流体力学与流体机械
(二 )
多媒体教学课件李文科 制作第二章 流体静力学
概 述 流体静力学研究的内容
第一节 作用在流体上的力
第二节 流体的静压力及其特性
第三节 流体平衡微分方程和等压面
第四节 流体静力学基本方程
第五节 绝对压力、相对压力和真空度第二章 流体静力学
第六节 浮力作用下气体静力学基本方程
第七节 液柱式测压计原理
第八节 液体的相对平衡
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第二章 流体静力学流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律,以及这些规律的实际应用 。
宇宙万物都处在不停的运动之中,真正静止的物体是不存在的 。 但是,从工程应用的角度来看,在多数情形下,忽略地球自转和公转的影响,而把地球选作 惯性参照系,对于研究问题的结果还是足够精确的 。 当物体相对于惯性参照系没有运动时,我们便说该物体处于 静止状态或平衡状态 。 如果我们选择本身具有加速度的物体作为参照系,即 非惯性参照系,当物体相对于非惯性参照系没有运动时,便说它处于 相对静止或相对平衡状态 。 对于研究流体宏观机械运动的流体力学来说,
也是如此 。
第二章 流体静力学既然处于静止或相对静止状态的流体对参照系没有运动,
则实际流体的粘性作用表现不出来,切应力 τ=0。 所以 本章所讨论的流体平衡规律,不论是对理想流体,还是对实际流体都是适用的 。
第一节 作用在流体上的力内 容 提 要
一,表面力及其表示方法
二,质量力及其表示方法作用在流体上的力可分为两大类,表面力 和 质量力 。
一,表面力及其表示方法表面力是指作用在所研究的流体的表面上,并且与流体的表面积成正比的力 。 也就是该流体体积周围的流体或固体通过接触面作用在其上的力 。 表面力不仅是指作用在流体外表面上的力,也包括作用在流体内部任一表面上的力 。
表面力一般可 分解成两个分力,即与流体表面垂直的法向力 P和与流体表面 相切的切向力 T。 在连续介质中,表面力不是一个集中的力,而是沿着表面连续分布的 。 因此,在流体力学中,常用单位表面积上所作用的表面力 — 法向应力 和 切向应力 来表示,其 单位为 N/m2。
第一节 作用在流体上的力第一节 作用在流体上的力由粘性所产生的 内摩擦力 和流体受到的固体壁面的摩擦力,
以及固体壁面对流体的压力等都 是表面力 。
如图 2-1所示,在流体中任取一体积为 V,表面积为 A的流体作为研究对象,所取的这部分流体以外的流体或固体通过接触面必定对该部分流体产生作用力 。 在分离体表面的 a点取一微元面积 ΔA,作用在 ΔA上的表面力为 ΔF,将 ΔF分解为沿法线方向 n的法向力 ΔP和沿切线方向 τ的切向力 ΔT,当 ΔA缩小趋近于点 a时,便得到作用在 a点的法向应力 p和切向应力 τ,即
(2-1)
(2-2)
A
T
A
T
A
P
A
P
p
d
d
lim
d
d
lim
0ΔA
0ΔA
第一节 作用在流体上的力流体的压力 p就是指作用在单位面积上的法向应力的大小 。
图 2-1 作用在流体上的表面力第一节 作用在流体上的力二,质量力及其表示方法质量力 是指作用在流体的所有质点上,并且和流体的质量成正比的力 。 它可以从远距离作用于流体内每一个流体质点上 。 对于均匀流体,质量力又与流体的体积成正比,因此,质量力又称为 体积力 。 例如,在重力场中由地球对流体全部质点的引力作用所产生的 重力 ；带电流体所受的 静电力,以及有电流通过的流体所受的 电磁力 等都是质量力 。 当我们应用达朗伯原理去研究流体的加速运动时,虚加在流体质点上的 惯性力 也属于质量力 。 惯性力的大小等于质量乘以加速度,其方向与加速度的方向相反 。
第一节 作用在流体上的力质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力,即单位质量力来度量 。 单位质量力通常用 来表示 。
在直角坐标系中,设质量为 m的流体所受的质量力为 F,它在各坐标轴上的投影分别为 Fx,Fy,Fz,则单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为
(2-3)
则 (2-4)
单位质量力及其在各坐标轴上的分量的单位是 N/kg或 m/s2，
与加速度的单位相同 。 如在重力场中,对应于 单位质量力的重力数值就等于重力加速度 g,其单位为 m/s2。
m
Ff
m
Ff
m
Ff z
z
y
y
x
x,，
kfjfiff zyx
f?
第二节 流体的静压力及其特性内 容 提 要
1,流体静压力的概念
2,流体静压力的基本特性第二节 流体的静压力及其特性在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压力 。 当流体处于静止或相对静止状态时,流体的压力就称为 流体的静压力 。
流体的静压力具有两个基本特性：
特性一,流体静压力的方向与作用面相垂直,并指向作用面的内法线方向 。
特性二,静止流体中任一点流体静压力的数值与作用面在空间的方位无关,只是该点坐标的函数 。 也就是说,在静止流体中任一点处各方向的流体静压力均相等 。
下面就来证明这两个特性,根据流体的特性可知,流体不能够承受拉力 (表面层的表面张力除外 ),在微小的剪切力作用第二节 流体的静压力及其特性下也会发生变形,变形必将引起流体质点的相对运动,这就破坏了流体的平衡 。 因此,在平衡条件下的流体不能承受拉力和切力,只能承受压力,而压力就是沿内法线方向垂直作用于作用面上 。 这就证明了流体静压力的第一个特性 。 如图 2-2所示,
静止流体对容器的静压力恒垂直于器壁 。
为了证明第二个特性,在静止流体中取出直角边长各为
dx,dy,dz的微元四面体 ABCD,如图 2－ 3所示 。 假设作用在
△ ACD,△ ABD,△ ABC和 △ BCD四个平面上的平均流体静压力分别为 px,py,pz和 pn,pn与 x,y,z轴的夹角 (亦即斜面
△ BCD的法线 n与 x,y,z轴的夹角 )分别为 α,β,γ。 由于静止流体不存在拉力和切力,因此作用在静止流体上的表面力第二节 流体的静压力及其特性图 2-2 静压力恒垂直于器壁图 2-3 微元四面体受力分析第二节 流体的静压力及其特性只有压力 。 作用在各面上流体的总压力分别为
(dAn为 △ BCD的面积 )
除了表面力外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量力,该质量力分布在流体微团的全部质点中,设流体微团的平均密度为 ρ,而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6,则
nnn
zz
yy
xx
ApP
yxpP
xzpP
zypP
d
dd
2
1
dd
2
1
dd
2
1
第二节 流体的静压力及其特性微元四面体内流体质量为 dm=ρdxdydz/6。 假设作用在流体上的单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz,则作用在微元四面体上的总质量力 W在各坐标轴上的分量分别为由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上的一切力在各坐标轴上投影的总和等于零 。 对于直角坐标系,则有
zz
yy
xx
fzyxW
fzyxW
fzyxW
ddd
6
1
ddd
6
1
ddd
6
1
第二节 流体的静压力及其特性
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0
在 x轴方向上力的平衡方程为把 Px,Pn和 Wx的各式代入得由于 dAncosα=dydz/2,代入上式并简化得当微元四面体以 A点为极限时,dx,dy,dz都趋近于零,则上式成为
0ddd61c o sddd21 xnnx fzyxApzyp
0d31 xfpp xnx?
0co s xnx WPP?
第二节 流体的静压力及其特性同理可证所以 (2-5)
由于 n的方向是完全可以任意选取的,则式 (2-5)表明：从各个方向作用于一点的流体静压力大小是相等的 。 也就是说,
作用在一点的流体静压力的大小与该点处的作用面在空间的方位无关 。 从而证明了流体静压力的第二个特性 。
虽然流体中同一点的各方向的静压力相等,但空间不同点的静压力则可以是不同的 。 因流体是连续介质,所以流体静压力应是空间点的坐标的连续函数 。 即
p=p(x,y,z)
nzyx
nzny
nx
pppp
pppp
pp
，
第三节 流体平衡微分方程和等压面内 容 提 要
一,流体平衡微分方程
二,有势质量力及力的势函数
三,等压面及其特性第三节 流体平衡微分方程和等压面一,流体平衡微分方程静止流体在外力作用下,其内部形成一定的压力分布,
为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律,并用来解决工程实际问题,首先需要建立流体平衡微分方程式 。
如图 2-4所示,从静止流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz的微元平行六面体,其中心点为 a,坐标为 (x,y,z),该点的流体静压力为 p=p(x,y,z)。
作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力 。 由于流体处于平衡状态,所以没有切应力,故表面力只有沿内法线方向作用在六面体六个面上的静压力 。
过 a点作平行于 x轴的直线交左右两平面的中心 b,c两点 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面图 2-4 平衡微元平行六面体及 x方向的受力第三节 流体平衡微分方程和等压面由于静压力是点的坐标的连续函数,所以在 b,c两点上的静压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上的无穷小量,分别等于 和 。 由于六面体的面积都是微元面积,
故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力 。 此外,设微元六面体流体的平均密度为 ρ,流体的单位质量力为,它在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz。 则微元六面体的质量力沿
x轴的分力为 fxρdxdydz。 由于微元六面体处于平衡状态,则有
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0。 在 x轴方向 上或
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp
0dddddd
0ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(
zyx
x
p
zyxf
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
x
x
f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面如果用微元体的质量 ρdxdydz去除上式,则得到单位质量流体在 x方向上的平衡方程同理可得
(2-6)
写成向量形式
(2-6a)
这就是 流体平衡微分方程式 。 它是欧拉在 1755年首先提出的,
所以又称为 欧拉平衡微分方程式 。
0dg r a
1
0
1
0
1
0
1
pf
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
第三节 流体平衡微分方程和等压面欧拉平衡微分方程的物理意义为,当流体平衡时,作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡,它们沿三个坐标轴的投影之和分别等于零 。 欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程,它可解决流体静力学中许多基本问题 。
在 圆柱坐标系下 流体的平衡微分方程式的形式为
(2-7)
0
1
0
1
0
1
z
p
f
r
p
f
r
p
f
z
r
第三节 流体平衡微分方程和等压面上式中 fr,fθ,fz分别为单位质量力在径向 r,切向 θ和轴向 z上的分量 。
在推导欧拉平衡微分方程的过程中,对质量力的性质及方向并未作具体规定,因而本方程 既适用于静止流体,也适用于相对静止的流体 。 同时,在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制,所以它 不但适用于不可压缩流体,
而且也适用于可压缩流体 。 另外,流体是处在平衡或相对平衡状态,各流层间没有相对运动,所以它 既适用于理想流体,也适用于粘性流体 。
为了便于积分和工程应用,流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式,即 全微分形式 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面现将式 (2-6)中各分式分别乘以 dx,dy,dz,然后相加得因为压力 p是坐标的连续函数,故 p的全微分为于是,流体平衡微分方程式 (2-6)又可表示为
(2-8)
这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式 。
同样,对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为
(2-9)
0)ddd(1)ddd( zzpyypxxpzfyfxf zyx?
zzpyypxxpp dddd
)ddd(d zfyfxfp zyx
)ddd(d zfrfrfp zr
第三节 流体平衡微分方程和等压面二,有势质量力及力的势函数根据场论的知识,有势质量力及力的势函数有如下定义：
设有一质量力场,若存在一单值函数 U(x,y，
z),满足,则称该质量力场为有势力场,力 称为有势质量力,函数 U(x,y,z)称为该力场的 势函数 。
由流体平衡微分方程式 (2-6a)可以看出,如果流体为不可压缩流体,其密度 ρ=常数,则存在一单值函数 U(x,y,z),满足所以,根据有势质量力的定义,可以得出这样的 结论：,凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力 。,
fpU
g r a d1g r a d?
)( zyxf,，?
Uf grad f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面或者说：,不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态 。,
上式中 U=U(x,y,z)为力的势函数,质量力 为有势质量力 。 由于因此可得
(2-10)
上述向量式的两边同时点乘以,得
(2-11)
z
U
f
y
U
f
x
U
f
fkfjfifk
z
U
j
y
U
i
x
U
U
zyx
zyx
，，
g r a d
kzjyixs dddd
sfzfyfxf
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U
zyx
dddd
dddd
f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面上式表明,力的势函数的全微分 dU为单位质量力 在空间移动 距离所做的功 。 可见,有势质量力所做的功与路径无关 。
比较式 (2-8)和式 (2-11)
dp=ρdU 或 p=ρU+C (2-12)
上式即为不可压缩流体内部静压力 p与力的势函数 U之间的关系式,积分常数 C可由边界条件确定 。
f?
s?d
第三节 流体平衡微分方程和等压面三,等压面及其特性静止流体中压力相等的各点所组成的面称为 等压面 。 例如液体与气体交界的自由表面就是最明显的等压面,其上各点的压力都等于液面上气体的压力 。 既然在等压面上各点的压力都相等,则 可用 p(x,y,z)=C来表示 。 在不同的等压面上其常数
C的值是不同的,而且流体中任意一点只能有一个等压面通过 。
所以流体中可以作一系列的等压面 。 在等压面上 dp=0,代入
(2-8)式,可得到 等压面微分方程为
(2-13)
0ddd zfyfxf zyx
第三节 流体平衡微分方程和等压面等压面具有以下三个重要特性：
(1)不可压缩流体中,等压面与等势面重合 。
所谓等势面就是力的势函数 U(x,y,z)=C的面 。 由式 (2-
12)可以看出,对于不可压缩流体,等压面也就是等势面 。
(2)在平衡流体中,作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。
在等压面上某点任取一微元弧段,作用在该点上的质量力为 ( 如图 2-5),由 等 压 面 微 分 方 程 式 (2-13) 可知,,因此 与 必定垂直,这就说明,作用在平衡流体中任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。 由等压面的这一特性,我们就可以根据作用在流体质点上的质量
0d sf
f?
s?d
s?df?
