流体力学与流体机械
（四）
多媒体教学课件李文科 制作第四章 流体的有旋流动和无旋流动
第一节 流体微团运动的分析
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度
第三节 平面流与流函数
第四节 势流与速度势函数
第五节 几种基本的平面有势流动
第六节 有势流动的叠加第一节 流体微团运动的分析内 容 提 要
一,移动
二,转动
三,线变形运动
四,角变形运动第一节 流体微团运动的分析刚体 的运动一般可以分解为 移动 和 转动 两部分 。 但流体与刚体不同,流体受力便会发生运动状态的变化,即流体具有流动性,极易变形 。 因此,流体微团 在运动过程中不但会发生移动和转动,而且还会发生变形运动 。 所以,在一般情况下流体微团的运动 可以分解为 移动,转动 和 变形运动 三部分 。
变形运动 又分为 线变形运动 和 角变形运动 两种情况 。 下面我们分别讨论这几种运动情况 。
一,移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团,各边长分别为
dx,dy,dz,形心 a处沿三个坐标轴的速度分量分别为 ux,uy、
uz,如图 4-1所示 。 如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量第一节 流体微团运动的分析图 4-1 微团移动分析也都是 ux,uy和 uz,那么整个流体微团就只有移动,也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置,而其形状和大小及方位并不改变 。
第一节 流体微团运动的分析二,转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团,转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行,为讨论方便起见,我们先讨论流体微团绕垂直于 xoy平面的轴 (z轴 )转动的情况,如图 4-2所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的速度分量分别为 ux和 uy。 当 A点在 y轴方向的分速度不同于 O点在 y轴方向的分速度及 B点在 x轴方向的分速度不同于 O点在 x轴方向的分速度时,流体微团才会发生旋转 。 A点在 y轴方向的分速度和 B点在 x轴方向 的分速度可按泰勒级数展开,并略去高阶无穷小量而得到,它们分别为
y
y
uux
x
uu x
x
y
y dd?
和第一节 流体微团运动的分析图 4-2 微团旋转运动分析第一节 流体微团运动的分析它们 相对于 O点的对应分速度 (相对于 O点的线速度 )分别为所以它们相对于 O点的角速度 (逆时针方向旋转为正 )应分别为
A点上
B点上而对于微团中其它各点绕 z轴转动的角速度 （ 如 C点等 ） 则是由该点 y向的分速度在 x轴方向的变化量和 x向的分速度在 y轴方向的变化量共同产生的 。 因此,我们可以把整个微团绕 z轴 转动的
y
y
ux
x
u xy dd
和
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy
d/d
d/d
第一节 流体微团运动的分析分角速度用 OA与 OB在 xoy平面内的平均角速度来表示,即同理,可求得流体微团绕 x轴和 y轴转动的角速度分量 ω x和 ω y。
于是流体微团旋转角速度 ω 的三个分量分别为
(4-1)
)(
2
1
y
u
x
u xy
z?
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-2)
写成向量形式为
(4-3)
式中 为 哈米尔顿算子,为速度
222
zyx
uukji zyx
r o t2121
k
y
u
x
u
j
x
u
z
u
i
z
u
y
u
uuu
zyx
kji
u
xyzxyz
zyx
)()()(
r o t
kzjyix
u
rot u?
第一节 流体微团运动的分析的旋度,在流体力学中也称为流场的 涡量,一般用 表示,即
。 那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为
(4-4)
而
(4-5)
当涡量,即 ωx=ωy=ωz=0时,流体的流动是无旋的,称为 无旋流动,否则称为 有旋流动 。
222
2
2
2
zyx
xy
zz
zx
yy
yz
xx
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
0ro t u
2?
