第三节 齐次方程
一、齐次方程
二、可化为齐次方程的方程
三、小结
解法,
x
yu ?作变量代换
,xuy ?即
,dxduxudxdy ??则
代入原式 ),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即 可分离变量的方程
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为齐次方程, 定义
一、齐次方程
时,当 0?? uf(u ),ln)( 1 xCuuf
du ??
?得
,)( uCex ??即 ? ?? ）（ uuf
duu
)(
)(?
,代入将 xyu ?,)( x
y
Cex ??得通解
,0u?当,0)( 00 ?? uuf使 是新方程的解,则 0uu ?
,代回原方程,0 xuy ?得齐次方程的解
例 1 求解微分方程
.02 22 ??? xy dydxyx ）（
x
yx
y
dx
dy 1
2 ??方程化成
解
,uxy ?令,dxdyxudxdy ??则
uudx
duxu 12 ???
dxxduuu 11 2 ??分离变量
Cxu ln21ln)1ln(21 2 ???积分
221 Cxu ??即
.422 Cxyx ??方程的通解为,
.0)(1 ???? dyxyy d xe y
x
）＋（例 2 求解微分方程
解,11 ???
?
y
x
dy
dxe yx）（（
,,
dy
duyu
dy
dxu
y
x ??? 则令
1)(1 ???? u
dy
duyuue ）＋（
dy
y
du
eu
e
u
u 11
??
?
＋
分离变量
Cyeu u lnln)l n ( ????积分
Cyeu u ?? ）（即
.Cyex y
x
??方程的通解为,
例 3 抛物线的光学性质
实例, 车灯的反射镜面 ---旋转抛物面
解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL ?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,yMT ?斜率为为切线,
,1
y
MN ??斜率为为法线,
,N M RO M N ????
,022 ????? yyxyy
得微分方程
.1)( 2 ?????
y
x
y
xy即
,ta nta n N M RO M N ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
由夹
角正
切公
式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，xyu ?令,11
2
u
u
dx
duxu ?????得
分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
udu ??
???
，221 tu ??令,)1( x
dx
tt
td t ??
?
积分得,ln1ln x
Ct ??,112 ???
x
Cu即
平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu ??
得代回,xyu ? )2(22 CxCy ?? 抛物线
轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy ???
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
????
?????
，
令
kYy
hXx
??
??,（ 其中 h和 k是待定的常数 ）
dYdydXdx ??,
解法
的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
为齐次方程,,01 时当 ?? cc 否则为 非齐次方程,
定义
二、可化为齐次方程的方程
?
?
?
???
???
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
??? ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
?
??
得通解代回
?
?
?
??
??
，kyY
hxX,
,0)2( ?? 通过变量代换 byaxu ??
方程化成可分离变量的方程,
例 4,22
12 的通解求
??
???
yx
yx
dx
dy
解,＝－
－＝ 03
12
21 ??
代入原方程得令,,1 YyXx ???
X
Yu
YX
YX
dX
dY ?
?
?? 令,
2
2
,0,1022 012 ????? ???
??
? yx
yx
yx 得
解方程组
方程变为 u
u
dX
duXu
?
???
2
21
分离变量 dXXduuu u 11422 ??? ?
积分 CXuu ln21ln)14l n (21 2 ????－
.)1()1(4 22 Cxxy ?????方程的通解为,
2
2 14
X
Cuu ???即
.
122
2 的通解求
??
???
yx
yx
dx
dy例5
解 022
11 ＝＝?
dx
dy
dx
duy,xu ???? 1则令
,12 21 ???? uudxdu
dxduuu 3112 ???分离变量
积分 Cxuu ???? 3)1l n (2
.)1l n (2 Cyxxy ?????方程通解为,
利用变量代换求微分方程的解,
.2)( 的通解求 yxdxdy ??例6
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy ??,a r c ta n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r c ta n ( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
例 7,)ln( l n 的通解求 yxyyxy ????
解,,dxdyxydxduxyu ??? 则令
uxudxdu ln?
.Cxeu ?方程的通解为,
齐次方程 )( x
y
dx
dy ??
齐次方程的解法 xyu ?令
可化为齐次方程的方程 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
三、小结
思考题
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求导, x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ?
?????????
原方程是齐次方程,
一,求下列齐次方程的通解,
1, 0)(
22
??? xy dydxyx ；
2, 0)1(2)21( ???? dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1, 1,02)3(
0
22
????
?x
yx y d xdyxy ；
2,,0)2()2(
2222
?????? dyxxyydxyxyx
1
1
?
?x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
??
??
??
yx
yx
y ；
2,
0)642()352( ?????? dyyxdxyx
.
练 习 题
练习题答案
一,1, )ln2(
22
cxxy ?? ；
2, cyex
y
x
?? 2,
二,1,
322
yxy ?? ；
2, yxyx ???
22
.
三,1, Cyx
x
y
?????
?
?
])2()1l n [ (
2
1
1
2
a r c t a n
22；
2, Cxyxy ?????
2
)32)(34(,