第三节 流体平衡微分方程和等压面力的方向来确定等压面的形状 。 或者由等压面的形状去确定质量力的方向 。 例如,
对于只有重力作用的静止流体,因重力的方向总是垂直向下的,所以其等压面必定是水平面 。
(3)两种互不相混的流 图 2-5 质量力与等压面的关系体处于平衡状态时,其分界面必定为等压面 。 如处于平衡状态下的油水分界面,气水分界面等都是等压面 。
第四节 流体静力学基本方程内 容 提 要
1,重力流体的概念
2,流体静力学基本方程的形式
3,流体静力学基本方程的物理意义
4,流体静力学基本方程的使用条件
5,基准面的选取和等压面的确定第四节 流体静力学基本方程欧拉平衡微分方程式是流体静力学的最一般的方程组,它代表流体静力学的普遍规律,它在任何质量力的作用下都是适用的 。 但在自然界和工程实际中,经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况 。 作用在流体上的质量力只有重力的流体简称为 重力流体 。 现在我们就来研究质量力只有重力的静止流体中的压力分布规律 。
如图 2-6所示,坐标系的 x轴和 y轴为水平方向,z轴垂直向上 。 因为质量力只有重力,故单位质量力在各坐标轴上的分量为此处 g为重力加速度,它代表单位质量流体所受的重力 。
gfff zyx 00,，
第四节 流体静力学基本方程图 2-6 重力作用下的静止流体第四节 流体静力学基本方程因为重力加速度的方向垂直向下,与 z轴方向相反,故式中加一,—” 号 。 将上述质量力各分量代入压力微分方程式 (2-8)得或写成对于不可压缩流体,γ =常数 。
(2-14)
或 (2-14a)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。
这就是 重力作用下的流体平衡方程,通常称为 流体静力学基本方程 。 它适用于平衡状态下的不可压缩均质重力流体 。
0d
d
dd
z
p
zgp
Czp
Cz
p
第四节 流体静力学基本方程对于在 静止流体中任取的 1和 2两点,它们的垂直坐标分别为 z1和 z2,静压力分别为 p1和 p2(见图 2-6)。 则式 (2-14)可以写成
(2-15)
流体静力学基本方程的物理意义,即 力学意义,能量意义和 几何意义,
力学意义,式 (2-14a)中 γz为单位底面积,z高度的流体柱具有的重力,称为 位压 ； p为单位面积上流体所受的压力,称为 静压,即流体的静压力 。 它们的单位都是 牛顿 /米 2。 式 (2-
14a)表明,平衡状态下的不可压缩重力流体所受到的位压和静压彼此平衡 。
2
2
1
1 zpzp
第四节 流体静力学基本方程能量意义,式 (2-14)中的 z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能,称为 比位能 。 从物理学得知,把质量为 m的物体从基准面提升一定高度 z后,该物体所具有的位能是 mgz，
则单位重量物体所具有的位能为,(mgz)/(mg)=z。
式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能,称为 比压力能 。 因为压力为 p,体积为 V的流体所做的膨胀功为 pV,则单位重量物体所具有的压力能为,pV/G=p/γ。
比位能 z和比压力能 p/γ的单位都是 焦耳 /牛顿 。
关于比压力能的概念,可参照图 2-7作进一步解释：将图中右侧玻璃管上端封闭,并抽成真空 (p'0=0)。 然后与大容器相连,在开孔处液体静压力 p的作用下,液体进入测压管克服第四节 流体静力学基本方程重力作功,在管中上升一定的高度 hp,从而增加了液柱的位能 。
所以称为 p/γ为单位重量流体的压力能 (比压力能 ),它的大小恰好等于液柱上升的高度 hp,即 hp=p/γ。
比位能与比压力能之和
(p/γ+z)称为单位重量流体的 总势能 。 所以式 (2-14)表示在 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 。 这就是 静止流体中的能量守恒定律 。 图 2-7 闭口测压管中液柱上升高度第四节 流体静力学基本方程几何意义,式 (2-14)中的 z为流体质点距某一基准面的高度,
称为 位置高度,或称为 几何压头 或 位压头 ； 式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称之为 压力高度,或称为 压力压头 或 静压头 。 它们的单位都是 米 。 位压头与静压头之和 (p/γ+z)称为 测压管压头 。 因此式 (2-14)也表示 静止流体中各点的测压管压头都是相等的 。 如图 2-8所示,图中 AA线或 A'A'线称为测压管压头 线,它们都是水平线 。
第四节 流体静力学基本方程图 2-8 静止流体的测压管压头线第四节 流体静力学基本方程在工程 实际中,常常需要计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压力 。 为此,可取自由液面为基准面,向下取液体深度 h为垂直坐标 (如图 2-6)。 由于深度 h的方向与 z轴的方向相反,所以 dh=-dz,于是
dp=-ρgdz=γdh
对于不可压缩流体,γ =常数 。
p=γh+C (2-16)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。 因为当 h=0时,p=p0为自由液面上的气体压力,则 C=p0,代入上式得
(2-17)
hpp 0
第四节 流体静力学基本方程式 (2-17)为流体静力学基本方程的另一种形式,通常又称为 水静力学基本方程 。 由它得到以下四个 重要结论：
(1)在重力作用下的静止液体中,静压力 p随深度 h按线性规律变化 。 即随深度 h的增加,液体静压力 p值随之成正比地增大 。
(2)静止液体内任一点的静压力由两部分组成：一部分是自由液面上的 压力 p0；另一部分是底面积为 1,深度为 h,重度为 γ的一段液体柱的重量 γh。
(3)在静止液体中,位于同一深度 (h=常数 )的各点的静压力都相等 。 即静止液体内任一水平面都是等压面 。
(4)静止液体表面上所受到的压力 p0(即外部压力 ),能够第四节 流体静力学基本方程大小不变地传递到液体内部的每一点上去 。 此即帕斯卡定律 。
通过上述分析可知,流体静力学基本方程的 适用条件 是：
只受重力作用的不可压缩的静止流体 。
基准面的选取,基准面一般是选取一个与地球同心的椭球面 。 对于研究小范围内的工程问题时,可取水平面作为基准面 。 至于基准面的具体位置,原则上是可以任意选定的,视计算的方便而定 。
等压面的确定,对于静止的流体,主要是看等密度的同种流体 是否连通,如果该流体是连通的,则该流体内的任一水平面都是等压面 。 否则 (如某一流体被另一流体隔开 ),该流体内的水平面就不一定是等压面,要视具体情况确定 。
第四节 流体静力学基本方程对于相对静止的流体,除了作匀速直线运动和垂直等加速运动的流体可用上述方法确定等压面外,一般情况下是用解析方法由等压面方程来确定等压面 。
第五节 绝对压力、相对压力和真空度内 容 提 要
1,绝对压力的概念
2,相对压力的概念
3,正压、负压和零压的概念
4,真空度的概念第五节 绝对压力、相对压力和真空度对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准：
第一种是以没有流体分子存在的完全真空时的绝对零压力
(p=0)为基准来度量流体的压力,称之为 绝对压力 。
另一种是以同一高度的当地大气压力为基准来度量流体的压力,称为 相对压力 。
或 (2-18)
式中 p— 流体的绝对压力 (Pa)
pa— 当地大气压力 (Pa)；
pm— 流体的相对压力 (Pa)。
amam pppppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度由于流体的 相对压力 pm可以由压力表直接测得,所以又称之为 表压力 。 若流体的绝对压力高于当地大气压力时,其相对压力为正值,我们称为 正压 ；若流体的绝对压力低于当地大气压力时,其相对压力为负值,我们称为 负压 。 这时流体处于真空状态 。 例如水泵和风机的吸入管中,锅炉炉膛以及烟囱底部等处的绝对压力都低于当地大气压力,这些地方的相对压力都是负值,即都是负压 。
所谓 真空度 是指流体的绝对压力小于当地大气压力所产生真空的程度 。 它不是流体的绝对压力,而是流体的绝对压力不足于当地大气压力的差值部分,亦即负的相对压力,也称为 真空压力,常用 pv表示 。 用数学式表示为第五节 绝对压力、相对压力和真空度
(2-19)
如 以液柱高的形式来表示真空压力,就称为 真空高度,即
(2-20)
例如,某设备内流体的绝对压力为 0.2atm,求其相应的真空度为多少?