第一节 流体微团运动的分析应当指出,判断流体微团是有旋流动还是无旋流动,完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转,而与流体微团本身的运动轨迹无关 。 如图 4-3所示,流体微团的运动轨迹均为圆周线,在 (a)中微团自身有转动,是有旋流动；在 (b)中 微团自身没有转动,是无旋流动 。
第一节 流体微团运动的分析
(a)有旋流动 (b)无旋流动图 4-3 流体微团的运动轨迹第一节 流体微团运动的分析对于圆柱坐标系来说因此,用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式,即
(4-6)
(4-7)
zzrr iuiuiuu
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
zr
r
z
zr
z
r
r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u
第一节 流体微团运动的分析
(4-8)
(4-9)
写成向量 (4-6a)
(4-8a)
r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u
r
zz
zr
z
rr
2
2
2
zzrr
zzrr
zr
iii
iii
222
第一节 流体微团运动的分析三,线变形运动线变形运动 是指流体微团的形状随时间在变化,而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动 。 所以线变形运动又称作 体变形运动 。 对于不可压缩流体来说,流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小 。
流体微团的 线变形速度 是用直线距离上单位时间单位长度的伸长量 (或缩短量 )来表示的 。 线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx,εy,εz表示 。 如图 4-4所示,在流场中任取一流体微团,形心点为 O,OA平行于 x轴,长度为 dx,OB平行于 y
轴,长度为 dy,OC平行于 z轴 (垂直于纸面 ),长度为 dz。 形心
O点处流体质点的速度 u在各坐标轴上的分量为 ux,uy,uz。
第一节 流体微团运动的分析图 4-4 微团线变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点的 x向分速度和 B点的 y向分速度及 C点的 z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到,它们 分别为则 A点相对 O点在 x轴方向的相对速度为 ； B点相对 O点在 y轴方向的相对速度为 ； C点相对 O点在 z轴方向的相对速度为 。 就是由于这些相对速度的存在,将造成流体微团在各坐标轴方向伸长 (或缩短 )。 在 dτ时间内 OA在 x轴
z
z
uuy
y
uux
x
uu z
z
y
y
x
x ddd?
,、
x
x
u x d
y
y
u y d
z
z
u z d
第一节 流体微团运动的分析方向的伸长量为 ；在 dτ时间内 OB到 y轴方向的缩短量为 ；在 dτ时间内 OC在 z轴方向的伸长量 (或缩短量 )为 。 则在 x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量为在 y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
dd x
x
u x
dd y
y
u y
dd z
z
u z
y
u
y
y
y
u
y
y
y
dd
dd
x
u
x
x
x
u
x
x
x
dd
dd
第一节 流体微团运动的分析同理,在 z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量
(或缩短量 )为由此得到 流体微团的线变形运动速度分量为
(4-10)
z
u
z
z
z
u
z
z
z
dd
dd
z
u
y
u
x
u
z
z
y
y
x
x
第一节 流体微团运动的分析如果 我们用 ε 来表示流体微团在单位时间内的 体积变形率,
或称 体积膨胀率 。 则有
(4-11)
式中 为速度 的散度 。 显然,对于不可压缩流体,ε=0，
即体积变形率为零 。
u
z
u
y
u
x
u zyx
zyx
d i v?
u?div u?
