流体力学与流体机械
(七 )
多媒体教学课件李文科 制作第七章 相似原理与因次分析
第一节 概 述
第二节 相似的概念
第三节 有因次量和无因次量
第四节 描述现象的微分方程及单值条件
第五节 相似三定理
第六节 相似准数的导出第七章 相似原理与因次分析
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理
第八节 相似准数的转换
第九节 模型实验研究方法第一节 概 述内 容 提 要
数学分析法和实验法
原型测试和模型实验
冷态模型和热态模型
整体模化和局部模化第一节 概 述人类探索自然规律,研究自然现象的方法,可归纳为两大方面：
1,数学分析法,是以数学作为探索自然规律的主要手段,根据所研究的物理现象的特点,分析与该现象相关各物理量之间的依变关系,列出描述该现象的微分方程组,再根据边界条件,对方程组进行求解 。
2,实验法,是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定,再通过对取得的数据进行加工,分析,以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系 。
第一节 概 述实验法可分为 原型测试 和 模型实验 两类 。
原型测试法,就是对正在运行的设备及过程进行实际测试,掌握第一手资料,从而可为设备及过程的最优化提出改进依据 。
模型实验法,是以相似原理为指导,对所研究的现象建立模型,通过模型实验,定性地或定量地探索各物理参量间的依变关系,找出其内在规律,以这些规律为指导,进行新工艺或新设备的计算及设计 。
相似原理是指导模型实验的理论基础 。
第一节 概 述按模型实验的温度条件可分为 冷态模型 和 热态模型 。
冷态模型,一般以常温的水或空气作流动介质 。 水模型便于定性的观察,显示和摄相,气模型便于进行定量的测试 。
热态模型,一般伴随有高温化学反应和热交换过程 。 小型火焰实验炉就是热态模型 。
按模型的规模可分为 整体模化 和 局部模化 两种 。
整体模化,可以研究设备整体或某一系统运行过程中各个参量的依变关系,体现了整体设备或全部过程的综合特征 。
局部模化,为了深入剖析某一局部现象,也可进行局部模化,如高炉的风口区,火焰炉的燃烧器或换热器等 。
第二节 相似的概念内 容 提 要
一,几何相似
二,时间相似
三,物理现象相似
1,速度相似 2,动力相似
3,温度相似 4,浓度相似
5,物理常量相似第二节 相似的概念一,几何相似两个几何相似的图形,其对应部分的比值必等于同一个常数,这种相似称为 几何相似 。 如两个相似的三角形,有
(7-1)
比例常数 Cl称为 几何相似倍数 。
图 7-1 相似三角形
lCh
h
c
c
b
b
a
a ''''
第二节 相似的概念图 7-2 相似三角锥同理,如果两个三角锥相似,则这两个锥体的对应边也应成比例 (如图 7-2),即
(7-1a)
显然,相似形的对应面积之比为 C2l，对应的体积之比为 C3l。
lCl
l
l
l
l
l
l
l
6
'
6
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念几何相似体现了空间相似 。 几何相似是两组现象相似的必要条件之一 。
空间相似,是指所有的空间几何线尺寸都对应成比例 。
若两个现象,其对应的空间坐标参量之比为当 Cx=Cy=Cz=Cl时,这样的几何相似称为 正态相似 。 按正态相似建立的模型称为 正态模型 。 当 Cx≠Cy≠Cz时,这样的模型称为 变态模型 。
zyx Cz
zC
y
yC
x
x ''',,
第二节 相似的概念二,时间相似时间相似 是指两现象的发生或两过程的进行所对应的时间间隔成比例 。
空间与时间是物质存在与发展的基本形式 。 表征自然现象的一切物理量,都是空间坐标与时间的函数 。 两个现象或过程从某一对应的起始时刻至某一对应的终了时刻形成两个对应的时间间隔,如果所有对应的时间间隔都各自成比例,则这两个现象或过程的物理量随时间的变化是相似的 (图 7-3)。
因此,时间相似可以表述为
(7-2) C '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念式中 Cτ称为 时间相似倍数 。
图 7-3中 φ及 φ′为任意两个对应参量,如果它们随时间的变化是相似的,则它们形成的两个折线是相似的 。
图 7-3 时间相似图形第二节 相似的概念三,物理现象相似所谓 物理现象相似 是指在 几何相似 和 时间相似 的前提下,
在相 对应 的时间内和在相 对应 的空间点上,所有用来描述两个现象的一切物理量都各自 对应 成比例 。
如流体流动,热量交换及质量交换所伴随的物理量有速度
(u),压力 (p),密度 (ρ),粘度 (μ),温度 (t),导热系数 (λ),浓度
(c)和时间 (τ)等等 。 可见,物理 现象相似要比几何相似复杂得多 。 因为参与过程的所有参量都将随空间和时间而改变,只有两个系统中所有参量都一一对应成比例,才称为两个现象是相似的 。
第二节 相似的概念
1.速度相似,是指速度分布的相似,即速度场的几何相似,也就是说,在几何相似的条件下,对应空间部位流体质点所构成的 流线图形相似 。 它表现为各对应空间点上和各对应时刻上,速度的 方向相同,大小对应成比例 (如图 7-4)。 即
(7-3)
式中 Cu称为 速度相似倍数 。 速度场相似是运动场相似的体现 。
图 7-4 速度场相似
u
n
n C
u
u
u
u
u
u
u
u '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
2.动力相似,是指动力场的几何相似 。 它表现为在各个对应空间部位和对应时刻上各对应的 作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例 。
如图 7-5所示,当流体流过两个几何相似的流线体时,在同一时刻,作用在对应空间流体质点上的各对应的作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例,即图 7-5 动力场相似第二节 相似的概念
(7-4)
式中 CF称为 动力相似倍数 。 动力场相似可使得速度场做到相似 。
F
b
b
a
a C
F
F
F
F
F
F '''?
第二节 相似的概念
3.温度相似,是指温度分布的相似,即温度场的几何相似 。 它表现为在几何相似的空间范围内,各对应点和各对应时刻上的温度值对应成比例 (如图 7-6所示 ),即
(7-5)
式中 Ct称为 温度相似倍数 。
图 7-6 温度场相似
t
n
n C
t
t
t
t
t
t
t
t '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
4.浓度相似,是指两现象的浓度分布相似,即浓度场的几何相似 。 如图 7-7示出了 CH4气体向空气中喷射时形成的浓度分布情况 。 如果两现象的浓度场相似,则对应空间部位在对应的时刻上气体的浓度对应成比例,即
(7-6)
式中 Cc称为 浓度相似倍数 。
图 7-7 浓度场相似
c
n
n C
c
c
c
c
c
c
c
c '
2
'
2
1
'
1
0
'
0?
第二节 相似的概念
5.物理常量相似,参与过程的各物理介质都具有自己的物理常量,如介质的密度 ρ,动力粘度 μ,导热系数 λ… 等等 。
只要在对应的空间点和对应的时刻上介质的各物理常量都对应成比例,即为 物理常量相似 。 两现象的物理常量相似时,必有
(7-7)
式中 Cρ,Cμ,Cλ… 分别代表各相应 物理常量的相似倍数 。
CCC ''',,
第二节 相似的概念根据以上讨论可以发现,描述现象的各物理量的相似,在数学上表现为以下两种形式：
(1)标量相似,只有大小而无方向的量称为 标量 。 如温度,
浓度,密度等都属于标量 。 标量相似,其大小在对应空间部位和对应的时刻上对应成比例,可表示为
(7-8)
式中 φn′,φn代表任意对应的特征标量,Cφ为对应标量的相似倍数 。
(2)向量相似,既有大小又有方向的量称为 向量 。 如速度,
C
n
n
'
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念加速度,力等都是向量 。 向量相似,不仅其大小在对应空间部位和对应时刻上对应成比例,而且性质相同,方向一致 。
向量相似可表示为
(7-9)
式中 φi′,φi代表两相似系统的任意两个对应的向量,式 (7-9)中
φi′,φi为其绝对值 。 比例常数 Cφ为对应向量的相似倍数 。 以上两式中的 φ代表原型中的参量,φ′代表模型中的参量 。 脚标 1，
2,……,n代表空间的相应点和时间的相应时刻 。 脚标 x,y，
z代表相应坐标轴 上有关向量的分量 。
C
i
i
z
z
y
y
x
x
''''
第二节 相似的概念下面介绍后面常用到的微分量与积分量之间的所谓,置换法则,。
根据比例的基本性质,
由于常量的极限值就等于其自身,故有
(7-10)
常数则常数如果
C
C
12
12
21
21
2
2
1
1
常数或者常数
C
C
d
d
d
d
)(lim
2
2
1
1
0
第二节 相似的概念式 (7-10)说明,对相似现象而言,两物理量的微分之比等于该两相应物理量之比 。 根据这一法则,对于特征量的任意阶导数都可以用其相应的特征量的比值,即所谓的,积分类比,来代替 。
如一阶导数 可用其积分比 代替；二阶导数 可用代替,如此类推 。 这样,多阶导数 可用 代替,将复杂的微分式变成简单的代数式,可大大简化运算过程 。 用积分比代替微分比在相似转换中有很大的用途 。
x
t
x
t
2
2
x
t
2x
t
n
n
x
t
nx
t
第三节 有因次量和无因次量内 容 提 要
一,因次的概念
二,有因次量和有因次方程
三,无因次量和无因次方程
四,准数和准数方程
定性参数的选取第三节 有因次量和无因次量一,因次的概念因次 又称 量纲,它指的是物理量的物理属性,或者说是指具有相同物理意义的物理量的类别 。
以小时,分,秒为例,它们是测量时间的不同单位,但这些单位都是用来测量时间的,都属于时间的类别 。
因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示,如质量的因次 ［ Ｍ ］,长度的因次 ［ Ｌ ］,时间的因次 ［ Ｔ ］,压力的因次 ［ ML－ 1T－ 2］ 和温度的因次 ［ Θ］ 等等 。
在国际单位制中,取 长度,质量,时间,电流,热力学温度,物质的量 和 发光强度 这七个物理量作为,基本量,。
第三节 有因次量和无因次量这七个 基本量的因次 相应地用 ［ Ｌ ］,［ Ｍ ］,［ Ｔ ］,
［ Ｅ ］,［ Θ］,［ Ｎ ］,［ Ｃ ］ 来表示,称为 基本因次 。 其它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程推导出来的,称为,导来因次,。 如速度的因次 ［ LT－ 1］ 是根据运动方程 u=dl/dτ用长度的因次 ［ Ｌ ］ 和时间的因次 ［ Ｔ ］
推导而来的,是导来 因次 。
在流体力学中,常用的基本因次为：长度 ［ Ｌ ］,质量
［ Ｍ ］,时间 ［ Ｔ ］,温度 ［ Θ］ 等； 常用的 导来因次列于表
7-1中 。 在因次运算过程中,在不致于引起混淆的情况下可将因次外的方括号省略,否则必须加上方括号 。
第三节 有因次量和无因次量二,有因次量和有因次方程具有因次的物理量称为 有因次量 。 如速度 u,压力 p和密度
ρ 等物理量都是有因次量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号把描述现象的各有因次参量联系在一起组成的方程,称为 有因次方程 。
对有因次方程而言,各项的因次必须是相同的,否则将不能保持因次的和谐性 。
如水静力学基本方程各项的因次都必须是 ［ ML－ 1T－ 2］ 。
hpp 0
第三节 有因次量和无因次量再如伯努利方程各项的因次都必须是 ［ Ｌ ］ 。
由此可给出因次分析的一个重要原理,即因次和谐原理,,凡正确的物理方程,其中各项的因次都必须相同,这是完整物理方程所必然具有的特征,。
有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依变关系,给人以直观感 。
g
uzp
g
uzp
22
2
2
2
2
2
1
1
1
第三节 有因次量和无因次量三,无因次量和无因次方程以某一有因次量作为参考尺度,其它具有相同因次的量都用该尺度所度量,得出的失去了因次的量称为 无因次量 。
如管道的无因次长度 l/d；无因次坐标 r/R ；管内流动的无因次速度 u/umax等 。
参考尺度 可选取固定量,也可选取有规律的变量 。 如马赫数 M=u/a,其中 为当地音速,它是个有规律的变量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号将描述现象的无因次量联系起来组成的方程,称为 无因次方程 。 一般地,无因次方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律 。
kR Ta?
第三节 有因次量和无因次量如管内层流的无因次速度 (u/umax)与无因次坐标 (r/R)之间的函数关系式为可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度 (u/umax)与无因次压力 (p/p0)之间 的函数关系式为式中 umax为可压缩流体的极限速度,p0为 可压缩流体的滞止压力 。
2
m a x
)(1
R
r
u
u
2
11
0m a x
])(1[ k
k
p
p
u
u
第三节 有因次量和无因次量四,准数和准数方程无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系,也可以把一些 具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比,得出新的无因次值,这个无因次值就称为 准数 或称 准则数,也有人称作 特征数 。 简单地说,准数 就是,由某些有关的物理量所组成的无因次复合数群,。 即它是一个复杂的无因次量 。
例如,与流体质点运动相关的有四种力,惯性力,粘性力,
重力和压力 。 研究流体流动时,常常将它们进行无因次化 (准数化 ),推导过程如下：
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,粘性力起主导作用时,将惯性力与粘性力相比,得
(7-11)
Re称为 雷诺准数 。 它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力之间的比值关系 。
ul
l
u
l
l
u
AT
ul
ul
u
l
u
lmaF
2
2233
d
d
粘性力惯性力
Re
22
luul ul粘性力惯性力
2
3
lpApP
lgVG
压力重力
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,压力起主导作用时,如管内有压流动,将压力与惯性力相比,得
(7-12)
Eu称为 欧拉准数 。 它体现了流体在运动过程中压力与惯性力之间的比值关系 。
当流体在流动过程中,重力起主导作用时,如液体在明渠内的流动,将流体的惯性力与重力相比,得
(7-13)
Eu222
2
upul lp惯性力 压力
Fr
2
3
22
lgulg ul重力惯性力第三节 有因次量和无因次量
Fr称为 付鲁德准数 。 它体现了运动流体的惯性力与重力之间的比值关系 。
再如,当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时,表面张力起主导作用 。 将液体的惯性力与表面张力相比,得
(7-14)
We称为 伟伯准数 。 它体现了液体的惯性力与表面张力之间的比值关系 。
又如,可压缩流体在运动过程中,弹性力起主导作用,可将惯性力与弹性力相比,(弹性力 )得
We
222
lulul表面张力 惯性力
22 laAEN
第三节 有因次量和无因次量
(7-15)
M称为 马赫准数 。 它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与弹性力之间的比值关系 。
以后将证明,准数相等是两现象相似的必要条件 。
由准数所组成的方程式称为 准数方程 。 如
Eu=f(Re,Fr)
上式体现了运动流体的欧拉准数 (Eu)依变于雷诺准数 (Re)和付鲁德准数 (Fr)的函数关系,它是 一个准数方程 。
a
u
a
u
la
ul MM 2
2
2
22
22
或弹性力惯性力
第三节 有因次量和无因次量再如对流传热过程中,奴谢尔特准数 (Nu)依变于雷诺数
(Re),普朗特准数 (Pr)和格拉晓夫准数 (Gr)的函数关系式
Nu=f(Re,Pr,Gr)
它也是一个准数方程 。
准数方程比一般的有因次方程更能体现同类现象变化的一般规律 。 在科学实验中,把得到的某些有因次量之间的依变关系转换为准数方程,可以把由个别现象得来的规律 共性化,
一般化,有利于把研究结果推广到相似的同类现象中去 。
第三节 有因次量和无因次量定性参数的选取,简单的无因次量或各个准数中所包含的几何尺寸或物理量,如长度 l,直径 d,流体的流速 u以及对物理常量 (ρ,μ等 )有影响的温度 t等 称为 定性参数 。
当借助准数的数值对两流动现象进行比较时,必须用相同的方法确定定性参数 。 否则将是无意义的 。
定性参数的选取应 便于测量和计算 。 如流体在圆管内流动时,可选取管内径为定性线尺寸,以流量平均速度为定性速度；
流体横向绕过圆管流动时,以管外径为定性线尺寸,以来流速度为定性速度等 。 定性参数选取得合理,不仅能真实体现流动特征,而且便于实验工作的进行和数据的整理与加工 。
第四节 描述现象的微分方程及单值条件内 容 提 要
一,微分方程
二,单值条件
1,几何条件 2,起始条件
3,边界条件 4,物理条件第四节 描述现象的微分方程及单值条件一,微分方程自然界中的大多数物理现象,都可用一组数学物理方程来描述,该方程体现了各物理参量之间的依变关系 。
分析表明,同一类物理现象可用文字和形式完全相同的微分方程来描述 。
以不可压缩粘性流体的等温流动为例,其基本方程如下：
连续性方程
(7-16)
运动方程 (纳维 — 斯托克斯方程 ) (式 7-17～ 19)
0?