真空度 (真空压力 ),pv=pa-p=1-0.2=0.8 atm
真空高度 (以水柱高表示 )：
hv=pv/γ=(0.8× 9.81× 104)/(9.81× 103)=8.0 mH2O
由此可见,若某点的绝对压力为零,则 pv=pa,称该点处于绝对真空,即 理论上的最大真空度 。
ppph aV
V
maV pppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度在工程上还常以真空压力与大气压力相比的百分数来表示真空的程度 。
为了正确的区别和理解绝对压力,相对压力和真空度及其相互间的关系,
可用图 2-9来表示 。
图 2-9 绝对压力,大气压力,相对压力及真空度的相互关系第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程内 容 提 要
1,大气浮力作用下气体静力学基本方程的形式
2,大气浮力作用下气体静力学基本方程的使用条件
3,大气浮力作用下气体静力学基本方程的物理意义第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程在工程实际中所使用的热工设备等,并不是置于真空之中,
而是放置在大气空间,处于大气的包围之中的,所以,这些设备内的流体都要受到大气的浮力作用 。 特别是热气体受大气浮力的影响会更大 。 因此,讨论大气浮力作用下气体的静力学规律更具有实际意义 。
图 2-10为一盛有某种气体的容器或设备 (如空调室,锅炉炉膛等 )置于大气空间中,设容器内气体的重度为 γg,容器外空气的重度为 γa,在容器内距基准面 z高度处,气体的绝对压力为 p,在容器外同一高度处大气的压力为 pa。 现在用式 (2-14a)
对容器内的气体和容器外的大气分别列出静力学基本方程,即第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程图 2-10 大气浮力作用下的静止气体第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程
(1)
(2)
由式 (1)减去式 (2),并注意到 p－ pa=pm为气体的相对压力,得
(2-21)
式 (2-21)就是 大气浮力作用下气体的静力学基本方程 。 该方程的 使用条件 与式 (2-14)相同 。
下面来说明式 (2-21)的 力学意义 和 能量意义,
力学意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为底面积为 1,高度为 z的气体柱的重力 γgz与其所受到的大气浮力 γaz之差,即气体柱的 有效重力,单位为 牛顿 /米 2。 pm 为容器内 z高度 处气体的
Czp agm )(
2
1
Czp
Czp
aa
g
第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程相对压力,单位为牛顿 /米 2。 式 (2-21)表明,静止状态下的气体所受到的有效重力与其相对压力相平衡 。
由式 (2-21)可以看出,对于热的气体,γg＜ γa,γg-γa＜ 0，
因此,热气体的相对压力 pm 沿高度方向 是越往上越大,而越往下越小 。
能量意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为单位体积气体相对于基准面所具有的 相对位能,即有效重力相对于基准面所具有的做功的本领； pm 为单位体积气体所具有的 相对压力能,即流体的压力相对于大气所做的膨胀功 。 它们的单位是 焦耳 /米 3。
第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程式 (2-21)表明,静止状态下单位体积气体所具有的相对总势能是守恒的 。
对于容器中的 1,2两点,式 (2-21)可以写成
(2-22)
2211 )()( zpzp agmagm
第七节 液柱式测压计原理内 容 提 要
一,测压管 (单管测压计 )
二,U型管测压计
三,U型管差压计
四,斜管微压计第七节 液柱式测压计原理流体静压力的测量仪表很多,根据测量原理不同,常用的测压计可分为 液柱式,机械式 和 电气式 三类 。 本节只介绍液柱式测压计的原理 。 液柱式测压计是以重力作用下的液体平衡方程为基础的,它是用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压力或压力差 。 液柱式测压计结构简单,使用方便,一般适用于测量低压 (1.5× 105Pa以下 ),真空压力和压力差 。
下面介绍几种常用的液柱式测压计及其测压原理 。
一,测压管 (单管测压计 )
测压管是一种最简单的液柱式测压计 。 为了减少毛细现象所造成的误差,通常采用一根内径大于 10mm的直玻璃管 。 测压时将测压管的下端与盛有液体的压力容器所要测量处的小孔第七节 液柱式测压计原理相连接,上端开口与大气相通,如图
2-11所示 。
在被测液体的压力作用下,若液体在玻璃管中上升的高度为 h,液体的重度为 γ,当地大气压力为 pa,则根据流体静力学基本方程式 (2-17)得容器中 A点的绝对压力为
A点处的相对压力为图 2-11 测压管
hpp a
hppp am
第七节 液柱式测压计原理于是,用测得的液柱高度 h,则可得到容器中某处的绝对压力和相对压力 。
应当注意,(1)由于各种液体重度不同,所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小,还必须同时 注明是何种液体的液柱高度 才行 。 (2)测压管只 适用于测量较小的压力,一般不超过
10kPa。 如果被测压力较高,则需要加长测压管的长度,使用就很不方便 。 (3)测压管中的工作介质就是被测容器 (或管道 )
中的流体,所以 测压管只能用于测量液体的正压,而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用 。 (4)在测量过程中,测压管一定要垂直放置,否则将会产生测量误差 。
第七节 液柱式测压计原理二,U型管测压计这种 测压计是一个装在刻度板上的两端开口的 U型玻璃管 。
测量时,管的一端与大气相通,另一端与被测容器相接 (如图
2-12),然后根据 U型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力 。 U型管内装有重度 γ2大于被测流体重度 γ1的液体工作介质,如水,酒精,四氯化碳和水银等 。 它是根据被测流体的性质,被测压力的大小和测量精度等来选择的 。 如果被测压力较小时 (如测量气体的压力时 ),可用水或酒精作为工作介质；
如果被测压力较大时 (如测量液体的压力 ),可用水银作为工作介质 。 但一定要 注意,工作介质与被测流体相互不能掺混 。
第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计的测量范围比测压管大,但一般也不超过
0.3MPa。 U型管测压计可以用来测量容器中高于大气压的流体压力,也可以用来测量容器中低于大气压的流体压力,即也可作为真空计来测量容器中的真空度 。
下面分别介绍用 U型管测压计测量 p＞ pa和 p＜ pa两种情况的测压原理 。
(一 )当被 测容器中的流体压力高于大气压力,即 p＞ pa时,
如图 2-12(a)所示 。 U型管在没有接到测点 A以前,左右两管内的液面高度相等 。 U型管接到测点上后,在测点 A的压力作用下,左管液面下降,右管液面上升,直至达到平衡 。 这时,被测流体与管内工作介质的分界面 1-2为 一水平面 。 由于第七节 液柱式测压计原理图 2-12 U型管测压计第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计是连通器,1-2断面以下都是工作液体,所以 1-2
断面为等压面 。 因此,U型管左右两管中点 1和点 2的静压力相等,即 p1=p2由式 (2-17),可得
p1=p+γ1h1 p2=pa+γ2h2
所以 p+γ1h１ =pa+γ2h2
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa+γ2h2-γ1h1 (a)
A点的相对压力为
pm=p-pa=γ2h2-γ1h1 (b)
于是,可以根据测得的 h1和 h2以及已知的 γ1和 γ2计算出被测容器中流体某点处的绝对压力和相对压力 。
第七节 液柱式测压计原理
(二 )当被测容器中的流体压力小于大气压力,即 p＜ pa时,
如图 2-12(b)所示 。 在大气压力作用下,U型管右管内液面下降,
左管内液面上升,直到平衡为止 。 这时两管工作介质的液面高度差为 h2。 过右管工作介质的分界面作水平面 1-2,它是等压面,即 p1=p2。 由式 (2-17)可得
p1=p+γ1h1+γ2h2 p2=pa
所以有 p+γ1h1+γ2h2=pa
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa-γ1h1-γ2h2 (c)
A点的真空度 (或负表压 )为
pv=pa-p=γ1h1+γ2h2 (d)
第七节 液柱式测压计原理如果 U型管测压计用来测量气体的压力,因为气体的度很小,式 (a)到式 (d)中的 γ1h1项可以忽略不计 。
如果被测流体的压力较高,用一个 U型管则较长,可以采用串联 U型管组成多 U型管测压计 。 通常采用双 U型管或三 U型管测压计 。
第七节 液柱式测压计原理三,U型管差压计
U型管差压计用来测量两个容器或同一容器 (或管道等 )流体中不同位置两点的压力差 。 测量时,把 U型管两端分别和不同的压力测点 A和 B相接,如图 2-14所示 。 U型管中应注入较两个容器内的流体重度为大且不相混淆的液体作为工作介质 (即 γ
＞ γA,γ＞ γB)。
若 pA＞ pB,则 U型管内液体沿右面管上升,平衡后,1-2断面为等压面,即 p1=p2。 由 静力学基本方程 (2-17)
p1=pA+γA(h1+h)
p2=pB+γBh2+γh
由于 p1=p2,因此第七节 液柱式测压计原理图 2-14 U型管差压计第七节 液柱式测压计原理
pA+γA(h1+h)=pB+γBh2+γh
则 pA-pB=γBh2+γh-γA(h1+h)
=(γ-γA)h+γBh2-γAh1
若两个容器内是同一流体,即 γA=γB=γ1,则上式可写成
pA-pB=(γ-γ1)h+γ1(h2-h1)
若两个容器内是同一气体,由于气体的重度很小,U型管内的气柱重量可以忽略不计,
pA-pB=γh
如果测量较小的液体压力差时,也可以采用倒置式 U型管差压计 。 如果被测量的流体的压力差较大,则 可采用双 U型管或多 U型管差压 计 。
第七节 液柱式测压计原理四,斜管微压计当测量很 微小的流体压力时,为了提高测量精度,常常采用斜管微压计 。 斜管微压计的结构如图 2-16所示 。 它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成,其中盛有重度为 γ的工作液体 (通常用密度为 ρ=800kg/m3的酒精作为工作液体 )。
在测压 前,斜管微压计的两端与大气相通,容器与斜管内的液面平齐 (如图中的 0-0断面 )。 当测量容器或管道中的某处压力时,将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接,若被测气体的压力 p＞ pa,则在该压力作用下,微压计容器中液面下降 h1的高度至 1-1位置,而倾斜玻璃管中的液面上第七节 液柱式测压计原理图 2-16 斜管微压计第七节 液柱式测压计原理升了 l长度,其上升高度 h2=lsinα。 这样,微压计中两液面的实际高度差为 h=h1+h2。 若设微压计中容器的横截面积为 A1,斜管中的横截面积为 A2,由于容器内液体下降的体积与斜管中液体上升的体积相等,则 h1=lA2/A1。 于是,根据流体静力学基本方程式 (2-17),得被测气体的绝对压力为
(a)
其相对压力为
(b)
上式 (a),(b)中 k=γ[(A2/A1)+sinα],称为 斜管微压计常数 。
lkpl
A
A
p
hhphpp
a
1
2
a
21aa
)s in(
)(
lkppp am
第七节 液柱式测压计原理当 A1,A2和 γ不变时,它仅是倾斜角 α的函数 。 改变 α的大小,可以得到不同的 k值,即可 使被测压力差得到不同的放大倍数 。 对于每一种斜管微压计,其常数 k值一般都有 0.2,0.3、
0.4,0.6和 0.8五个 数据以供选用 。
如果用斜管微压计测量两容器或管道上两点的压力差时,
可将压力较大的 p1与微压计测压口相接,压力较小的 p2与倾斜的玻璃管出口相连,则测得的压力差为除斜管微压计外,常用的微压计还有双杯双液微压计和补偿式微压计等 。
klhpp21
第八节 液体的相对平衡内 容 提 要
一,匀速直线运动液体的相对平衡
二,水平等加速运动液体的相对平衡
三,等角速度旋转液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡一,匀速直线运动液体的相对平衡若盛有液体的容器作匀速直线运动,容器内的液体相对于地球是运动的,但液体相对容器却是静止的,液体质点之间也不存在相对运动 。 因此,作用在液体上的质量力只有重力而没有惯性力 。 此外,液体质点间也不存在粘性力 。 这样,只要把坐标系取在容器上,前面所讨论的关于重力作用下的静止流体的平衡规律及其特性将完全适用 。 即它们的等压面是水平面,
等压面方程为 z=C
液体内任一点的静压力可以由流体静力学基本方程式求得,即 p=p0+γh
第八节 液体的相对平衡二,水平等加速运动液体的相对平衡若盛有液体的容器在水平方向作等加速直线运动,那么,
容器内的液体相对于容器来说便处于相对平衡状态 。 但容器是等加速前进的,必然带动其中的液体等加速前进,即液体实际上是处于等加速运动中 。 假若我们把参考坐标系选在容器上,
则容器中的液体相对于该参照系便处于相对平衡状态 。 为了方便起见,我们将 x轴和 y轴放在容器中的液体自由表面上,坐标原点放在液体自由表面中心,x轴的方向与运动方向一致,z轴垂直向上,如图 2-17所示 。 当我们应用达朗伯原理来分析液体对该非惯性参照系 xyz的相对平衡时,作用在液体质点上的质量力除重力外,还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以加第八节 液体的相对平衡图 2-17 水平等加速运动容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡速度,方向与加速度方向相反的惯性力 。 设容器的加速度为 a，
则作用在单位质量液体上的质量力为将上述单位质量力的分量代入压力微分方程式 (2-8)得将上式积分,得
(2-23)
为确定积分常数 C,我们引进边界条件：当 x=0,z=0时,p=p0，
代入上式得 C=p0。
于是 (2-24)
上式就是 水平等加速直线运动容器中液体的静压力分布公式 。
它表明,压力 p不仅随坐标 z而变化,而且还随坐标 x而变化 。
gffaf zyx 0,，
)dd(d zgxap
Cgzaxp )(?
)(0 gzaxpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步研究图 2-17所示情况的等压面方程 。
将单位质量力的分量代入等压面微分方程式 (2-13)
adx+gdz=0
积分上式,得 ax+gz=C (2-25)
这就是 等压面方程 。 显然,水平等加速直线运动容器中液体的等压面已不是水平面,而是一族平行的斜面 。 该倾斜的平面族与 x
α=tg-1(a/g) (2-26)
在自由液面上,因 x=0时,z=0,则等压面方程中的积分常数 C=0,因此 自由液面的方程式 为
axs+gzs=0 (2-27)
或 zs=-axs/g (2-27a)
第八节 液体的相对平衡式中 xs,zs为自由液面上任意一点的坐标 。
将式 (2-24)
p=p0-ρ(ax+gz)=p0+ρg(-ax/g-z)
将式 (2-27a)
p=p0+ρg(zs-z)=p0+γh (2-24a)
式中 h=zs-z,为某点距液体倾斜自由液面下的深度,简称 淹深 。
比较式 (2-24a)和式 (2-17)可以看出,水平等加速直线运动容器中液体的静压力在深度方向的分布规律与静止流体中的静压力分布规律是相同的,即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度 γ与该点淹深 h的乘积 。
第八节 液体的相对平衡三,等角速度旋转液体的相对平衡
2-19所示,盛有密度为 ρ 的液体的圆筒形的容器绕其铅直中心轴 z以等角速度 ω旋转 。 开始时液体受离心惯性力的作用向外甩,原来静止时的水平自由液面中心处的液体下降,
而周围的液体沿器壁上升 。 当旋转达到稳定后,整个液体就像刚体一样随容器的转动而转动,自由液面成为稳定的凹形曲面 。
这时液体质点之间以及液体质点与器壁之间都没有相对运动,
液体相对容器处于相对平衡状态 。 根据达朗伯原理,作用在液体质点上的质量力除了重力以外,还要虚加一个 离心惯性力,
它的大小等于液体质点的质量乘以向心加速度,方向与向心加速度的方向相反 。 于是,在圆柱坐标系下,作用在单位第八节 液体的相对平衡图 2-19 等角速度旋转容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡质量流体上的质量力的各分量为式中 r为液体质点到旋转轴的距离 。
将单位质量力的各分量代入压力微分方程式 (2-9),得对上式积分得
(2-28)
根据边界条件,当 r=0,z=0时,p=p0,则积分常数Ｃ =p0,于是
(2-29)
这就是等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 。 上式表明在同一高度上,液体的静压力沿径向按半径的二次方增长 。
gffrf zθ2r 0,，?
)dd(d 2 zgrrp
Czgrp )2(
22?
)2()2(
22
0
22
0 zg
rpzgrpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步求出旋转容器中液体的等压面方程 。
将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式得积分得
(2-30)
式 (2-30)表明,等角速度旋转容器中液体的等压面是一族 绕 z轴的旋转抛物面 。 在自由表面上,当 r=0时,z=0,可得积分常数
C=0。 故自由 表面方程为
(2-31)
或
(2-31a)
0ddd zθr zfrfrf?
0dd2 zgrr?
Czgr2
22?
