第五节 幂 级 数
一 幂级数及其收敛性
二 幂级数的运算及其性质
2.收敛性,
当 时,收敛；当 时,发散, 1?x 1?x
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
);1,1(? ).,1[]1,( ??????收敛域 发散域
1.定义 1 形如 的级数称为幂级数, n
n
n xa?
?
?0
,
0
n
n
n xa?
?
?
当 时,00 ?x 其中 为幂级数系数, na
一 幂级数及其收敛性
定理 1 (阿贝尔 Abel定理 )
如果级数 在 处收敛,则
它在满足不等式 的一切 处绝对收敛；
??
?0n
n
n xa )0( 00 ?? xxx
|||| 0xx ? x
如果级数 在 处收敛,则它在满足不
等式 的一切 处发散,
??
?0n
n
n xa 0xx ?
|||| 0xx ? x
证明,0lim 0 ?? ?? nnn xa?
?
? 0
0)1(
n
n
n xa? 收敛,
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0 ??
n
n
n x
xxa
0
0 ?
n
x
xM
0
?
),2,1,0(0 ??? nMxa nn,M? 使得
1
0
?xx?
n
n x
xM??
? 0 0当 时,等比级数 收敛,
??
?
?
0n
n
n xa ?
?
?0n
n
n xa 收敛,即级数 收敛,
xo? ??R? R
几何意义
收敛区域
发散区域 发散区域
假设当 时发散,0xx ?)2( 而有一点 适合 1x
|||| 01 xx ?
使级数收敛,
由 (1)结论,则级数当 时应收敛,0xx ?
这与所设矛盾,
推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛,
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 存在,使得
??
?0n
n
n xa 0?x
R
当 时,幂级数绝对收敛； Rx ?||
当 时,幂级数发散； Rx ?||
当 与 时,幂级数可能收敛也可
能发散；
Rx ? Rx ??
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定义 2 正数 R称为幂级数的收敛半径,开区间
(-R,R)称为幂级数的收敛区间,
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?),,( RR?
从而决定了收敛域为以下四个区间之一,
,0?R
规定
收敛域 ;0?x
(1)幂级数只在 处收敛,0?x
,???R 收敛域 ).,( ????
(2)幂级数对一切 都收敛,x
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
?
?
?? xa
a
n
n
n
1l i m ?
??
?,x??
证明 ?
?
? 0n
n
n xa对级数 应用达朗贝尔判别法
( ) 或
定理 2 如果幂级数 的所有系数,?
?
?0n
n
n xa 0?na
设 ??
?
??
n
n
n a
a 1l i m
???? n nn al i m
(1)则当 时,0?? ;1??R (2)则当 时,0?? ;???R
(3)则当 时,????,0?R
)0(l i m 1 ???
??
??
n
n
n a
a
如果 存在 )1(
由比值审敛法,?
1|| ?x ??
? 0
||
n
n
n xa当 时,级数 收敛,
??
? 0n
n
n xa从而级数 绝对收敛,
?
1|| ?x ??
? 0
||
n
n
n xa当 时,级数 发散,
|,||| 11 nnnn xaxa ??? 0|| ?nn xa并且从某个 n开始
.1??R??
? 0n
n
n xa从而级数 发散,收敛半径
定理证毕,;???R?
?
? 0n
n
n xa从而级数 绝对收敛, 收敛半径
,0??,0??x如果 )2(
??
? 0
||
n
n
n xa
),(0
1
1 ???
?
? n
xa
xa
n
n
n
n
有 级数 收敛,
,????,0??x ?
?
? 0n
n
n xa级数 必发散, )3( 如果
??
? 0
||
n
n
n xa(否则由定理 1知将有点 使 收敛 ) 0?x
.0?R收敛半径
解 )1(
n
n
n a
a 1lim ?
??
??? 12l i m ??
?? n
n
n 2? 2
1?? R
例 1 求下列幂级数的收敛区间,;2)1(
1
??
?n
nn
n
x ;)!1()2(
1
??
?
?
n
nxn,)1()3(
1
??
?
?
n
n
nn
n
x
2
1?x,1
1
??
?n n
该级数发散 ； 当 时,级数为
2
1??x,)1(
1
??
?
?
n
n
n 该级数收敛 ； 当 时,级数为
故收敛域是 ).21,21[?
n
n
n a
a 1lim ?
??
???
0
)
1
1(
1
1
1
lim ?
?
?
?
?
?? nn
n
n)3(
,)2(l i m ????? ?? nn,0?? R)2(
n
n
n a
a 1lim ?
??
???
,???? R 故收敛域是 ).,( ????
级数只在 处收敛, 0?x
)(
)(1
xu
xu
n
n?
n
n
x
n
n
x
2
)1(2 12
1)1(2
??
???
?
)(2 ??? nx
当 即 时,原级数收敛,,12 ?x 1?x
例 2 求幂级数 的收敛域, ?
?
? ?
?
1
2
12
)1(
n
nn
n
x
解 级数 缺少偶次幂的项,?
?
? ?
?
1
2
12
)1(
n
nn
n
x
对级数 用比值判别法 ?
?
