第二节 数列的极限
二 收敛数列的性质
一 数列极限的定义
三 小节与思考判断题
一、数列极限的定义
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx (1 )
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数列的
项,
n
x 称为 通项 ( 一般项 ), 数列 (1) 记为 }{
n
x,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{ n
}21{ n
1.数列
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ???
})1({
1
n
n n ???
???,333,,33,3 ????
.时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
})1(1{
1
播放
2.数列的极限
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某
一确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
问题,,无限接近, 意味着什么?如何用数学语言
刻划它,
?? 1nx? nnn
11)1( 1 ?? ?
.)1(1
1
,1无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
通过上面演示实验的观察,
,1 0 01给定,1 0 011 ?n由,时只要 100?n,1 0 011 ??nx有
,1 0 0 01给定,时只要 1 0 0 0?n
,10000 11 ??nx有,1 0 0 0 01给定,时只要 1 0 0 0 0?n
,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,时只要 ])1[( ??? Nn,成立有 ??? 1nx
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
注意,的无限接近;与刻划了不等式 axax nn ???1.
.，
.,
越大越小
有关与任意给定的正数 一般地
N
N,2 ??
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小 )总存在正数,使得对于 时的一切
不等式 都成立,那末就称常数
为数列 的极限，或者称数列收敛于,记为
?
N Nn ?
nx ??? || ax n a
nx a
)(,l i m ?????? naax nnn x或
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
几何解释, ?2
??a ??a
a
落在其外.个)( 至多只有
内都落在所有的点时当
N
aaxNn n
只有有限个
,,),( ?? ???
其中 每一个或任给的;:?,至少有一个或存在:?
.,0,0
l i m
??
?
???????
???
??
axNnN
axN
n
nn
恒有时使
定义：
,
数列极限的定义未给出求极限的方法,
例 1,1
)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
证明
证 1?nx 1
)1( 1 ???? ?
n
n n
n
1?
,0??任给,1 ???nx要,1 ??n只要,1??n或
所以,],1[??N取,时则当 Nn ?
?????
?
1)1(
1
n
n n就有,1)1(l i m 1 ??? ?
?? n
n n
n
即
注意,
例 2
证 1?nx 11
1 ?
?
??
n
n
1
2
?? n
,0??任给,1 ???nx要,12 ???n只要,12 ?? ?n或
所以,],1
2[ ??
?N取,时则当 Nn ?
????? 111nn就有,111l i m ???
?? n
n
n
即
.111lim ???
?? n
n
n
证明
注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意
给定 寻找,但不是求最小的,,0??任给 NN
例 3,1,0lim ??
?? qq
n
n 其中证明
证,0??任给
,0 ???? nn qx,lnln ??qn
],lnln[ qN ??取,时则当 Nn ?
,0 ???nq就有,0l i m ?? ?? nn q
,0?q若 ;00limlim ?? ???? nnn q则
,10 ?? q若
,lnln qn ???
二、收敛数列的性质
1.收敛数列的唯一性
定理 1 收敛的数列只有一个极限,
证,lim,lim bxax nnnn ?? ???? 又设 由定义,
使得.,,0 21 NN??? ? ;1 ???? axNn n恒有时,当;2 ???? bxNn n时恒有当 ? ?,,m a x 21 NNN ?取
有时,则当 Nn ? )()( axbxba nn ?????
axbx nn ????,2 ??? ???
.时才能成立上式仅当 ba ?故收敛数列极限唯一,
例 4,是发散的证明数列 1)1( ??? nnx
证,lim ax n
n ???设 由定义,,2
1??对于
成立,有时,使得当则 21,???? axNnN n
),21,21( ???? aaxNn n时,即当 区间长度为 1,
1 两个数,无休止地反复取1,?nx而
不可能同时位于长度为 1的区间内,
但却发散.是有界的,事实上,}{ nx
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,lim ax nn ???设 由定义,,1??取
,1,???? axNnN n时恒有使得当则
.11 ???? axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 ??? aaxxM N?记
,,Mxn n ?皆有则对一切自然数 ? ?,有界故 nx
2.收敛数列的有界性
注 1 有界性是数列收敛的必要条件,
注 2 无界数列必定发散, 数列
注 3 有界数列不一定收敛, 数列
.2 nnx ?
.)1( nnx ??
3.收敛数列的保号性
定理 3
).0(0,0
),0 (0,l i m
????
???
??
nn
nn
xxNnN
aoraax
时，都有当正整数
那么存在且设
.0
2
,
22
,
2
||
,
2
,0
????????
????
??
a
ax
a
ax
a
a
a
axNnN
a
a
nn
n
即有
时恒有使得当则
对不妨设
,
? 证
).0(0,l i m
),0(0}{
???
??
??
aaax
xxx
nn
nnn
或那么且
从某项起就有如果数列 推论 或
数列的子数列
子数列 (子列 ):在数列 中任意抽取无限多项,
并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,
称为原数列的子列,
}{ nx
记作 }.{
knx
即 ?? },{,}{},{},{ 321 knnnn xxxx
.,121 knnnnn kkk ?????? ? ??其中
例如 自然数列 ?321 },{}{,，即nx n ?
.的子数列就是而 }{}2{}{ nkx kn ?
4.收敛数列与其子列的关系
.
,} {
a
ax n
也收敛于
那么它的任意子列收敛于如果数列定理4
ax
ax
NnnnKkNK
axNn
Nax
xx
k
k
n
n
n
NKk
n
n
n
nn
?
???
?????
???
????
??
??
lim
.||
.,;||
,,0,lim
}{}{
这就证明了
时，有则当取
时恒有当
使得由定义，
的任一子数列.是数列设数列 证
?
?
??
推论 1 如果数列 有一个子列发散,则数列
发散,
}{ nx }{ nx
推论 2 如果数列 有两个子数列不同的极限则
数列 发散,
}{ nx
}{ nx
例如 数列,)1( 1??? nnx
发散,)1(,,1,1,1,1,1 1 ?? ???? n
因为它有两个子列
?
?
1 1 1
,1,1,1,1
，，,???
分别收敛于 1和 -1两个不同的数值,
数列极限：极限思想，精确定义,
几何意义,
收敛数列的性质, 有界性,唯一性,
保号性,
收敛数列与子数列的关系,
三、小结与思考判断题