02 s
2
s
2
zgr?
g
rz
2
2
s
2
s
第八节 液体的相对平衡式中 rs,zs为自由表面上任一点的坐标 。
将式 (2-31a)代入式 (2-29),可得
(2-29a)
式中 h=zs-z,为液体中某点距自由表面的垂直距离,即距自由表面下的深度,简称 淹深 。
可以 看出,绕铅直轴等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 (2-29a)与静止液体中静压力分布公式 (2-17)完全相同,
即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度与该点淹深的乘积 。
hpzzpp 0s0 )(
第八节 液体的相对平衡下面我们再来讨论两种特殊的情况：
(1)如图 2-20所示,在装满液体的圆筒形容器顶盖中心处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体虽然受离心惯性力的作用而向外甩,但由于受容器顶盖的限制,
液面并不能形成旋转抛物面 。 尽管如此,但根据边界条件,当
r=0,z=0时,p=pa,故容器中液体内各点的静压力分布仍为作用在顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面分布,中心点 O
处的流体静压力为 p=pa,离开中心各点压力都大于 pa,顶盖边缘点 B处的流体静压力为最大,其值为 p=pa+γω2R2/2g,如图中箭头所示 。 角速度 ω 越大,则边缘处的流体静压力越大 。
)2(
22
zgrpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-20 顶盖中心开口的容器第八节 液体的相对平衡
(2)如图 2-21所示,在装满液体的圆筒形容器的顶盖边缘处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体由于受离心惯性力的作用而向外甩,但在容器内部产生的真空又将液体吸住,以致液体跑不出去 。 根据边界条件,当 r=R，
z=0时,p=pa,得积分常数 C=pa-γω2R2/2g,故液体内各点的静压力分布规律为
(2-32)
可见,尽管液面没有形成旋转抛物面,但作用在容器顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面的规律分布 。 顶盖边缘开口
B处为大气压力 pa,大气压力的等压面如图 ACB所示 。 旋转抛物面 ACB以上的流体静压力均小于大气压力,即有真空存在,
]2 )([
222
zg rRpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-21 顶盖边缘开口的容器第八节 液体的相对平衡越靠近顶盖中心 O处,其真空度越大 。 O点处的真空度最大,
其真空度为 γω2R2/2g(即为 OC液柱高 )。 顶盖上各点的真空度如图中箭头所示,顶盖中心点 O处的流体静压力为或可见,角速度 ω 越大,则中心处的真空度越大 。 工程上所用的离心式泵和离心式风机都是应用流体静力学的这一规律制作的 。
当叶轮回转时,在中心处形成真空,将流体吸入,再借离心惯性力的作用甩向边缘,提高压力,而后输送出去 。
g
R
ppp
g
R
pp
am
a
2
2
22
22
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心内 容 提 要
一,解析法
(一 ) 确定总压力的大小和方向
(二 ) 确定总压力的作用点 ——压力中心
二,图解法第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心在工程实际中,有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题 。 在已知流体的静压力分布规律后,求总压力的问题,实质上就是求受压面上分布力的合力问题 。 本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心 。
作用在平面上总压力的计算方法有两种,解析法 和 图解法 。
一,解析法
(一 )确定总压力的大小和方向设有一面积为 A的任意形状的平面 ab,与水平液面成 α的夹角,液面上的压力为 p0,如图 2-24所示 。 取平面 ab的延伸面与水平液面的交线为 ox轴,取 ab所在平面上与 ox轴垂直的 线为第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-24 作用在平面上的液体总压力第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
oy轴 。 为了分析方便起见,我们将平面 ab绕 oy轴转动 90° (如图 2-24)。 图中 C点为 ab面的形心,D点为总压力的 作用点 。
由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向,所以,
作用在平面上各点的静压力的方向相同,其合力可按平行力系求和的原理来确定 。 设在受压平面上任取一 微元面积 dA,其中心点在液面下的深度为 h,作用在 dA中心点上的压力为
p=p0+γh,则作用在微元面积 dA上的总压力 为
dP=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA
根据平行力系求和原理,作用在整个面积 A
P=∫Ａ pdA=∫Ａ p0dA+γsinα∫Ａ ydA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0A+γsinα∫Ａ ydA
式中 ∫Ａ ydA为面积 A对 ox轴的 静面矩,由理论力学知,它等于面积 A与其形心坐标 yc的乘积,即 ∫Ａ ydA=ycA。 如以 pc代表形心 C处液体的静压力,则上式可写成
P=p0A+γsinαycA=(p0+γhc)A=pcA (2-33)
上式表明,静止液体作用在任意形状平面上的总压力的 大小,
等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积 。
液体总压力的 方向 垂直指向受压面的内法线方向 。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
(二 )确定总压力的作用点 ——压力中心总压力的作用点又称为压力中心 。 由于液体的静压力与液深成正比,越深的地方其静压力越大,所以压力中心 D在 y轴上的位置必然低于形心 C。
压力中心 D的位置,可根据理论力学中的 静力矩定理 求得,即 各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩 。 现在,作用在每个微元面积 dA上的微小总压力 dP对
ox轴的静力矩之和 为
∫Ａ ydP=∫Ａ y(p0+γysinα)dA
=p0∫Ａ ydA+γsinα∫Ａ y2dA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0ycA+γsinαIx (a)
式中 Ix=∫Ａ y2dA为面积 A对 ox轴 的 惯性矩 。
总压力 P对 ox
PyD=(p0+γhc)AyD=(p0+γycsinα)AyD (b)
由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和,
(p0+γycsinα)AyD=p0ycA+γsinαIx (c)
根据惯性矩平行移轴定理,如果面积 A对通过它的形心 C并与 x轴平行的轴的惯性矩为 Ixc,则 Ix=Ixc+y2cA,代入 (c)式 后得
Ayp
AyIAypy
c
cxcc
D )s i n(
)(s i n
0
2
0
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心即
(2-34)
当 p0=0时,上式简化为
(2-35)
或写成 (2-35a)
由于 Ixc/(ycA)恒为正值,故有 yD＞ yc。 说明 压力中心 D点总是低于形心 C。
Ay
I
yy
Ay
I
yy
c
cx
cD
c
cx
cD
Ayp
Iyy
c
xc
cD )s in(
s in
0
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心如果平面 ab在 x方向不对称,则可用与上述同样的方法求得压力中心的 x坐标为
(3-36)
式中 Ixy=∫AxydA为面积 A对 x轴和 y轴的惯性积； Ixyc是对通过形心 C且平行于 x轴和 y轴的轴的惯性积 。 在工程实际中,受压面常是对称于 y轴的,则压力中心 D一定在平面的对称轴上,不必另外计算 xD。
Ay
I
x
Ay
I
x
c
cyx
c
c
yx
D
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心二,图解法用图解法来计算静止液体作用在平面上的总压力,仅 适用于底边平行于水平面的矩形平面的情况 。 使用图解法,首先需要绘制静压力分布图,然后再根据它来计算总压力 。
静压力分布图 是依据水静力学基本 方程 p=p0+γh,直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形 。 现以图 2-25
中垂直壁面 AB左侧为例绘制静压力分布图 。 设横坐标为 p,纵坐标为 h,坐标原点与壁面的 A点重合 。 根据静压力与液深成线性变化的规律,先按比例定出 AB两 端点的静压力,并用线段表示在相应点上,用箭头表示静压力作用的方向,然后用第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-25 静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心直线连接线段的两端点 C,D,便绘出壁面 AB左侧的静压力分布图 (梯形 ABCD)。
现把静压力 分布图分成 p0和 γh作用的两部分 。 过 A点作
AE∥ CD,平行四边形 AEDC部分就是液面上静压力 p0作用的静压力分布图；三角形 ABE部分就是液柱高 h产生的静压力 γh
作用的静压力分布图 。 实际中,液面上的压力常为大气压,大气压不仅对 AB的左侧面有作用对 AB的右侧面也同样有作用,
而且两侧面的压力大小相等,方向相反,互相抵消,对受压面不产生力学效应 。 因此工程计算中,只考虑相对压力的作用,
不计及大气压的影响,即只考虑静压力分布图 ABE。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-26绘出了几种常见受压面的静压力分布图 。
图 2-26 不同受压面上的静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心现在用式 (2-33)对高为 H,宽为 b,底边平行于水平面的垂直矩形平面 AB(如图 2-25),计算其总压力,为由图 2-25看出,上式中 (2p0+γH)H/2 恰为静压力分布图 ABCD
的面积,我们用 S表示,则上式可写成
P=S·b (2-37)
由此可见,液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力,等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积 。
HbHp
HbHpHbhpApP cc
)2(
2
1
)
2
1
()(
0
00
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心或者说,其总压力等于静压力分布图的体积 。
由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况,而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力 。 所以 总压力的作用线,必然通过静压力分布图的形心,其方向垂直指向受压面的内法线方向 。 而且压力中心位于矩形平面的对称轴上 。
如果静压力分布图为三角形,则压力中心位于距底边三分之一高度处 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力内 容 提 要
1,静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力
2,静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力
3,压力体的概念
4,实压力体与虚压力体
5,总压力作用点的确定第十节 静止液体作用在曲面上的总压力计算静止液体作用在曲面上的总压力,同样是求作用在每个微元面积上微小压力的合力问题 。 但是,组成整个曲面的各个微元面各自具有不同的方位,它们的法线方向既不平行,也不一定交于一点 。 因此,作用在各微元面积上的压力不是平行力系,而是空间力系 。 所以,不能用平行力系求和的原理或直接积分的方法来计算其总压力 。 一般是将作用在曲面上的总压力分解为水平方向和垂直方向的分力分别进行计算 。 本节以工程上常见的二维曲面为例,分析曲面上总压力的计算方法,
进而将结论推广到一般曲面 。
如图 2-28所示,设有一面积为 A的二维曲面,它在纸面上的投影为 AB,垂直于纸面的宽度为 b,液体在曲面左侧 。 设在第十节 静止液体作用在曲面上的总压力曲面 AB上,液深为 h处取一与底边平行的长条形微元面积 dA，
作用在 dA上 的微小总压力为
dP=(p0+γh)dA
dP垂直于 dA,并与水平面成夹角 α。 现将其分解为水平方向和垂直方向的两个分力 dPx和 dPz。 那么
dPx=dPcosα=(p0+γh)dAcosα
dPz=dPsinα=(p0+γh)dAsinα
由于 dAcosα和 dAsinα分别为微元面积 dA在垂直面上和水平面上的投影面积,分别以 dAx和 dAz表示,代入上式得
dPx=(P0+γh)dAx
dPz=(P0+γh)dAz
图 2-28 作用在二维曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力将上两式分别积分,即得到总压力的水平分力和垂直分力为
Px=∫Ax(p0+γh)dAx=p0Ax+γ∫AxhdAx (2-38)
Pz=∫Az(p0+γh)dAz=p0Az+γ∫AzhdAz (2-39)
式 (2-38)中 ∫AxhdAx=hcAx为曲面 AB在垂直面上的投影面积 Ax对水平轴 y的静面矩 。 因此式 (2-38)可写成
Px=p０ Ax+γhcAx=(p０ +γhc)Ax=pcAx (2-40)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 水平分力,等于该曲面在垂直于所求分力的垂直投影面上的总压力 。 因此,
可以运用上节所讨论的求解平面上的总压力及其作用点的方法来确定曲面上总压力的水平分力 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力由 图 2-28可见,式 (2-39)中 ∫AzhdAz为受压曲面 AB与其在自由液面上的投影面 CD之间的柱体 ABCD的体积 。 由于该体积的大小决定于 Pz的值,所以又称此体积为 压力体,用 VP表示 。
因此式 (2-39)
Pz=p0Az+γVP (2-41)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 垂直分力,等于自由液面上的压力作用在该曲面在水平面的投影面积上的总压力与压力体内液体的重量之和 。 总压力的垂直分力的作用线通过压力体的形心 (重心 )而指向受压面 。
总压力的垂直分力 Pz的方向取决于受压曲面与液体的相对位置以及曲面所受相对压力的正负,可能是向下的,也可能是第十节 静止液体作用在曲面上的总压力向上的,要根据具体情况加以判断 。 一般地,如果压力体与作用液体位于曲面的同一侧,Pz的方向向下,这种压力体称为 实压力体 ；如果压力体与作用液体分别位于曲面的两侧,则 Pz的方向向上,这种压力体称为 虚压力体 。
在求出液体对二维曲面的分力 Px和 Pz后,就不难求出液体对曲面的总压力 P。 即
(2-42)
总压力 P的作用线与水平线的夹角 α 为
α=tg-1(Pz/Px) (2-43)
P的作用线通过 Px和 Pz作用线的交点,但该交点不一定在曲面上 。 要 确定总压力 P在曲面上的作用点,可先作出 Px和 Pz
22 zx PPP
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力的作用线,然后作出 P的作用线,这条作用线与曲面的交点即为总压力 P的作用点 。
以上是对二维曲面所受液体总压力的分析和计算,对于三维曲面所受液体总压力的计算,上述方法同样适用 。 只要再求出另一个水平 分力 Py即可 。 类似于 Px的计算,总压力 P在 y轴方向的水平分力为
Py=(p0+γhc)Ay=pcAy (2-44)
则三维曲面所受液体的总压力为
(2-45)
222
zyx PPPP
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