第一节 流体微团运动的分析四,角变形运动如果流体微团内各点受力不均,有切向力存在时,将会使流体微团产生角变形运动 。 角变形运动的快慢程度用角变形速度 θ来度量 。 角变形速度 的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示,它在各坐标轴方向的分量分别用 θx,θy,θz表示 。 在流场中任取一流体微团如图 4-5
所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的分速度分别为 ux和 uy,相对于 O点而言,A点在 y方向 的分速度为,B点在 x方向的分速度为 。 因此相对于 O点的对应的角速度分别为
xxu y d
y
y
u x d
第一节 流体微团运动的分析图 4-5 微团角变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点上
B点上在 dτ时间内对应的角度变化量分别为则 ∠ AOB在 dτ时间内的总变化量为于是,流体微团在 xoy平面内的角变形速度为
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy
d/d
d/d
dddd
y
u
x
u xy
,
)d(dddd
y
u
x
u
y
u
x
u xyxy
第一节 流体微团运动的分析同理,可得到流体微团在 yoz平面和 xoz平面内的角变形速度 。
因此,流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为
(4-12)
)(
2
1
d
)d(
2
1
y
u
x
uy
u
x
u
xy
xy
z
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-13)
上面我们对流体微团的移动,转动和变形运动分别进行了讨论和分析,但在实际情况下,流体微团的运动一般都同时存在着移动,转动和变形运动 。 因此,在分析流体的实际运动状态时,应当进行综合分析和研究 。
222
zyx
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度内 容 提 要
涡量场的概念
涡线的概念和涡线微分方程
涡管、涡束、涡旋截面的概念
旋涡强度和速度环量的概念
斯托克斯定理
有旋流动的运动学性质第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在有旋流动的流场中,全部 或 局部地区 的流体微团绕自身轴旋转,于是就形成了一个用涡量或角速度表示的 涡量场,
或称为旋涡场 。 如同在速度场中曾经引入流线,流管,流束和流量一样,在涡量场中,我们引入涡线,涡管,涡束和旋涡强度的概念 。
涡线 是这样一条曲线,在给定瞬时,曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合 。 因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的,所以 涡线 也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线,如图 4-6所示 。 一般而言,涡线并不与流线相重合,而是与流线相交 。 在稳定流场中,涡线不随时间而改变 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-6 涡线 图 4-7 涡管第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度从概念上讲,涡线和流线两者是很相似的 。 其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量 。 从涡线的定义我们知道,涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴,而其向量代表流体微团的旋转角速度 。 于是,我们可用推导流线微分方程类似的方法得到 涡线微分方程,即
(4-14)
在给定的瞬时,在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线,
通过该封闭曲线上每一点作涡线,这些涡线构成一个管状表面,称为 涡管,如图 4-7所示 。 涡管中充满着作旋转运动的流体,亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族,称为 涡束 。
zyx
zyx
ddd
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在稳定流场中,涡管和涡束的形状不随时间而改变 。
垂直于涡管中所有涡线的截面称为 涡旋截面 。
涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为 旋涡强度,也称为 涡管强度 或 涡通量 。 常用 I来表示 。
对于涡旋截面为 dA的微元涡管 (或涡束 ),其旋涡强度为
(4-15)
那么,整个涡管的旋涡强度可表示为
(4-16)
旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得 。 但根据 实际观察发现,在有旋流动的流场中,流体环绕某一核心旋转时,
AAuI ddr o td
zzyyxA xAA AAAAAuI dddddr o t
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度旋涡强度越大,旋转速度越快,旋转的范围就越扩大 。 因此可以推断,在有旋流动中,流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系 。 为了解决这个问题,我们需要引入 速度环量 的概念,利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度 。
在流场中任取一封闭曲线 S,如图 4-8所示,则 流速 u沿此曲线的积分称为曲线 S上的速度环量,用 Γ表示 。
(4-17)
速度环量是个标量,它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向 。 一般规定积分时以逆时针方向绕行为正 。 当速度在积分线路 上的投影与 同向时,Γ 为正 。
zuyuxusu zys xs dddd
u?
