一 函数的四则运算的微分法则
二 反函数的微分法则
三 复合函数的微分法则及微分
形式不变性
四 微分法小结
第三节 函数的求导法则
一、函数四则运算的微分
定理 1
并且也可导,
处商( 分母不为零) 在点则它们的和、差、积、
处可导（或可微),在点如果函数
x
xxvxu )()(,;)()(])()([ )1( ?????? xvxuxvxu;)( dvduvud ???或;
,][
ud vv d ud uv
xvxuxvxuxvxu
??
??????
或
)()()()()()((2)
.)(
0 ),)((
)(
)()()()(
]( 3 ) [
2
2
v
vuvu
v
u
d
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
???
?
?
???
??
或
)(
)(
证 (2)设
.)()()()(
)]()()[()()]()([
0
lim
)()()()(
0
lim)(
),()()(
????
?
?????????
??
?
?
?????
??
??
?
xvxuxvxu
x
xvxxvxuxxvxuxxu
x
x
xvxuxxvxxu
x
xf
xvxuxf
推论
.)(
,][ )3(
);())((,)(])([ )2(
) ) ;(())((),())(( )1(
111
'
1
u vd wu w d vvw d uu vwd
wuvwvuvwuu vw
xcd fxcfdxcfxcf
xfdxfdxfxf
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
???
???????
????
??? ????
????
注意,
.
)(
)(
]
)(
)(
[;)()(])()([
?
?
??
?????
xv
xu
xv
xu
xvxuxvxu
例 1,求 xxxxf 22)( ???的导数,
解
.
11
1
1
2
1
2
2
1
21
)
2
()2(
)
2
2()(
3
3
xx
xx
x
xx
x
xxxf
???
?
?
?????
??????
?????
,ln)( xxexf x?例 2,设 求,)( ?xf
解
).lnln1(
1
lnln
)( l nln)(ln
)ln()(
xxxe
x
xexxexe
xxexexxex
xxexf
x
xxx
xxx
x
???
???
??????
???
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )cossi n()(tan ????? xxxy
x
xxxx
2co s
)(c o ssi nco s)(si n ????
x
xx
2
22
cos
si ncos ?? x
x
2
2 se cco s
1 ??
xxy 2s e c)( t a n ????
同理可得 xxy
2c s c)( c ot ?????
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )cos 1()(sec ????? xxy
x
x
2c o s
)( c o s ???
.tansec xx?
x
x
2cos
sin?
同理可得 xxxy c o tc s c)( c s c ?????
dy
dxdx
dy
y
xf
x
I
xfyy
y
Iyx
1
,
)(
1
)(
)(,0)(
)(
?
?
??
???
?
即
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
?
?
?
,
定理 2,
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
注意,)(),( yxf ? ?? 的 " " 均为求导，但意义不同,
二,反函数的微分法则
证,xIx ?任取 xx ?以增量给 ),0( xIxxx ?????
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续因为 xf
00 ???? yx 必有时,所以当
)0)(( ?? y?xyxf x ??? 0lim)( ???故
y
xy
?
?? ??
1lim
0 )(1y???
.)(1)( yxf ? ???即
例 5.,a r c si n 的导数求 xy ?
解,内单调、可导在 )2,2(si n
????? yIyx,0c o s)(s in ??? yy且 内有在所以 )1,1(??
xI
)( s i n
1)( a r c s i n
??? yx ycos
1?
y2si n1
1
?? 21 1 x??
同理可得
21
1)( a r c c o s
x
x
?
???
.1 1)co t( ;1 1)(ar cta n 22 xxarcxx ???????
证明,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ??????所以
)0lim()(
00
??????
??
??
u
ufuy故
定理 3,
).()(
)]([
)()(
,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
xxf
yxuuf
yxxu
xx
?
?
?
?
????
??
??
?
且其导数为可导,在点
则复合函数,可导在点
而可导在点如果函数
或,dx
du
du
dy
dx
dy ??
三 复合函数的微分法则
及微分形式不变性
x
y
x ?
?
?? 0lim故
])([l i m 0
0 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
??
?
x
u
x
uuf
xxx ?
??
?
???
?????? 0000
l i ml i ml i m)( ?
).()( 00 xuf ? ???
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导 (链式法则 ),
uuufy ?????? ?)( 0则
推广 设
.
)] }([{
),(),(),(y
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
xvvuuf
???
?
???
的导数为：则复合函数 ??
??
