第八节函数的连续性与间断点
二 函数的间断点类型
一 函数的连续性
三 小结与思考判断题
1.函数的增量
的增量.称为自变量在点
内有定义,在设函数
00
00
,
),()()(
xxxx
xUxxUxf
???
?? ??
的增量.相应于称为函数 xxfxfxfy ???? )(),()( 0
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)(xfy ?
x?
0x xx ??0
x?
y? y?
)(xfy ?
一、函数的连续性
2.连续的定义
定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如
果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函
数的增量 y? 也趋向于零,即 0lim
0
??
??
y
x
或
0)]()([lim
00
0
????
??
xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是 ).()(0 0xfxfy ??? 就是
定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如果
函数 )( xf 当
0
xx ? 时的极限存在,且等于它在
点
0
x 处的 函数值 )(
0
xf,即 )()(lim
0
0
xfxf
xx
?
?
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义???
.)()(
,,0,0
0
0
?
???
??
??????
xfxf
xx
恒有
时使当
例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01si nl i m 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(lim 0 fxfx ??
3.单侧连续
定理
.
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??定义 3
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??定义 4
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间 ????
例 3,),(s in 内连续在区间函数证明 ????? xy
证 ),,( ?????x任取
xxxy si n)si n ( ????? )2cos(2si n2 xxx ?????
,1)2c o s( ??? xx?,2si n2 xy ???则
,0,时当对任意的 ???,s in ???有
,2s i n2 xxy ?????故,0,0 ????? yx 时当
.),(s in 都是连续的对任意函数即 ?????? xxy
二、函数的间断点及其类型;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).的不连续点(或 间断点
为并称点(或 间断),处不连续在点函数
则称要有一个不满足,如果上述三个条件中只
)(
)( 00
xf
xxxf
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf定义 5
间断点分为第一类间断点与第二类间断点,
第一类间断点 如果 在间断点 处左右极限
存在,则称点 为 的第一类间断点,
第二类间断点 如果 在间断点 处左右极限
中至少有一个不存在,则称点 为 的第二类间断
点,特别地有,
)(xf 0x
0x )(xf
)(xf 0x
0x )(xf
1.跳跃间断点
.的跳跃间断点
为函数则称点但存在,
右极限都处左,在点如果
)(
),0()0(
)(
000
0
xf
xxfxf
xxf
???
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
),1(f?
解
,1)1( ?f?,2)01( ??f,2)01( ??f 2)(lim
1 ?? ? xfx,0为函数的可去间断点?x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函
数的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
特点
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
.0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
o x
y
解,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间
3.无穷间断点,如果 在点 处左、右极限
)(xf
0x
至少有一个为无穷大，则称点 为函数 的无 0x
穷间断点,
)(xf
4、
振
荡
间
断
点
：
如
)(xf0
0x)(xf
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1si nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
.01si n)( 处的连续性在讨论函数 ?? xxxf例 7
o1x 2x 3x
y
x
? ?xfy ?
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处
处连续,
判断下列间断点类型,
??
?
??,,1
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxf
函数
例 8
.0
,0,
,0,co s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx co slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
例 9 函数 在点
是否间断?属于那种类型?能否补充或改变函数在该
点定义使之连续?
解 函数 在点
没有定义,所以 是函数的间断点,对于,
,
x
xy
s in? ?kx ?,2,1,0( ???k )?
x
xy
s in? ?kx ?,2,1,0( ???k )?
?kx ? 0?k
0?x
因为,所以 是第一类间断点,
令,即可使函数在 处连续,
对于,
因为,所以 是第二类间断
点且为无穷间断点,
1si nl i m
0
?
? x
x
x 0x
1)0( ?f 0?x
0?k
??
? x
x
x si n
lim
0 )0( ?? kkx ?
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 )
小结
三、小结与思考判断题
可去型 第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x 0x
o
y
x 0x
o
y
x 0x
判断思考题 若 )( xf 在
0x 连续，则 |)(| xf, )(
2 xf 在
0x
是否连续？又若 |)(| xf, )(
2 xf
在 0x 连续,)( xf
在 0x 是否连续？
思考题解答
? )( xf 在 0x 连续,)()(l i m 0
0
xfxfxx ?? ?
)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且
)()(l i m 0
0
xfxfxx ?? ?
?????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例 ??
?
?
???
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00 ?x 不连续
但 |)(| xf, )(2 xf 在 00 ?x 连续