一 无穷小的比较
第七节 无穷小的比较
三 小结与思考判断题
二 等价无穷小替换
一、无穷小的比较
.,
极限不同,反映了趋向于零的, 快慢, 程度不同,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
si nlim
0?
2
2
0
1si n
l i m
x
x
x
x ?;32 要快得多比 xx;s in 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0?
?,不存在
观
察
各
极
限
例如,都是无穷小 时 当 0?x xxxxx 1si n,si n,,22
);(
,,0l i m)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(lim)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
???
解
例 1
.t a n,0,32 的五阶无穷小为时当证明 xxxx ?
5
32
0
t a nl i m
x
xx
x ? 1)
t a n(lim 3
0
??
? x
x
x
.5t a n,0 32 阶无穷小的为时故当 xxxx ?
例 2,s i nt a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 3
0
si ntanlim
x
xx
x
?
?
? )c o s1ta n(l i m 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.si ntan 的三阶无穷小为 xxx ??
常用等价无穷小,,0时当 ?x
例如,),(s i n xoxx ??
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim ????,0lim ?? ???? ),( ????? o即
).( ????? o于是有
).(211cos 22 xoxx ???
.
2
1
~co s1,~1,~)1l n (
,~arct an,~t an
,~arcs i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
???
二、等价无穷小替换
定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
证 ??lim )l i m ( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? l i ml i ml i m,lim
??
???
例 3,c o s1 2t a nl i m
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2t a n,21~c o s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意
例 4,2si n si nt a nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,0时当 ?x
)c o s1(t a ns int a n xxxx ???,21~ 3x
,2~2si n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
解,~s in,~ta n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
错
?
例 5,3si n 1cos5tanlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5ta n xoxx ??? ),(33s i n xoxx ??
).(21cos1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
l i m
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
l i m
2
0
?
???
?
?,
3
5?
2 等价无穷小的替换
1 无穷小的比较,
程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不
是所有的无穷小都可进行比较,
无穷小的阶反映了同一过
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
求极限的又一种方法，注意适用条件,
小结
三 小结与思考判断题
思考判断题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能,例当 时 ???x
,1)( xxf ? x xxg si n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim???
故当 时 ???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
第七节 无穷小的比较
三 小结与思考判断题
二 等价无穷小替换
一、无穷小的比较
.,
极限不同,反映了趋向于零的, 快慢, 程度不同,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
si nlim
0?
2
2
0
1si n
l i m
x
x
x
x ?;32 要快得多比 xx;s in 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0?
?,不存在
观
察
各
极
限
例如,都是无穷小 时 当 0?x xxxxx 1si n,si n,,22
);(
,,0l i m)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(lim)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
???
解
例 1
.t a n,0,32 的五阶无穷小为时当证明 xxxx ?
5
32
0
t a nl i m
x
xx
x ? 1)
t a n(lim 3
0
??
? x
x
x
.5t a n,0 32 阶无穷小的为时故当 xxxx ?
例 2,s i nt a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 3
0
si ntanlim
x
xx
x
?
?
? )c o s1ta n(l i m 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.si ntan 的三阶无穷小为 xxx ??
常用等价无穷小,,0时当 ?x
例如,),(s i n xoxx ??
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim ????,0lim ?? ???? ),( ????? o即
).( ????? o于是有
).(211cos 22 xoxx ???
.
2
1
~co s1,~1,~)1l n (
,~arct an,~t an
,~arcs i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
???
二、等价无穷小替换
定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
证 ??lim )l i m ( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? l i ml i ml i m,lim
??
???
例 3,c o s1 2t a nl i m
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2t a n,21~c o s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意
例 4,2si n si nt a nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,0时当 ?x
)c o s1(t a ns int a n xxxx ???,21~ 3x
,2~2si n xx
3
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2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
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解,~s in,~ta n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
错
?
例 5,3si n 1cos5tanlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5ta n xoxx ??? ),(33s i n xoxx ??
).(21cos1 22 xoxx ???
)(3
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2
1
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l i m
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原式
x
xo
x
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x
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5
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2
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3
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2 等价无穷小的替换
1 无穷小的比较,
程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不
是所有的无穷小都可进行比较,
无穷小的阶反映了同一过
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
求极限的又一种方法，注意适用条件,
小结
三 小结与思考判断题
思考判断题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能,例当 时 ???x
,1)( xxf ? x xxg si n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim???
故当 时 ???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
