第四节 高阶导数
一 高阶导数的定义
二 高阶导数的求法
三 莱布尼兹公式
四 小结
问题：变速直线运动的加速度
dt
dststv ??? )()(则速度为设 ),(tss ?
.])([)()( ?????? tstvta
va,的变化率对时间是速度加速度 t?
.)())((
)()(
lim))((
)()(
0
处的二阶导数在点为函数存在，则称
点处可导，即在的导数如果函数 定义
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
一、高阶导数的定义
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数,的函数
阶导数的导数称为的函数一般地,
nxf
nxf
)(
1)( ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,
称为一阶导数.称为零阶导数相应地,)(;)( xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????二阶导数的导数称为三阶导数,
三阶导数的导数称为四阶导数,.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例
由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
解
例 1,,,,)(2 nyyycbxaxy ?????? 求设
.0,2,2 )( ??????? nyaybaxy
例 2,,)( nx yay 求设 ?
解
.)( l n,
,)( l n,ln
)(
2
nxn
xx
aay
aayaay
?
?????
?
例 3,),( )( nyRxy 求设 ?? ??
解 1??? ??xy
)( 1 ???? ??? xy 2)1( ??? ??? x
3)2)(1( ???? ???? x))1(( 2 ?????? ???? xy
??
)1()1()1()( ????? ? nxny nn ???? ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny n,0
例 4,,si n )( nyxy 求设 ?
xy co s??解 )2si n ( ??? x
)2co s( ????? xy )22si n ( ?? ??? x )22si n ( ???? x
)22c o s( ??????? xy )23si n ( ???? x
??
)2si n ()( ???? nxy n
)2c o s()( c o s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),1l n( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
三、莱布尼兹公式
则阶导数,具有和设函数 nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
例 6 设 xey x c o s?,求,)5(y
解
).co s( s i n4
)co s4s i n4(
)]s i n5( co s5s i n10
)co s(10s i n5[ co s
)( co s)( co s)(
)( co s)()( co s)(
)( co s)(co s)(
)5()4(4
5
3
5
)3(2
5
)4(1
5
)5(
xxe
xxe
xxx
xxxe
xexeC
xeCxeC
xeCxey
x
x
x
xx
xx
xx
??
??
????
????
??
?????????
?????
例 7,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
例 8 试以 导出,
1
ydy
dx
??,,3
3
2
2
dy
xd
dy
xd
解
.
)(
1
)(
)
1
()(
32
2
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y
yy
y
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ydx
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.
)(
)(31
)(
)(3
)
)(
()(
54
2
32
2
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y
yyy
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dx
y
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d
dy
xd
dy
d
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xd
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????????
?
?
?
?
?????????
?
?
?
??
???
四、小结
高阶导数的定义及求法；
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式）；
几个初等函数的导数,
一 高阶导数的定义
二 高阶导数的求法
三 莱布尼兹公式
四 小结
问题：变速直线运动的加速度
dt
dststv ??? )()(则速度为设 ),(tss ?
.])([)()( ?????? tstvta
va,的变化率对时间是速度加速度 t?
.)())((
)()(
lim))((
)()(
0
处的二阶导数在点为函数存在，则称
点处可导，即在的导数如果函数 定义
xxfxf
x
xfxxf
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xxfxf
x
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?
?????
???
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??
一、高阶导数的定义
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数,的函数
阶导数的导数称为的函数一般地,
nxf
nxf
)(
1)( ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,
称为一阶导数.称为零阶导数相应地,)(;)( xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????二阶导数的导数称为三阶导数,
三阶导数的导数称为四阶导数,.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例
由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
解
例 1,,,,)(2 nyyycbxaxy ?????? 求设
.0,2,2 )( ??????? nyaybaxy
例 2,,)( nx yay 求设 ?
解
.)( l n,
,)( l n,ln
)(
2
nxn
xx
aay
aayaay
?
?????
?
例 3,),( )( nyRxy 求设 ?? ??
解 1??? ??xy
)( 1 ???? ??? xy 2)1( ??? ??? x
3)2)(1( ???? ???? x))1(( 2 ?????? ???? xy
??
)1()1()1()( ????? ? nxny nn ???? ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny n,0
例 4,,si n )( nyxy 求设 ?
xy co s??解 )2si n ( ??? x
)2co s( ????? xy )22si n ( ?? ??? x )22si n ( ???? x
)22c o s( ??????? xy )23si n ( ???? x
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)2si n ()( ???? nxy n
)2c o s()( c o s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),1l n( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
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xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
三、莱布尼兹公式
则阶导数,具有和设函数 nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
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!
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例 6 设 xey x c o s?,求,)5(y
解
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例 7,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
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2)18(2
2)19(22)20(2)20(
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例 8 试以 导出,
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????????
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四、小结
高阶导数的定义及求法；
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式）；
几个初等函数的导数,