(二 )
多媒体教学课件李文科 制作第二章 流体静力学
概 述 流体静力学研究的内容
第一节 作用在流体上的力
第二节 流体的静压力及其特性
第三节 流体平衡微分方程和等压面
第四节 流体静力学基本方程
第五节 绝对压力、相对压力和真空度第二章 流体静力学
第六节 浮力作用下气体静力学基本方程
第七节 液柱式测压计原理
第八节 液体的相对平衡
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第二章 流体静力学流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律,以及这些规律的实际应用 。
宇宙万物都处在不停的运动之中,真正静止的物体是不存在的 。 但是,从工程应用的角度来看,在多数情形下,忽略地球自转和公转的影响,而把地球选作 惯性参照系,对于研究问题的结果还是足够精确的 。 当物体相对于惯性参照系没有运动时,我们便说该物体处于 静止状态或平衡状态 。 如果我们选择本身具有加速度的物体作为参照系,即 非惯性参照系,当物体相对于非惯性参照系没有运动时,便说它处于 相对静止或相对平衡状态 。 对于研究流体宏观机械运动的流体力学来说,
也是如此 。
第二章 流体静力学既然处于静止或相对静止状态的流体对参照系没有运动,
则实际流体的粘性作用表现不出来,切应力 τ=0。 所以 本章所讨论的流体平衡规律,不论是对理想流体,还是对实际流体都是适用的 。
第一节 作用在流体上的力内 容 提 要
一,表面力及其表示方法
二,质量力及其表示方法作用在流体上的力可分为两大类,表面力 和 质量力 。
一,表面力及其表示方法表面力是指作用在所研究的流体的表面上,并且与流体的表面积成正比的力 。 也就是该流体体积周围的流体或固体通过接触面作用在其上的力 。 表面力不仅是指作用在流体外表面上的力,也包括作用在流体内部任一表面上的力 。
表面力一般可 分解成两个分力,即与流体表面垂直的法向力 P和与流体表面 相切的切向力 T。 在连续介质中,表面力不是一个集中的力,而是沿着表面连续分布的 。 因此,在流体力学中,常用单位表面积上所作用的表面力 — 法向应力 和 切向应力 来表示,其 单位为 N/m2。
第一节 作用在流体上的力第一节 作用在流体上的力由粘性所产生的 内摩擦力 和流体受到的固体壁面的摩擦力,
以及固体壁面对流体的压力等都 是表面力 。
如图 2-1所示,在流体中任取一体积为 V,表面积为 A的流体作为研究对象,所取的这部分流体以外的流体或固体通过接触面必定对该部分流体产生作用力 。 在分离体表面的 a点取一微元面积 ΔA,作用在 ΔA上的表面力为 ΔF,将 ΔF分解为沿法线方向 n的法向力 ΔP和沿切线方向 τ的切向力 ΔT,当 ΔA缩小趋近于点 a时,便得到作用在 a点的法向应力 p和切向应力 τ,即
(2-1)
(2-2)
A
T
A
T
A
P
A
P
p
d
d
lim
d
d
lim
0ΔA
0ΔA
第一节 作用在流体上的力流体的压力 p就是指作用在单位面积上的法向应力的大小 。
图 2-1 作用在流体上的表面力第一节 作用在流体上的力二,质量力及其表示方法质量力 是指作用在流体的所有质点上,并且和流体的质量成正比的力 。 它可以从远距离作用于流体内每一个流体质点上 。 对于均匀流体,质量力又与流体的体积成正比,因此,质量力又称为 体积力 。 例如,在重力场中由地球对流体全部质点的引力作用所产生的 重力 ；带电流体所受的 静电力,以及有电流通过的流体所受的 电磁力 等都是质量力 。 当我们应用达朗伯原理去研究流体的加速运动时,虚加在流体质点上的 惯性力 也属于质量力 。 惯性力的大小等于质量乘以加速度,其方向与加速度的方向相反 。
第一节 作用在流体上的力质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力,即单位质量力来度量 。 单位质量力通常用 来表示 。
在直角坐标系中,设质量为 m的流体所受的质量力为 F,它在各坐标轴上的投影分别为 Fx,Fy,Fz,则单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为
(2-3)
则 (2-4)
单位质量力及其在各坐标轴上的分量的单位是 N/kg或 m/s2，
与加速度的单位相同 。 如在重力场中,对应于 单位质量力的重力数值就等于重力加速度 g,其单位为 m/s2。
m
Ff
m
Ff
m
Ff z
z
y
y
x
x,，
kfjfiff zyx
f?
第二节 流体的静压力及其特性内 容 提 要
1,流体静压力的概念
2,流体静压力的基本特性第二节 流体的静压力及其特性在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压力 。 当流体处于静止或相对静止状态时,流体的压力就称为 流体的静压力 。
流体的静压力具有两个基本特性：
特性一,流体静压力的方向与作用面相垂直,并指向作用面的内法线方向 。
特性二,静止流体中任一点流体静压力的数值与作用面在空间的方位无关,只是该点坐标的函数 。 也就是说,在静止流体中任一点处各方向的流体静压力均相等 。
下面就来证明这两个特性,根据流体的特性可知,流体不能够承受拉力 (表面层的表面张力除外 ),在微小的剪切力作用第二节 流体的静压力及其特性下也会发生变形,变形必将引起流体质点的相对运动,这就破坏了流体的平衡 。 因此,在平衡条件下的流体不能承受拉力和切力,只能承受压力,而压力就是沿内法线方向垂直作用于作用面上 。 这就证明了流体静压力的第一个特性 。 如图 2-2所示,
静止流体对容器的静压力恒垂直于器壁 。
为了证明第二个特性,在静止流体中取出直角边长各为
dx,dy,dz的微元四面体 ABCD,如图 2－ 3所示 。 假设作用在
△ ACD,△ ABD,△ ABC和 △ BCD四个平面上的平均流体静压力分别为 px,py,pz和 pn,pn与 x,y,z轴的夹角 (亦即斜面
△ BCD的法线 n与 x,y,z轴的夹角 )分别为 α,β,γ。 由于静止流体不存在拉力和切力,因此作用在静止流体上的表面力第二节 流体的静压力及其特性图 2-2 静压力恒垂直于器壁图 2-3 微元四面体受力分析第二节 流体的静压力及其特性只有压力 。 作用在各面上流体的总压力分别为
(dAn为 △ BCD的面积 )
除了表面力外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量力,该质量力分布在流体微团的全部质点中,设流体微团的平均密度为 ρ,而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6,则
nnn
zz
yy
xx
ApP
yxpP
xzpP
zypP
d
dd
2
1
dd
2
1
dd
2
1
第二节 流体的静压力及其特性微元四面体内流体质量为 dm=ρdxdydz/6。 假设作用在流体上的单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz,则作用在微元四面体上的总质量力 W在各坐标轴上的分量分别为由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上的一切力在各坐标轴上投影的总和等于零 。 对于直角坐标系,则有
zz
yy
xx
fzyxW
fzyxW
fzyxW
ddd
6
1
ddd
6
1
ddd
6
1
第二节 流体的静压力及其特性
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0
在 x轴方向上力的平衡方程为把 Px,Pn和 Wx的各式代入得由于 dAncosα=dydz/2,代入上式并简化得当微元四面体以 A点为极限时,dx,dy,dz都趋近于零,则上式成为
0ddd61c o sddd21 xnnx fzyxApzyp
0d31 xfpp xnx?
0co s xnx WPP?
第二节 流体的静压力及其特性同理可证所以 (2-5)
由于 n的方向是完全可以任意选取的,则式 (2-5)表明：从各个方向作用于一点的流体静压力大小是相等的 。 也就是说,
作用在一点的流体静压力的大小与该点处的作用面在空间的方位无关 。 从而证明了流体静压力的第二个特性 。
虽然流体中同一点的各方向的静压力相等,但空间不同点的静压力则可以是不同的 。 因流体是连续介质,所以流体静压力应是空间点的坐标的连续函数 。 即
p=p(x,y,z)
nzyx
nzny
nx
pppp
pppp
pp
，
第三节 流体平衡微分方程和等压面内 容 提 要
一,流体平衡微分方程
二,有势质量力及力的势函数
三,等压面及其特性第三节 流体平衡微分方程和等压面一,流体平衡微分方程静止流体在外力作用下,其内部形成一定的压力分布,
为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律,并用来解决工程实际问题,首先需要建立流体平衡微分方程式 。
如图 2-4所示,从静止流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz的微元平行六面体,其中心点为 a,坐标为 (x,y,z),该点的流体静压力为 p=p(x,y,z)。
作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力 。 由于流体处于平衡状态,所以没有切应力,故表面力只有沿内法线方向作用在六面体六个面上的静压力 。
过 a点作平行于 x轴的直线交左右两平面的中心 b,c两点 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面图 2-4 平衡微元平行六面体及 x方向的受力第三节 流体平衡微分方程和等压面由于静压力是点的坐标的连续函数,所以在 b,c两点上的静压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上的无穷小量,分别等于 和 。 由于六面体的面积都是微元面积,
故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力 。 此外,设微元六面体流体的平均密度为 ρ,流体的单位质量力为,它在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz。 则微元六面体的质量力沿
x轴的分力为 fxρdxdydz。 由于微元六面体处于平衡状态,则有
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0。 在 x轴方向 上或
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp
0dddddd
0ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(
zyx
x
p
zyxf
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
x
x
f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面如果用微元体的质量 ρdxdydz去除上式,则得到单位质量流体在 x方向上的平衡方程同理可得
(2-6)
写成向量形式
(2-6a)
这就是 流体平衡微分方程式 。 它是欧拉在 1755年首先提出的,
所以又称为 欧拉平衡微分方程式 。
0dg r a
1
0
1
0
1
0
1
pf
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
第三节 流体平衡微分方程和等压面欧拉平衡微分方程的物理意义为,当流体平衡时,作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡,它们沿三个坐标轴的投影之和分别等于零 。 欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程,它可解决流体静力学中许多基本问题 。
在 圆柱坐标系下 流体的平衡微分方程式的形式为
(2-7)
0
1
0
1
0
1
z
p
f
r
p
f
r
p
f
z
r
第三节 流体平衡微分方程和等压面上式中 fr,fθ,fz分别为单位质量力在径向 r,切向 θ和轴向 z上的分量 。
在推导欧拉平衡微分方程的过程中,对质量力的性质及方向并未作具体规定,因而本方程 既适用于静止流体,也适用于相对静止的流体 。 同时,在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制,所以它 不但适用于不可压缩流体,
而且也适用于可压缩流体 。 另外,流体是处在平衡或相对平衡状态,各流层间没有相对运动,所以它 既适用于理想流体,也适用于粘性流体 。
为了便于积分和工程应用,流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式,即 全微分形式 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面现将式 (2-6)中各分式分别乘以 dx,dy,dz,然后相加得因为压力 p是坐标的连续函数,故 p的全微分为于是,流体平衡微分方程式 (2-6)又可表示为
(2-8)
这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式 。
同样,对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为
(2-9)
0)ddd(1)ddd( zzpyypxxpzfyfxf zyx?
zzpyypxxpp dddd
)ddd(d zfyfxfp zyx
)ddd(d zfrfrfp zr
第三节 流体平衡微分方程和等压面二,有势质量力及力的势函数根据场论的知识,有势质量力及力的势函数有如下定义：
设有一质量力场,若存在一单值函数 U(x,y，
z),满足,则称该质量力场为有势力场,力 称为有势质量力,函数 U(x,y,z)称为该力场的 势函数 。
由流体平衡微分方程式 (2-6a)可以看出,如果流体为不可压缩流体,其密度 ρ=常数,则存在一单值函数 U(x,y,z),满足所以,根据有势质量力的定义,可以得出这样的 结论：,凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力 。,
fpU
g r a d1g r a d?
)( zyxf,，?
Uf grad f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面或者说：,不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态 。,
上式中 U=U(x,y,z)为力的势函数,质量力 为有势质量力 。 由于因此可得
(2-10)
上述向量式的两边同时点乘以,得
(2-11)
z
U
f
y
U
f
x
U
f
fkfjfifk
z
U
j
y
U
i
x
U
U
zyx
zyx
，，
g r a d
kzjyixs dddd
sfzfyfxf
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U
zyx
dddd
dddd
f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面上式表明,力的势函数的全微分 dU为单位质量力 在空间移动 距离所做的功 。 可见,有势质量力所做的功与路径无关 。
比较式 (2-8)和式 (2-11)
dp=ρdU 或 p=ρU+C (2-12)
上式即为不可压缩流体内部静压力 p与力的势函数 U之间的关系式,积分常数 C可由边界条件确定 。
f?
s?d
第三节 流体平衡微分方程和等压面三,等压面及其特性静止流体中压力相等的各点所组成的面称为 等压面 。 例如液体与气体交界的自由表面就是最明显的等压面,其上各点的压力都等于液面上气体的压力 。 既然在等压面上各点的压力都相等,则 可用 p(x,y,z)=C来表示 。 在不同的等压面上其常数
C的值是不同的,而且流体中任意一点只能有一个等压面通过 。
所以流体中可以作一系列的等压面 。 在等压面上 dp=0,代入
(2-8)式,可得到 等压面微分方程为
(2-13)
0ddd zfyfxf zyx
第三节 流体平衡微分方程和等压面等压面具有以下三个重要特性：
(1)不可压缩流体中,等压面与等势面重合 。
所谓等势面就是力的势函数 U(x,y,z)=C的面 。 由式 (2-
12)可以看出,对于不可压缩流体,等压面也就是等势面 。
(2)在平衡流体中,作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。
在等压面上某点任取一微元弧段,作用在该点上的质量力为 ( 如图 2-5),由 等 压 面 微 分 方 程 式 (2-13) 可知,,因此 与 必定垂直,这就说明,作用在平衡流体中任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。 由等压面的这一特性,我们就可以根据作用在流体质点上的质量
0d sf
f?
s?d
s?df?