即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量
求导，乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
注意,
求导.求导，后者对
不同，前者是对
ux
xfxf )]([})]([{ ?? ??与
定理 4,设
.
.)(
)(
即，微分形式不变性
还是中间变量，恒有
是自变量则不论可微
dxxfdy
xxfy
??
?,
证 设函数
.)(,)(
.)()(),(
)2(;)()1(
),()(
dxxfdydxdtt
dtxxfdytx
tx
dxxfdyx
xfxfy
?????
????
??
??
?
??
?
则微函数
的可一变量是中间自变量时，即另若
是自变量时若
有导数
，
例 6 的导数.函数 求 xy 1ar cta n?
解,
1
11
1
1
1
,
1
)
1
(,
1
1
)( a r c t a n
1
a r c t a n
1
a r c t a n
22
2
22
xx
x
dx
dy
xxu
x
x
u
uy
x
y
?
??
?
?
?
?
???
?
??
?
??
复合而成，与
看成
例 7 为常数) 的导数.求函数 ?? (xy ?
解
验证了第一节的例二.
复合而成与
看成
,
ln
1
ln
ln
?
???
????
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
x
x
x
x
e
x
e
dx
dy
xtey
exy
xt
x
，
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉,
(a)基本初等函数的导数公式；
(b)复合函数的分解；
(c)复合函数的求导公式,
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写
中间变量，而直接写出结果,
例 8,,1 2 yxy ??? 求设
解
.
1
)2(
12
1
.
1
)2(
12
1
)1(
22
2
2
2
x
x
x
x
y
x
x
x
x
xy
?
????
?
??
?
??
?
?
?
????
或
.)2(21ln 3
2
的导数???? xxxy求函数
练习,
例 9 的导数.求函数 xey
1s i n?
解 )1( si n
1s in
??? xey x )1(1c o s
1s i n
???? xxe x
.1c o s1
1s in
2 xex
x ???
例 10
.
)()( a rcs i n
dx
dy
ufxfy
求
可导而设,，?
).( a rcsi n
1
1
,
1
1
)( a rcsi n
a rcsi n)( a rcsi n
2
2
xf
xdx
dy
dx
x
xf
xdxfdy
?
?
?
?
???
?? 解
解
)11(11 22 xxxx ?????
21
1
x??
例 11,),1l n ( 2 yxxy ???? 求设
2
2
2
1
)1(
])1[ l n (
xx
xx
xxy
??
???
?
?????
例 12,求 的导数||ln xy ?
).0(
1
)||( l n
,
1
)1(
1
0
,
1
0
0 )l n (
0 ln
???
???
?
???
???
?
?
?
??
?
?
x
x
x
xx
yx
x
yx
xx
xx
y
即
当
当
时，
时，
解
1.基本微分公式
xdxxdxx
xdxxdxx
xdxxdxx
xdxxdxx
dxxxdxx
cdc
22
22
11
csc)( co t csc)( co t
s ec)( t a n s ec)( t a n
s i n)( co s s i n)( co s
co s)( s i n co s)( s i n
)( )(
0)( 0)(
?????
???
?????
???
???
???
?? ????
??
四、微分法小结
1
1
)( a rc s i n
1
1
)( a rc s i n
1
)( l n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
ln
1
)( l o g
)( )(
ln)( ln)(
co tcsc)( csc co tcsc)( csc
t a ns ec)( s ec t a ns ec)( s ec
22
dx
x
xd
x
x
dx
x
xd
x
x
dx
ax
d
ax
dxeedee
adxaadaaa
xdxxxdxxx
xdxxxdxxx
x
a
x
a
xxxx
xxxx
?
?
?
??
???
???
???
???
?????
???
1
)co t(
1
1
)co t(
1
)( a rc t a n
1
1
)( a rc t a n
1
)( a rc c o s
1
1
)( a rc c o s
22
22
22
x
dx
xa r cd
x
xa r c
x
dx
xd
x
x
x
dx
xd
x
x
?
??
?
???
?
?
?
??
?
??
?
???;)(
)
,)(),(
dvduvud
vuvu
xvvxuu
???
??????
??
（,
可导( 可微)
则
如果
2.四则运算微分法则
22
)( )(
)()( )(
)(
)(
v
u d vvd u
v
u
d
v
vuuv
v
u
ccd ucuduccu
u d vvd uuvd
vuvuuv
?
?
???
??
????
??
?????
为常数
3.复合函数微分法则
.)()()()(
)(),(
dxxufdyxuf
dx
dy
xuufy
??
?
??????
??