z
u
y
u
x
u zyx
第四节 描述现象的微分方程及单值条件这一完整方程组全面地描述了不可压缩粘性流体不稳定等温流动现象中各种物理量之间的依变关系 。 它所描述的是普遍的流动现象,故求解上述一组方程式所得到的是对同一类型的各种流动都正确的 通解 。 为求得某一特定的具体流动的 特解,
还必须给出一定的 附加条件 。 这些附加条件就称为 单值条件 。
)(
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
zzz
z
z
z
z
y
z
x
z
yyy
y
y
z
y
y
y
x
y
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
第四节 描述现象的微分方程及单值条件二,单值条件单值条件包括以下四项：
1.几何条件,所有的具体现象都必须发生在一定的几何空间内,因此 参与过程的物体 (设备 )的几何形状和大小是应给出的一个单值条件 。 如,流体在管内流动,应给出管径 d,管长 l及管壁粗糙度 Δ等具体 数值 。
2.起始条件,任何现象的发生或过程的发展都直接受到起始状态的影响,如流速,温度,介质的物理性质等,于开始时刻在整个系统内的分布直接影响以后的过程 。 因此,起始条件也属于单值条件 。 在对具体的物理过程进行解析时,应当给第四节 描述现象的微分方程及单值条件出与现象有关的各物理参量 (如流速,温度等 )于起始时刻在全系统的分布情况 。 对于稳定过程而言,不存在起始条件 。
3.边界条件,所有具体现象都必然受到与其相邻的周围情况的影响,因此 发生在边界上的情况也是单值条件 。 例如管道内流体的流动现象直接受进口,出口及壁面处流速的大小及其分布的影响 。 因此,应给出管道进口,出口处流速的平均值及分布规律和管壁面处流体层的速度值 。 如果是不等温流动,
还应给出进,出口处温度的平均值或其分布规律,以及壁面处的流体温度 。
4.物理条件,所有具体现象都是由具有一定物理性质的介质参加进行的,因此,参与过程的介质的物理性质也是单值第四节 描述现象的微分方程及单值条件条件 。 如不可压缩粘性流体的等温流动,应给出介质的密度 ρ,
粘度 μ 的数值 。 如流动是不等温的可压缩粘性流体,则应给出状态方程式及物理常数随温度变化的函数关系式,即
p=ρRT； μ=f1(T)； λ=f2(T)； Cp=f3(T)。
上述条件给定以后,就可以从服从于同一自然规律的无数的现象中单一地划分出某一具体的现象 。 因此,单值条件是将某一具体现象与其它同类现象区分开来的全部条件 。 单值条件相似是现象相似的必要条件 。
第五节 相似三定理内 容 提 要
一,相似第一定理
二,相似第二定理
三,相似第三定理第五节 相似三定理相似三定理是相似原理的核心内容,也是模型实验研究的主要理论基础 。 它可以告诉我们在进行模型实验研究时,应当解决的下列几个问题：
1.实验研究应当测量哪些参量?
2.如何做到模型现象与原型现象相似?
3.如何对测量的结果进行数据的整理和加工?
4.模型实验的结果怎样推广应用?
本节介绍相似三定理,重点不在于对这些定理的数学推导和理论证明,而是着重对它们的内容实质的理解和运用 。 相似三定理不是数学表达式而是文字叙述 。
第五节 相似三定理一,相似第一定理相似第一定理又称相似正定理,或相似性质定理 。 其内容是：,彼此相似的现象,其相似准数的数值必定相等,。
相似第一定理的结论是由分析相似现象的性质后得出来的 。
相似概念表明,彼此相似的现象是指表述此种现象的所有物理量在空间中相对应的各点及在时间上相对应的各瞬间都各自对应成一定的比例关系 。
彼此相似的现象具有以下性质：
性质 (1),相似的现象都属于同一类现象,它们都可以用文字上与形式上完全相同的完整方程组来描述 。 这个方程组包括描述现象的基本方程和描述单值条件的方程 。
第五节 相似三定理性质 (2),用来表征这些相似现象的一切对应物理量的场相似,即各对应物理量在对应的空间部位和对应时刻都各自对应成比例 。
若以 φ表示第一个现象的任一物理量,φ′表示与其相似的第二个现象的同类量,则有
φ′/φ=Cφ 或 φ′=Cφ·φ
比例系数 Cφ称为物理量 φ的,相似倍数,,其值与坐标及时间无关 。
如对彼此相似的不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,就有第五节 相似三定理
(7-20)
性质 (3),相似的现象必定发生在几何相似的空间中,所以几何的边界条件必定相似 。 这实质上是相似性质 (2)的一个特例 。 以连续加热炉为例,当模型与原型相似时,对应线尺寸必定成比例 (如图 7-8所示 ),即
l
fp
u
z
z
y
y
x
x
C
z
z
y
y
x
x
C
C
f
f
CCC
p
p
C
u
u
u
u
u
u
u
u
,
,,,,
,
lCl
l
l
l
l
l
l
l
4
4
3
3
2
2
1
1
第五节 相似三定理图 7-8 加热炉几何边界相似性质 (4),由性质 (1)和性质 (2)可知,表示现象特征的各物理量的相似倍数之间并不是互不相关的,而是相互联系并为某一种规律彼此相约束的 。 它们之间的 约束关系 表现 为 由某些相似倍数所组成的 相似指标数 (简称 相似指标 )等于 1。
现举例说明如下：
第五节 相似三定理设有一流体质点沿 x轴作直线运动,其运动方程为
u=dx/dτ (1)
另一流体质点的运动与上面的流体质点的运动相似,则根据相似性质 (1),其运动方程为
u′=dx′/dτ′ (2)
表示两质点运动的物理量分别为 u,x,τ和 u′,x′,τ′。
根据相似性质 (2),第二个流动现象的物理量与第一个流动现象的物理量在对应的空间点和对应的时刻上各自对应成比例关系,即或者 (3)
CxCxuCu
CC
x
x
C
u
u
lu
lu
,,
,,
第五节 相似三定理将式 (3)代入式 (2),得
(4)
把式 (4)与式 (1)进行 比较,显然,只有各相似倍数之间的关系符合
(5)
两个流体质点的运动方程才完全相同 。 这就是相似性质 (4)所说明的各物理参量的相似倍数之间的约束关系 。 这种约束关系常用 C表示,即
(7-21)
C称为 相似指标数,或简称 相似指标 。 它是由描述现象的一些
1?
l
u
C
CC?
d
d
dC
d xu
C
CCxCuC
l
ul
u
或者
1
l
u
C
CCC?
第五节 相似三定理物理量的相似倍数所组成 。 对于不同的物理现象或过程,组成相似指标数的相似倍数是不同的 。 对于彼此相似的现象,其相似指标必等于 1。 相似第一定理也可以此来表述 。
上面的相似指标式 (7-21)通常可写成另一种形式：
即
(7-22)
式 (7-22)中的 都是无因次综合量,即相似准数 。
它表明这样的 物理意义,对于彼此相似的流体质点的运动,它们在空间的对应点及时间的对应时刻,由 u,x,τ所组成相似准数 的数值是相等的 。
x
u
x
u
xx
uu
1
/
)/)(/(
xuxu // 和
xu /?
第五节 相似三定理称为 斯特罗哈准数,用 St表示,通常写作
(7-23)
斯特罗哈准数 St体现的是运动流体所受到的迁移惯性力与当地惯性力之间的比值关系 。
从上述对相似性质的分析中,可以得出相似第一定理的结论,,彼此相似的现象,其相似准数的数值相等,。
这一定理回答了实验研究中的第一个问题,即在实验中需要测定哪些物理量 。 它指出,所要测定的物理量乃是包含在各有关准数中的物理量 。
l
uSt
xu /?
第五节 相似三定理二,相似第二定理相似第二定理又称相似逆定理,或相似判定定理 。 其内容是：,凡是同一种类的现象,若单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等,则这些现象就必定相似,。
相似第二定理明确规定了两个现象相似的充分必要条件,
即 相似条件 。 这对进行模型实验研究十分重要,因为要使模型中的现象与原型中的现象相似,就必须设法满足相似条件 。
由相似第二定理可知,表征现象相似的条件有三个：
相似条件 (1),所研究的两个现象要属于同一类现象 。 即第五节 相似三定理两现象是服从于同一自然规律的现象,它们都可用文字与形式完全相同的基本方程组来描述 。
相似条件 (2),单值条件相似是现象相似的第二个必要条件 。 若两个流动现象的单值条件完全相同,则两者为同一流动现象 。 若两个流动现象的单值条件相似,则两者为相似的流动现象 。 若两个流动现象的单值条件既不相同也不相似,那么这两个流动现象就既不相同也不相似 。 所以,要保证两流动现象相似,就必须保证单值条件相似 。 如对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动来说,应包括以下 单值条件：
① 几何条件相似； ② 时间条件相似；
③边界条件相似； ④物理条件相似。
第五节 相似三定理相似条件 (3),由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等是现象相似的第三个必要条件 。 就是说,要保证两个流动现象相似,单值条件各对应的物理量的相似倍数 Cτ、
Cl,Cρ,Cμ,Cf以及 Cu等不能取任意的数值,它们之间存在着相互约束的关系,这种关系表现为由单值条件的物理量 (即定性量 )所组成的相似 准数在数值上相等 。
相似准数分为两种：
(1)决定性准数 。 完全由单值条件的物理量所组成的准数,
称为决定性准数,或称定性准数 。 它对现象的性质有决定性的影响 。
(2)被决定性准数 。 凡包含有未知物理量的相似准数就称第五节 相似三定理为被决定性准数,或称非定性准数 。 它是决定性准数的函数 。
如研究流动阻力问题时,雷诺数 Re及付鲁德数 Fr等为决定性准数,而欧拉数 Eu为被决定性准数,它是 Re及 Fr等准数的函数 。
相似第二定理告诉我们,为了保证模型现象与原型现象相似,必须使单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的决定性准数在数值上要相等 。 另外,它还表明,模型实验结果可以推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
第五节 相似三定理三,相似第三定理相似第三定理又称 π定理 (注：相似准数一般都用 π表示,
故称,π定理,)。 它的内容是,描述某现象的各种物理量之间的有因次函数关系,可以表示成相似准数之间的无因次函数关系,即
F(π1,π２,π３,…… πi)=0 (7-24)
或写成 π1=f(π２,π３,…… πi) (7-24a)
式中 π1为被决定性准数； π2,π3,…… πi为决定性准数 。 这种无因次的函数关系式称为准数方程式 。
相似第三定理回答了实验研究中应当解决的第三个问题,
第五节 相似三定理即实验得到的数据应如何整理和加工的问题 。 把某现象的实验结果整理成准数方程式,可使实验数据的整理工作大为简化,
而且得到的这种准数方程式就可以推广应用到与其相似的现象中去 。
如不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,定性准数有三个：
St,Re,Fr,非定性准数是 Eu,它们之间的关系可表示为
Eu=f(St,Re,Fr) (7-25)
对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在,故有
Eu=f(Re,Fr) (7-26)
显然,由式 (7-26)或 (7-25)所确定的无因次准数方程要比由式 (7-
16)～ (7-19)一组方程所确定的有因次函数式简单得多 。
第五节 相似三定理应当指出,在给出准数方程式的同时,还应当说明各准数中所包含的定性参数的选取方法 。 如定性线尺寸 (l),定性速度
(u),定性温度 (t)等 。 定性参数的选取方法不同,准数方程的结构形式也不同 。
准数方程确定以后,给出单值条件 l,ρ,u,μ,g等,非定性准数中的被决定量 (未知量 ),如两点间的压力差 Δp即可求得 。 如将式 (7-26)转化为有因次 形式,就得到常用形式的公式：
Δp=f(l,ρ,u,μ,g) (7-27)
第五节 相似三定理准数方程一般表示为指数函数的形式,如
Eu=kReaFrb (7-28)
式中 k,a,b为待定常数 。 对上式取对数可得
lgEu=lgk+algRe+blgFr (7-29)
常数 k,a,b通过实验是容易找到的 。
由式 (7-28)可知,对同类相似现象,其决定性准数 Re及 Fr
是相同的,则被决定性准数 Eu必然相同 。 因此式 (7-28)为同一类流动现象的通式 。
如果是强制流动,则 Fr可以忽略,准数方程式 (7-28)可简化为
Eu=f(Re) (7-30)
第五节 相似三定理或 Eu=kRea (7-31)
取对数后得到直线方程
lgEu=lgk+algRe (7-31a)
常数 k,a在对数坐标纸上是很容易得到的 。 如图 7-9所示,lgk
为截距,a为直线的斜率,即 a=tgθ。
图 7-9 Eu数随 Re数的对数变化曲线第五节 相似三定理同理,如果重力在流动中起主导作用 (如明渠流动 ),则粘性力可忽略不计,式 (7-28)
Eu=kFrb (7-32)
或 lgEu=lgk+blgFr (7-32a)
由此可以看出,准数方程既便于对实验数据的总结,又便于对实验结果的推广应用 。
第六节 相似准数的导出内 容 提 要
一,相似转换法
二,积分类比法第六节 相似准数的导出导出相似准数的基本方法有两类,
一类是 方程分析法,另一类是 因次分析法 。
方程分析法 通常有两种,即 相似转换法 和 积分类比法 。
方程分析法 是利用描述现象的基本微分方程组和全部单值条件来导出相似准数 。
一,相似转换法用相似转换法导出相似准数的具体步骤为：
(1)写出描述现象的基本方程组和全部单值条件；
(2)写出相似倍数的表示式；
(3)将相似倍数表示式代入基本方程组进行相似转换,从第六节 相似准数的导出而得到相似准数；
(4)用上述同样的方法,从单值条件中得到相似准数 。
下面以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,用相似转换法来导出其相似准数 。
(1)写出基本微分方程组和全部单值条件基本微分方程组：见式 (7-16)～ (7-19)。
单值条件：
几何条件 — 流动的几何空间,边界形状及特征尺寸 l的数值；
起始条件 — 起始时刻各变量的数值或分布规律；
边界条件 — 进,出口的速度分布情况 (或平均流速大小 )及壁面上的流动速度 ub=0；
第六节 相似准数的导出物理条件 ——介质的密度 ρ,动力粘度 μ 的数值 。
(2)写出各物理量的相似倍数表示式
(7-33)
(3)相似转换设有两个彼此相似的流动体系 。 属于第二个体系的各物理量都标上记号 ；属于第一个体系的各物理量则不标记号 。
f
z
z
y
y
x
x
l
p
u
z
z
y
y
x
x
C
f
f
f
f
f
f
C
z
z
y
y
x
x
CCC
p
p
CC
u
u
u
u
u
u
,
,,
,
”,?