第三节 流体平衡微分方程和等压面力的方向来确定等压面的形状 。 或者由等压面的形状去确定质量力的方向 。 例如,
对于只有重力作用的静止流体,因重力的方向总是垂直向下的,所以其等压面必定是水平面 。
(3)两种互不相混的流 图 2-5 质量力与等压面的关系体处于平衡状态时,其分界面必定为等压面 。 如处于平衡状态下的油水分界面,气水分界面等都是等压面 。
第四节 流体静力学基本方程内 容 提 要
1,重力流体的概念
2,流体静力学基本方程的形式
3,流体静力学基本方程的物理意义
4,流体静力学基本方程的使用条件
5,基准面的选取和等压面的确定第四节 流体静力学基本方程欧拉平衡微分方程式是流体静力学的最一般的方程组,它代表流体静力学的普遍规律,它在任何质量力的作用下都是适用的 。 但在自然界和工程实际中,经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况 。 作用在流体上的质量力只有重力的流体简称为 重力流体 。 现在我们就来研究质量力只有重力的静止流体中的压力分布规律 。
如图 2-6所示,坐标系的 x轴和 y轴为水平方向,z轴垂直向上 。 因为质量力只有重力,故单位质量力在各坐标轴上的分量为此处 g为重力加速度,它代表单位质量流体所受的重力 。
gfff zyx 00,，
第四节 流体静力学基本方程图 2-6 重力作用下的静止流体第四节 流体静力学基本方程因为重力加速度的方向垂直向下,与 z轴方向相反,故式中加一,—” 号 。 将上述质量力各分量代入压力微分方程式 (2-8)得或写成对于不可压缩流体,γ =常数 。
(2-14)
或 (2-14a)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。
这就是 重力作用下的流体平衡方程,通常称为 流体静力学基本方程 。 它适用于平衡状态下的不可压缩均质重力流体 。
0d
d
dd
z
p
zgp
Czp
Cz
p
第四节 流体静力学基本方程对于在 静止流体中任取的 1和 2两点,它们的垂直坐标分别为 z1和 z2,静压力分别为 p1和 p2(见图 2-6)。 则式 (2-14)可以写成
(2-15)
流体静力学基本方程的物理意义,即 力学意义,能量意义和 几何意义,
力学意义,式 (2-14a)中 γz为单位底面积,z高度的流体柱具有的重力,称为 位压 ； p为单位面积上流体所受的压力,称为 静压,即流体的静压力 。 它们的单位都是 牛顿 /米 2。 式 (2-
14a)表明,平衡状态下的不可压缩重力流体所受到的位压和静压彼此平衡 。
2
2
1
1 zpzp
第四节 流体静力学基本方程能量意义,式 (2-14)中的 z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能,称为 比位能 。 从物理学得知,把质量为 m的物体从基准面提升一定高度 z后,该物体所具有的位能是 mgz，
则单位重量物体所具有的位能为,(mgz)/(mg)=z。
式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能,称为 比压力能 。 因为压力为 p,体积为 V的流体所做的膨胀功为 pV,则单位重量物体所具有的压力能为,pV/G=p/γ。
比位能 z和比压力能 p/γ的单位都是 焦耳 /牛顿 。
关于比压力能的概念,可参照图 2-7作进一步解释：将图中右侧玻璃管上端封闭,并抽成真空 (p'0=0)。 然后与大容器相连,在开孔处液体静压力 p的作用下,液体进入测压管克服第四节 流体静力学基本方程重力作功,在管中上升一定的高度 hp,从而增加了液柱的位能 。
所以称为 p/γ为单位重量流体的压力能 (比压力能 ),它的大小恰好等于液柱上升的高度 hp,即 hp=p/γ。
比位能与比压力能之和
(p/γ+z)称为单位重量流体的 总势能 。 所以式 (2-14)表示在 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 。 这就是 静止流体中的能量守恒定律 。 图 2-7 闭口测压管中液柱上升高度第四节 流体静力学基本方程几何意义,式 (2-14)中的 z为流体质点距某一基准面的高度,
称为 位置高度,或称为 几何压头 或 位压头 ； 式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称之为 压力高度,或称为 压力压头 或 静压头 。 它们的单位都是 米 。 位压头与静压头之和 (p/γ+z)称为 测压管压头 。 因此式 (2-14)也表示 静止流体中各点的测压管压头都是相等的 。 如图 2-8所示,图中 AA线或 A'A'线称为测压管压头 线,它们都是水平线 。
第四节 流体静力学基本方程图 2-8 静止流体的测压管压头线第四节 流体静力学基本方程在工程 实际中,常常需要计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压力 。 为此,可取自由液面为基准面,向下取液体深度 h为垂直坐标 (如图 2-6)。 由于深度 h的方向与 z轴的方向相反,所以 dh=-dz,于是
dp=-ρgdz=γdh
对于不可压缩流体,γ =常数 。
p=γh+C (2-16)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。 因为当 h=0时,p=p0为自由液面上的气体压力,则 C=p0,代入上式得
(2-17)
hpp 0
第四节 流体静力学基本方程式 (2-17)为流体静力学基本方程的另一种形式,通常又称为 水静力学基本方程 。 由它得到以下四个 重要结论：
(1)在重力作用下的静止液体中,静压力 p随深度 h按线性规律变化 。 即随深度 h的增加,液体静压力 p值随之成正比地增大 。
(2)静止液体内任一点的静压力由两部分组成：一部分是自由液面上的 压力 p0；另一部分是底面积为 1,深度为 h,重度为 γ的一段液体柱的重量 γh。
(3)在静止液体中,位于同一深度 (h=常数 )的各点的静压力都相等 。 即静止液体内任一水平面都是等压面 。
(4)静止液体表面上所受到的压力 p0(即外部压力 ),能够第四节 流体静力学基本方程大小不变地传递到液体内部的每一点上去 。 此即帕斯卡定律 。
通过上述分析可知,流体静力学基本方程的 适用条件 是：
只受重力作用的不可压缩的静止流体 。
基准面的选取,基准面一般是选取一个与地球同心的椭球面 。 对于研究小范围内的工程问题时,可取水平面作为基准面 。 至于基准面的具体位置,原则上是可以任意选定的,视计算的方便而定 。
等压面的确定,对于静止的流体,主要是看等密度的同种流体 是否连通,如果该流体是连通的,则该流体内的任一水平面都是等压面 。 否则 (如某一流体被另一流体隔开 ),该流体内的水平面就不一定是等压面,要视具体情况确定 。
第四节 流体静力学基本方程对于相对静止的流体,除了作匀速直线运动和垂直等加速运动的流体可用上述方法确定等压面外,一般情况下是用解析方法由等压面方程来确定等压面 。
第五节 绝对压力、相对压力和真空度内 容 提 要
1,绝对压力的概念
2,相对压力的概念
3,正压、负压和零压的概念
4,真空度的概念第五节 绝对压力、相对压力和真空度对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准：
第一种是以没有流体分子存在的完全真空时的绝对零压力
(p=0)为基准来度量流体的压力,称之为 绝对压力 。
另一种是以同一高度的当地大气压力为基准来度量流体的压力,称为 相对压力 。
或 (2-18)
式中 p— 流体的绝对压力 (Pa)
pa— 当地大气压力 (Pa)；
pm— 流体的相对压力 (Pa)。
amam pppppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度由于流体的 相对压力 pm可以由压力表直接测得,所以又称之为 表压力 。 若流体的绝对压力高于当地大气压力时,其相对压力为正值,我们称为 正压 ；若流体的绝对压力低于当地大气压力时,其相对压力为负值,我们称为 负压 。 这时流体处于真空状态 。 例如水泵和风机的吸入管中,锅炉炉膛以及烟囱底部等处的绝对压力都低于当地大气压力,这些地方的相对压力都是负值,即都是负压 。
所谓 真空度 是指流体的绝对压力小于当地大气压力所产生真空的程度 。 它不是流体的绝对压力,而是流体的绝对压力不足于当地大气压力的差值部分,亦即负的相对压力,也称为 真空压力,常用 pv表示 。 用数学式表示为第五节 绝对压力、相对压力和真空度
(2-19)
如 以液柱高的形式来表示真空压力,就称为 真空高度,即
(2-20)
例如,某设备内流体的绝对压力为 0.2atm,求其相应的真空度为多少?