或
则：可导( 可微),设
二 反函数的微分法则
三 复合函数的微分法则及微分
形式不变性
四 微分法小结
第三节 函数的求导法则
一、函数四则运算的微分
定理 1
并且也可导,
处商( 分母不为零) 在点则它们的和、差、积、
处可导（或可微),在点如果函数
x
xxvxu )()(,;)()(])()([ )1( ?????? xvxuxvxu;)( dvduvud ???或;
,][
ud vv d ud uv
xvxuxvxuxvxu
??
??????
或
)()()()()()((2)
.)(
0 ),)((
)(
)()()()(
]( 3 ) [
2
2
v
vuvu
v
u
d
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
???
?
?
???
??
或
)(
)(
证 (2)设
.)()()()(
)]()()[()()]()([
0
lim
)()()()(
0
lim)(
),()()(
????
?
?????????
??
?
?
?????
??
??
?
xvxuxvxu
x
xvxxvxuxxvxuxxu
x
x
xvxuxxvxxu
x
xf
xvxuxf
推论
.)(
,][ )3(
);())((,)(])([ )2(
) ) ;(())((),())(( )1(
111
'
1
u vd wu w d vvw d uu vwd
wuvwvuvwuu vw
xcd fxcfdxcfxcf
xfdxfdxfxf
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
???
???????
????
??? ????
????
注意,
.
)(
)(
]
)(
)(
[;)()(])()([
?
?
??
?????
xv
xu
xv
xu
xvxuxvxu
例 1,求 xxxxf 22)( ???的导数,
解
.
11
1
1
2
1
2
2
1
21
)
2
()2(
)
2
2()(
3
3
xx
xx
x
xx
x
xxxf
???
?
?
?????
??????
?????
,ln)( xxexf x?例 2,设 求,)( ?xf
解
).lnln1(
1
lnln
)( l nln)(ln
)ln()(
xxxe
x
xexxexe
xxexexxex
xxexf
x
xxx
xxx
x
???
???
??????
???
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )cossi n()(tan ????? xxxy
x
xxxx
2co s
)(c o ssi nco s)(si n ????
x
xx
2
22
cos
si ncos ?? x
x
2
2 se cco s
1 ??
xxy 2s e c)( t a n ????
同理可得 xxy
2c s c)( c ot ?????
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )cos 1()(sec ????? xxy
x
x
2c o s
)( c o s ???
.tansec xx?
x
x
2cos
sin?
同理可得 xxxy c o tc s c)( c s c ?????
dy
dxdx
dy
y
xf
x
I
xfyy
y
Iyx
1
,
)(
1
)(
)(,0)(
)(
?
?
??
???
?
即
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
?
?
?
,
定理 2,
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
注意,)(),( yxf ? ?? 的 " " 均为求导，但意义不同,
二,反函数的微分法则
证,xIx ?任取 xx ?以增量给 ),0( xIxxx ?????
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续因为 xf
00 ???? yx 必有时,所以当
)0)(( ?? y?xyxf x ??? 0lim)( ???故
y
xy
?
?? ??
1lim
0 )(1y???
.)(1)( yxf ? ???即
例 5.,a r c si n 的导数求 xy ?
解,内单调、可导在 )2,2(si n
????? yIyx,0c o s)(s in ??? yy且 内有在所以 )1,1(??
xI
)( s i n
1)( a r c s i n
??? yx ycos
1?
y2si n1
1
?? 21 1 x??
同理可得
21
1)( a r c c o s
x
x
?
???
.1 1)co t( ;1 1)(ar cta n 22 xxarcxx ???????
证明,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ??????所以
)0lim()(
00
??????
??
??
u
ufuy故
定理 3,
).()(
)]([
)()(
,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
xxf
yxuuf
yxxu
xx
?
?
?
?
????
??
??
?
且其导数为可导,在点
则复合函数,可导在点
而可导在点如果函数
或,dx
du
du
dy
dx
dy ??
三 复合函数的微分法则
及微分形式不变性
x
y
x ?
?
?? 0lim故
])([l i m 0
0 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
??
?
x
u
x
uuf
xxx ?
??
?
???
?????? 0000
l i ml i ml i m)( ?
).()( 00 xuf ? ???
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导 (链式法则 ),
uuufy ?????? ?)( 0则
推广 设
.
)] }([{
),(),(),(y
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
xvvuuf
???
?
???
的导数为：则复合函数 ??
??
即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量
求导，乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
注意,
求导.求导，后者对
不同，前者是对
ux
xfxf )]([})]([{ ?? ??与
定理 4,设
.