s?ds?d
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-8 速度环量第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度设封闭曲线 S所包围的区域 A为单连通域,根据数学分析中的斯托克斯公式,沿封闭曲线 S的线积分可以化为以 S为边界的曲面 A的面积分 。 即
(4-18)
亦即 (4-18a)
式 (4-18)表明,在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度 。 这个结论在流体力学中称为 斯托克斯定理 。
AA
zzyy
A
xx
xyzx
A
yz
zy
s
x
s
AuAAAA
yx
y
u
x
u
xz
x
u
z
u
zy
z
u
y
u
zuyuxusu
dr o tdddd
dd)(dd)(dd)(
dddd
I
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度由斯托克斯定理可知,速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在,而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度 。
在无旋流动的流场中,涡量 ξ=0,所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零 。 反之也可以断定,如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,那么,该区域内就没有旋涡存在,即该区域内的流动一定是无旋流动 。 因此在求解单连通域的总旋涡强度时,不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在,都不必考虑其中无旋流动区域的大小,可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定 。
在有旋流动的流场中,涡量 ξ≠0,所以,一般情况下沿第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度封闭曲线的速度环量不等于零,即流场中的总旋涡强度不为零 。
但是,有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零,而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况 。 这是由于该区域内同时存在几个大小相等,方向相反的旋涡,其旋涡强度相互抵消,使得该区域的总旋涡强度为零,沿封闭曲线的速度环量也为零 。 所以在判断流场是有旋还是无旋时,不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零,或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断,而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零,或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度有旋流动有一个重要的 运动学性质,在同一瞬时,通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等 。 该性质为亥姆霍兹第一定理,可以通过斯托克斯定理加以证明 。
根据上述性质可以得到以下 推论,
(1)对于同一涡管来说,涡旋截面越小的地方,流体的涡量或旋转角速度越大 。
(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止,而只能在流体中自行封闭成涡环,或者附在流体的边界上 。 这是因为在涡旋截面趋近于零的地方,流体的旋转角速度趋近于无穷大 。 实际上这是不可能的 。 例如抽烟人吐出的 烟圈 就是自行封闭的涡环；自然界中的 龙卷风 就开始于地面,终止于云层 。
第三节 平面流与流函数内 容 提 要
平面流动的概念
流函数的概念
流函数存在的条件
流函数与速度分量之间的关系
流函数的性质第三节 平面流与流函数如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数,即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化,这种流动就称作 平面流动 。 平面流动实际上就是二维流动 。
流线可以形象地描绘出流场内的流动形态 。 在数学分析上,
我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 流函数 。
设有一不可压缩流体的二维平面流动,其连续性方程为
(a)
流线微分方程为
0?
y
u
x
u yx
yx u
y
u
x dd?
第三节 平面流与流函数或写成 (b)
根据数学分析可知,如果式 (b)的左边恰好是某一个函数 ψ=ψ(x，
y)的全微分,即
(4-19)
那么式 (b)就是一个全微分方程 。 函数 ψ(x,y)就称为流函数 。
由式 (4-19)
(4-20)
将式 (4-20)代入平面流的连续性方程式 (a),得
x
u
y
u yx
,
yuxuy
y
x
x xy
ddddd
0dd xuyu yx
0
22
yxxyy
u
x
u yx
第三节 平面流与流函数显然,不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是 流函数 ψ 存在的充分和必要条件 。 即流函数 ψ永远满足连续性方程 。 另外还可以看出,在流线上 dψ=0或 ψ=常数,并且 在每条流线上都有它自己的流函数值 。
应当指出,在引入流函数这个概念时,既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的,也没有涉及流体是有旋的还是无旋的 。
所以,不论是理想流体还是粘性流体,不论是有旋流动还是无旋流动,只要是不可压缩流体的平面流动,就存在着流函数 。
第三节 平面流与流函数流函数存在下列几个重要性质,
1.流函数 ψ(x,y)=C的方程为流线方程 。
2.通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
