第五节 全微分方程
一、全微分方程及其求法
二、积分因子法
三、一阶微分方程小结
例如,0?? y d yxdx ),(21),( 22 yxyxu ???
,),( y d yx dxyxdu ??? 所以是全微分方程,
定义,
则
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
若有全微分形式
.0),(),( 称为全微分方程?? dyyxQdxyxP
.XQYP ??????全微分方程
一、全微分方程及其求法
解法 1：应用曲线积分与路径无关,
解法 2：用直接凑 全微分的方法,
解法,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP 全微分方程
通解为 ?? ?? y
y
x
x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ?? ;),( Cyxu ?
解法 3：利用不定积分法求 ),( yxu
解,6 x
Qxy
y
P
?
????
?
?
是全微分方程,
.4234
4
22
4
Cyyxx ???原方程的通解为
?? ??? yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
,4234
4
22
4 y
yxx ???
.
0)3()3( 2323
的通解
求方程 ???? dyyxydxxyx例 1
解,
6
4 x
Q
y
x
y
P
?
????
?
?
是全微分方程,
.1 3
2
Cyxy ???原方程的通解为
将左端重新组合 )
32(1
4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y ??
)()1( 3
2
y
xd
yd ???
),1( 3
2
y
x
yd ???
.032 4
22
3 的通解求方程 ?
?? dy
y
xydx
y
x
例 2
解
例 3
.
0)2(22
的通解
解方程 ）（ ???? dyyxydxyx
x
Qy
y
P
?
???
?
? 2 方程是全微分方程
22 yxP
x
u ???
?
?
? ????? )(31)( 2322 yxyxdxyxu ?
2
2
1)( yy ??
Cyxyxu ???? 223 2131方程的通解为,
0),( ?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ?? 成为
全微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
定义,
问题, 如何求方程的积分因子?
二、积分因子法
1.公式法,,)()( xQyP ????? ???
xQx
Q
yPy
P
?
??
?
??
?
??
?
? ????,
两边同除 ?
特殊地,;,有关时只与当 xa ?,0??
?
y
?,
dx
d
x
?? ?
?
?
求解不容易 x
Q
y
P
yPxQ ?
??
?
??
?
??
?
? ?? lnln
)(1ln xQyPQdxd ??????? ? )( xf?;,有关时只与当 yb ?,0??
?
x
?,
dy
d
y
?? ?
?
?
)(1ln yPxQPdyd ??????? ? )( yg?
.)( )(??? dxxfex?
.)( )(??? dyygey?
?????? ??? 2
22 yx
dyd yx d x ???????? xydx yd xx d y 2
????????? xydyx yd xxdy a rct a n22 ? ?xydxy yd xx d y ln??
?????? ???? )ln (21 2222 yxdyx yd yx d x
?????? ????? yx yxdyx yd xx d y ln2122
凭观察凑微分得到 ),( yx?2.观察法,
常见的全微分表达式
可选用的积分因子有
.2222222,,1,1,1,1 等xyyxyxyxxyx ??
解,1)(1 xxQyPQ ??????? ??? dxxex 1)(?,x?
.0)()3( 22 的通解
求微分方程
???? dyxyxdxyxy
例 4
则原方程为
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx ???
))(21( 23 xyyxd ??,0?
原方程的通解为
.)(21 23 Cxyyx ?? (公式法 )
解
.0)1(2 22 的通解????? dyyxdxyxx
例 5 求微分方程
,022 22 ????? dyyxdxyxxxdx
,0)()( 2222 ????? dyyxxdyxxd
将方程左端重新组合,有
,0)()( 222 ???? yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx ???
解 将方程左端重新组合,有
,01)ln2 222 ???? dyyydyxy d xxy（
,1),( yyx ??易知
,01)ln2( 2
2
???? dyyydyyxy d xx则
.0)1(31)ln( 2
3
22 ??? ydyxd即
原方程的通解为,)1(31ln 2
3
22 Cyyx ???
.0)1(ln2 222 的通解???? dyyyxy d xxy
例 6 求微分方程
解 1 整理得,1
1 2xy
xdx
dy ??
??
A 常数变易法,,1 x
Cy
??对应齐方通解
.1 )( xxCy ??设,43)(
43
CxxxC ????
B 公式法,
.43
43
Cxxxyy ????通解为
],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx ??? ? ?? ???
.1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy ? ????例 7
解 2 整理得,0)1()( 32 ????? dyxdxyxx
,1 xQyP ???????,是全微分方程?
A用曲线积分 法,
,)1()(),( 00 32 ?? ???? yx dyxdxxxyxu
B凑微分法,
,0)( 32 ????? dxxdxxy d xx d ydy
，043)(
43
???? xdxdxyddy
.0)43(
43
???? xxxyyd
C 不定积分 法,,32 yxxx
u ???
?
??
? ??? dxyxx )( 32 ),(43
43
yCxyxx ????
),( yCxyu ??????,1 xyu ????又
,1)( xyCx ?????,1)( ?? yC,)( yyC ?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy ????
1、可分离变量的微分方程
解法：分离变量法,
2、齐次方程
解法：令 化成可分离变量的方
程,
3、一阶线性方程
解法：公式
4、贝努利方程
解法：令 化成线性方程,
)()( ygxfy ??
)( xyfy ??
y
xu?
)()( xQyxPy ??
)1,0()()( ??? nyxQyxPy n
nyz ?? 1
三、一阶微分方程小结
5、全微分方程式
解法：曲线积分法、分项组合法、不定积分法,
)(0 xQYPQ d yPd x ???????
思考题
方程 0
32
4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x
是否为全微分方程？
思考题解答
?
?
??
?
?
?
??
?
?
3
2
y
x
yy
P?,6
4y
x?
?
?
??
?
? ?
?
??
?
?
4
22 3
y
xy
xx
Q,6
4y
x??
x
Q
y
P
?
??
?
?? 原方程是全微分方程,
一,判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方
程的通解,
1, 0)2( ??? dyyxedxe
yy；
2, 0)(
22
??? xy dydxyx ；
3, 02)1(
22
??? ???
??
dede,
二,利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通
解,
1,
0
2
??? xdxyxdyy dx；
2,
dxyxy dyxdx )(
22
???；
3,
0)1()1( ???? xdyxyy d xxy
.
练 习 题
三,验证
)]()([
1
xygxyfxy ?
是微分方程
0)()( ?? dyxyxgdxxyyf 的积分因子,并求方程
0)22()2(
2222
???? dyyxxdxyxy 的通解,
四,已知
2
1
)0( ?f,试确定 )( xf,使
0)()]([ ??? dyxfy dxxfe
x
为全微分方程,并求此
全微分方程的通解,
练习题答案
一,1, Cyxe
y
??
2； 2,不是全微分方程；
3, Ce ?? )1(
2 ?
?,
二,1, C
x
y
x
??
2
2； 2,
x
Ceyx
222
?? ；
3,
xy
Ce
y
x
1
?,
三、
22
1
2 yx
eCyx ?, ( 或 C
yxy
x
???
222
1
1ln )
四,Cyxexexf
xx
???? )
2
1
(,)
2
1
()(,