第六节 相似准数的导出对第一个流动体系运动方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
对第二个流动体系运动方程
(7-36)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
0?
z
u
y
u
x
u zyx
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
第六节 相似准数的导出连续性方程
(7-37)
根据式 (7-33)的比例关系,有
(7-38)
将式 (7-38)代入式 (7-36)和 (7-37),得
(7-39)
0
z
u
y
u
x
u zyx
zCzyCyxCx
fCfC
CpCpC
uCuuCuuCu
lll
xfx
p
zuzyuyxux
,,
,,
,,,
,,,
)(
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
CC
CC
x
p
CC
C
fC
z
u
u
y
u
u
x
u
u
C
Cu
C
C
xxx
l
u
l
p
xf
x
z
x
y
x
x
l
uxu
第六节 相似准数的导出
(7-40)
比较式 (7-34)与式 (7-39)及式 (7-35)与式 (7-40),因两个流动体系相似,所以它们的运动微分方程及连续性方程完全相同 。 于是得到 (7-41)
(7-42)
由式 (7-41)可得出下面一组等式 (以迁移惯性力项为参考尺度 )
(7-43)
0)( zuyuxuCC zyx
l
u
任意数?
l
u
l
u
l
p
f
l
uu
C
C
CC
CC
CC
C
C
C
C
C
C
2
2
2
22
22
l
u
l
u
l
p
l
u
f
l
uu
l
u
CC
CC
C
C
CC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
；
第六节 相似准数的导出进一步把式 (7-43)整理成相似指标式
(7-44)
进而把相似倍数表示式 (7-33)代入上面的相似指标式 (7-44),经整理,就得到如下四个相似准数：
11
11
2
2
C
CCC
CC
C
CC
C
C
CC
lu
u
p
lf
u
l
u；
lg
u
lg
u
lg
u
l
u
l
u
l
u
222
Fr
St
或或
第六节 相似准数的导出由式 (7-42)得不出相似倍数之间的任何限制,故导不出相似准数 。
(4)对这一流动现象,由单值条件导不出相似准数 。
因此,对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,共有四个独立的相似准数,St,Fr,Eu,Re。 有关这四个相似准数的物理含义,前面我们已从力学的角度分析过,下面再来说明这些准数的其它的 物理意义 。
lululu
u
p
u
p
u
p
Re
Eu
222
或或第六节 相似准数的导出斯特罗哈准数 l/u可理解为速度为 u的流体质点通过系统中某一定性尺寸 l距离所需要的时间,
而 τ可理解为整个系统流动过程进行的时间,二者的比值为无因次时间 。 若两个不稳定流动的 St数 相等,则它们的速度场随时间变化的快慢是相似的 。 对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在 。
付鲁德准数 其分母项表示单位质量流体所具有的位能,而分子项表示单位质量流体的动能的两倍,所以,
Fr准数又表示单位质量流体的动能与位能之比 。 而位能与重力成正比,动能与惯性力成正比,故 Fr准数为惯性力与重力之比 。 如果两个流动现象的 Fr准数相等,则它们的重力场相似 。
：)//(/St ullu
：glu /Fr 2?
第六节 相似准数的导出欧拉准数 其分母为单位体积流体的动能的两倍,而分子为单位体积流体的压力能 (或压力损失 ),因此,Eu准数又表示单位体积流体的压力能 (或压力损失 )与动能之比 。 而压力能与压力成正比,动能与惯性力成正比,所以 Eu准数为压力与惯性力之比 。 又由于 Eu准数的分子,分母都具有压力的因次,所以 它表示的又是无因次压力 。
如果两个流动现象的 Eu准数相等,则它们的压力场相似 。
雷诺准数 也可写成其分子,分母都具有速度的因次,所以 Re数也表示无因次速度 。 如果两个流动现象的 Re数相等,则它们的粘性力场相似,
同时,它们的速度场 (速度分布 )也是 相似的 。
：或者 )/(/Eu 22 upup
： //Re lulu,)//(Re lu
第六节 相似准数的导出二,积分类比法积分类比法的原理如下：
第一,由于彼此相似的现象为完全相同的完整方程组所描述,所以它们的对应方程式中各对应项的比值相等,也就是第一个方程式中任意两项的比值与第二个方程式中对应两项的比值相等；又由于物理方程式中各项的因次相同,所以上述比值是无因次量 。
第二,描述现象的各物理量的任意阶导数 (微分 )可以用其相应的积分形式,即所谓的 积分类比 来代替 。 如式 (7-10)
常数 Cdd
第六节 相似准数的导出这可以理解为 两个物理量相似,则它们对应的微分量也相似 。
所以它们的微分形式可以用积分类比形式来代替 。
同理
(7-45)
(7-46)
这里 是物理量 φ 对物理量 ψ 的 n阶导数,它的积分类比是常数 nn
n
n
n
Cdd
常数
nnn
n
n
n
n
n
n
C
C
d
d
d
d
n
n
d
d
。n
第六节 相似准数的导出用积分类比法求得相似准数的步骤如下：
(1)写出描述现象的基本微分方程组及全部单值条件；
(2)方程式中所有物理量的各阶导数都用它们的积分类比式代替,即去掉所有的微分符号 。 用积分类比式代替时,各坐标分量 (如 ux,uy,uz)用总量 (u)代替,坐标 x,y,z用定性线尺寸 (如 l)代替 。 例如 等用 等来代替；
(3)方程式中的运算符号 (＋,－,＝ )都用比例符号 (～ )代替,得到比例关系式 。 如关系式中有几个相同的比例式,只取一个即可；
2
2
y
u、
x
u xx
2l
u、
l
u
第六节 相似准数的导出
(4)用任一比例式除同一方程中的其它各比例式,就得到所要求的相似准数 。
下面仍以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,说明利用积分类比法导出相似准数的方法 。
(1)写出基本微分方程组及全部单值条件 。 对于 x坐标方向的运动微分方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
0 zuyuxu zyx
第六节 相似准数的导出对于一段等截面的管道而言,其单值条件是：
几何条件 — 所讨论的管道长度 l,直径 (或当量直径 )d,管壁的绝对粗糙度 Δ；
起始条件 — 起始时刻各变量的分布规律或数值；
边界条件 — 进,出口的速度分布 (或平均流速大小 )及壁面处的流速 ub=0；
物理条件 — 流动 介质的密度 ρ,粘度 μ 的数值 。
(2)用积分式代替微分式,去掉微分符号,并用比例符号代替运算符号 。
对运动微分方程第六节 相似准数的导出
(7-47)
式 (7-34)中的质量力 fx只有重力分量 g,故上式中用 g来代替 。
由连续性方程写不出比例关系式 。
由几何条件得到简单的比例关系式 (7-48)
(3)求出相似准数 。
用比例式 (7-47)中的第二项去除其它各项,整理后便得到各相似准数用比例式 (7-48)中 的第二项去除其它两项,可得到几何准数
2~
1~~~
d
u
d
pg
d
uuu
~~ dl
Re,Eu
,Fr,St
2
2
lu
u
p
dg
u
l
u
第六节 相似准数的导出由连续性方程和其它单值条件写不出比例关系式,因而得不出相似准数 。
这样,对不可压缩粘性流体在等截面的管道内不稳定等温流动,用积分类比法可得到 St,Fr,Eu,Re和两个几何准数 l/d
及 Δ/d。 其中 Eu为被决定性 准数,准数方程的形式为
Eu=f(St,Re,Fr,l/d,Δ/d)
在进行模型实验时,根据各个准数在流动中所起的作用不同,可以舍掉部分次要的准数 。 如 对光滑管壁,粗糙度很小,
可以忽略 Δ/d；对于稳定流动,可以去掉 St数；对于管内有压流动,可忽略 Fr数的影响,将其舍去等 。
dd
lL,
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理内 容 提 要
一,瑞利因次分析法
二,伯金汉 π 定理及其应用第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理一,瑞利因次分析法此种方法适用于物理方程式为单项指数关系式的形式 。
具体步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成单项指数关系式的形式
(7-49)
式中 为影响物理过程的全部物理量；
为待定指数； k为比例常数 。
(2)用基本因次表示各物理量的因次,写出因次关系式
(7-50)
121 121 nnn k
121 ][][][][ 121 nnn
n321、、、
1n321、、、
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(3)根据因次和谐原理,比较上式左右两边的基本因次,如果物理方程式中的基本因次为 m个,则可解出其中的 m个待定指数值 。
(4)如果过程中物理量的个数 n≤m＋ 1,则可得到确定的指数关系式形式；如果 n＞ m＋ 1,则有 n－ (m＋ 1)个指数有待于实验进一步确定 。
(5)将解出的待定指数 α 1,α 2……α n-1代回指数方程式 (7-
49),便可得到所需要的物理方程 。
(6)所得到的物理方程还可进一步整理成准数方程 。
现举例说明如下：
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理例 7-3 压力波在流体中的传播速度 u预计是由流体的弹性
(以弹性模量 E表示 )和流体的密度 ρ所决定,试用因次分析法建立其依变关系式 。
解 设所要求的函数式为
(1)
式中 k为无因次比例常数,α1和 α2为待定指数 。
代入各物理量的因次,得根据因次和谐原理,比较等式两边的基本因次,解出 α 1、
α 2的数值,
21kEu?
21 ][][][ 3211 MLTMLLT
12121 231 TLMLT
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次 M的指数,0=α 1+α 2
因次 L的指数,1=-α 1-3α 2
因次 T的指数,-1=-2α 1
由此得到 α 1=1/2,α 2=-1/2
将 α 1,α 2之值代入式 (1),得到有因次方程为
(7-51)
将式 (7-51)进一步整理成准数方程为
(7-51a)
Eku?
k
E
u?
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理二,伯金汉 π 定理及其应用通过上面的例题可以发现,若描述现象的 物理量为 n个,
它们所包含的基本因次为 m个,那么就可以得到 (n－ m)个独立的相似准数 。 即,某现象为 n个物理量所描述,而这些物理量的基本因次有 m个,则这些物理量可转换成 n－ m＝ i个独立的相似准数,。 这就是 伯金汉 π定理,又称 因次分析 π定理,简称 π定理 。 伯金汉 π定理与前面介绍的相似第三定理的实质是相同的,只不过它是相似第三定理的数 量化 。
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理根据 π 定理进行因次分析,导出相似准数步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成下面的一般函数关系式
(7-61)
式中 为影响物理过程的各个物理量 。
(2)从上述 n个物理量中,选择 m个在因次上彼此独立的物理量作为基本量,即这 m个物理量应当包括该物理过程所涉及的全部基本因次,而且它们本身又不能组合成无因次量 。 在流体力学上通常可选择 ρ,u,l等作为 基本量 。
(3)用这 m个基本量轮流与剩下的 (n－ m)个物理量组合成无因次量 (准数 )：
n321、、、
0)( n321，，，f
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(i=m+1,…… n) (7-62)
(4)用基本因次表示以上各式中诸物理量的因次,可得到
(n－ m)个无因次关系式
(i=m+1,…… n) (7-63)
(5)比较以上各式的基本因次,可解出全部的指数 αi,βi，
γi,…… ωi,从而确定出 (n－ m)个独立的相似准数 πi。
(6)n个物理量间待求函数关系式 f(φ1,φ2,…… φn)=0可改写为 (n－ m)个 彼此独立的相似准数之间的待求准数方程式
(π1,π2,…… πn－ m)=0 (7-64)
imi iiii321
][][][][][ 321 imi iiii
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理这样,由于独立变量的数目减少了 m个,所以使得物理方程式的建立,实验资料的整理大为简化 。 至于这 (n－ m)个准数之间的定量关系式还必须通过实验才能确定 。
现举例说明如下：
例 7-6 粘性流体纵掠平板时,影响板面粘性切应力 τw的因素有：来流速度 u∞,距平板前缘的距离 x,流体的密度 ρ和流体的动力粘度 μ。 试用 π定理建立该过程 的准数方程式 。
解 该过程的一般函数关系式为
f(τw,u∞,ρ,μ,x)=0 (1)
五个物理量涉及到三个基本因次,[M],[L]和 [T],即 n=5，
m=3。 根据 π定理,上 式中五个物理量一定可以转换成 i=n－ m
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
=2个彼此独立的相似准数 。 准数方程可表示为
(2)
现确定准数 π1和 π2：
从上述五个物理量中选取 ρ,u∞,x作为基本量,将它们轮流与剩下的物理量 τw和 μ组成 相似准数：
(3)
把各物理量的因次代入上两式,得
π1和 π2是无因次准数,那么 [M],[L],[T]的指数必均为零 。
根据因次和谐原理,比较以上两式两边的基本因次,解出
w1 111 xu 2222 xu?
][][][][ 21131 111 TMLLLTML
][][][][ 11132 222 TMLLLTML
0),( 21F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理各指数值 。
因次 M：
因次 L：
因次 T：
解得代入关系式 (3),得到
1
1
1
0
2
1
01
013
01
02
013
01
2
2
2
1
1
1
2
222
2
1
111
1
1111
2
2
w
w
21
1
Re
x
xu
xu
u
u
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理于是待求的准数方程为
π1与 π2之间的定量关系式要通过实验来确定 。 从上式可以看出,
π1为粘性流体绕流平板时当地摩擦阻力系数 Cfx的二分之一 。
它体现的是摩擦阻力与惯性力之间的比值关系,为被决定性准数； π2为 Rex的倒数,为决定性准数 。 它们之间的物理关系式可以写成
π1=kRexa
或 lgπ1=lgk+algRex
常数 k和指数 a都 由实验确定 。
0),( 2w?
xuu
F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次分析法及 π 定理的应用存在着以下几点不足之处：
1.因次分析方法或 π 定理的结论受研究人员主观因素的影响很大 。 任一现象或物理过程都要受到一系列复杂因素的影响,
如果研究人员由于缺乏对该现象进行全面的观察和深入的分析,
万一遗漏掉某些有重要影响的因素,就可能会得出片面的,甚至是错误的结论 。
2.有些常数是有因次的,如气体常数 R的因次是 L2T－ 2Θ－ 1，
如果注意不够时,往往会遗漏掉 。
3.不能区别因次相同而物理含义不同的物理量 。 如运动粘度 ν和导温系数 a及扩散系数 D具有相同的因次 L2T-1,但 ν与 a
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理及 D物理意义是不同的 。
4.在确定准数及准数方程的过程中,不能显示物理过程的具体特征以及物理量之间的具体联系特征 。
尽管如此,但对一些复杂的现象,暂时不能列出基本微分方程式时,它们对探索现象的规律是很有用的 。 当有了相似概念和准数方程的概念后,在一定条件下因次分析仍是探索现象规律的一种有利工具 。
第八节 相似准数的转换内 容 提 要
相似准数转换的目的意义
相似准数的转换方法第八节 相似准数的转换利用相似转换法导出相似准数时,曾得到式 (7-41)
我们曾令第二项的相似倍数关系 (Cu2/Cl)与其它项的相似倍数关系恒等,如式 (7-43),St,Fr,Eu,Re四个准数 。 如果令其它任意两项相等,亦可得到相似准数 。 试看 下列组合：
令或而
2
2
l
u
l
p
f
l
uu
CC
CC
CC
CC
C
C
C
C
FrEu
1,
2
2
lg
u
u
p
lg
p
lg
p
lg
p
CCC
C
CC
C
C
lf
p
l
p
f
则第八节 相似准数的转换令或而上述推导表明,新的组合关系只不过是原来已有准数的重新组合而已 。 准数是无因次量,准数的组合仍然是无因次量,
仍具有准数的含义 。 因为准数代表着流体运动 (物理现象 )的特征,因而用惯性项与其它各项之比导出的准数,将有明确的物理含义 。
1
2
2
22
22
ReFr
1,
lugl
u
lg
u
lg
u
lg
u
CCC
CC
CC
CC
C
lf
u
l
u
f
则第八节 相似准数的转换在科学实验中,常常遇到一些难于测定的物理量,为了便于实验的进行,有时可将某些准数进行适当的组合,以消除难于测定的物理量,并形成新的准数 。 新的准数仍具有一定的物理含义 。
比如有时为了消除难于测定的速度 u,可进行如下转换：
(7-65)
Ga为 伽里略准数,它体现了流体的重力与粘性力的比值关系 。
又如
(7-66)
Pr为 普朗特准数,它是由皮克列准数 (Pe=ul/a)与雷诺准数组
GaReFr 2
3
2
32
2
222
2
21-
gllglu
u
lg
Pr
Re
Pe
alu
alu?