? ?1
2
12n
n
n
x
当 即 时,原级数发散,,12 ?x 1?x
??
? ?
?
1 12
)1(
n
n
n当 级数为,收敛,,1??x
].1,1[?故原级数的收敛域为
,
2
1
)1(2
limlim 1 ?
?
??
??
?
?? n
n
a
a
n
n
n
n
??
例 3 求幂级数 的收敛域, ?
?
?
??
1
)1(21
n
n
n xn
解 令,原级数化为 1?? xt,2
1
??
? ?n
n
n
n
t
.2?? R
?
?
?1
1
n n
当 时,,级数 发散,2?t 1?x
?
?
?
?
1
)1(
n
n
n当 时,,级数 收敛,2??t 1??x
原级数的收敛域 为 ).1,3[?
的收敛域为 ).2,2[??
?
? ?1 2n
n
n
n
t
1.代数运算性质
(1) 加（减）法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中 )nnn bac ??
? ?RRx,??
? ?21,m in RRR ?
21,RR设 和 的收敛半径分别为 ?
?
?0n
n
n xa ?
?
?0n
n
n xb
二 幂级数的运算及其性质
(2) 乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
注, 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛
区间小得多,
(3) 除法
0
0
??
?
?n
n
n xb ?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc在收敛域内
2.幂级数和函数的性质和求法,
(2)幂级数 的和函数 在收敛区间
内可积,且对 可逐项积分,
)(xs?
?
?0n
n
n xa
),( RRx ???
(1)幂级数 的和函数 在收敛区间
内连续,在端点收敛,则在单侧连续,
)(xs?
?
?0n
n
n xa
? ?
?
?
?
0 0n
x n
n dxxa
.1 1
0
?
?
?
? ?? n
n
n x
n
a
收敛半径不变,
? ??
?
?
? x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00 )()(即
?
?
?
??
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
?
?
??
n
n
n xna
收敛半径不变,
??
?
???
0
)()(
n
n
n xaxs即
(3)幂级数 的和函数 在收敛区间
内可导,且对 可逐项求导任意次,
)(xs?
?
?0n
n
n xa
),( RRx ???
两边积分得
)1l n()(0 xdttsx ????
?????? 21)( xxxs,1 1 x?? )11( ??? x
例 4 求下列幂级数的和函数,;)1()1(
1
??
?
?
n
nn
n
x ;)1()2(
1
??
?
?
n
nxn,)23()3(
1
12??
?
??
n
nxn
解 易求得 的收敛域为 ?
?
?
?
1
)1(
n
nn
n
x
].1,1(?)1(
,)1()(
1
1?
?
?
???
n
n
n
n
xxs,0)0( ?s
设 显然
又 时,收敛, 1?x ?
?
?
??
1
1 1)1(
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n ???? ?
?
?
? )11( ??? x
),1ln ()( xxs ???
)1l n ()0()( xsxs ???即
)11(,1
2
1
1 ???
??? ?
?
?
? x
x
xx
n
n
? ?? ?
?
??
1 00
)1()(
n
x nx dxxndtts
)11(,)1(2)( 2
2
?????? xx xxxs
易求得 的收敛域为 ?
?
?
?
1
)1(
n
nxn ).1,1(?)2(
两边从 到 积分,得,)1()(
1
1?
?
?
???
n
n
n
n
xxs设 0 x
两边求导得
易求得 的收敛域为 ?
?
?
??
1
12)23(
n
nxn ).1,1(?)3(
设 ?
?
?
???
1
12)23()(
n
nxnxs
,)23(74 1253 ?? ??????? ?nxnxxx
,)23(74)( 127532 ?? ??????? ?nxnxxxxsx
两式相减,得
)11( ??? x
)11(,)1( 2)( 22
3
??????? xx xxxs
?? ??????? ? 12532 333)()1( nxxxxxsx
,1 21 3 2
3
2
3
x
xx
x
xx
?
??
???
)1(
2
???? xxx,)1( 2 3xx??
解,)1(
1
n
n
xnn?
?
?
?收敛区间 (-1,1),考虑级数
?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn )
2
1(s?,8?故
??
?
??
1
)1()(
n
nxnnxs )(
1
1 ??? ?
?
?
?
n
nxx则
例 5 求 的和, ?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn
例 6 求 的收敛域及和函数, n
n
n
n
n
x?
?
?
??
1
]32 )1([
解
).31,31(),2,2( ??
易求得 与 的收敛域分别为 n
n
n
n
x?
?
?
?
1 2
)1( n
n
n x?
?
?1
3
n
n
n
n
n
x?
?
?
???
1
]32 )1([收敛域为 ).31,31(?
设,2
)1()(
1
1
n
n
n
n
xxs ?
?
?
?? n
n
n xxs ?
?
?
?
1
2 3)(
)31,31(,31 3)3()(
1
2 ????? ?
?
?
xxxxxs n
n
则
,
2
2
1
2)
2
()(
1
1
x
x
x
x
x
xs
n
n ?
??
?
?
??? ?
?
?)2,2(??x
故原级数的和函数为
x
x
x
xxsxsxs
31
3
2)()()( 21 ???????
)31,31(,)31)(2( )56( ???? ?? xxx xx