.)(
)(
即，微分形式不变性
还是中间变量，恒有
是自变量则不论可微
dxxfdy
xxfy
??
?,
证 设函数
.)(,)(
.)()(),(
)2(;)()1(
),()(
dxxfdydxdtt
dtxxfdytx
tx
dxxfdyx
xfxfy
?????
????
??
??
?
??
?
则微函数
的可一变量是中间自变量时，即另若
是自变量时若
有导数
，
例 6 的导数.函数 求 xy 1ar cta n?
解,
1
11
1
1
1
,
1
)
1
(,
1
1
)( a r c t a n
1
a r c t a n
1
a r c t a n
22
2
22
xx
x
dx
dy
xxu
x
x
u
uy
x
y
?
??
?
?
?
?
???
?
??
?
??
复合而成，与
看成
例 7 为常数) 的导数.求函数 ?? (xy ?
解
验证了第一节的例二.
复合而成与
看成
,
ln
1
ln
ln
?
???
????
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
x
x
x
x
e
x
e
dx
dy
xtey
exy
xt
x
，
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉,
(a)基本初等函数的导数公式；
(b)复合函数的分解；
(c)复合函数的求导公式,
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写
中间变量，而直接写出结果,
例 8,,1 2 yxy ??? 求设
解
.
1
)2(
12
1
.
1
)2(
12
1
)1(
22
2
2
2
x
x
x
x
y
x
x
x
x
xy
?
????
?
??
?
??
?
?
?
????
或
.)2(21ln 3
2
的导数???? xxxy求函数
练习,
例 9 的导数.求函数 xey
1s i n?
解 )1( si n
1s in
??? xey x )1(1c o s
1s i n
???? xxe x
.1c o s1
1s in
2 xex
x ???
例 10
.
)()( a rcs i n
dx
dy
ufxfy
求
可导而设,，?
).( a rcsi n
1
1
,
1
1
)( a rcsi n
a rcsi n)( a rcsi n
2
2
xf
xdx
dy
dx
x
xf
xdxfdy
?
?
?
?
???
?? 解
解
)11(11 22 xxxx ?????
21
1
x??
例 11,),1l n ( 2 yxxy ???? 求设
2
2
2
1
)1(
])1[ l n (
xx
xx
xxy
??
???
?
?????
例 12,求 的导数||ln xy ?
).0(
1
)||( l n
,
1
)1(
1
0
,
1
0
0 )l n (
0 ln
???
???
?
???
???
?
?
?
??
?
?
x
x
x
xx
yx
x
yx
xx
xx
y
即
当
当
时，
时，
解
1.基本微分公式
xdxxdxx
xdxxdxx
xdxxdxx
xdxxdxx
dxxxdxx
cdc
22
22
11
csc)( co t csc)( co t
s ec)( t a n s ec)( t a n
s i n)( co s s i n)( co s
co s)( s i n co s)( s i n
)( )(
0)( 0)(
?????
???
?????
???
???
???
?? ????
??
四、微分法小结
1
1
)( a rc s i n
1
1
)( a rc s i n
1
)( l n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
ln
1
)( l o g
)( )(
ln)( ln)(
co tcsc)( csc co tcsc)( csc
t a ns ec)( s ec t a ns ec)( s ec
22
dx
x
xd
x
x
dx
x
xd
x
x
dx
ax
d
ax
dxeedee
adxaadaaa
xdxxxdxxx
xdxxxdxxx
x
a
x
a
xxxx
xxxx
?
?
?
??
???
???
???
???
?????
???
1
)co t(
1
1
)co t(
1
)( a rc t a n
1
1
)( a rc t a n
1
)( a rc c o s
1
1
)( a rc c o s
22
22
22
x
dx
xa r cd
x
xa r c
x
dx
xd
x
x
x
dx
xd
x
x
?
??
?
???
?
?
?
??
?
??
?
???;)(
)
,)(),(
dvduvud
vuvu
xvvxuu
???
??????
??
（,
可导( 可微)
则
如果
2.四则运算微分法则
22
)( )(
)()( )(
)(
)(
v
u d vvd u
v
u
d
v
vuuv
v
u
ccd ucuduccu
u d vvd uuvd
vuvuuv
?
?
???
??
????
??
?????
为常数
3.复合函数微分法则
.)()()()(
)(),(
dxxufdyxuf
dx
dy
xuufy
??
?
??????
??
或
则：可导( 可微),设