第八节 相似准数的转换合而成 。 Pr准数体现了流体的物理特性对热量传输的影响 。
在实验研究中经常遇到的相似准数的转换方法还有：
(1)相似准数加以指数,仍然是相似准数 。 如上节例 7-6中有
(2)相似准数乘以 (或除以 )无因次量,仍然是相似准数 。 如在温差射流中有
(7-67)
Ar为 阿基米德准数 。 它体现了由于流体的温度不同而引起的密度不同所产生的浮力与惯性力的比值关系 。
xxu Re)(
11
2
ArFr 20201-
T
T
u
lg
u
lg
第八节 相似准数的转换又如
(7-68a)
对于气体,由于式中 β 为气体的体积膨胀系数,将上式代入式 (7-68a)可得
(7-68)
Gr为 格拉晓夫准数 。 它体现了气体的浮力与粘性力的比值关系 。
(3)相似准数的和或差，仍然是相似准数。 如
0
2
3
0Ga lg
t
0
Gr2
3
2
3
tlgtlg
第八节 相似准数的转换为 伟伯准数,它体现了流体的重力与表面张力的比值关系 。
(4)相似准数与任一常数的和或差仍然是相似准数 。
如都是相似准数 (无因次速度和无因次尺寸 )。
(5)相似准数的倍数,即相似准数与常数的乘积仍然是相似准数 。
'
2
21
2
2
2
1
22
2
2
1
We
)(
Eu
lglglg
u
p
u
p
u
p
d
dl
d
l
u
uu
u
u 1,1
2
21
2
1
eW?
第八节 相似准数的转换如流体流过工程设备的压力降与流体的动能成正比,即式中 K为设备的阻力系数 。 将此式与欧拉准数对比,显然
K=2Eu或 Eu=(1/2)K。 即阻力系数 K也具有准数的含义,仍可 理解为无因次准数 。
流体力学常用的相似准数列于表 7-2。
2
2
1 uKp
第九节 模型实验研究方法内 容 提 要
一,概 述
二,近似模型实验研究方法
1,粘性流体的“稳定性”
2,粘性流体的“自动模化性”
三,模型实验研究的基本要点第九节 模型实验研究方法一,概 述相似模型实验研究方法是相似理论应用的一个重要方面 。
相似模型法 就是在相似的模型中,于相似的条件下,对实际的现象或物理过程进行实验研究的方法 。 在没有实物的情况下,应用模型实验,有可能探索和找出新设备的结构参数 。 而对已有的设备,则可按实物模拟制成模型,摸索工艺及设备的改进方向,解决在实际设备上进行这一工作时经济上,技术上和测量上的困难 。 由此可见,相似模型研究方法也就是将实际设备 (或设计中的设备 )放大或缩小以进行定性定量的研究,并将研究结果正确地推广应用到与实验过程相似的一系列现象中去的一种科学实验研究方法 。
第九节 模型实验研究方法相似模型研究方法的关键就在于如何保证模型实验与所模拟的实际过程相似 。 根据相似第二定理,模型实验应具备如下的相似条件：
(1)模型现象与实际现象是属于同一类现象,服从于同一自然规律 。 即描述两现象的基本微分方程组完全相同 。
(2)几何条件相似,即模型与实物应保持几何形状相似 。
这可以在制作模型时准确地模仿实物的形状来实现 。
(3)起始条件相似,即实验过程与实际过程的初始条件相似 。
(4)边界条件相似,即模型与实际设备的进,出口截面及壁面上的速度分布及温度分布等相似 。
第九节 模型实验研究方法
(5)物理条件相似,即在模型与实际设备的对应点和对应时刻上参与过程的介质的物理特性 (如密度 ρ,粘度 μ 等 )各自对应成比例 。
(6)决定性准数相等,即模型中与实际设备中各相应位置上和相应时刻的各决定性准数对应相等 。
但应指出,在实际进行模型实验时,要完全满足上述所要求的相似条件是非常困难的,甚至是办不到的 。 以空气动力模型为例：若要使模型表面与实际设备表面的粗糙度完全相似是不易做到的；又如,要保证非等温模型中各点处介质的 ρ,
μ 等值与实际设备中对应部位的分布不均的介质的 ρ,μ 值在每一对应时刻都完全相似也是极困难的 。 再如,为使实验过程第九节 模型实验研究方法与实际过程做到完全相似,保证所有的决定性准数都相等也是不容易的,甚至是做不到的 。 例如对不可压缩粘性流体的稳定等温流动,要同时保证模型与实际设备中的 Re数和 Fr数相等,
对模型设计是有矛盾的 。 为使 Re=Re′,即或 (a)
当模型与实际设备用同种流动介质时,ν ′ =ν,即 Cν=1，
那么 Cu=1/Cl。 这表示,当模型尺寸为实际设备尺寸的 1/n时,
为保证 Re=Re′,就要求模型中流体的速度为实际设备中流体速度的 n倍 。
l
u
C
C
l
l
u
u
C
lulu
第九节 模型实验研究方法如同时还要保证 Fr=Fr′,即或由式 (a)和式 (b)可以看出,要同时保证 Re=Re′,Fr=Fr′是有矛盾的 。 因为当 Cl=1/n时,为保证 Re=Re′,模型中的流体速度
u′必须是实际设备中的 n倍,即 u′=nu；为保证 Fr=Fr′,。
显然,要同时满足上述的双重要求是不可能的 。
lg
u
lg
u
22
lu Clg
lg
u
uC
2
2
2
unu 1
第九节 模型实验研究方法二,近似模型实验研究方法近似模型实验方法 实质上是抓主要矛盾的方法 。 在考虑模型实验时,先要分析在相似条件中哪些对过程的影响是主要的,
起决定作用的；哪些是次要的,不起决定作用的 。 对主要的,
起决定作用的条件要尽量加以保证；而对那些次要的,不起决定作用的条件只作近似的保证,甚至忽略不计 。 这样,一方面使实验能够进行,另一方面又不致引起较大偏差 。
例如有压流动过程,决定流动状态的准数是 Re数而不是 Fr
数,因而在实验时只需要考虑 Re准数,Fr准数 可以忽略不计 。
这样既便于模型的制作,也便于模型实验的顺利进行 。
第九节 模型实验研究方法流体流动近似模化可利用粘性流体的以下特性：
1.粘性流体的,稳定性,,
实验表明,粘性流体在管道 (或设备 )中流动时,不管入口处的速度分布如何,在流经一定的距离 (起始段 )后,流体的速度分布就按一定的规律稳定下来,这种特性称为粘性流体的,稳定性,。 粘性流体在流经管道或复杂的通道时,都呈现出稳定性特征 。 因此,在进行模型实验时,不管入口处的开始速度分布如何,只要保持几何相似,经过一段距离后就能够保证速度分布的相似,即当入口的几何条件相似以后,可不必考虑其它的相似条件,这就使得模型入口的条件大为简化 。 同样,只要保证出口通道几何相似,出口速度就能做到相似 。
第九节 模型实验研究方法
2.粘性流体的,自动模化性,,
流体的流动状态有两种,层流 和 紊流 。 决定流体流动状态的是雷诺准数 Re。 当粘性力起主导作用时,Re数值较小,流体呈现层流流动状态 。 只要 Re数小于某一临界值 (称为 第一临界值 ),流动就一直保持层流状态 。 流体层内的速度分布是相似的,与 Re值的大小无关 。 例如,流体在光滑圆管内流动时,
Re=2300称为第一临界值,只要管流的雷诺数 Re<2300,不管流量如何变化,速度分布都保持不变 (旋转抛物面分布 ),流体的这一特性,称为,自动模化性,,简称,自模性,。 通常将 Re数小于第一临界值的范围称为 第一自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法当流体的速度逐渐增加,惯性力的作用相应加大,而粘性力的作用相应减弱,管内的速度分布偏离旋转抛物面 。 随着流速的增加,Re数也逐渐增大,流动断面的速度分布逐渐趋向均匀化,这一区域称为 过渡区 。 流体在过渡区内的速度分布是不稳定的 。 当 Re数增加到一定数值时,粘性力的作用可以忽略不计,断面的流速分布规律又稳定下来,流体的流量再增加 (Re数进一步增大 ),流体的速度分布也不再改变 。 雷诺数
Re的这一临界数值称为 第二临界值 。 因为流速分布与 Re值无关 。 说明流动又一次进入自动模化区 。 这一雷诺数 Re大于第二临界值的自动模化区称为 第二自动模化区 。 如圆管内紊流
Re>4160(d/2Δ)0.85的阻力平方 区即为第二自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法在进行模型实验研究时,只要模型中与原型中的流体流动处在同一自模区内,模型与原型中的 Re数即使不相等,也能做到速度分布相似 。 粘性流体自模化区的存在给模型实验研究带来很大的方便 。 当原型中的 Re数值远大于第二临界值时,模型中的 Re数稍大于第二临界值,即可做到流动相似 。 在模型实验设计中,可以选用较小的泵或风机就能满足实验的要求,从而节省部分电能 。
实践表明,设备通道越复杂,通道内的附加物越多,进入第二自模区愈早 。 理论分析和实验结果都表明,流动进入第二自模区以后,阻力系数 (或 Eu数 )不再随 Re数而变化,这可作为检验模型中的流动是否进入第二自动模化区的标志 。
第九节 模型实验研究方法由于粘性流体具有稳定性和自动模化性的特点,在进行模型研究时,可不必严格遵守相似第二定理提出的相似条件,只要保持以下几点就能进行近似模化 。
(1)模型与实际设备几何相似,包括进,出口通道在内 。
(2)模化等温流动时,只要使模型中的介质温度维持一定,
模型与实际设备中的介质物性自然就成比例；若用等温流动模化非等温流动 (用非等温流动模化非等温流动是极困难的 )，
如冷态模型实验,则实验得到的结果应作必要的修正 。
(3)在模型流动与原型 (实际设备 )流动处于同一自模化区时,可不必保证二者的 Re数相等 。 此外,对过程影响不大的定性准数可以忽略 。
第九节 模型实验研究方法三,模型实验研究的基本要点
1.模型材料的选择,为了 便于模型的加工制作 及实验的 观察和测试,对于冷态模型一般常选用 有机玻璃 作为模型的结构材料 。 如果介质温度予热到 100～ 200℃,可用 金属板 作为模型材料,在局部采用有机玻璃 。
2.模型比例的确定,热工及暖通设备的模型多是以内型尺寸为依据设计出来的 。 模型尺寸的设计应 便于观察,测量,
显示和摄相 。 以热工设备为例,模型尺寸一般可取 0.5～ 1.5m，
特殊情况也可增大 或缩小 。
为了保证测量数据的准确可靠,气体在模型内的流速不得低于 5米 /秒 。 当风机容量一定时,模型选取过大则风量不足,
第九节 模型实验研究方法不能保证必须的气体流速；模型选取太小,通道断面也必然缩小,难于安放测试探头 。 即使勉强测试,但由于探头占据通道断面比太大,必将引起测量部位流动情况失真 。
从风源,水源条件来看,模型尺寸应与风机或水泵的流量及压力相适应 。 以便在实验进行时,流体克服全部阻力之后,
仍能保持足够的剩余压力 。
3.模型的结构形式,按相似第二定理,模型的结构形式应当做到与实际设备 (原型 )完全 几何相似 。 但有时为了便于模型研究的进行,也可使模型中某些部位的几何参数与原型有所差异 。 如大型连续加热炉,当宽高比很大时,可适当减少模型宽度,只取宽度的一部分,其它尺寸保持与原型的几何相似,
第九节 模型实验研究方法模型实验按二维平面流动考虑 。 这样既可缩小模型的规模,又可减少介质的流量 。
至于模型表面的粗糙度,它对邻近流体层的流动状态和速度分布起明显作用,而对离开模型表面一定距离处的流动状态,
速度分布不起作用 。 所以,当流体在较大的空间内流动时,表面粗糙度可不必完全相似 。
4.流动介质的选择,常用的流动介质是 空气 和 水 。 以水作流动介质,便于对流动情况进行定性地观察,显示和摄相；以空气作流动介质便于对流动情况进行定量的测量 。 一般情况下是先用水模进行定性的观察,再用气模进行定量的测量 。
第九节 模型实验研究方法由于水在常温下 (20℃ 左右 )的运动粘度 (ν=1.0× 10－ 6m2/s)
比空气在常温下的运动粘度 (ν=15.0× 10－ 6m2/s)要小 15倍以上,
当模型尺寸相同,为保证 Re=ud/ν相等,水的流速比空气要小得多,可节省水量 。
5.定性参数的确定,定性线尺寸 可以这样来确定：对管道
(或通道 )内的流动取管内经或当量直径；对圆管外绕流运动取管外径；对绕流球体的运动取球的直径；对于绕流平板的运动,
取某点距板前缘的距离等 。
定性速度 一般可取流量平均流速 。
定性温度 不仅影响模型内流体流速的高低,而且影响流体物性参数 ρ,μ 等的实际值 。 当流体在设备 (或模型 )内流动有第九节 模型实验研究方法温度变化时,应取其温度的平均值作为定性温度 。
6.决定性准数的确定,如不可压缩粘性流体在光滑管内的稳定 有压流动,其主要的决定性准数是 Re数,而 Fr数可忽略不计；对于 明渠流动,其主要的决定性准数为 Fr数,而 Re数处于次要第位 。 可压缩流体的流动 (如高速气流的运动 ),弹性力起主导作用,其主要的决定性准数为 马赫数 M等 。
7.自动模化区的确定,设计模型时,希望研究对象内的流动进入自动模化区 。 但是否能进入自模化区,Re数的第二临界值是多大,设计模型时还不能断定,这就给风机或泵的选型带来困难 。 一般情况下只能参照有关资料中介绍的类似设备的第二临界雷诺数的值或先在相近设备上进行测定,找出第二临界第九节 模型实验研究方法雷诺数的参考数值,待模型制成后,再通过实验找出实验设备的第二临界值 。 流动进入自模区的主要标志有两个,一是当流量改变时,模型内通道截面的速度分布 不再变化；另一是
Re数增加时,Eu数 (或阻力系数 )不再随 Re数而变化 。 即按
Eu=f(Re)的依变关系,在模型上测量有关参数进行计算,当 Re
数大于某一数值时,再增大 Re数,Eu值不再改变,这样就可确定 Re数的第二临界值 。
8.在有燃烧过程时,由于温度升高而使气体体积膨胀 6~7
倍,可根据 动量守恒原理 按燃烧产物的体积量计算燃烧器喷口截面积和气体喷出速度 。 这样虽然破坏了几何相似,即增大了出口截面积,但由于动量保持不变,仍可做到模型与原型流动第九节 模型实验研究方法相似 。 但必须注意,只有炉膛截面积远大于燃烧器出口截面积,
才能保持流动相似 。
9.进行模型实验研究：
(1)对模型现象进行观察,测试和摄相等,并做好数据记录等工作；
(2)对测试的数据资料进行理论分析并整理成准数方程；
(3)把实验结果推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
(七 )
多媒体教学课件李文科 制作第七章 相似原理与因次分析
第一节 概 述
第二节 相似的概念
第三节 有因次量和无因次量
第四节 描述现象的微分方程及单值条件
第五节 相似三定理
第六节 相似准数的导出第七章 相似原理与因次分析
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理
第八节 相似准数的转换
第九节 模型实验研究方法第一节 概 述内 容 提 要
数学分析法和实验法
原型测试和模型实验
冷态模型和热态模型
整体模化和局部模化第一节 概 述人类探索自然规律,研究自然现象的方法,可归纳为两大方面：
1,数学分析法,是以数学作为探索自然规律的主要手段,根据所研究的物理现象的特点,分析与该现象相关各物理量之间的依变关系,列出描述该现象的微分方程组,再根据边界条件,对方程组进行求解 。
2,实验法,是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定,再通过对取得的数据进行加工,分析,以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系 。
第一节 概 述实验法可分为 原型测试 和 模型实验 两类 。
原型测试法,就是对正在运行的设备及过程进行实际测试,掌握第一手资料,从而可为设备及过程的最优化提出改进依据 。
模型实验法,是以相似原理为指导,对所研究的现象建立模型,通过模型实验,定性地或定量地探索各物理参量间的依变关系,找出其内在规律,以这些规律为指导,进行新工艺或新设备的计算及设计 。
相似原理是指导模型实验的理论基础 。
第一节 概 述按模型实验的温度条件可分为 冷态模型 和 热态模型 。
冷态模型,一般以常温的水或空气作流动介质 。 水模型便于定性的观察,显示和摄相,气模型便于进行定量的测试 。
热态模型,一般伴随有高温化学反应和热交换过程 。 小型火焰实验炉就是热态模型 。
按模型的规模可分为 整体模化 和 局部模化 两种 。
整体模化,可以研究设备整体或某一系统运行过程中各个参量的依变关系,体现了整体设备或全部过程的综合特征 。
