第七节
函数的幂级数展开式的应用
二 欧拉公式
一 近似计算
,21 ??? ????? naaaA
,21 naaaA ????? ?
应用它解决两类问题,
1.给定项数,求近似值并估计精度 ;
2.给出精度,确定项数,
关键, 通过估计余项,确定精度或项数,
.21 ???? ?? nnn aar误差
一 近似计算
常用方法
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 ;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成
为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,
解,!1!211 2 ??? ?????? nx xnxxe
例 1 计算 的近似值,使其误差不超过 e,10 5?
,1?x令,!1!2111 ne ????? ?得
余和,
?????? )!2( 1)!1( 1 nnr n )211()!1( 1 ?????? nn
))1( 1111()!1( 1 2 ???????? nnn !1nn??
欲使 只要,10 5??nr,10!1 5??? nn
!8
1
!3
1
!2
111 ?????? ?e 7 1 8 2 8.2?
,10! 5?? nn,103 2 2 5 6 0!88 5???即 而
解 20si n9si n 0 ??,)20(6120 3?? ??
5
2 )20(!5
1 ??r 5)2.0(
1 2 0
1?
3 0 0 0 0 0
1?,10 5??
0 0 0 6 4 6.01 5 7 0 7 9.09si n 0 ??? 1 5 6 4 3 3.0?
其误差不超过, 510?
例 2 利用 计算 的近似值,并估
计误差,
!3si n
3x
xx ?? 09sin
第四项 30001!77 1 ??,10 4??
取前三项作为积分的近似值,得
!55
1
!33
11si n1
0 ?????? dxx
x 9461.0?
?? ????? 642 !71!51!311si n xxxx x解 ),( ?????x
?????????? !77 1!55 1!33 11si n10 dxx x收敛的交错级数
例 3 计算 的近似值,使其误差不超过,10 4??
1
0
s in dx
x
x
解,21a rct a n1 ?s
8
1a rc t a n
2
1a rc t a n
2 ??s
8
1
2
1
1
8
1
2
1
arc t an
??
?
?
,32a rct a n?
例 4 ?
?
? 1
22
1a rc t a n
n n
求 的和
18
1a r ct a n
3
2a r ct a n ??
18
1a rct a
23 ?? ss,4
3r ct a n?
1a rc t a n1a rc t a n ???? n ns n )(4 ??? n?
22
1a rc t a n1a rc t a n
kk
ks
k ?
??,
1a rc t a n ?? k
k
,1a rc t a n1 kks k ???假设
.42 1a r c t a n
1
2
????
?n n
故
).(lim
10
xsa
xn n ??
?
?
?? ? (逐项积分、逐项求导 )
,l i m
010
n
n
nx
n
n xaa ??
?
??
?
?
?
??,)(
0
n
n
n xaxs ?
?
?
?注 求得
例 5 ?
?
?
?
1 2
12
n
n
n
求 的和
解,2 12)( 22
1
??
?
? ?? n
n
n x
nxs
)2,2(?令
? ??
?
? ???
1 0
22 )
2
12()(
n
x n
n dxx
nxs ??
?
?
??
1
12
)2(
n
n
nx
))2(1(
1
2
?? ??
?n
nx
x )2
1
2
2
???? xxx
)2( 2 ??? xx,)2( 2 22
2
x
x
?
??
22
2
1 )2(
2lim
x
x
x ?
??
??)(lim1 xsx ??,3?
.32 12
1
???
?
?n
n
n
故
n
n
xn nnnxs ??
?
???
1 !
)1()(? n
n
n
n
xnxnnn ??
?
?
?
? ?
???
11 )!1(
1
!
)1(
?? ?
?
?
?
????
01
2
!)!( n
n
n
n
n
xx
n
xx
xx xeex ????? )1(2
,)1( xxe x ??
??
?
?
1
2
2!n nn
n )
2
1(s?
2
1)1
2
1(21 ?? e,
4
3 e?
例 6 ?
?
? 1
2
2!n nn
n
求 的和
解,!)(
1
2
n
n
xnnxs ?
?
?
? ),( ?????x令
1.定义 复数项级数,
?? ??????? )()()( 2211 nn ivuivuivu
.),3,2,1(,为实常数或实函数其中 ??nvu nn
若 ?
?
?
?
1n
nuu,?
?
?
?
1n
nvv,
则称级数 ?
?
?
?
1
)(
n
nn ivu 收敛,且其和为 ivu ?,
二 欧拉公式
若 ?? ???????
222
2
2
2
2
1
2
1 nn vuvuvu 收敛,
则 ?
?
? 1n
nu,?
?
? 1n
nv 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛,
2.复数项级数绝对收敛的概念
三个基本展开式
,!!21
2
?? ?????? nxxxe
n
x
,)!12()1(!5!3s i n
12
1
53
?? ????????
?
?
n
xxxxx nn
,)!2()1(!4!21c o s
242
?? ??????? nxxxx
n
n
)( ?????? x
)( ?????? x
)( ?????? x
?? ?????? nix ixnixixe )(!1)(!211 2
)
)!12(
)1(
!3
1
(
)
)!2(
)1(
!2
1
1(
12
3
2
2
??
??
?
?
?????
??????
?
n
x
xxi
n
x
x
n
n
n
n
xjx s inc o s ??
xco s
xsin
由 的幂级数展开式 xe
xjxe jx s i nco s ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
j
ee
x
ee
x
jxjx
jxjx
2
s i n
2
co s
xjxe jx si nco s ????又
揭示了三角函数和复变数指数函数之间的
一种关系,
欧拉公式
)s i n( co s yjyee xjyx ???