第八节 傅立叶级数
一 问题的提出
二 三角级数 三角函数系的正交性
三 函数展开成傅立叶级数
非正弦周期函数,矩形波
o t
u
???
1
1?
??
?
??
?????
?
?
t
ttu
0,1
0,1)(
当
当
不同频率正弦波逐个叠加
?,7si n714,5si n514,3si n314,si n4 tttt ??? ????
一 问题的提出
tu s in4??
)3s i n31( s i n4 ttu ?? ?
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu ??? ?
)7s i n715s i n513s i n31( si n4 ttttu ???? ?
)9si n917si n715si n513si n31( si n4 tttttu ????? ?
)7s in715s in513s in31( s in4)( ?????? tttttu ?
)0,( ???? tt ??
由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可以看
作是许多不同频率的简谐振动的叠加,
??
?
???
1
0 )s i n ()(
n
nn tnAAtf ??
1.三角级数 (Trigonometric series)
引例中的简谐振动函数
??
?
???
1
0 )s i nco sco ss i n(
n
nnnn tnAtnAA ????
（ 1）
二 三角级数 三角函数系的正交性
即,由三角函数组成的函项级数称为三角级数,
则 (1)式右端的级数可改写为
?
?
?
??
1
0 )si nc o s(
2 n nn nxbnxa
a (2)
得到行如 (2)式的级数称为三角级数
,tx ??
,c o s nnn Ab ??,si n nnn Aa ??,2 00 A
a ?记
2 三角函数系的正交性
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
,0c o s ????? nx d x,0si n ????? nx d x i)
任意两个不同函数在 上的积分等于零,即 ],[ ???
三角函数系 )1(
)2( 正交
,
,
,0
co sco s
?
?
?
?
?
??
? nm
nm
n x d xmx
?
?
?
,
,
,0
s i ns i n
?
?
?
?
?
??
? nm
nm
n x d xmx
?
?
?
iii)
.0c o ssi n ????? nx d xmx ),2,1,( ??nmii) 其中
),2,1,( ??nm其中
问题 1.若能展开,是什么? ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
dxkxbkxadxadxxf
k
kk ])si nc o s([2)(
1
0 ? ???
?
?
???
??? ? ?? ?? ?
??
?
???
1
0 )si nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
三 函数展开成傅里叶级数
,220 ??? a
kxdxbdxkxadxa
k
k
k
k si nc o s2
11
0 ? ?? ??
?
?
??
?
??
??? ? ?? ?? ?
?? ?? ? ? ?? ? n x d xan x d xxf c o s2c o s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1
??? ??
?
?
?? ? ?? ? n x d xkxbn x d xkxa k
n
k
??? ??? dxxfa )(10可得
.)2( na求
??? ?? nx d xa n 2c o s,?na?
?? ?? ? ???? n x d xan x d xxf si n2si n)( 0
]si nsi nsi nco s[
1
??? ???
?
?? ? ?? ? n x d xkxbn x d xkxa k
n
k,?nb?
??? ??? nx d xxfa n co s)(1 ),3,2,1( ??n可得
??? ??? n x d xxfb n s in)(1 ),3,2,1( ??n可得
.)3( nb求
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),2,1(,s in)(
1
),2,1,0(,co s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
从而得到傅里叶系数
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
0
2
0
),2,1(,s in)(
1
),2,1,0(,co s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或
把以上得到的系数代入三角级数
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
?
?
?
??
1
0 )s inc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件
该级数称为 傅里叶级数
2.定理 (收敛定理,狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 )
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足,
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2) 在 一个周期 内 至多只有有限个极值点,
则 )( xf 的傅里叶级数收敛,并且
当 是 的连续点时,级数收敛于 x )(xf ).(xf
当 是 的连续点时,级数收敛于 x )(xf
2
)0()0( ??? xfxf
设 是以 为周期的函数,它在一个周
期 上的表达式为
)(xf x例 1
],[ ???
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
x
x
xf
0,
2
0,
2)(
o x
y
???
2?
2??
?2 ?3?2??3?
将函数 展开成傅立叶级数, )(xf
解 所给函数满足收敛定理的条件,在点
),2,1,0( ????? kkx ?
处不连续,
0
2
)
2
(
2
2
22 ?
??
?
??
????
收敛于
o t
u
???
mE
mE? ]
2
)
2
([
1
)(
1
0
0
0
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
dxdx
dxxfa
.0?
.和函数图象为 当 时,收敛于 ?kx ? )(xf
??? ??? nx d xxfa n co s)(1
?? ??? ? ?? ???? 00 co s21co s)2(1 nx d xnx d x
),2,1,0(0 ??? n
??? ??? nx d xxfb n s in)(1
?? ??? ? ?? ???? 00 s in21s in)2(1 nx d xnx d x
)co s1(1 ?nn ?? ])1(1[1 nn ???
??
?
?
?
??
????
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
2
kkn
kkn
n
?
?
?
???
1
)12s in(12 12)(
n
xnnxf
),2,,0;( ??? ????????? xx
所求函数的傅氏展开式为
注意 对于非周期函数,如果函数 只在
区间 上有定义,并且满足狄立
克雷充分条件,也可展开成傅立叶级数,
)(xf
],[ ???
作法
),()()()2( ??? ???? xxfxFT作周期延拓
)]0()0([21 ???? ?? ff端点处收敛于
例 2 将函数
?
?
?
???
?????
?
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶
级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在
收敛于, )(xf
],[ ???
x
y
o ??? ?2??2
?
??? ??? nx d xxfa n co s)(1
?? ??? ? ?? ?? 00 co s)(1co s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( co s22 ?? nxn ? ]1)1[(22 ??? nn ?
??? ??? dxxfa )(10
?? ??? ? ?? ?? 00 )(1)(1 dxxfdxxf,??
??
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k ?
??? ??? n x d xxfb n s in)(1
?
?
?
????
1
2 )12co s ()12(
14
2)( n xnnxf ?
?
)( ?? ??? x
所求函数的傅立叶级数展开式为
?? ??? ? ?? ?? 00 s in)(1s in)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
),2,1( ??n
推广,利用傅立叶级数展开式求出几个特殊
级数的和,
,)12co s ()12( 142)(
1
2?
?
?
????
n
xnnxf ???
),8(51311
2
221
?? ????? ?
????? 22
2
5
1
3
11
8
?
,0)0(,0 ?? fx当 时
,4131211 222 ???????设
,614121 2222 ??????,4131211 2223 ???????
,44 212 ???? ????,243
2
1
2
??? ???
6
2
21
???? ???
122
2
13
???? ???