM TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
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,,0xxMN C ?? ??沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(l i mt a n
0
0
0 xx
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xx ?
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?
如果割线 绕
点 旋转而趋向极限位
置,直线 就称为曲
线 在点 处的 切线,
MN
M
MT
C
MT
M
(
1.函数在一点处的导数
二、导数的定义
y
记为 处的导数,在点 数
并称这个极限为函 处可导,在点
则称函数 时的极限存在,之比当
与 如果 得增量
取 相应地函数 时,仍在该邻域内 )
点 处取得增量 在 当自变量 有定义,
的某个邻域内 在点 定义 1.设函数 )( xfy ? 0x
x 0x x?
0xx ?
x? x? 0?
)( xfy ?
0x
0x
)( xfy ?
);()( 0 xfxxfy ????? y?
.0' xxy ?
导数的定义也可为下列形式,
.)()(lim)(
0
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x
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000
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即
2,函数在区间内的导数
dx
xdf
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dyxfy )(,)(,或记作 ??
??y 即 x
xfxxf
x ?
???
??
)()(lim
0
很明显,)()(
00 xxxfxf ????
,
,
定义2 内的每点 在区间 如果函数
的导函数 原来函数 导数值,这个函数叫做
的一个确定的 都对应着 对于任一
内可导, 在开区间 处都可导，就称函数
)( xfy ?
)(xf
)(xf
)(xf
I
I
Ix?
3 单侧导数
左导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
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0 x
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xfxfxf
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????
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???
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右导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
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??
??
?
?
且在,
存点可导在函数,
定义3 及内可导，且在开区间如果 )(),()( ' afbaxf ?
? ?上可导.在闭区间都存在，就说 baxfbf,)()('?
可导性.
的讨论在点设函数 0
0
0,
),(
),(
)( x
xxx
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?
4.分段函数的导数
x
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且
，
.0?
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(2)算比值 ;)()( x xfxxfxy ? ??????
.lim
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yy
?
???
?? (3)求极限
(
解 h
xfhxfxf h )()(lim)( 0 ???? ?hCCh ??0lim
即,0)( ??c 常
数
三,由定义求导数举例
例 1 为常数 )的导数, 求函数 Cxf ?)( C
)()( 2
1 ?
?? xx例如,
121
2
1 ?? x,
2
1
x?
)()1( 1 ??? ?xx
11)1( ???? x,
1
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0
???
??
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x
xxxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx
更一般地 )(.)( 1 为常数?? ?? ??? xx
即
例 2 nxy ?求函数 (n为正整数 )的导数,
,c o s x?
例 3 求函数 ?)( xf,) s i n( s i n ?xx 求,
解
2
2
s i n
)
2
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0 x
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0
故 xx co s) ( s i n ??
同样地, xx s i n) co s( ??
例 4 求函数 )1,0(l o g ??? aaxy a的导数,
x
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解
特别地,.
1) ln(
xx ??
求函数 例 5 )1,0()( ??? aaaxf x的导数,
解 xeax aaa
ax
x
x
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x
x
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即,)( ln)( xxxx eeaaa ????
例 6 求函数 ||)( xxf ?的导数,
解 当,)(,0 xxfx ???;1)()(lim)(
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表示曲线
处切线
).)(( 000 xxxfyy ????
如果函数 )(xf 0x 处可导,
)( 0xf ? )( xfy ?
在点 ))(,( 00 xfxM
的斜率，即
则
四、导数的几何意义
轴的直线,
0)( 0 ?? xf特别,当 时,
切线是平行于 y
);( 0xfy ?法线是平行于
轴的直线, ;0xx ?
x
当 ??? )( 0xf 时,
切线是平行于 y 轴的直线, ;0xx ?
法线是平行于 x 轴的直线,).( 0xfy ?
解 根据导数的几何意义,得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
2| ??? xyk
4,|yk 2x)(xy 2x2 ??????? ?
),2(44 ??? xy 即 ;04 ??? yx
),2(414 ???? xy 即
例 7 求曲线 2xy ? 在 (2,4)处的切线的斜率，并
写出在该点处的切线方程和法线方程,
.0184 ?? yx
定理,可导函数是连续函数,
.)( 0 连续在点函数 xxf?
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([l i ml i m 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
)0(0 ??? x?
五、函数可导与连续的关系
注意, 反之不成立,即连续不一定可导。 比如
||)( xxf ?函数 0x 处连续但不可导, 在
同理可证, 3 xy ? 及
?
?
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解 由可导与连续的关系,可知,
)0()(l i m1)(l i m 00 fbaxfxf xx ????? ?? ??
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00
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.2,1 ??? ba所以,1lim2,1| 0 xebba xx ???? ? 即
例 8 设,0
0 2s i n1
)(
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使得 在 0?x 在处可导, )(xf
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,;)()()( 0'0'0 axfxfaxf ????? ??2.
6,判断可导性 ?
不连续,一定不可导,
连续 ?
直接用定义 ;
左右导数是否存在且相等,
六 小结与思考判断题