局部模化,为了深入剖析某一局部现象,也可进行局部模化,如高炉的风口区,火焰炉的燃烧器或换热器等 。
第二节 相似的概念内 容 提 要
一,几何相似
二,时间相似
三,物理现象相似
1,速度相似 2,动力相似
3,温度相似 4,浓度相似
5,物理常量相似第二节 相似的概念一,几何相似两个几何相似的图形,其对应部分的比值必等于同一个常数,这种相似称为 几何相似 。 如两个相似的三角形,有
(7-1)
比例常数 Cl称为 几何相似倍数 。
图 7-1 相似三角形
lCh
h
c
c
b
b
a
a ''''
第二节 相似的概念图 7-2 相似三角锥同理,如果两个三角锥相似,则这两个锥体的对应边也应成比例 (如图 7-2),即
(7-1a)
显然,相似形的对应面积之比为 C2l，对应的体积之比为 C3l。
lCl
l
l
l
l
l
l
l
6
'
6
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念几何相似体现了空间相似 。 几何相似是两组现象相似的必要条件之一 。
空间相似,是指所有的空间几何线尺寸都对应成比例 。
若两个现象,其对应的空间坐标参量之比为当 Cx=Cy=Cz=Cl时,这样的几何相似称为 正态相似 。 按正态相似建立的模型称为 正态模型 。 当 Cx≠Cy≠Cz时,这样的模型称为 变态模型 。
zyx Cz
zC
y
yC
x
x ''',,
第二节 相似的概念二,时间相似时间相似 是指两现象的发生或两过程的进行所对应的时间间隔成比例 。
空间与时间是物质存在与发展的基本形式 。 表征自然现象的一切物理量,都是空间坐标与时间的函数 。 两个现象或过程从某一对应的起始时刻至某一对应的终了时刻形成两个对应的时间间隔,如果所有对应的时间间隔都各自成比例,则这两个现象或过程的物理量随时间的变化是相似的 (图 7-3)。
因此,时间相似可以表述为
(7-2) C '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念式中 Cτ称为 时间相似倍数 。
图 7-3中 φ及 φ′为任意两个对应参量,如果它们随时间的变化是相似的,则它们形成的两个折线是相似的 。
图 7-3 时间相似图形第二节 相似的概念三,物理现象相似所谓 物理现象相似 是指在 几何相似 和 时间相似 的前提下,
在相 对应 的时间内和在相 对应 的空间点上,所有用来描述两个现象的一切物理量都各自 对应 成比例 。
如流体流动,热量交换及质量交换所伴随的物理量有速度
(u),压力 (p),密度 (ρ),粘度 (μ),温度 (t),导热系数 (λ),浓度
(c)和时间 (τ)等等 。 可见,物理 现象相似要比几何相似复杂得多 。 因为参与过程的所有参量都将随空间和时间而改变,只有两个系统中所有参量都一一对应成比例,才称为两个现象是相似的 。
第二节 相似的概念
1.速度相似,是指速度分布的相似,即速度场的几何相似,也就是说,在几何相似的条件下,对应空间部位流体质点所构成的 流线图形相似 。 它表现为各对应空间点上和各对应时刻上,速度的 方向相同,大小对应成比例 (如图 7-4)。 即
(7-3)
式中 Cu称为 速度相似倍数 。 速度场相似是运动场相似的体现 。
图 7-4 速度场相似
u
n
n C
u
u
u
u
u
u
u
u '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
2.动力相似,是指动力场的几何相似 。 它表现为在各个对应空间部位和对应时刻上各对应的 作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例 。
如图 7-5所示,当流体流过两个几何相似的流线体时,在同一时刻,作用在对应空间流体质点上的各对应的作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例,即图 7-5 动力场相似第二节 相似的概念
(7-4)
式中 CF称为 动力相似倍数 。 动力场相似可使得速度场做到相似 。
F
b
b
a
a C
F
F
F
F
F
F '''?
第二节 相似的概念
3.温度相似,是指温度分布的相似,即温度场的几何相似 。 它表现为在几何相似的空间范围内,各对应点和各对应时刻上的温度值对应成比例 (如图 7-6所示 ),即
(7-5)
式中 Ct称为 温度相似倍数 。
图 7-6 温度场相似
t
n
n C
t
t
t
t
t
t
t
t '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
4.浓度相似,是指两现象的浓度分布相似,即浓度场的几何相似 。 如图 7-7示出了 CH4气体向空气中喷射时形成的浓度分布情况 。 如果两现象的浓度场相似,则对应空间部位在对应的时刻上气体的浓度对应成比例,即
(7-6)
式中 Cc称为 浓度相似倍数 。
图 7-7 浓度场相似
c
n
n C
c
c
c
c
c
c
c
c '
2
'
2
1
'
1
0
'
0?
第二节 相似的概念
5.物理常量相似,参与过程的各物理介质都具有自己的物理常量,如介质的密度 ρ,动力粘度 μ,导热系数 λ… 等等 。
只要在对应的空间点和对应的时刻上介质的各物理常量都对应成比例,即为 物理常量相似 。 两现象的物理常量相似时,必有
(7-7)
式中 Cρ,Cμ,Cλ… 分别代表各相应 物理常量的相似倍数 。
CCC ''',,
第二节 相似的概念根据以上讨论可以发现,描述现象的各物理量的相似,在数学上表现为以下两种形式：
(1)标量相似,只有大小而无方向的量称为 标量 。 如温度,
浓度,密度等都属于标量 。 标量相似,其大小在对应空间部位和对应的时刻上对应成比例,可表示为
(7-8)
式中 φn′,φn代表任意对应的特征标量,Cφ为对应标量的相似倍数 。
(2)向量相似,既有大小又有方向的量称为 向量 。 如速度,
C
n
n
'
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念加速度,力等都是向量 。 向量相似,不仅其大小在对应空间部位和对应时刻上对应成比例,而且性质相同,方向一致 。
向量相似可表示为
(7-9)
式中 φi′,φi代表两相似系统的任意两个对应的向量,式 (7-9)中
φi′,φi为其绝对值 。 比例常数 Cφ为对应向量的相似倍数 。 以上两式中的 φ代表原型中的参量,φ′代表模型中的参量 。 脚标 1，
2,……,n代表空间的相应点和时间的相应时刻 。 脚标 x,y，
z代表相应坐标轴 上有关向量的分量 。
C
i
i
z
z
y
y
x
x
''''
第二节 相似的概念下面介绍后面常用到的微分量与积分量之间的所谓,置换法则,。
根据比例的基本性质,
由于常量的极限值就等于其自身,故有
(7-10)
常数则常数如果
C
C
12
12
21
21
2
2
1
1
常数或者常数
C
C
d
d
d
d
)(lim
2
2
1
1
0
第二节 相似的概念式 (7-10)说明,对相似现象而言,两物理量的微分之比等于该两相应物理量之比 。 根据这一法则,对于特征量的任意阶导数都可以用其相应的特征量的比值,即所谓的,积分类比,来代替 。
如一阶导数 可用其积分比 代替；二阶导数 可用代替,如此类推 。 这样,多阶导数 可用 代替,将复杂的微分式变成简单的代数式,可大大简化运算过程 。 用积分比代替微分比在相似转换中有很大的用途 。
x
t
x
t
2
2
x
t
2x
t
n
n
x
t
nx
t
第三节 有因次量和无因次量内 容 提 要
一,因次的概念
二,有因次量和有因次方程
三,无因次量和无因次方程
四,准数和准数方程
定性参数的选取第三节 有因次量和无因次量一,因次的概念因次 又称 量纲,它指的是物理量的物理属性,或者说是指具有相同物理意义的物理量的类别 。
以小时,分,秒为例,它们是测量时间的不同单位,但这些单位都是用来测量时间的,都属于时间的类别 。
因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示,如质量的因次 ［ Ｍ ］,长度的因次 ［ Ｌ ］,时间的因次 ［ Ｔ ］,压力的因次 ［ ML－ 1T－ 2］ 和温度的因次 ［ Θ］ 等等 。
在国际单位制中,取 长度,质量,时间,电流,热力学温度,物质的量 和 发光强度 这七个物理量作为,基本量,。
第三节 有因次量和无因次量这七个 基本量的因次 相应地用 ［ Ｌ ］,［ Ｍ ］,［ Ｔ ］,
［ Ｅ ］,［ Θ］,［ Ｎ ］,［ Ｃ ］ 来表示,称为 基本因次 。 其它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程推导出来的,称为,导来因次,。 如速度的因次 ［ LT－ 1］ 是根据运动方程 u=dl/dτ用长度的因次 ［ Ｌ ］ 和时间的因次 ［ Ｔ ］
推导而来的,是导来 因次 。
在流体力学中,常用的基本因次为：长度 ［ Ｌ ］,质量
［ Ｍ ］,时间 ［ Ｔ ］,温度 ［ Θ］ 等； 常用的 导来因次列于表
7-1中 。 在因次运算过程中,在不致于引起混淆的情况下可将因次外的方括号省略,否则必须加上方括号 。
第三节 有因次量和无因次量二,有因次量和有因次方程具有因次的物理量称为 有因次量 。 如速度 u,压力 p和密度
ρ 等物理量都是有因次量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号把描述现象的各有因次参量联系在一起组成的方程,称为 有因次方程 。
对有因次方程而言,各项的因次必须是相同的,否则将不能保持因次的和谐性 。
如水静力学基本方程各项的因次都必须是 ［ ML－ 1T－ 2］ 。
hpp 0
第三节 有因次量和无因次量再如伯努利方程各项的因次都必须是 ［ Ｌ ］ 。
由此可给出因次分析的一个重要原理,即因次和谐原理,,凡正确的物理方程,其中各项的因次都必须相同,这是完整物理方程所必然具有的特征,。
有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依变关系,给人以直观感 。
g
uzp
g
uzp
22
2
2
2
2
2
1
1
1
第三节 有因次量和无因次量三,无因次量和无因次方程以某一有因次量作为参考尺度,其它具有相同因次的量都用该尺度所度量,得出的失去了因次的量称为 无因次量 。
如管道的无因次长度 l/d；无因次坐标 r/R ；管内流动的无因次速度 u/umax等 。
参考尺度 可选取固定量,也可选取有规律的变量 。 如马赫数 M=u/a,其中 为当地音速,它是个有规律的变量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号将描述现象的无因次量联系起来组成的方程,称为 无因次方程 。 一般地,无因次方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律 。
kR Ta?
第三节 有因次量和无因次量如管内层流的无因次速度 (u/umax)与无因次坐标 (r/R)之间的函数关系式为可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度 (u/umax)与无因次压力 (p/p0)之间 的函数关系式为式中 umax为可压缩流体的极限速度,p0为 可压缩流体的滞止压力 。
2
m a x
)(1
R
r
u
u
2
11
0m a x
])(1[ k
k
p
p
u
u
第三节 有因次量和无因次量四,准数和准数方程无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系,也可以把一些 具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比,得出新的无因次值,这个无因次值就称为 准数 或称 准则数,也有人称作 特征数 。 简单地说,准数 就是,由某些有关的物理量所组成的无因次复合数群,。 即它是一个复杂的无因次量 。
例如,与流体质点运动相关的有四种力,惯性力,粘性力,
重力和压力 。 研究流体流动时,常常将它们进行无因次化 (准数化 ),推导过程如下：
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,粘性力起主导作用时,将惯性力与粘性力相比,得
(7-11)
Re称为 雷诺准数 。 它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力之间的比值关系 。
ul
l
u
l
l
u
AT
ul
ul
u
l
u
lmaF
2
2233
d
d
粘性力惯性力
Re
22
luul ul粘性力惯性力
2
3
lpApP
lgVG
压力重力
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,压力起主导作用时,如管内有压流动,将压力与惯性力相比,得
(7-12)
Eu称为 欧拉准数 。 它体现了流体在运动过程中压力与惯性力之间的比值关系 。
当流体在流动过程中,重力起主导作用时,如液体在明渠内的流动,将流体的惯性力与重力相比,得
(7-13)
Eu222
2
upul lp惯性力 压力
Fr
2
3
22
lgulg ul重力惯性力第三节 有因次量和无因次量
Fr称为 付鲁德准数 。 它体现了运动流体的惯性力与重力之间的比值关系 。
再如,当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时,表面张力起主导作用 。 将液体的惯性力与表面张力相比,得
(7-14)
We称为 伟伯准数 。 它体现了液体的惯性力与表面张力之间的比值关系 。
又如,可压缩流体在运动过程中,弹性力起主导作用,可将惯性力与弹性力相比,(弹性力 )得
We
222
lulul表面张力 惯性力
22 laAEN
第三节 有因次量和无因次量
(7-15)
M称为 马赫准数 。 它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与弹性力之间的比值关系 。
以后将证明,准数相等是两现象相似的必要条件 。
由准数所组成的方程式称为 准数方程 。 如
Eu=f(Re,Fr)
上式体现了运动流体的欧拉准数 (Eu)依变于雷诺准数 (Re)和付鲁德准数 (Fr)的函数关系,它是 一个准数方程 。
a
u
a
u
la
ul MM 2
2
2
22
22
或弹性力惯性力
第三节 有因次量和无因次量再如对流传热过程中,奴谢尔特准数 (Nu)依变于雷诺数
(Re),普朗特准数 (Pr)和格拉晓夫准数 (Gr)的函数关系式
Nu=f(Re,Pr,Gr)
它也是一个准数方程 。
准数方程比一般的有因次方程更能体现同类现象变化的一般规律 。 在科学实验中,把得到的某些有因次量之间的依变关系转换为准数方程,可以把由个别现象得来的规律 共性化,
一般化,有利于把研究结果推广到相似的同类现象中去 。
第三节 有因次量和无因次量定性参数的选取,简单的无因次量或各个准数中所包含的几何尺寸或物理量,如长度 l,直径 d,流体的流速 u以及对物理常量 (ρ,μ等 )有影响的温度 t等 称为 定性参数 。
当借助准数的数值对两流动现象进行比较时,必须用相同的方法确定定性参数 。 否则将是无意义的 。
定性参数的选取应 便于测量和计算 。 如流体在圆管内流动时,可选取管内径为定性线尺寸,以流量平均速度为定性速度；
流体横向绕过圆管流动时,以管外径为定性线尺寸,以来流速度为定性速度等 。 定性参数选取得合理,不仅能真实体现流动特征,而且便于实验工作的进行和数据的整理与加工 。
第四节 描述现象的微分方程及单值条件内 容 提 要
一,微分方程
二,单值条件
1,几何条件 2,起始条件
3,边界条件 4,物理条件第四节 描述现象的微分方程及单值条件一,微分方程自然界中的大多数物理现象,都可用一组数学物理方程来描述,该方程体现了各物理参量之间的依变关系 。
分析表明,同一类物理现象可用文字和形式完全相同的微分方程来描述 。
以不可压缩粘性流体的等温流动为例,其基本方程如下：
连续性方程
(7-16)
运动方程 (纳维 — 斯托克斯方程 ) (式 7-17～ 19)
0?
