第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程
二、贝努利方程
三、小结
)()( xQyxPdxdy ??
一阶线性微分方程的标准形式,
,0)( ?xQ当 方程称为齐次方程,
方程称为非齐次方程,,0)( ?xQ当
一、线性方程
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ?? 线性的 ;
,32 ??? xyyy,1co s ??? yy 非线性的,
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(??? dxxPCey
一阶线性微分方程的解法
.0)( ?? yxPdxdy线性齐次方程
(使用分离变量法 )
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
,)]()[()( )()( ??? ????? dxxPdxxP exPxuexuy
常数变易法
线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy ??
设,)()( 是方程的解??? dxxPexuy
代入原方程得和将 yy ? ),()( )( xQexu dxxP ?? ??
,)()( )( CdxexQxu dxxP ?? ??积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
?? ??? ? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ??? ???? ?? )()()( )(
对应齐次
方程通解 非齐次方程特解
,
1
2)(
＋
－
x
xP ?,1)( 3）（ ?? xxQ解
.1
1
2 3 的通解）（
＋
－求方程 ??? xy
x
y例 1
?
?
??
?
? ???? ? ?? ??? Cdxexey dxxdxx 12312 )1(
? ?? ???? ??? Cdxexe xx )1l n (3)1l n (2 )1(
).)1(
2
1
()1(
))1(()1(
22
2
Cxx
Cdxxx
????
???? ?
.2 的通解求方程 ）（ yyyx ???例 2
解 yxydydx ?? 1方程化成
yyQyyP ??? )(,1)(
)(
11
? ?? ??? Cdyyeex dyydyy
)(
)( lnln
Cyy
Cdyyee yy
??
?? ? ?
例 3 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ
之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?
? ?? ?? ?? ? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).22(3 2 xxey x ???? ?
23 xyy ???
贝努利方程的标准形式
方程为非线性微分方程,,时当 1,0?n
方程为线性微分方程, 时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
nyxQyxP
dx
dy )()( ?? )1,0( ?n
二、贝努利方程
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??,得两端除以 ny
),()1()()1( xQnzxPndxdz ????代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ???
??
?? ???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
，则 dxdyyndxdz n??? )1(,1 nyz ??令
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
解,
41 2xy
xdx
dy
y ??，得两端除以 ny
.24 的通解求方程 yxyxdxdy ??例 4
例 5 用适当的变量代换解下列微分方程,
解,21 12 ????? yxexyy x
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ?? ? ?? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?
,2 dxdyydxdz ?则,)1(1 2yyz ????令;22 22 xxexyyy ????1,
解,xyz ?令,dxdyxydxdz ??则
,si n1))(si n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
,42s i n2 Cxzz ???分离变量法得
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n (2 Cxxyxy ???;)(s in 12 xyxyxdxdy ??2,
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n ( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n ( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为;1
yxdx
dy
?
?3,
1.齐次方程 )( x
yfy ?? ;xuy ?令
2.线性非齐次方程 ;)( )(??? dxxPexuy令
3.伯努利方程 ;1 zy n ??令
三、小结
思考题
求微分方程 的通解, yxyy
yy
si n2si nc o s
c o s
??
?
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
si n2si nc o s ??
,ta n2s i n yxy ??
? ?,2si nt a n yxydydx ????
? ?? ??? ? Cdyeyex yy c oslnc osln 2s i n
??
?
??
? ?? ? Cdy
y
yyy
c o s
c o ssi n2c o s ? ?
.c o s2c o s yCy ??
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c os
?
??? ；
2, 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ；
3, 02)6(
2
??? y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 4,5c o t
2
c o s
????
?
?
x
x
yexy
dx
dy；
2,,0,1
32
13
2
??
?
?
?x
yy
x
x
dx
dy
练 习 题
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正
比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受
一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
?
??? ；
2, 0)]ln1([
3
???? dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的
方程,然后求出通解,
1, 1
1
?
?
?
yxdx
dy；
2, 1c oss i n2s i n)1(s i n2
22
???????? xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
??
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy ???
,其中
?
?
?
?
??
?
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy ?
,满
足条件
0)0( ?y
,且在区间
),0[ ??
满足上述方程,
练习题答案
一,1,
x
eCxy
s i n
)(
?
?? ；
2, Cyyx ??
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx ??,
二,1, 15s i n
c o s
??
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
?
??
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
?
???,
四,1, Cxxy ?? ；
2, )
3
2
( l n
3
2
3
2
2
??? xxC
y
x
.
五,1, Cxyx ???? 2)(
2；
2,
Cx
xy
?
???
1
s i n1 ；
3, Cxxyxy ??? 4)2s i n (2,
六、
?
?
?
??
???
??
?
?
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.