真空度 (真空压力 ),pv=pa-p=1-0.2=0.8 atm
真空高度 (以水柱高表示 )：
hv=pv/γ=(0.8× 9.81× 104)/(9.81× 103)=8.0 mH2O
由此可见,若某点的绝对压力为零,则 pv=pa,称该点处于绝对真空,即 理论上的最大真空度 。
ppph aV
V
maV pppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度在工程上还常以真空压力与大气压力相比的百分数来表示真空的程度 。
为了正确的区别和理解绝对压力,相对压力和真空度及其相互间的关系,
可用图 2-9来表示 。
图 2-9 绝对压力,大气压力,相对压力及真空度的相互关系第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程内 容 提 要
1,大气浮力作用下气体静力学基本方程的形式
2,大气浮力作用下气体静力学基本方程的使用条件
3,大气浮力作用下气体静力学基本方程的物理意义第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程在工程实际中所使用的热工设备等,并不是置于真空之中,
而是放置在大气空间,处于大气的包围之中的,所以,这些设备内的流体都要受到大气的浮力作用 。 特别是热气体受大气浮力的影响会更大 。 因此,讨论大气浮力作用下气体的静力学规律更具有实际意义 。
图 2-10为一盛有某种气体的容器或设备 (如空调室,锅炉炉膛等 )置于大气空间中,设容器内气体的重度为 γg,容器外空气的重度为 γa,在容器内距基准面 z高度处,气体的绝对压力为 p,在容器外同一高度处大气的压力为 pa。 现在用式 (2-14a)
对容器内的气体和容器外的大气分别列出静力学基本方程,即第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程图 2-10 大气浮力作用下的静止气体第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程
(1)
(2)
由式 (1)减去式 (2),并注意到 p－ pa=pm为气体的相对压力,得
(2-21)
式 (2-21)就是 大气浮力作用下气体的静力学基本方程 。 该方程的 使用条件 与式 (2-14)相同 。
下面来说明式 (2-21)的 力学意义 和 能量意义,
力学意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为底面积为 1,高度为 z的气体柱的重力 γgz与其所受到的大气浮力 γaz之差,即气体柱的 有效重力,单位为 牛顿 /米 2。 pm 为容器内 z高度 处气体的
Czp agm )(
2
1
Czp
Czp
aa
g
第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程相对压力,单位为牛顿 /米 2。 式 (2-21)表明,静止状态下的气体所受到的有效重力与其相对压力相平衡 。
由式 (2-21)可以看出,对于热的气体,γg＜ γa,γg-γa＜ 0，
因此,热气体的相对压力 pm 沿高度方向 是越往上越大,而越往下越小 。
能量意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为单位体积气体相对于基准面所具有的 相对位能,即有效重力相对于基准面所具有的做功的本领； pm 为单位体积气体所具有的 相对压力能,即流体的压力相对于大气所做的膨胀功 。 它们的单位是 焦耳 /米 3。
第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程式 (2-21)表明,静止状态下单位体积气体所具有的相对总势能是守恒的 。
对于容器中的 1,2两点,式 (2-21)可以写成
(2-22)
2211 )()( zpzp agmagm
第七节 液柱式测压计原理内 容 提 要
一,测压管 (单管测压计 )
二,U型管测压计
三,U型管差压计
四,斜管微压计第七节 液柱式测压计原理流体静压力的测量仪表很多,根据测量原理不同,常用的测压计可分为 液柱式,机械式 和 电气式 三类 。 本节只介绍液柱式测压计的原理 。 液柱式测压计是以重力作用下的液体平衡方程为基础的,它是用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压力或压力差 。 液柱式测压计结构简单,使用方便,一般适用于测量低压 (1.5× 105Pa以下 ),真空压力和压力差 。
下面介绍几种常用的液柱式测压计及其测压原理 。
一,测压管 (单管测压计 )
测压管是一种最简单的液柱式测压计 。 为了减少毛细现象所造成的误差,通常采用一根内径大于 10mm的直玻璃管 。 测压时将测压管的下端与盛有液体的压力容器所要测量处的小孔第七节 液柱式测压计原理相连接,上端开口与大气相通,如图
2-11所示 。
在被测液体的压力作用下,若液体在玻璃管中上升的高度为 h,液体的重度为 γ,当地大气压力为 pa,则根据流体静力学基本方程式 (2-17)得容器中 A点的绝对压力为
A点处的相对压力为图 2-11 测压管
hpp a
hppp am
第七节 液柱式测压计原理于是,用测得的液柱高度 h,则可得到容器中某处的绝对压力和相对压力 。
应当注意,(1)由于各种液体重度不同,所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小,还必须同时 注明是何种液体的液柱高度 才行 。 (2)测压管只 适用于测量较小的压力,一般不超过
10kPa。 如果被测压力较高,则需要加长测压管的长度,使用就很不方便 。 (3)测压管中的工作介质就是被测容器 (或管道 )
中的流体,所以 测压管只能用于测量液体的正压,而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用 。 (4)在测量过程中,测压管一定要垂直放置,否则将会产生测量误差 。
第七节 液柱式测压计原理二,U型管测压计这种 测压计是一个装在刻度板上的两端开口的 U型玻璃管 。
测量时,管的一端与大气相通,另一端与被测容器相接 (如图
2-12),然后根据 U型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力 。 U型管内装有重度 γ2大于被测流体重度 γ1的液体工作介质,如水,酒精,四氯化碳和水银等 。 它是根据被测流体的性质,被测压力的大小和测量精度等来选择的 。 如果被测压力较小时 (如测量气体的压力时 ),可用水或酒精作为工作介质；
如果被测压力较大时 (如测量液体的压力 ),可用水银作为工作介质 。 但一定要 注意,工作介质与被测流体相互不能掺混 。
第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计的测量范围比测压管大,但一般也不超过
0.3MPa。 U型管测压计可以用来测量容器中高于大气压的流体压力,也可以用来测量容器中低于大气压的流体压力,即也可作为真空计来测量容器中的真空度 。
下面分别介绍用 U型管测压计测量 p＞ pa和 p＜ pa两种情况的测压原理 。
(一 )当被 测容器中的流体压力高于大气压力,即 p＞ pa时,
如图 2-12(a)所示 。 U型管在没有接到测点 A以前,左右两管内的液面高度相等 。 U型管接到测点上后,在测点 A的压力作用下,左管液面下降,右管液面上升,直至达到平衡 。 这时,被测流体与管内工作介质的分界面 1-2为 一水平面 。 由于第七节 液柱式测压计原理图 2-12 U型管测压计第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计是连通器,1-2断面以下都是工作液体,所以 1-2
断面为等压面 。 因此,U型管左右两管中点 1和点 2的静压力相等,即 p1=p2由式 (2-17),可得
p1=p+γ1h1 p2=pa+γ2h2
所以 p+γ1h１ =pa+γ2h2
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa+γ2h2-γ1h1 (a)
A点的相对压力为
pm=p-pa=γ2h2-γ1h1 (b)
于是,可以根据测得的 h1和 h2以及已知的 γ1和 γ2计算出被测容器中流体某点处的绝对压力和相对压力 。
第七节 液柱式测压计原理
(二 )当被测容器中的流体压力小于大气压力,即 p＜ pa时,
如图 2-12(b)所示 。 在大气压力作用下,U型管右管内液面下降,
左管内液面上升,直到平衡为止 。 这时两管工作介质的液面高度差为 h2。 过右管工作介质的分界面作水平面 1-2,它是等压面,即 p1=p2。 由式 (2-17)可得
p1=p+γ1h1+γ2h2 p2=pa
所以有 p+γ1h1+γ2h2=pa
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa-γ1h1-γ2h2 (c)
A点的真空度 (或负表压 )为
pv=pa-p=γ1h1+γ2h2 (d)
第七节 液柱式测压计原理如果 U型管测压计用来测量气体的压力,因为气体的度很小,式 (a)到式 (d)中的 γ1h1项可以忽略不计 。
如果被测流体的压力较高,用一个 U型管则较长,可以采用串联 U型管组成多 U型管测压计 。 通常采用双 U型管或三 U型管测压计 。
第七节 液柱式测压计原理三,U型管差压计
U型管差压计用来测量两个容器或同一容器 (或管道等 )流体中不同位置两点的压力差 。 测量时,把 U型管两端分别和不同的压力测点 A和 B相接,如图 2-14所示 。 U型管中应注入较两个容器内的流体重度为大且不相混淆的液体作为工作介质 (即 γ
＞ γA,γ＞ γB)。
若 pA＞ pB,则 U型管内液体沿右面管上升,平衡后,1-2断面为等压面,即 p1=p2。 由 静力学基本方程 (2-17)
p1=pA+γA(h1+h)
p2=pB+γBh2+γh
由于 p1=p2,因此第七节 液柱式测压计原理图 2-14 U型管差压计第七节 液柱式测压计原理
pA+γA(h1+h)=pB+γBh2+γh
则 pA-pB=γBh2+γh-γA(h1+h)
=(γ-γA)h+γBh2-γAh1
若两个容器内是同一流体,即 γA=γB=γ1,则上式可写成
pA-pB=(γ-γ1)h+γ1(h2-h1)
若两个容器内是同一气体,由于气体的重度很小,U型管内的气柱重量可以忽略不计,
pA-pB=γh
如果测量较小的液体压力差时,也可以采用倒置式 U型管差压计 。 如果被测量的流体的压力差较大,则 可采用双 U型管或多 U型管差压 计 。
第七节 液柱式测压计原理四,斜管微压计当测量很 微小的流体压力时,为了提高测量精度,常常采用斜管微压计 。 斜管微压计的结构如图 2-16所示 。 它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成,其中盛有重度为 γ的工作液体 (通常用密度为 ρ=800kg/m3的酒精作为工作液体 )。
在测压 前,斜管微压计的两端与大气相通,容器与斜管内的液面平齐 (如图中的 0-0断面 )。 当测量容器或管道中的某处压力时,将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接,若被测气体的压力 p＞ pa,则在该压力作用下,微压计容器中液面下降 h1的高度至 1-1位置,而倾斜玻璃管中的液面上第七节 液柱式测压计原理图 2-16 斜管微压计第七节 液柱式测压计原理升了 l长度,其上升高度 h2=lsinα。 这样,微压计中两液面的实际高度差为 h=h1+h2。 若设微压计中容器的横截面积为 A1,斜管中的横截面积为 A2,由于容器内液体下降的体积与斜管中液体上升的体积相等,则 h1=lA2/A1。 于是,根据流体静力学基本方程式 (2-17),得被测气体的绝对压力为
(a)
其相对压力为
(b)
上式 (a),(b)中 k=γ[(A2/A1)+sinα],称为 斜管微压计常数 。
lkpl
A
A
p
hhphpp
a
1
2
a
21aa
)s in(
)(
lkppp am
第七节 液柱式测压计原理当 A1,A2和 γ不变时,它仅是倾斜角 α的函数 。 改变 α的大小,可以得到不同的 k值,即可 使被测压力差得到不同的放大倍数 。 对于每一种斜管微压计,其常数 k值一般都有 0.2,0.3、
0.4,0.6和 0.8五个 数据以供选用 。
如果用斜管微压计测量两容器或管道上两点的压力差时,
可将压力较大的 p1与微压计测压口相接,压力较小的 p2与倾斜的玻璃管出口相连,则测得的压力差为除斜管微压计外,常用的微压计还有双杯双液微压计和补偿式微压计等 。
klhpp21
第八节 液体的相对平衡内 容 提 要
一,匀速直线运动液体的相对平衡
二,水平等加速运动液体的相对平衡
三,等角速度旋转液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡一,匀速直线运动液体的相对平衡若盛有液体的容器作匀速直线运动,容器内的液体相对于地球是运动的,但液体相对容器却是静止的,液体质点之间也不存在相对运动 。 因此,作用在液体上的质量力只有重力而没有惯性力 。 此外,液体质点间也不存在粘性力 。 这样,只要把坐标系取在容器上,前面所讨论的关于重力作用下的静止流体的平衡规律及其特性将完全适用 。 即它们的等压面是水平面,
等压面方程为 z=C
液体内任一点的静压力可以由流体静力学基本方程式求得,即 p=p0+γh
第八节 液体的相对平衡二,水平等加速运动液体的相对平衡若盛有液体的容器在水平方向作等加速直线运动,那么,
容器内的液体相对于容器来说便处于相对平衡状态 。 但容器是等加速前进的,必然带动其中的液体等加速前进,即液体实际上是处于等加速运动中 。 假若我们把参考坐标系选在容器上,
则容器中的液体相对于该参照系便处于相对平衡状态 。 为了方便起见,我们将 x轴和 y轴放在容器中的液体自由表面上,坐标原点放在液体自由表面中心,x轴的方向与运动方向一致,z轴垂直向上,如图 2-17所示 。 当我们应用达朗伯原理来分析液体对该非惯性参照系 xyz的相对平衡时,作用在液体质点上的质量力除重力外,还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以加第八节 液体的相对平衡图 2-17 水平等加速运动容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡速度,方向与加速度方向相反的惯性力 。 设容器的加速度为 a，
则作用在单位质量液体上的质量力为将上述单位质量力的分量代入压力微分方程式 (2-8)得将上式积分,得
(2-23)
为确定积分常数 C,我们引进边界条件：当 x=0,z=0时,p=p0，
代入上式得 C=p0。
于是 (2-24)
上式就是 水平等加速直线运动容器中液体的静压力分布公式 。
它表明,压力 p不仅随坐标 z而变化,而且还随坐标 x而变化 。
gffaf zyx 0,，
)dd(d zgxap
Cgzaxp )(?
)(0 gzaxpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步研究图 2-17所示情况的等压面方程 。
将单位质量力的分量代入等压面微分方程式 (2-13)
adx+gdz=0
积分上式,得 ax+gz=C (2-25)
这就是 等压面方程 。 显然,水平等加速直线运动容器中液体的等压面已不是水平面,而是一族平行的斜面 。 该倾斜的平面族与 x
α=tg-1(a/g) (2-26)
在自由液面上,因 x=0时,z=0,则等压面方程中的积分常数 C=0,因此 自由液面的方程式 为
axs+gzs=0 (2-27)
或 zs=-axs/g (2-27a)
第八节 液体的相对平衡式中 xs,zs为自由液面上任意一点的坐标 。
将式 (2-24)
p=p0-ρ(ax+gz)=p0+ρg(-ax/g-z)
将式 (2-27a)
p=p0+ρg(zs-z)=p0+γh (2-24a)
式中 h=zs-z,为某点距液体倾斜自由液面下的深度,简称 淹深 。
比较式 (2-24a)和式 (2-17)可以看出,水平等加速直线运动容器中液体的静压力在深度方向的分布规律与静止流体中的静压力分布规律是相同的,即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度 γ与该点淹深 h的乘积 。
第八节 液体的相对平衡三,等角速度旋转液体的相对平衡
2-19所示,盛有密度为 ρ 的液体的圆筒形的容器绕其铅直中心轴 z以等角速度 ω旋转 。 开始时液体受离心惯性力的作用向外甩,原来静止时的水平自由液面中心处的液体下降,
而周围的液体沿器壁上升 。 当旋转达到稳定后,整个液体就像刚体一样随容器的转动而转动,自由液面成为稳定的凹形曲面 。
这时液体质点之间以及液体质点与器壁之间都没有相对运动,
液体相对容器处于相对平衡状态 。 根据达朗伯原理,作用在液体质点上的质量力除了重力以外,还要虚加一个 离心惯性力,
它的大小等于液体质点的质量乘以向心加速度,方向与向心加速度的方向相反 。 于是,在圆柱坐标系下,作用在单位第八节 液体的相对平衡图 2-19 等角速度旋转容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡质量流体上的质量力的各分量为式中 r为液体质点到旋转轴的距离 。
将单位质量力的各分量代入压力微分方程式 (2-9),得对上式积分得
(2-28)
根据边界条件,当 r=0,z=0时,p=p0,则积分常数Ｃ =p0,于是
(2-29)
这就是等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 。 上式表明在同一高度上,液体的静压力沿径向按半径的二次方增长 。
gffrf zθ2r 0,，?
)dd(d 2 zgrrp
Czgrp )2(
22?
)2()2(
22
0
22
0 zg
rpzgrpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步求出旋转容器中液体的等压面方程 。
将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式得积分得
(2-30)
式 (2-30)表明,等角速度旋转容器中液体的等压面是一族 绕 z轴的旋转抛物面 。 在自由表面上,当 r=0时,z=0,可得积分常数
C=0。 故自由 表面方程为
(2-31)
或
(2-31a)
0ddd zθr zfrfrf?
0dd2 zgrr?
Czgr2
22?