z
u
y
u
x
u zyx
第四节 描述现象的微分方程及单值条件这一完整方程组全面地描述了不可压缩粘性流体不稳定等温流动现象中各种物理量之间的依变关系 。 它所描述的是普遍的流动现象,故求解上述一组方程式所得到的是对同一类型的各种流动都正确的 通解 。 为求得某一特定的具体流动的 特解,
还必须给出一定的 附加条件 。 这些附加条件就称为 单值条件 。
)(
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
zzz
z
z
z
z
y
z
x
z
yyy
y
y
z
y
y
y
x
y
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
第四节 描述现象的微分方程及单值条件二,单值条件单值条件包括以下四项：
1.几何条件,所有的具体现象都必须发生在一定的几何空间内,因此 参与过程的物体 (设备 )的几何形状和大小是应给出的一个单值条件 。 如,流体在管内流动,应给出管径 d,管长 l及管壁粗糙度 Δ等具体 数值 。
2.起始条件,任何现象的发生或过程的发展都直接受到起始状态的影响,如流速,温度,介质的物理性质等,于开始时刻在整个系统内的分布直接影响以后的过程 。 因此,起始条件也属于单值条件 。 在对具体的物理过程进行解析时,应当给第四节 描述现象的微分方程及单值条件出与现象有关的各物理参量 (如流速,温度等 )于起始时刻在全系统的分布情况 。 对于稳定过程而言,不存在起始条件 。
3.边界条件,所有具体现象都必然受到与其相邻的周围情况的影响,因此 发生在边界上的情况也是单值条件 。 例如管道内流体的流动现象直接受进口,出口及壁面处流速的大小及其分布的影响 。 因此,应给出管道进口,出口处流速的平均值及分布规律和管壁面处流体层的速度值 。 如果是不等温流动,
还应给出进,出口处温度的平均值或其分布规律,以及壁面处的流体温度 。
4.物理条件,所有具体现象都是由具有一定物理性质的介质参加进行的,因此,参与过程的介质的物理性质也是单值第四节 描述现象的微分方程及单值条件条件 。 如不可压缩粘性流体的等温流动,应给出介质的密度 ρ,
粘度 μ 的数值 。 如流动是不等温的可压缩粘性流体,则应给出状态方程式及物理常数随温度变化的函数关系式,即
p=ρRT； μ=f1(T)； λ=f2(T)； Cp=f3(T)。
上述条件给定以后,就可以从服从于同一自然规律的无数的现象中单一地划分出某一具体的现象 。 因此,单值条件是将某一具体现象与其它同类现象区分开来的全部条件 。 单值条件相似是现象相似的必要条件 。
第五节 相似三定理内 容 提 要
一,相似第一定理
二,相似第二定理
三,相似第三定理第五节 相似三定理相似三定理是相似原理的核心内容,也是模型实验研究的主要理论基础 。 它可以告诉我们在进行模型实验研究时,应当解决的下列几个问题：
1.实验研究应当测量哪些参量?
2.如何做到模型现象与原型现象相似?
3.如何对测量的结果进行数据的整理和加工?
4.模型实验的结果怎样推广应用?
本节介绍相似三定理,重点不在于对这些定理的数学推导和理论证明,而是着重对它们的内容实质的理解和运用 。 相似三定理不是数学表达式而是文字叙述 。
第五节 相似三定理一,相似第一定理相似第一定理又称相似正定理,或相似性质定理 。 其内容是：,彼此相似的现象,其相似准数的数值必定相等,。
相似第一定理的结论是由分析相似现象的性质后得出来的 。
相似概念表明,彼此相似的现象是指表述此种现象的所有物理量在空间中相对应的各点及在时间上相对应的各瞬间都各自对应成一定的比例关系 。
彼此相似的现象具有以下性质：
性质 (1),相似的现象都属于同一类现象,它们都可以用文字上与形式上完全相同的完整方程组来描述 。 这个方程组包括描述现象的基本方程和描述单值条件的方程 。
第五节 相似三定理性质 (2),用来表征这些相似现象的一切对应物理量的场相似,即各对应物理量在对应的空间部位和对应时刻都各自对应成比例 。
若以 φ表示第一个现象的任一物理量,φ′表示与其相似的第二个现象的同类量,则有
φ′/φ=Cφ 或 φ′=Cφ·φ
比例系数 Cφ称为物理量 φ的,相似倍数,,其值与坐标及时间无关 。
如对彼此相似的不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,就有第五节 相似三定理
(7-20)
性质 (3),相似的现象必定发生在几何相似的空间中,所以几何的边界条件必定相似 。 这实质上是相似性质 (2)的一个特例 。 以连续加热炉为例,当模型与原型相似时,对应线尺寸必定成比例 (如图 7-8所示 ),即
l
fp
u
z
z
y
y
x
x
C
z
z
y
y
x
x
C
C
f
f
CCC
p
p
C
u
u
u
u
u
u
u
u
,
,,,,
,
lCl
l
l
l
l
l
l
l
4
4
3
3
2
2
1
1
第五节 相似三定理图 7-8 加热炉几何边界相似性质 (4),由性质 (1)和性质 (2)可知,表示现象特征的各物理量的相似倍数之间并不是互不相关的,而是相互联系并为某一种规律彼此相约束的 。 它们之间的 约束关系 表现 为 由某些相似倍数所组成的 相似指标数 (简称 相似指标 )等于 1。
现举例说明如下：
第五节 相似三定理设有一流体质点沿 x轴作直线运动,其运动方程为
u=dx/dτ (1)
另一流体质点的运动与上面的流体质点的运动相似,则根据相似性质 (1),其运动方程为
u′=dx′/dτ′ (2)
表示两质点运动的物理量分别为 u,x,τ和 u′,x′,τ′。
根据相似性质 (2),第二个流动现象的物理量与第一个流动现象的物理量在对应的空间点和对应的时刻上各自对应成比例关系,即或者 (3)
CxCxuCu
CC
x
x
C
u
u
lu
lu
,,
,,
第五节 相似三定理将式 (3)代入式 (2),得
(4)
把式 (4)与式 (1)进行 比较,显然,只有各相似倍数之间的关系符合
(5)
两个流体质点的运动方程才完全相同 。 这就是相似性质 (4)所说明的各物理参量的相似倍数之间的约束关系 。 这种约束关系常用 C表示,即
(7-21)
C称为 相似指标数,或简称 相似指标 。 它是由描述现象的一些
1?
l
u
C
CC?
d
d
dC
d xu
C
CCxCuC
l
ul
u
或者
1
l
u
C
CCC?
第五节 相似三定理物理量的相似倍数所组成 。 对于不同的物理现象或过程,组成相似指标数的相似倍数是不同的 。 对于彼此相似的现象,其相似指标必等于 1。 相似第一定理也可以此来表述 。
上面的相似指标式 (7-21)通常可写成另一种形式：
即
(7-22)
式 (7-22)中的 都是无因次综合量,即相似准数 。
它表明这样的 物理意义,对于彼此相似的流体质点的运动,它们在空间的对应点及时间的对应时刻,由 u,x,τ所组成相似准数 的数值是相等的 。
x
u
x
u
xx
uu
1
/
)/)(/(
xuxu // 和
xu /?
第五节 相似三定理称为 斯特罗哈准数,用 St表示,通常写作
(7-23)
斯特罗哈准数 St体现的是运动流体所受到的迁移惯性力与当地惯性力之间的比值关系 。
从上述对相似性质的分析中,可以得出相似第一定理的结论,,彼此相似的现象,其相似准数的数值相等,。
这一定理回答了实验研究中的第一个问题,即在实验中需要测定哪些物理量 。 它指出,所要测定的物理量乃是包含在各有关准数中的物理量 。
l
uSt
xu /?
第五节 相似三定理二,相似第二定理相似第二定理又称相似逆定理,或相似判定定理 。 其内容是：,凡是同一种类的现象,若单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等,则这些现象就必定相似,。
相似第二定理明确规定了两个现象相似的充分必要条件,
即 相似条件 。 这对进行模型实验研究十分重要,因为要使模型中的现象与原型中的现象相似,就必须设法满足相似条件 。
由相似第二定理可知,表征现象相似的条件有三个：
相似条件 (1),所研究的两个现象要属于同一类现象 。 即第五节 相似三定理两现象是服从于同一自然规律的现象,它们都可用文字与形式完全相同的基本方程组来描述 。
相似条件 (2),单值条件相似是现象相似的第二个必要条件 。 若两个流动现象的单值条件完全相同,则两者为同一流动现象 。 若两个流动现象的单值条件相似,则两者为相似的流动现象 。 若两个流动现象的单值条件既不相同也不相似,那么这两个流动现象就既不相同也不相似 。 所以,要保证两流动现象相似,就必须保证单值条件相似 。 如对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动来说,应包括以下 单值条件：
① 几何条件相似； ② 时间条件相似；
③边界条件相似； ④物理条件相似。
第五节 相似三定理相似条件 (3),由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等是现象相似的第三个必要条件 。 就是说,要保证两个流动现象相似,单值条件各对应的物理量的相似倍数 Cτ、
Cl,Cρ,Cμ,Cf以及 Cu等不能取任意的数值,它们之间存在着相互约束的关系,这种关系表现为由单值条件的物理量 (即定性量 )所组成的相似 准数在数值上相等 。
相似准数分为两种：
(1)决定性准数 。 完全由单值条件的物理量所组成的准数,
称为决定性准数,或称定性准数 。 它对现象的性质有决定性的影响 。
(2)被决定性准数 。 凡包含有未知物理量的相似准数就称第五节 相似三定理为被决定性准数,或称非定性准数 。 它是决定性准数的函数 。
如研究流动阻力问题时,雷诺数 Re及付鲁德数 Fr等为决定性准数,而欧拉数 Eu为被决定性准数,它是 Re及 Fr等准数的函数 。
相似第二定理告诉我们,为了保证模型现象与原型现象相似,必须使单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的决定性准数在数值上要相等 。 另外,它还表明,模型实验结果可以推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
第五节 相似三定理三,相似第三定理相似第三定理又称 π定理 (注：相似准数一般都用 π表示,
故称,π定理,)。 它的内容是,描述某现象的各种物理量之间的有因次函数关系,可以表示成相似准数之间的无因次函数关系,即
F(π1,π２,π３,…… πi)=0 (7-24)
或写成 π1=f(π２,π３,…… πi) (7-24a)
式中 π1为被决定性准数； π2,π3,…… πi为决定性准数 。 这种无因次的函数关系式称为准数方程式 。
相似第三定理回答了实验研究中应当解决的第三个问题,
第五节 相似三定理即实验得到的数据应如何整理和加工的问题 。 把某现象的实验结果整理成准数方程式,可使实验数据的整理工作大为简化,
而且得到的这种准数方程式就可以推广应用到与其相似的现象中去 。
如不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,定性准数有三个：
St,Re,Fr,非定性准数是 Eu,它们之间的关系可表示为
Eu=f(St,Re,Fr) (7-25)
对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在,故有
Eu=f(Re,Fr) (7-26)
显然,由式 (7-26)或 (7-25)所确定的无因次准数方程要比由式 (7-
16)～ (7-19)一组方程所确定的有因次函数式简单得多 。
第五节 相似三定理应当指出,在给出准数方程式的同时,还应当说明各准数中所包含的定性参数的选取方法 。 如定性线尺寸 (l),定性速度
(u),定性温度 (t)等 。 定性参数的选取方法不同,准数方程的结构形式也不同 。
准数方程确定以后,给出单值条件 l,ρ,u,μ,g等,非定性准数中的被决定量 (未知量 ),如两点间的压力差 Δp即可求得 。 如将式 (7-26)转化为有因次 形式,就得到常用形式的公式：
Δp=f(l,ρ,u,μ,g) (7-27)
第五节 相似三定理准数方程一般表示为指数函数的形式,如
Eu=kReaFrb (7-28)
式中 k,a,b为待定常数 。 对上式取对数可得
lgEu=lgk+algRe+blgFr (7-29)
常数 k,a,b通过实验是容易找到的 。
由式 (7-28)可知,对同类相似现象,其决定性准数 Re及 Fr
是相同的,则被决定性准数 Eu必然相同 。 因此式 (7-28)为同一类流动现象的通式 。
如果是强制流动,则 Fr可以忽略,准数方程式 (7-28)可简化为
Eu=f(Re) (7-30)
第五节 相似三定理或 Eu=kRea (7-31)
取对数后得到直线方程
lgEu=lgk+algRe (7-31a)
常数 k,a在对数坐标纸上是很容易得到的 。 如图 7-9所示,lgk
为截距,a为直线的斜率,即 a=tgθ。
图 7-9 Eu数随 Re数的对数变化曲线第五节 相似三定理同理,如果重力在流动中起主导作用 (如明渠流动 ),则粘性力可忽略不计,式 (7-28)
Eu=kFrb (7-32)
或 lgEu=lgk+blgFr (7-32a)
由此可以看出,准数方程既便于对实验数据的总结,又便于对实验结果的推广应用 。
第六节 相似准数的导出内 容 提 要
一,相似转换法
二,积分类比法第六节 相似准数的导出导出相似准数的基本方法有两类,
一类是 方程分析法,另一类是 因次分析法 。
方程分析法 通常有两种,即 相似转换法 和 积分类比法 。
方程分析法 是利用描述现象的基本微分方程组和全部单值条件来导出相似准数 。
一,相似转换法用相似转换法导出相似准数的具体步骤为：
(1)写出描述现象的基本方程组和全部单值条件；
(2)写出相似倍数的表示式；
(3)将相似倍数表示式代入基本方程组进行相似转换,从第六节 相似准数的导出而得到相似准数；
(4)用上述同样的方法,从单值条件中得到相似准数 。
下面以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,用相似转换法来导出其相似准数 。
(1)写出基本微分方程组和全部单值条件基本微分方程组：见式 (7-16)～ (7-19)。
单值条件：
几何条件 — 流动的几何空间,边界形状及特征尺寸 l的数值；
起始条件 — 起始时刻各变量的数值或分布规律；
边界条件 — 进,出口的速度分布情况 (或平均流速大小 )及壁面上的流动速度 ub=0；
第六节 相似准数的导出物理条件 ——介质的密度 ρ,动力粘度 μ 的数值 。
(2)写出各物理量的相似倍数表示式
(7-33)
(3)相似转换设有两个彼此相似的流动体系 。 属于第二个体系的各物理量都标上记号 ；属于第一个体系的各物理量则不标记号 。
f
z
z
y
y
x
x
l
p
u
z
z
y
y
x
x
C
f
f
f
f
f
f
C
z
z
y
y
x
x
CCC
p
p
CC
u
u
u
u
u
u
,
,,
,
”,?
