第九节 正弦级数和余弦级数
一 奇函数和偶函数的傅立叶级数
二 函数展开成正弦级数和余弦级数
(1) 当 )( xf 为奇函数时，它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,
又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级数只
含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
定理 设 是周期为 的函数,且可积,则 )(xf ?2
一 奇函数和偶函数的傅立叶级数
(2) 当 )( xf 为 偶函数 时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(c o s)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn x d xxfa
n
n
??? ??? n x d xxfa n co s)(1
0? ),3,2,1,0( ??n
证明 )()1( xf设 是奇函数
2.定义
(1) 如果 )( xf 为奇函数,其傅立叶级数
nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为正弦级数 (2) 如果 )( xf 为偶函数,其 傅 立 叶 级 数
nxa
a
n
n c o s2
1
0 ??
?
?
称为余弦级数,
同理可证 (2) 定理证毕,
??? ?0 si n)(2 n x d xxf
),3,2,1( ??n
??? ? ?? x d xxfb n si n)(1
偶函数
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
在点 处不连续 ),2,1,0()12( ?????? kkx ?
2
)0()0( ???? ?? ff
2
)( ?? ???,0?收敛于
在连续点 处收敛于 ),(xf ))12(( ??? kxx
例 1 设 是周期为 的周期函数,它在
上的表达式为,将 展开成傅立叶级
数,
)(xf
xxf ?)(
),[ ????2
)(xf
??
?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
时 是以 为周期的奇函数 ?? 2)()12( xfkx ???
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
?? ?? 0 s i n)(2 n x d xxfb n ?? ?? 0 s i n2 n x d xx
?
? 02 ]
s i nco s[2
n
nx
n
nxx ???
?nn co s2??,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s in312s in21( s in2)( ????? xxxxf
.s in)1(2
1
1
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?
n
n
nxn
),3,;( ??? ????????? xx
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb ),2,1( ??n
例 2 设 是以 为周期的函数,它在
上的表达式为
)(xf ?2 ],[ ???
)()( 2 ?? ???? xxxf
将 展开成傅立叶级数, )(xf
处连续,所以 的傅立叶级数点点收敛于
解 所给函数是满足收敛定理条件的偶函数,且处
)(xf ).(xf
x
y
0 ? ?2????2 ?3 ?4?3??4?
?? ?? 0 co s)(2 n x d xxfa n ?? ?? 0 2 co s2 n x d xx
?? ?? 00 )(2 dxxfa 20 2 322 ?? ? ?? ? dxx
),2,1(4)1( 2 ???? nnn
的傅立叶展开式为 )(xf
?
?
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?????????
1
2
2
)(co s)1(43)(
n
n
xnxnxf ?
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设 定义在 上,延拓成以 为周期
的函数
)(xf ],0[ ? ?2
).(xF
,
0)(
0)()(
?
?
?
???
???
xxg
xxfxF
?
?
),()2( xFxF ?? ?令 且
则有如下两种情况
?
?
? 奇延拓
偶延拓
奇延拓 )()( xfxg ???
x
y
0 ???
??
?
?
1
s i n)(
n
n nxbxf )0( ??? x
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?
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?????
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??
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0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF
?
?
则
)(xf 的傅立叶正弦级数
偶延拓 )()( xfxg ??
?
?
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1
0 c o s
2)( n n nxa
axf
)0( ??? x
x
y
0 ???)(xf 的傅立叶余弦级数
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????
???
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xxf
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则
?? ?? 0 s i n)(2 n x d xxfb n ? ?? ?? 0 s i n)1(2 n x d xx
)co sco s1(2 ???? nnn ???
例 3 将函数 分别展开正
弦级数和余弦级数,
)0(1)( ????? xxxf
解 (1)求正弦级数, 对 进行奇延拓 )(xf
?
?
?
?
?
??
?
?
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?
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,6,4,2,
2
,5,3,1,
22
n
n
n
n
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1
1?o x
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]3si n)2(312si n2si n)2[(21 ???????? xxxx ????
)0( ??? x
? ?? ?? 00 )1(2 dxxa,2?? ?
? ?? ?? 0 co s)1(2 n x d xxa n
)1( co s22 ?? ?? nn ?
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,5,3,1,
4
,6,4,2,0
2
n
n
n
?
]5co s5 13co s3 1( co s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
(2)求余弦级数 对 进行奇延拓 )(xf
?? ?
1
o x
y
]7co s7 15co s5 13co s31( co s4121 222 xxxxx ??????? ??
一 奇函数和偶函数的傅立叶级数
二 函数展开成正弦级数和余弦级数
(1) 当 )( xf 为奇函数时，它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
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又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级数只
含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
定理 设 是周期为 的函数,且可积,则 )(xf ?2
一 奇函数和偶函数的傅立叶级数
(2) 当 )( xf 为 偶函数 时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
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2.定义
(1) 如果 )( xf 为奇函数,其傅立叶级数
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称为正弦级数 (2) 如果 )( xf 为偶函数,其 傅 立 叶 级 数
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同理可证 (2) 定理证毕,
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),3,2,1( ??n
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偶函数
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
在点 处不连续 ),2,1,0()12( ?????? kkx ?
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)0()0( ???? ?? ff
2
)( ?? ???,0?收敛于
在连续点 处收敛于 ),(xf ))12(( ??? kxx
例 1 设 是周期为 的周期函数,它在
上的表达式为,将 展开成傅立叶级
数,
)(xf
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上的表达式为
)(xf ?2 ],[ ???
)()( 2 ?? ???? xxxf
将 展开成傅立叶级数, )(xf
处连续,所以 的傅立叶级数点点收敛于
解 所给函数是满足收敛定理条件的偶函数,且处
)(xf ).(xf
x
y
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的傅立叶展开式为 )(xf
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二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设 定义在 上,延拓成以 为周期
的函数
)(xf ],0[ ? ?2
).(xF
,
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则有如下两种情况
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则
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例 3 将函数 分别展开正
弦级数和余弦级数,
)0(1)( ????? xxxf
解 (1)求正弦级数, 对 进行奇延拓 )(xf
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