第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、典型例题
三、小结
yxdxdy 22?例如,2
1 2 dxxdy
y ??
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原
函数,CxFyG ?? )()(
为微分方程的通解方程特征,
分离变量法
可分离变量的微分方程, dyxfyg )()( ?
? ?? dxxfdyyg )()(
一、可分离变量的微分方程
例 1 求解微分方程,23 的通解yxdx
dy ?
解 分离变量,3 2 dxxy
dy ?
两端积分,3
2?? ? dxx
y
dy
13ln Cxy ??
为所求通解.3xcey ??
二、典型例题
解
的特解.件
满足初始条求方程
0
1
0 ?
???
?x
xx
y
eyye ）（ 例 2
dxx
e
xe
ydy
?
?
1分离变量
两端积分 Cxey ??? )1l n (2
2
1
2ln00 ???? Cxy 代入上式得将
为所求的特解.
2
1ln22 xey ???
例 3 衰变问题, 放射性元素铀的衰变速度与未衰变原
子含量 M 成正比,已知
00
M
t
M ?
?
,求衰变过程中铀
含量 )( tM 随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数??? ?? MdtdM dtMdM ???
,? ??? dtMdM ?,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
,00 MtM ??代入 00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
解
某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
例 5
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2 0 0 0 txdt ???
03.0200012000 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,6
1
03.0
t
Cex
?
???
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,0 5 6.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.0 5 6.02CO
的排出量的通入量的含量 222 COCOCO －＝
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
三、小结
思考题
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思考题解答
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
si n
2
si n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c scln
yy ?,
2c o s2 C
x ?? 为所求解,
一、求下列微分方程的通解,
1, 0ta ns e cta ns e c
22
?? xdyyy dxx ；
2, 0)()( ????
??
dyeedxee
yyxxyx；
3, 0)1(
32
??? x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, xdxyy d yx s i nc o ss i nc o s ?,
4
0
?
?
?x
y ；
2, 0s i n)1(c os ???
?
y dyey dx
x
,
4
0
?
?
?x
y,
练 习 题
三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力
和时间成正比,和质点运动的速度成反比, 在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克 ?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离
的乘积成正比 ( 比例 k系数为 ),求小船的航行路
线,
练习题答案
一,1, Cyx ?ta nta n ； 2, Cee
yx
??? )1)(1( ；
3, Cxy ???
43
3)1(4,
二,1, xy c osc os2 ? ； 2, ye
x
c os221 ??,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对
岸,则所求航线为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x ??,
一、可分离变量的微分方程
二、典型例题
三、小结
yxdxdy 22?例如,2
1 2 dxxdy
y ??
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原
函数,CxFyG ?? )()(
为微分方程的通解方程特征,
分离变量法
可分离变量的微分方程, dyxfyg )()( ?
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一、可分离变量的微分方程
例 1 求解微分方程,23 的通解yxdx
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二、典型例题
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例 3 衰变问题, 放射性元素铀的衰变速度与未衰变原
子含量 M 成正比,已知
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解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数??? ?? MdtdM dtMdM ???
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,00 MtM ??代入 00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
解
某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
例 5
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
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03.0200012000 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
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6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.0 5 6.02CO
的排出量的通入量的含量 222 COCOCO －＝
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
三、小结
思考题
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思考题解答
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
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一、求下列微分方程的通解,
1, 0ta ns e cta ns e c
22
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2, 0)()( ????
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3, 0)1(
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二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, xdxyy d yx s i nc o ss i nc o s ?,
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练 习 题
三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力
和时间成正比,和质点运动的速度成反比, 在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克 ?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离
的乘积成正比 ( 比例 k系数为 ),求小船的航行路
线,
练习题答案
一,1, Cyx ?ta nta n ； 2, Cee
yx
??? )1)(1( ；
3, Cxy ???
43
3)1(4,
二,1, xy c osc os2 ? ； 2, ye
x
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三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对
岸,则所求航线为 )
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