第六节 相似准数的导出对第一个流动体系运动方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
对第二个流动体系运动方程
(7-36)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
0?
z
u
y
u
x
u zyx
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
第六节 相似准数的导出连续性方程
(7-37)
根据式 (7-33)的比例关系,有
(7-38)
将式 (7-38)代入式 (7-36)和 (7-37),得
(7-39)
0
z
u
y
u
x
u zyx
zCzyCyxCx
fCfC
CpCpC
uCuuCuuCu
lll
xfx
p
zuzyuyxux
,,
,,
,,,
,,,
)(
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
CC
CC
x
p
CC
C
fC
z
u
u
y
u
u
x
u
u
C
Cu
C
C
xxx
l
u
l
p
xf
x
z
x
y
x
x
l
uxu
第六节 相似准数的导出
(7-40)
比较式 (7-34)与式 (7-39)及式 (7-35)与式 (7-40),因两个流动体系相似,所以它们的运动微分方程及连续性方程完全相同 。 于是得到 (7-41)
(7-42)
由式 (7-41)可得出下面一组等式 (以迁移惯性力项为参考尺度 )
(7-43)
0)( zuyuxuCC zyx
l
u
任意数?
l
u
l
u
l
p
f
l
uu
C
C
CC
CC
CC
C
C
C
C
C
C
2
2
2
22
22
l
u
l
u
l
p
l
u
f
l
uu
l
u
CC
CC
C
C
CC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
；
第六节 相似准数的导出进一步把式 (7-43)整理成相似指标式
(7-44)
进而把相似倍数表示式 (7-33)代入上面的相似指标式 (7-44),经整理,就得到如下四个相似准数：
11
11
2
2
C
CCC
CC
C
CC
C
C
CC
lu
u
p
lf
u
l
u；
lg
u
lg
u
lg
u
l
u
l
u
l
u
222
Fr
St
或或
第六节 相似准数的导出由式 (7-42)得不出相似倍数之间的任何限制,故导不出相似准数 。
(4)对这一流动现象,由单值条件导不出相似准数 。
因此,对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,共有四个独立的相似准数,St,Fr,Eu,Re。 有关这四个相似准数的物理含义,前面我们已从力学的角度分析过,下面再来说明这些准数的其它的 物理意义 。
lululu
u
p
u
p
u
p
Re
Eu
222
或或第六节 相似准数的导出斯特罗哈准数 l/u可理解为速度为 u的流体质点通过系统中某一定性尺寸 l距离所需要的时间,
而 τ可理解为整个系统流动过程进行的时间,二者的比值为无因次时间 。 若两个不稳定流动的 St数 相等,则它们的速度场随时间变化的快慢是相似的 。 对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在 。
付鲁德准数 其分母项表示单位质量流体所具有的位能,而分子项表示单位质量流体的动能的两倍,所以,
Fr准数又表示单位质量流体的动能与位能之比 。 而位能与重力成正比,动能与惯性力成正比,故 Fr准数为惯性力与重力之比 。 如果两个流动现象的 Fr准数相等,则它们的重力场相似 。
：)//(/St ullu
：glu /Fr 2?
第六节 相似准数的导出欧拉准数 其分母为单位体积流体的动能的两倍,而分子为单位体积流体的压力能 (或压力损失 ),因此,Eu准数又表示单位体积流体的压力能 (或压力损失 )与动能之比 。 而压力能与压力成正比,动能与惯性力成正比,所以 Eu准数为压力与惯性力之比 。 又由于 Eu准数的分子,分母都具有压力的因次,所以 它表示的又是无因次压力 。
如果两个流动现象的 Eu准数相等,则它们的压力场相似 。
雷诺准数 也可写成其分子,分母都具有速度的因次,所以 Re数也表示无因次速度 。 如果两个流动现象的 Re数相等,则它们的粘性力场相似,
同时,它们的速度场 (速度分布 )也是 相似的 。
：或者 )/(/Eu 22 upup
： //Re lulu,)//(Re lu
第六节 相似准数的导出二,积分类比法积分类比法的原理如下：
第一,由于彼此相似的现象为完全相同的完整方程组所描述,所以它们的对应方程式中各对应项的比值相等,也就是第一个方程式中任意两项的比值与第二个方程式中对应两项的比值相等；又由于物理方程式中各项的因次相同,所以上述比值是无因次量 。
第二,描述现象的各物理量的任意阶导数 (微分 )可以用其相应的积分形式,即所谓的 积分类比 来代替 。 如式 (7-10)
常数 Cdd
第六节 相似准数的导出这可以理解为 两个物理量相似,则它们对应的微分量也相似 。
所以它们的微分形式可以用积分类比形式来代替 。
同理
(7-45)
(7-46)
这里 是物理量 φ 对物理量 ψ 的 n阶导数,它的积分类比是常数 nn
n
n
n
Cdd
常数
nnn
n
n
n
n
n
n
C
C
d
d
d
d
n
n
d
d
。n
第六节 相似准数的导出用积分类比法求得相似准数的步骤如下：
(1)写出描述现象的基本微分方程组及全部单值条件；
(2)方程式中所有物理量的各阶导数都用它们的积分类比式代替,即去掉所有的微分符号 。 用积分类比式代替时,各坐标分量 (如 ux,uy,uz)用总量 (u)代替,坐标 x,y,z用定性线尺寸 (如 l)代替 。 例如 等用 等来代替；
(3)方程式中的运算符号 (＋,－,＝ )都用比例符号 (～ )代替,得到比例关系式 。 如关系式中有几个相同的比例式,只取一个即可；
2
2
y
u、
x
u xx
2l
u、
l
u
第六节 相似准数的导出
(4)用任一比例式除同一方程中的其它各比例式,就得到所要求的相似准数 。
下面仍以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,说明利用积分类比法导出相似准数的方法 。
(1)写出基本微分方程组及全部单值条件 。 对于 x坐标方向的运动微分方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x
0 zuyuxu zyx
第六节 相似准数的导出对于一段等截面的管道而言,其单值条件是：
几何条件 — 所讨论的管道长度 l,直径 (或当量直径 )d,管壁的绝对粗糙度 Δ；
起始条件 — 起始时刻各变量的分布规律或数值；
边界条件 — 进,出口的速度分布 (或平均流速大小 )及壁面处的流速 ub=0；
物理条件 — 流动 介质的密度 ρ,粘度 μ 的数值 。
(2)用积分式代替微分式,去掉微分符号,并用比例符号代替运算符号 。
对运动微分方程第六节 相似准数的导出
(7-47)
式 (7-34)中的质量力 fx只有重力分量 g,故上式中用 g来代替 。
由连续性方程写不出比例关系式 。
由几何条件得到简单的比例关系式 (7-48)
(3)求出相似准数 。
用比例式 (7-47)中的第二项去除其它各项,整理后便得到各相似准数用比例式 (7-48)中 的第二项去除其它两项,可得到几何准数
2~
1~~~
d
u
d
pg
d
uuu
~~ dl
Re,Eu
,Fr,St
2
2
lu
u
p
dg
u
l
u
第六节 相似准数的导出由连续性方程和其它单值条件写不出比例关系式,因而得不出相似准数 。
这样,对不可压缩粘性流体在等截面的管道内不稳定等温流动,用积分类比法可得到 St,Fr,Eu,Re和两个几何准数 l/d
及 Δ/d。 其中 Eu为被决定性 准数,准数方程的形式为
Eu=f(St,Re,Fr,l/d,Δ/d)
在进行模型实验时,根据各个准数在流动中所起的作用不同,可以舍掉部分次要的准数 。 如 对光滑管壁,粗糙度很小,
可以忽略 Δ/d；对于稳定流动,可以去掉 St数；对于管内有压流动,可忽略 Fr数的影响,将其舍去等 。
dd
lL,
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理内 容 提 要
一,瑞利因次分析法
二,伯金汉 π 定理及其应用第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理一,瑞利因次分析法此种方法适用于物理方程式为单项指数关系式的形式 。
具体步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成单项指数关系式的形式
(7-49)
式中 为影响物理过程的全部物理量；
为待定指数； k为比例常数 。
(2)用基本因次表示各物理量的因次,写出因次关系式
(7-50)
121 121 nnn k
121 ][][][][ 121 nnn
n321、、、
1n321、、、
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(3)根据因次和谐原理,比较上式左右两边的基本因次,如果物理方程式中的基本因次为 m个,则可解出其中的 m个待定指数值 。
(4)如果过程中物理量的个数 n≤m＋ 1,则可得到确定的指数关系式形式；如果 n＞ m＋ 1,则有 n－ (m＋ 1)个指数有待于实验进一步确定 。
(5)将解出的待定指数 α 1,α 2……α n-1代回指数方程式 (7-
49),便可得到所需要的物理方程 。
(6)所得到的物理方程还可进一步整理成准数方程 。
现举例说明如下：
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理例 7-3 压力波在流体中的传播速度 u预计是由流体的弹性
(以弹性模量 E表示 )和流体的密度 ρ所决定,试用因次分析法建立其依变关系式 。
解 设所要求的函数式为
(1)
式中 k为无因次比例常数,α1和 α2为待定指数 。
代入各物理量的因次,得根据因次和谐原理,比较等式两边的基本因次,解出 α 1、
α 2的数值,
21kEu?
21 ][][][ 3211 MLTMLLT
12121 231 TLMLT
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次 M的指数,0=α 1+α 2
因次 L的指数,1=-α 1-3α 2
因次 T的指数,-1=-2α 1
由此得到 α 1=1/2,α 2=-1/2
将 α 1,α 2之值代入式 (1),得到有因次方程为
(7-51)
将式 (7-51)进一步整理成准数方程为
(7-51a)
Eku?
k
E
u?
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理二,伯金汉 π 定理及其应用通过上面的例题可以发现,若描述现象的 物理量为 n个,
它们所包含的基本因次为 m个,那么就可以得到 (n－ m)个独立的相似准数 。 即,某现象为 n个物理量所描述,而这些物理量的基本因次有 m个,则这些物理量可转换成 n－ m＝ i个独立的相似准数,。 这就是 伯金汉 π定理,又称 因次分析 π定理,简称 π定理 。 伯金汉 π定理与前面介绍的相似第三定理的实质是相同的,只不过它是相似第三定理的数 量化 。
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理根据 π 定理进行因次分析,导出相似准数步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成下面的一般函数关系式
(7-61)
式中 为影响物理过程的各个物理量 。
(2)从上述 n个物理量中,选择 m个在因次上彼此独立的物理量作为基本量,即这 m个物理量应当包括该物理过程所涉及的全部基本因次,而且它们本身又不能组合成无因次量 。 在流体力学上通常可选择 ρ,u,l等作为 基本量 。
(3)用这 m个基本量轮流与剩下的 (n－ m)个物理量组合成无因次量 (准数 )：
n321、、、
0)( n321，，，f
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(i=m+1,…… n) (7-62)
(4)用基本因次表示以上各式中诸物理量的因次,可得到
(n－ m)个无因次关系式
(i=m+1,…… n) (7-63)
(5)比较以上各式的基本因次,可解出全部的指数 αi,βi，
γi,…… ωi,从而确定出 (n－ m)个独立的相似准数 πi。
(6)n个物理量间待求函数关系式 f(φ1,φ2,…… φn)=0可改写为 (n－ m)个 彼此独立的相似准数之间的待求准数方程式
(π1,π2,…… πn－ m)=0 (7-64)
imi iiii321
][][][][][ 321 imi iiii
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理这样,由于独立变量的数目减少了 m个,所以使得物理方程式的建立,实验资料的整理大为简化 。 至于这 (n－ m)个准数之间的定量关系式还必须通过实验才能确定 。
现举例说明如下：
例 7-6 粘性流体纵掠平板时,影响板面粘性切应力 τw的因素有：来流速度 u∞,距平板前缘的距离 x,流体的密度 ρ和流体的动力粘度 μ。 试用 π定理建立该过程 的准数方程式 。
解 该过程的一般函数关系式为
f(τw,u∞,ρ,μ,x)=0 (1)
五个物理量涉及到三个基本因次,[M],[L]和 [T],即 n=5，
m=3。 根据 π定理,上 式中五个物理量一定可以转换成 i=n－ m
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
=2个彼此独立的相似准数 。 准数方程可表示为
(2)
现确定准数 π1和 π2：
从上述五个物理量中选取 ρ,u∞,x作为基本量,将它们轮流与剩下的物理量 τw和 μ组成 相似准数：
(3)
把各物理量的因次代入上两式,得
π1和 π2是无因次准数,那么 [M],[L],[T]的指数必均为零 。
根据因次和谐原理,比较以上两式两边的基本因次,解出
w1 111 xu 2222 xu?
][][][][ 21131 111 TMLLLTML
][][][][ 11132 222 TMLLLTML
0),( 21F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理各指数值 。
因次 M：
因次 L：
因次 T：
解得代入关系式 (3),得到
1
1
1
0
2
1
01
013
01
02
013
01
2
2
2
1
1
1
2
222
2
1
111
1
1111
2
2
w
w
21
1
Re
x
xu
xu
u
u
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理于是待求的准数方程为
π1与 π2之间的定量关系式要通过实验来确定 。 从上式可以看出,
π1为粘性流体绕流平板时当地摩擦阻力系数 Cfx的二分之一 。
它体现的是摩擦阻力与惯性力之间的比值关系,为被决定性准数； π2为 Rex的倒数,为决定性准数 。 它们之间的物理关系式可以写成
π1=kRexa
或 lgπ1=lgk+algRex
常数 k和指数 a都 由实验确定 。
0),( 2w?
xuu
F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次分析法及 π 定理的应用存在着以下几点不足之处：
1.因次分析方法或 π 定理的结论受研究人员主观因素的影响很大 。 任一现象或物理过程都要受到一系列复杂因素的影响,
如果研究人员由于缺乏对该现象进行全面的观察和深入的分析,
万一遗漏掉某些有重要影响的因素,就可能会得出片面的,甚至是错误的结论 。
2.有些常数是有因次的,如气体常数 R的因次是 L2T－ 2Θ－ 1，
如果注意不够时,往往会遗漏掉 。
3.不能区别因次相同而物理含义不同的物理量 。 如运动粘度 ν和导温系数 a及扩散系数 D具有相同的因次 L2T-1,但 ν与 a
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理及 D物理意义是不同的 。
4.在确定准数及准数方程的过程中,不能显示物理过程的具体特征以及物理量之间的具体联系特征 。
尽管如此,但对一些复杂的现象,暂时不能列出基本微分方程式时,它们对探索现象的规律是很有用的 。 当有了相似概念和准数方程的概念后,在一定条件下因次分析仍是探索现象规律的一种有利工具 。
第八节 相似准数的转换内 容 提 要
相似准数转换的目的意义
相似准数的转换方法第八节 相似准数的转换利用相似转换法导出相似准数时,曾得到式 (7-41)
我们曾令第二项的相似倍数关系 (Cu2/Cl)与其它项的相似倍数关系恒等,如式 (7-43),St,Fr,Eu,Re四个准数 。 如果令其它任意两项相等,亦可得到相似准数 。 试看 下列组合：
令或而
2
2
l
u
l
p
f
l
uu
CC
CC
CC
CC
C
C
C
C
FrEu
1,
2
2
lg
u
u
p
lg
p
lg
p
lg
p
CCC
C
CC
C
C
lf
p
l
p
f
则第八节 相似准数的转换令或而上述推导表明,新的组合关系只不过是原来已有准数的重新组合而已 。 准数是无因次量,准数的组合仍然是无因次量,
仍具有准数的含义 。 因为准数代表着流体运动 (物理现象 )的特征,因而用惯性项与其它各项之比导出的准数,将有明确的物理含义 。
1
2
2
22
22
ReFr
1,
lugl
u
lg
u
lg
u
lg
u
CCC
CC
CC
CC
C
lf
u
l
u
f
则第八节 相似准数的转换在科学实验中,常常遇到一些难于测定的物理量,为了便于实验的进行,有时可将某些准数进行适当的组合,以消除难于测定的物理量,并形成新的准数 。 新的准数仍具有一定的物理含义 。
比如有时为了消除难于测定的速度 u,可进行如下转换：
(7-65)
Ga为 伽里略准数,它体现了流体的重力与粘性力的比值关系 。
又如
(7-66)
Pr为 普朗特准数,它是由皮克列准数 (Pe=ul/a)与雷诺准数组
GaReFr 2
3
2
32
2
222
2
21-
gllglu
u
lg
Pr
Re
Pe
alu
alu?
