第五节 极限运算法则
一 极限运算法则
二 极限的不等性
三 求极限方法举例
四 小结与思考判断题
定理 1
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
??
???
???
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中
则设
证,)(lim,)(lim BxgAxf ???
.0,0.)(,)( ??????? ???? 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
极限的四则运算法则
一、极限的运算法则
.0? )()]()([ BAxgxf ????? ?? 成立.)1(?
)()]()([ BAxgxf ??? ABBA ???? ))(( ??
???? ??? )( BA,0? ( 2 ) 成立.?
B
A
xg
xf ?
)(
)(
B
A
B ??
??
?
?
)( ?
??
?
??
BB
AB
.0?? ?? AB?
,0,0 ?? B??又,0???,0 0 时当 ???? xx
,2B?? ?? ???? BB BB 21?? B21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
?
则为常数而存在如果
常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
?
则是正整数而存在如果推论 2
,21)( 2BBB ??? ?,2)( 1 2BBB ?? ?故 有界,
( 3 ) 成立.?
定理 1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
??A ??B或 以及（ 3）中的某些情形,
（ 1）当 时，而 时,??A ??B ??? )]()(l i m [ xgxf
（ 2）当 时，而 时,??A 0?B ??? )]()(l i m [ xgxf
（ 3）当 时，而 时,??A ??B ??)(
)(l i m
xg
xf
（ 4）当 时，而 时,??A??B 0)(
)(l i m ?
xg
xf
（ 5）当 时，而 时,0?B 0?A ??
)(
)(l i m
xg
xf
关于数列极限也有类似的四则运算法则
定理 2 （复合函数的极限运算法则）
设函数 是由函数 与 )]([ xfy ?? )(ufy ?
)( xu ?? 复合而成,)]([ xfy ?? 在点 的某去 0x
心邻域内有定义．若 0)(lim
0
uxxx ?? ? Aufuu ?? )(lim,
0
且存在,当 时,00 ?? ),( 000 ?xUx ? 有 0)( ux ??
则
Aufxf uuxx ?? ?? )(lim)]([lim
00
?
证 按函数极限的定义，需要证：对任意的
0?? 0?? ???? 00 xx
?? ?? Axf )]([
,存在, 当
由于,对任意,存在 Aufuu ?? )(l i m
0
0?? 0??
当 时,???? 00 uu ??? Auf )(
又由于,)(lim 0
0
uxxx ?? ? 对上面得到的, ?? 存在
01 ?? ???? 00 xx，当 时, ?? ?? 0)( ux
由条件当 时,),( 000 ?xUx ? 0)( ux ??
取 },m i n { 10 ??? ?,则当 时,???? 00 uu
?? ?? 0)( ux 0)( 0 ?? ux?及
同时成成立．即
?? ??? 0)(0 ux
成立，从而
?? ???? AufAxf )()]([
成立,
此定理给出了求复合函数的极限的公式,
)(lim)]([lim
00
ufxf uuxx ?? ??
二、极限的不等性
证明：令 0)()()( ??? xgxfxF
根据保号性定理，有
0)]()(l i m [)(l i m ??? xgxfxF
从而,0)(lim)(lim ???? BAxgxf
即,BA ?
BA
xgxfBxgAxf
?
???
则有
且若 )()(,)(lim,)(lim
定理 3
例 1,53 1lim 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(lim 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5limlim3)lim( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,03 ??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(l i m
1l i ml i m
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
三、求极限方法举例
小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0 ) ( 0 则商的法则不能应用．可用推广的 若 ? x Q
公式求,
例 2,12l i m 21 ?? x xx求
解
（也可由无穷小的倒数为无穷大来求）
22lim 1 ?? xx? 0)1(lim,21 ??? xx
商的法则不能用，但由推广的公式（ 5）可得
.12l i m 2
1
???
? x
x
x
例 3 求,93lim 21 ??? xxx
6
1
3
1lim
)3)(3(
3lim
9
3lim
1121
????? ????
??? xxx
x
x
x
xxx
解 当 时，分子、分母的极限都为零，此时
不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约
去无穷小因子的方法将函数变形后求极限
1?x
例 4,
147
532lim
23
23
??
??
?? xx
xx
x
求
解,,,分母的极限都是无穷大分子时??x )( 型??
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
l i m
147
532
l i m
xx
xx
xx
x
xx
??
??
?
??
??
????
.72?
(无穷小因子分出法 )
例 5 求极限 23
2
4
123l i m
xx
xx
x ?
??
??
解 当 时，分子分母都趋于无穷大,
用无穷大因子 去除分子分母，然后再求极限,
??x
3x
0
1
4
123
lim
4
123
lim
32
23
2
?
?
??
?
?
??
????
x
xxx
xx
xx
xx
例 6 求极限 123
4lim
2
22
??
?
?? xx
xx
x
用 去除分子分母，然后求极限, 解 2x
??
??
?
?
??
?
????
2
2
22
12
3
14
l i m
123
4
l i m
xx
x
xx
xx
xx
也可利用例 5的结果求极限“非零无穷小的倒数为
无穷大”的结论得到例 6的结果,
综合例 4、例 5、例 6的结果，可有,
为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 7 求 )15(
)2(l i m
24
32
?
?
?? xx
xx
x
5
8
5
8lim
)15(
)2(lim
6
6
24
32
????? ???????
???? x
x
xx
xx
xx解
例 8 求 )21(
21lim 222
nn
n
n ?????
?????
??
解
3
2
2
)1(
)12)(1(
6
1
lim
)21(
21
lim
2
222
?
?
?
???
?
?????
?????
???? nn
n
nnn
nn
n
nn
例 9 求 x
x
x
a r c t a nlim
??
解 当 时,为无穷小，而 是 ??x
x
1 xarc tan
有界函数，所以
0a r c t a nlim ?
?? x
x
x
例 10 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xf
xx
xxxf
x ???
?
??
???
求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(lim 0 ?? xfx故
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
四、小结与思考判断题
思考题
在某个过程中，若 有极限,
无极限，那么 是否有极限？为
什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
思考题解答
没有极限,
假设 有极限,)()( xgxf ? )(xf? 有极限,
由极限运算法则可知,
? ? )()()()( xfxgxfxg ??? 必有极限,
与已知矛盾,故假设错误,
.__________1s i nl i m5 20 ?? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3l i m1
3
2 ??
?
? x
x
x、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _11l i m2 31 ???? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(l i m3 2 ?????? xxxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(l i m4 3 ?????? n nnnn、
.__________c o sl i m6 ?? ???? xxx ee x、
练 习 题
.__________23 24l i m7 2
24
0 ??
??
? xx
xxx
x、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)12( )23()32(lim8 50
3020
?? ??
?? x
xx
x
、
二、求下列各极限,
)21.,,41211(l i m1 nn ??????、
h
xhx
h
22
0
)(l i m2 ??
?、
)1 31 1(l i m3 31 xxx ????、
38 2
31lim4
x
x
x ?
??
??、
)(lim5 xxxxx ??????、
14
12l i m6
?
?
??? x
x
x、
2l i m7 1 ??
?
? nm
nm
x xx
xx、
一,1, -5 ； 2, 3 ； 3, 2 ； 4,
5
1；
5, 0 ； 6, 0 ； 7,
2
1； 8,
30
)
2
3
(,
二,1, 2 ； 2, x2 ； 3, -1 ； 4, -2 ；
5,
2
1； 6, 0 ； 7,
nm
nm
?
?
.
练习题答案