第二节 正项级数及其审敛法
一 正项级数的概念
二 正项级数的审敛法
定理 1 正项级数收敛的充要条件是,
部分和数列 为有界数列, }{ ns
1.定义,,0?nu
该级数为正项级数,
如果级数 中各项均有 ?
?
?1n
nu 则称
2.部分和数列的特点, ?? ???? nsss 21
部分和数列 为单调增加数列, }{ ns
一 正项级数的概念
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu定理 2（比较审敛法）
即部分和数列有界,由定理 1得 ?
?
?1n
nu 收敛,
nn uuus ???? ?21,?? nvvv ???? ?21且
??
?
?
1
)1(
n
nv?证明,nn vu ??设
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))(( nnnn vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ),
注：比较审敛法的缺点是 必须有参考级数,
??
?
?
1n
nv 定理证毕, 发散
nn s?? ?? 不是有界数列 )( ??n则
)()2( ???? ns n,nvu ?且 设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ?
?? ????? nn pp xdxxdx 1211 ?
,1?p 由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11设
解,1?p,11 nn p ??设 则 级数发散, ?P
例 1 讨论 级数 ?P
的收敛性,
)0(14 13 12 11 ??????? pn pppp ??
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
注：重要参考级数 几何级数,P-级数,调和级数,
?
?
?
?
?
? ?
?
? 发散时当
收敛时当
级数
,1
,11
1 p
p
n
P
n
p
即可得
即 有界,则 P-级数收敛, ns
例 2 试证明 发散, ?
?
? ??
?
1
2 25
1
n nn
n
证明 nnnnn n 181825 1 22 ????? ??
?
?
? ??
?
1
2 25
1
n nn
n
故级数 发散
而级数 发散 ?
?
?
?
1
1
8
1
n n
定理 3（比较审敛法的极限形式）
设 ?
?
? 1 n
n u 与 ?
?
? 1 n
n v 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
? 1 n
n v 发散,则 ?
?
? 1 n
n u 发散 ;
,lim lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
,N? 当 时 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
由比较审敛法的推论,得证,
)(232 Nnvluvl nnn ???即
证明 lv
u
n
n
n
?
??
lim)1(,0
2 ??
l?对于 由
(1) 如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
(2) 如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,定理 4（极限审敛法）
解 )1(
故 所给级数发散,
,1
1
lim
1
1lim
2
2
2
?
?
??
???? n
n
n
n
n
nn
?
例 4 判别下列 级数 的敛散性,
.2t a n)3(;57 6)2(;1)1(
111
2 ???
?
?
?
?
?
? ?? n
n
n
nn
n
n n
n ?
而 发散,?
?
?1
1
n n
)2(
,1
)
7
5
(1
1
lim
)
7
6
(
57
6
lim ?
?
??
????
n
n
n
nn
n
n
?
而 收敛,故原级数收敛, ?
?
?1
)76(
n
n
)3(
,1
2
2
t a n
lim ?
??
n
n
n ?
?
?
而 收敛,故原级数收敛, ?
?
?1 2n
n
?
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时 级数 可
能收敛 也 可能 发 散,
定理 5（ 比值审敛法、达朗贝尔 D’Alembert判别法 )
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
,N?,
1 ?? ???
n
n
u
u
当 时,有 Nn ?
证明,0???当 为有限数时,对 ?
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
11
?? ?
??
?
?
? ??
Nn
u
m
mN uu 收敛
当 时,Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ?
?? nn u
发散
,1 ?? ??,1??? ??r当 时,1?? 取 使
,11 ??? ? NmmN uru ?
?
?
?
?
1
1
1
m
N
m ur而级数 收敛,
,1?? ??,1??? ??r当 时,1?? 取 使
注, 1,比值审敛法的优点是不需要参考级数；
2,当 时比值审敛法无法判别 1??
?
?
?1
1
n n
?
?
?1
2
1
n n
但,1??例如级数 发散,级数 收敛,
,2 32 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
3.条件是充分的,而非必要,
?? ?
?
?
?
???
11 2
)1(2
n
n
n
n
nu级数 收敛,?
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??,
6
1lim
2 ??? nn a但
,23l i m 12 ??
?? nn
a nn
n
n
n
auu
??
?
??
?? l i ml i m 1不存在,
解 )1( 31
31
1
3
4
4
)1(3limlim
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n ?
???? ?
?
??
?
??
?
例 5 判别下列 级数 的敛散性,
.10 !)3(;)3(!)2(;43)1(
111
3
???
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n n
nn
n
,143)11(43lim 3 ????
?? nn
故该级数收敛,
),( ???? n)3( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
)2( n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
)
3
(!
)
1
3
()!1(
limlim
1
1
?
?
??
?
?
??
?
??
?
,1
3
)
1
1(
3
lim ??
?
?
?? e
n
nn
故该级数发散,
故该级数发散,
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n解
级数收敛, ?
定理 6 (根值审敛法,柯西判别法 )
设 是正项级数,如果 ?
?
?1n
nu ?? (l i m ??? n nn u
为数或 ),?? 则 时级数收敛； 1??
时级数收敛； 时可能收敛也可能发散, 1?? 1??
?
?
?1
1
n
nn例 6 判别级数 的敛散性,