02 s
2
s
2
zgr?
g
rz
2
2
s
2
s
第八节 液体的相对平衡式中 rs,zs为自由表面上任一点的坐标 。
将式 (2-31a)代入式 (2-29),可得
(2-29a)
式中 h=zs-z,为液体中某点距自由表面的垂直距离,即距自由表面下的深度,简称 淹深 。
可以 看出,绕铅直轴等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 (2-29a)与静止液体中静压力分布公式 (2-17)完全相同,
即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度与该点淹深的乘积 。
hpzzpp 0s0 )(
第八节 液体的相对平衡下面我们再来讨论两种特殊的情况：
(1)如图 2-20所示,在装满液体的圆筒形容器顶盖中心处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体虽然受离心惯性力的作用而向外甩,但由于受容器顶盖的限制,
液面并不能形成旋转抛物面 。 尽管如此,但根据边界条件,当
r=0,z=0时,p=pa,故容器中液体内各点的静压力分布仍为作用在顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面分布,中心点 O
处的流体静压力为 p=pa,离开中心各点压力都大于 pa,顶盖边缘点 B处的流体静压力为最大,其值为 p=pa+γω2R2/2g,如图中箭头所示 。 角速度 ω 越大,则边缘处的流体静压力越大 。
)2(
22
zgrpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-20 顶盖中心开口的容器第八节 液体的相对平衡
(2)如图 2-21所示,在装满液体的圆筒形容器的顶盖边缘处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体由于受离心惯性力的作用而向外甩,但在容器内部产生的真空又将液体吸住,以致液体跑不出去 。 根据边界条件,当 r=R，
z=0时,p=pa,得积分常数 C=pa-γω2R2/2g,故液体内各点的静压力分布规律为
(2-32)
可见,尽管液面没有形成旋转抛物面,但作用在容器顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面的规律分布 。 顶盖边缘开口
B处为大气压力 pa,大气压力的等压面如图 ACB所示 。 旋转抛物面 ACB以上的流体静压力均小于大气压力,即有真空存在,
]2 )([
222
zg rRpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-21 顶盖边缘开口的容器第八节 液体的相对平衡越靠近顶盖中心 O处,其真空度越大 。 O点处的真空度最大,
其真空度为 γω2R2/2g(即为 OC液柱高 )。 顶盖上各点的真空度如图中箭头所示,顶盖中心点 O处的流体静压力为或可见,角速度 ω 越大,则中心处的真空度越大 。 工程上所用的离心式泵和离心式风机都是应用流体静力学的这一规律制作的 。
当叶轮回转时,在中心处形成真空,将流体吸入,再借离心惯性力的作用甩向边缘,提高压力,而后输送出去 。
g
R
ppp
g
R
pp
am
a
2
2
22
22
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心内 容 提 要
一,解析法
(一 ) 确定总压力的大小和方向
(二 ) 确定总压力的作用点 ——压力中心
二,图解法第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心在工程实际中,有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题 。 在已知流体的静压力分布规律后,求总压力的问题,实质上就是求受压面上分布力的合力问题 。 本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心 。
作用在平面上总压力的计算方法有两种,解析法 和 图解法 。
一,解析法
(一 )确定总压力的大小和方向设有一面积为 A的任意形状的平面 ab,与水平液面成 α的夹角,液面上的压力为 p0,如图 2-24所示 。 取平面 ab的延伸面与水平液面的交线为 ox轴,取 ab所在平面上与 ox轴垂直的 线为第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-24 作用在平面上的液体总压力第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
oy轴 。 为了分析方便起见,我们将平面 ab绕 oy轴转动 90° (如图 2-24)。 图中 C点为 ab面的形心,D点为总压力的 作用点 。
由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向,所以,
作用在平面上各点的静压力的方向相同,其合力可按平行力系求和的原理来确定 。 设在受压平面上任取一 微元面积 dA,其中心点在液面下的深度为 h,作用在 dA中心点上的压力为
p=p0+γh,则作用在微元面积 dA上的总压力 为
dP=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA
根据平行力系求和原理,作用在整个面积 A
P=∫Ａ pdA=∫Ａ p0dA+γsinα∫Ａ ydA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0A+γsinα∫Ａ ydA
式中 ∫Ａ ydA为面积 A对 ox轴的 静面矩,由理论力学知,它等于面积 A与其形心坐标 yc的乘积,即 ∫Ａ ydA=ycA。 如以 pc代表形心 C处液体的静压力,则上式可写成
P=p0A+γsinαycA=(p0+γhc)A=pcA (2-33)
上式表明,静止液体作用在任意形状平面上的总压力的 大小,
等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积 。
液体总压力的 方向 垂直指向受压面的内法线方向 。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
(二 )确定总压力的作用点 ——压力中心总压力的作用点又称为压力中心 。 由于液体的静压力与液深成正比,越深的地方其静压力越大,所以压力中心 D在 y轴上的位置必然低于形心 C。
压力中心 D的位置,可根据理论力学中的 静力矩定理 求得,即 各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩 。 现在,作用在每个微元面积 dA上的微小总压力 dP对
ox轴的静力矩之和 为
∫Ａ ydP=∫Ａ y(p0+γysinα)dA
=p0∫Ａ ydA+γsinα∫Ａ y2dA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0ycA+γsinαIx (a)
式中 Ix=∫Ａ y2dA为面积 A对 ox轴 的 惯性矩 。
总压力 P对 ox
PyD=(p0+γhc)AyD=(p0+γycsinα)AyD (b)
由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和,
(p0+γycsinα)AyD=p0ycA+γsinαIx (c)
根据惯性矩平行移轴定理,如果面积 A对通过它的形心 C并与 x轴平行的轴的惯性矩为 Ixc,则 Ix=Ixc+y2cA,代入 (c)式 后得
Ayp
AyIAypy
c
cxcc
D )s i n(
)(s i n
0
2
0
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心即
(2-34)
当 p0=0时,上式简化为
(2-35)
或写成 (2-35a)
由于 Ixc/(ycA)恒为正值,故有 yD＞ yc。 说明 压力中心 D点总是低于形心 C。
Ay
I
yy
Ay
I
yy
c
cx
cD
c
cx
cD
Ayp
Iyy
c
xc
cD )s in(
s in
0
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心如果平面 ab在 x方向不对称,则可用与上述同样的方法求得压力中心的 x坐标为
(3-36)
式中 Ixy=∫AxydA为面积 A对 x轴和 y轴的惯性积； Ixyc是对通过形心 C且平行于 x轴和 y轴的轴的惯性积 。 在工程实际中,受压面常是对称于 y轴的,则压力中心 D一定在平面的对称轴上,不必另外计算 xD。
Ay
I
x
Ay
I
x
c
cyx
c
c
yx
D
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心二,图解法用图解法来计算静止液体作用在平面上的总压力,仅 适用于底边平行于水平面的矩形平面的情况 。 使用图解法,首先需要绘制静压力分布图,然后再根据它来计算总压力 。
静压力分布图 是依据水静力学基本 方程 p=p0+γh,直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形 。 现以图 2-25
中垂直壁面 AB左侧为例绘制静压力分布图 。 设横坐标为 p,纵坐标为 h,坐标原点与壁面的 A点重合 。 根据静压力与液深成线性变化的规律,先按比例定出 AB两 端点的静压力,并用线段表示在相应点上,用箭头表示静压力作用的方向,然后用第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-25 静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心直线连接线段的两端点 C,D,便绘出壁面 AB左侧的静压力分布图 (梯形 ABCD)。
现把静压力 分布图分成 p0和 γh作用的两部分 。 过 A点作
AE∥ CD,平行四边形 AEDC部分就是液面上静压力 p0作用的静压力分布图；三角形 ABE部分就是液柱高 h产生的静压力 γh
作用的静压力分布图 。 实际中,液面上的压力常为大气压,大气压不仅对 AB的左侧面有作用对 AB的右侧面也同样有作用,
而且两侧面的压力大小相等,方向相反,互相抵消,对受压面不产生力学效应 。 因此工程计算中,只考虑相对压力的作用,
不计及大气压的影响,即只考虑静压力分布图 ABE。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-26绘出了几种常见受压面的静压力分布图 。
图 2-26 不同受压面上的静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心现在用式 (2-33)对高为 H,宽为 b,底边平行于水平面的垂直矩形平面 AB(如图 2-25),计算其总压力,为由图 2-25看出,上式中 (2p0+γH)H/2 恰为静压力分布图 ABCD
的面积,我们用 S表示,则上式可写成
P=S·b (2-37)
由此可见,液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力,等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积 。
HbHp
HbHpHbhpApP cc
)2(
2
1
)
2
1
()(
0
00
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心或者说,其总压力等于静压力分布图的体积 。
由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况,而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力 。 所以 总压力的作用线,必然通过静压力分布图的形心,其方向垂直指向受压面的内法线方向 。 而且压力中心位于矩形平面的对称轴上 。
如果静压力分布图为三角形,则压力中心位于距底边三分之一高度处 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力内 容 提 要
1,静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力
2,静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力
3,压力体的概念
4,实压力体与虚压力体
5,总压力作用点的确定第十节 静止液体作用在曲面上的总压力计算静止液体作用在曲面上的总压力,同样是求作用在每个微元面积上微小压力的合力问题 。 但是,组成整个曲面的各个微元面各自具有不同的方位,它们的法线方向既不平行,也不一定交于一点 。 因此,作用在各微元面积上的压力不是平行力系,而是空间力系 。 所以,不能用平行力系求和的原理或直接积分的方法来计算其总压力 。 一般是将作用在曲面上的总压力分解为水平方向和垂直方向的分力分别进行计算 。 本节以工程上常见的二维曲面为例,分析曲面上总压力的计算方法,
进而将结论推广到一般曲面 。
如图 2-28所示,设有一面积为 A的二维曲面,它在纸面上的投影为 AB,垂直于纸面的宽度为 b,液体在曲面左侧 。 设在第十节 静止液体作用在曲面上的总压力曲面 AB上,液深为 h处取一与底边平行的长条形微元面积 dA，
作用在 dA上 的微小总压力为
dP=(p0+γh)dA
dP垂直于 dA,并与水平面成夹角 α。 现将其分解为水平方向和垂直方向的两个分力 dPx和 dPz。 那么
dPx=dPcosα=(p0+γh)dAcosα
dPz=dPsinα=(p0+γh)dAsinα
由于 dAcosα和 dAsinα分别为微元面积 dA在垂直面上和水平面上的投影面积,分别以 dAx和 dAz表示,代入上式得
dPx=(P0+γh)dAx
dPz=(P0+γh)dAz
图 2-28 作用在二维曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力将上两式分别积分,即得到总压力的水平分力和垂直分力为
Px=∫Ax(p0+γh)dAx=p0Ax+γ∫AxhdAx (2-38)
Pz=∫Az(p0+γh)dAz=p0Az+γ∫AzhdAz (2-39)
式 (2-38)中 ∫AxhdAx=hcAx为曲面 AB在垂直面上的投影面积 Ax对水平轴 y的静面矩 。 因此式 (2-38)可写成
Px=p０ Ax+γhcAx=(p０ +γhc)Ax=pcAx (2-40)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 水平分力,等于该曲面在垂直于所求分力的垂直投影面上的总压力 。 因此,
可以运用上节所讨论的求解平面上的总压力及其作用点的方法来确定曲面上总压力的水平分力 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力由 图 2-28可见,式 (2-39)中 ∫AzhdAz为受压曲面 AB与其在自由液面上的投影面 CD之间的柱体 ABCD的体积 。 由于该体积的大小决定于 Pz的值,所以又称此体积为 压力体,用 VP表示 。
因此式 (2-39)
Pz=p0Az+γVP (2-41)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 垂直分力,等于自由液面上的压力作用在该曲面在水平面的投影面积上的总压力与压力体内液体的重量之和 。 总压力的垂直分力的作用线通过压力体的形心 (重心 )而指向受压面 。
总压力的垂直分力 Pz的方向取决于受压曲面与液体的相对位置以及曲面所受相对压力的正负,可能是向下的,也可能是第十节 静止液体作用在曲面上的总压力向上的,要根据具体情况加以判断 。 一般地,如果压力体与作用液体位于曲面的同一侧,Pz的方向向下,这种压力体称为 实压力体 ；如果压力体与作用液体分别位于曲面的两侧,则 Pz的方向向上,这种压力体称为 虚压力体 。
在求出液体对二维曲面的分力 Px和 Pz后,就不难求出液体对曲面的总压力 P。 即
(2-42)
总压力 P的作用线与水平线的夹角 α 为
α=tg-1(Pz/Px) (2-43)
P的作用线通过 Px和 Pz作用线的交点,但该交点不一定在曲面上 。 要 确定总压力 P在曲面上的作用点,可先作出 Px和 Pz
22 zx PPP
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力的作用线,然后作出 P的作用线,这条作用线与曲面的交点即为总压力 P的作用点 。
以上是对二维曲面所受液体总压力的分析和计算,对于三维曲面所受液体总压力的计算,上述方法同样适用 。 只要再求出另一个水平 分力 Py即可 。 类似于 Px的计算,总压力 P在 y轴方向的水平分力为
Py=(p0+γhc)Ay=pcAy (2-44)
则三维曲面所受液体的总压力为
(2-45)
222
zyx PPPP
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