第八节 相似准数的转换合而成 。 Pr准数体现了流体的物理特性对热量传输的影响 。
在实验研究中经常遇到的相似准数的转换方法还有：
(1)相似准数加以指数,仍然是相似准数 。 如上节例 7-6中有
(2)相似准数乘以 (或除以 )无因次量,仍然是相似准数 。 如在温差射流中有
(7-67)
Ar为 阿基米德准数 。 它体现了由于流体的温度不同而引起的密度不同所产生的浮力与惯性力的比值关系 。
xxu Re)(
11
2
ArFr 20201-
T
T
u
lg
u
lg
第八节 相似准数的转换又如
(7-68a)
对于气体,由于式中 β 为气体的体积膨胀系数,将上式代入式 (7-68a)可得
(7-68)
Gr为 格拉晓夫准数 。 它体现了气体的浮力与粘性力的比值关系 。
(3)相似准数的和或差，仍然是相似准数。 如
0
2
3
0Ga lg
t
0
Gr2
3
2
3
tlgtlg
第八节 相似准数的转换为 伟伯准数,它体现了流体的重力与表面张力的比值关系 。
(4)相似准数与任一常数的和或差仍然是相似准数 。
如都是相似准数 (无因次速度和无因次尺寸 )。
(5)相似准数的倍数,即相似准数与常数的乘积仍然是相似准数 。
'
2
21
2
2
2
1
22
2
2
1
We
)(
Eu
lglglg
u
p
u
p
u
p
d
dl
d
l
u
uu
u
u 1,1
2
21
2
1
eW?
第八节 相似准数的转换如流体流过工程设备的压力降与流体的动能成正比,即式中 K为设备的阻力系数 。 将此式与欧拉准数对比,显然
K=2Eu或 Eu=(1/2)K。 即阻力系数 K也具有准数的含义,仍可 理解为无因次准数 。
流体力学常用的相似准数列于表 7-2。
2
2
1 uKp
第九节 模型实验研究方法内 容 提 要
一,概 述
二,近似模型实验研究方法
1,粘性流体的“稳定性”
2,粘性流体的“自动模化性”
三,模型实验研究的基本要点第九节 模型实验研究方法一,概 述相似模型实验研究方法是相似理论应用的一个重要方面 。
相似模型法 就是在相似的模型中,于相似的条件下,对实际的现象或物理过程进行实验研究的方法 。 在没有实物的情况下,应用模型实验,有可能探索和找出新设备的结构参数 。 而对已有的设备,则可按实物模拟制成模型,摸索工艺及设备的改进方向,解决在实际设备上进行这一工作时经济上,技术上和测量上的困难 。 由此可见,相似模型研究方法也就是将实际设备 (或设计中的设备 )放大或缩小以进行定性定量的研究,并将研究结果正确地推广应用到与实验过程相似的一系列现象中去的一种科学实验研究方法 。
第九节 模型实验研究方法相似模型研究方法的关键就在于如何保证模型实验与所模拟的实际过程相似 。 根据相似第二定理,模型实验应具备如下的相似条件：
(1)模型现象与实际现象是属于同一类现象,服从于同一自然规律 。 即描述两现象的基本微分方程组完全相同 。
(2)几何条件相似,即模型与实物应保持几何形状相似 。
这可以在制作模型时准确地模仿实物的形状来实现 。
(3)起始条件相似,即实验过程与实际过程的初始条件相似 。
(4)边界条件相似,即模型与实际设备的进,出口截面及壁面上的速度分布及温度分布等相似 。
第九节 模型实验研究方法
(5)物理条件相似,即在模型与实际设备的对应点和对应时刻上参与过程的介质的物理特性 (如密度 ρ,粘度 μ 等 )各自对应成比例 。
(6)决定性准数相等,即模型中与实际设备中各相应位置上和相应时刻的各决定性准数对应相等 。
但应指出,在实际进行模型实验时,要完全满足上述所要求的相似条件是非常困难的,甚至是办不到的 。 以空气动力模型为例：若要使模型表面与实际设备表面的粗糙度完全相似是不易做到的；又如,要保证非等温模型中各点处介质的 ρ,
μ 等值与实际设备中对应部位的分布不均的介质的 ρ,μ 值在每一对应时刻都完全相似也是极困难的 。 再如,为使实验过程第九节 模型实验研究方法与实际过程做到完全相似,保证所有的决定性准数都相等也是不容易的,甚至是做不到的 。 例如对不可压缩粘性流体的稳定等温流动,要同时保证模型与实际设备中的 Re数和 Fr数相等,
对模型设计是有矛盾的 。 为使 Re=Re′,即或 (a)
当模型与实际设备用同种流动介质时,ν ′ =ν,即 Cν=1，
那么 Cu=1/Cl。 这表示,当模型尺寸为实际设备尺寸的 1/n时,
为保证 Re=Re′,就要求模型中流体的速度为实际设备中流体速度的 n倍 。
l
u
C
C
l
l
u
u
C
lulu
第九节 模型实验研究方法如同时还要保证 Fr=Fr′,即或由式 (a)和式 (b)可以看出,要同时保证 Re=Re′,Fr=Fr′是有矛盾的 。 因为当 Cl=1/n时,为保证 Re=Re′,模型中的流体速度
u′必须是实际设备中的 n倍,即 u′=nu；为保证 Fr=Fr′,。
显然,要同时满足上述的双重要求是不可能的 。
lg
u
lg
u
22
lu Clg
lg
u
uC
2
2
2
unu 1
第九节 模型实验研究方法二,近似模型实验研究方法近似模型实验方法 实质上是抓主要矛盾的方法 。 在考虑模型实验时,先要分析在相似条件中哪些对过程的影响是主要的,
起决定作用的；哪些是次要的,不起决定作用的 。 对主要的,
起决定作用的条件要尽量加以保证；而对那些次要的,不起决定作用的条件只作近似的保证,甚至忽略不计 。 这样,一方面使实验能够进行,另一方面又不致引起较大偏差 。
例如有压流动过程,决定流动状态的准数是 Re数而不是 Fr
数,因而在实验时只需要考虑 Re准数,Fr准数 可以忽略不计 。
这样既便于模型的制作,也便于模型实验的顺利进行 。
第九节 模型实验研究方法流体流动近似模化可利用粘性流体的以下特性：
1.粘性流体的,稳定性,,
实验表明,粘性流体在管道 (或设备 )中流动时,不管入口处的速度分布如何,在流经一定的距离 (起始段 )后,流体的速度分布就按一定的规律稳定下来,这种特性称为粘性流体的,稳定性,。 粘性流体在流经管道或复杂的通道时,都呈现出稳定性特征 。 因此,在进行模型实验时,不管入口处的开始速度分布如何,只要保持几何相似,经过一段距离后就能够保证速度分布的相似,即当入口的几何条件相似以后,可不必考虑其它的相似条件,这就使得模型入口的条件大为简化 。 同样,只要保证出口通道几何相似,出口速度就能做到相似 。
第九节 模型实验研究方法
2.粘性流体的,自动模化性,,
流体的流动状态有两种,层流 和 紊流 。 决定流体流动状态的是雷诺准数 Re。 当粘性力起主导作用时,Re数值较小,流体呈现层流流动状态 。 只要 Re数小于某一临界值 (称为 第一临界值 ),流动就一直保持层流状态 。 流体层内的速度分布是相似的,与 Re值的大小无关 。 例如,流体在光滑圆管内流动时,
Re=2300称为第一临界值,只要管流的雷诺数 Re<2300,不管流量如何变化,速度分布都保持不变 (旋转抛物面分布 ),流体的这一特性,称为,自动模化性,,简称,自模性,。 通常将 Re数小于第一临界值的范围称为 第一自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法当流体的速度逐渐增加,惯性力的作用相应加大,而粘性力的作用相应减弱,管内的速度分布偏离旋转抛物面 。 随着流速的增加,Re数也逐渐增大,流动断面的速度分布逐渐趋向均匀化,这一区域称为 过渡区 。 流体在过渡区内的速度分布是不稳定的 。 当 Re数增加到一定数值时,粘性力的作用可以忽略不计,断面的流速分布规律又稳定下来,流体的流量再增加 (Re数进一步增大 ),流体的速度分布也不再改变 。 雷诺数
Re的这一临界数值称为 第二临界值 。 因为流速分布与 Re值无关 。 说明流动又一次进入自动模化区 。 这一雷诺数 Re大于第二临界值的自动模化区称为 第二自动模化区 。 如圆管内紊流
Re>4160(d/2Δ)0.85的阻力平方 区即为第二自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法在进行模型实验研究时,只要模型中与原型中的流体流动处在同一自模区内,模型与原型中的 Re数即使不相等,也能做到速度分布相似 。 粘性流体自模化区的存在给模型实验研究带来很大的方便 。 当原型中的 Re数值远大于第二临界值时,模型中的 Re数稍大于第二临界值,即可做到流动相似 。 在模型实验设计中,可以选用较小的泵或风机就能满足实验的要求,从而节省部分电能 。
实践表明,设备通道越复杂,通道内的附加物越多,进入第二自模区愈早 。 理论分析和实验结果都表明,流动进入第二自模区以后,阻力系数 (或 Eu数 )不再随 Re数而变化,这可作为检验模型中的流动是否进入第二自动模化区的标志 。
第九节 模型实验研究方法由于粘性流体具有稳定性和自动模化性的特点,在进行模型研究时,可不必严格遵守相似第二定理提出的相似条件,只要保持以下几点就能进行近似模化 。
(1)模型与实际设备几何相似,包括进,出口通道在内 。
(2)模化等温流动时,只要使模型中的介质温度维持一定,
模型与实际设备中的介质物性自然就成比例；若用等温流动模化非等温流动 (用非等温流动模化非等温流动是极困难的 )，
如冷态模型实验,则实验得到的结果应作必要的修正 。
(3)在模型流动与原型 (实际设备 )流动处于同一自模化区时,可不必保证二者的 Re数相等 。 此外,对过程影响不大的定性准数可以忽略 。
第九节 模型实验研究方法三,模型实验研究的基本要点
1.模型材料的选择,为了 便于模型的加工制作 及实验的 观察和测试,对于冷态模型一般常选用 有机玻璃 作为模型的结构材料 。 如果介质温度予热到 100～ 200℃,可用 金属板 作为模型材料,在局部采用有机玻璃 。
2.模型比例的确定,热工及暖通设备的模型多是以内型尺寸为依据设计出来的 。 模型尺寸的设计应 便于观察,测量,
显示和摄相 。 以热工设备为例,模型尺寸一般可取 0.5～ 1.5m，
特殊情况也可增大 或缩小 。
为了保证测量数据的准确可靠,气体在模型内的流速不得低于 5米 /秒 。 当风机容量一定时,模型选取过大则风量不足,
第九节 模型实验研究方法不能保证必须的气体流速；模型选取太小,通道断面也必然缩小,难于安放测试探头 。 即使勉强测试,但由于探头占据通道断面比太大,必将引起测量部位流动情况失真 。
从风源,水源条件来看,模型尺寸应与风机或水泵的流量及压力相适应 。 以便在实验进行时,流体克服全部阻力之后,
仍能保持足够的剩余压力 。
3.模型的结构形式,按相似第二定理,模型的结构形式应当做到与实际设备 (原型 )完全 几何相似 。 但有时为了便于模型研究的进行,也可使模型中某些部位的几何参数与原型有所差异 。 如大型连续加热炉,当宽高比很大时,可适当减少模型宽度,只取宽度的一部分,其它尺寸保持与原型的几何相似,
第九节 模型实验研究方法模型实验按二维平面流动考虑 。 这样既可缩小模型的规模,又可减少介质的流量 。
至于模型表面的粗糙度,它对邻近流体层的流动状态和速度分布起明显作用,而对离开模型表面一定距离处的流动状态,
速度分布不起作用 。 所以,当流体在较大的空间内流动时,表面粗糙度可不必完全相似 。
4.流动介质的选择,常用的流动介质是 空气 和 水 。 以水作流动介质,便于对流动情况进行定性地观察,显示和摄相；以空气作流动介质便于对流动情况进行定量的测量 。 一般情况下是先用水模进行定性的观察,再用气模进行定量的测量 。
第九节 模型实验研究方法由于水在常温下 (20℃ 左右 )的运动粘度 (ν=1.0× 10－ 6m2/s)
比空气在常温下的运动粘度 (ν=15.0× 10－ 6m2/s)要小 15倍以上,
当模型尺寸相同,为保证 Re=ud/ν相等,水的流速比空气要小得多,可节省水量 。
5.定性参数的确定,定性线尺寸 可以这样来确定：对管道
(或通道 )内的流动取管内经或当量直径；对圆管外绕流运动取管外径；对绕流球体的运动取球的直径；对于绕流平板的运动,
取某点距板前缘的距离等 。
定性速度 一般可取流量平均流速 。
定性温度 不仅影响模型内流体流速的高低,而且影响流体物性参数 ρ,μ 等的实际值 。 当流体在设备 (或模型 )内流动有第九节 模型实验研究方法温度变化时,应取其温度的平均值作为定性温度 。
6.决定性准数的确定,如不可压缩粘性流体在光滑管内的稳定 有压流动,其主要的决定性准数是 Re数,而 Fr数可忽略不计；对于 明渠流动,其主要的决定性准数为 Fr数,而 Re数处于次要第位 。 可压缩流体的流动 (如高速气流的运动 ),弹性力起主导作用,其主要的决定性准数为 马赫数 M等 。
7.自动模化区的确定,设计模型时,希望研究对象内的流动进入自动模化区 。 但是否能进入自模化区,Re数的第二临界值是多大,设计模型时还不能断定,这就给风机或泵的选型带来困难 。 一般情况下只能参照有关资料中介绍的类似设备的第二临界雷诺数的值或先在相近设备上进行测定,找出第二临界第九节 模型实验研究方法雷诺数的参考数值,待模型制成后,再通过实验找出实验设备的第二临界值 。 流动进入自模区的主要标志有两个,一是当流量改变时,模型内通道截面的速度分布 不再变化；另一是
Re数增加时,Eu数 (或阻力系数 )不再随 Re数而变化 。 即按
Eu=f(Re)的依变关系,在模型上测量有关参数进行计算,当 Re
数大于某一数值时,再增大 Re数,Eu值不再改变,这样就可确定 Re数的第二临界值 。
8.在有燃烧过程时,由于温度升高而使气体体积膨胀 6~7
倍,可根据 动量守恒原理 按燃烧产物的体积量计算燃烧器喷口截面积和气体喷出速度 。 这样虽然破坏了几何相似,即增大了出口截面积,但由于动量保持不变,仍可做到模型与原型流动第九节 模型实验研究方法相似 。 但必须注意,只有炉膛截面积远大于燃烧器出口截面积,
才能保持流动相似 。
9.进行模型实验研究：
(1)对模型现象进行观察,测试和摄相等,并做好数据记录等工作；
(2)对测试的数据资料进行理论分析并整理成准数方程；
(3)把实验结果推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