设在给定的 某一瞬时,有两条流线 1和 2,它们的流函数值分别为 ψ1和 ψ2,如图 4-10所示 。 现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相等,并且恒等于两条流线上的流函数值之差 。 例如通过 AB截面的体积流量 (取单位宽度 )为
2
1
2
1
2
1
12ddd
y
y
yuQ y
y
y
yxAB
第三节 平面流与流函数图 4-10 流量与流函数值的关系第三节 平面流与流函数
AB方向上 x等于常数 。
同理,通过 BC截面的体积流量为
BC方向上 y等于 常数 。 因此得到
Q12=QAB=QBC=ψ 2-ψ 1 (4-21)
由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的,所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
3.不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程 。
即
12
1
2
2
1
2
1
dd)(d
x
x
xuQ x
x
x
x yBC
第三节 平面流与流函数
(4-22)
因为对于二维的无旋流动,ωz=0,即而代入上式,有凡是满足拉普拉斯方程的函数,在数学分析上称为调和函数,所以 流函数是一个调和函数 。
02
2
2
2
yx
0
0
2
2
2
2
yx
x
u
y
u
y
u
x
u
yx
xy
，
第三节 平面流与流函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,流线与等势线处处正交 。 关于等势线的概念及这一性质的证明,将在下一节中介绍 。
对于圆柱坐标系来说,流函数与速度分量之间的关系为
(4-23)
(4-24)
ddd
1
ruru
r
u
r
u
r
r
,
第四节 势流与速度势函数内 容 提 要
势流的概念
速度位势和速度势函数的概念
速度势函数存在的条件
速度势函数与速度分量之间的关系
速度势函数的性质第四节 势流与速度势函数在有旋流动的流场中,流体质点除具有一定的运动速度
(线速度 )外,还存在着一定的旋转速度 (角速度 ),即 在有旋流动的流场中,既有速度场 u(x,y,z),又有涡量场 ξ(x,y,z)。
一般来说,有旋流动要比无旋流动复杂得多 。 所以 对于一些旋涡强度很弱的有旋流动,可以近似作为无旋流动来处理,这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便 。
流体的无旋流动,即角速度 ω=0的流动也称为 有势流动,
简称为 势流 。
在势流流场中,各流体质点仅具有速度向量,而没有角速度向量 。 一般情况下,在某一瞬时,流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向,它们各自具有不同的 速度位势 。
第四节 势流与速度势函数所谓 速度位势 就速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积,即 。 如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来,所组成的线 (或面 )就称为等势线 (或等势面 )。 速度向量垂直于等势线 (或等势面 )。 在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势,而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势 。 因此,与流线一样,用等势线也可以描述流场的特征 。 对于不同的等势线 (或等势面 )也可以用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 速度势函数,
或简称为 速度势 或 势函数 。
在势流流场中,其涡量 (或旋转角速度 )为零,即由式 (4-4)
有
su d?
第四节 势流与速度势函数
(a)
由数学分析可知,上式 (a)是表达式成为某一函数 的全微分的充分必要条件 。 因此,在无旋流动的条件下必然存在函数,它和速度分量 ux,uy,uz的关系为
(4-25)
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
zx
yz
zuyuxu zyx dddd
zuyuxu zyx ddd
)( zyx,，
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数在给定瞬时,函数 的全微分又可写成比较以上两式,可以得出
(4-26)
函数 就称为速度势函数 。 对于稳定流动 ；
对于非稳定流动,但一般时间 τ 是作为参变量出现的 。 将式 (4-26)代入式 (a),可以发现势函数 的二阶偏导数与求导次序无关 。
z
u
y
u
x
u zyx
,，
z
z
y
y
x
x
dddd
)(,，,zyx?
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数由以上讨论可知,只要流动是无旋的,就一定存在速度势函数 。 反之,只要流场中存在速度势函数,则流动就必定是无旋的 。
速度势函数 φ 存在以下几个重要性质,
1.速度势函数 =C的方程为等势线方程 。 而速度势函数 =C的方程为等势面方程 。
2.速度势函数的梯度就是流场中流体的速度 。 或者说,流体的速度即为速度势函数的梯度 。 按向量分析,有
(4-27)
g r a d kzjyixkujuiuu zyx
)( zyx,，
)( yx,
第四节 势流与速度势函数另外,根据速度位势的定义可知,速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影 。 根据方向导数的定义,函数 φ 在任一方向 l上的方向导数为
3.不可压缩流体的有势流动,其速度势函数满足拉普拉斯方程 。
将式 (4-26)代入不可压缩流体的连续性方程,可得
(4-28)
lzyx uzluyluxlu
zl
z
yl
y
xl
xl
),c o s (),c o s (),c o s (
),c o s (),c o s (),c o s (
02
2
2
2
2
2
zyx
第四节 势流与速度势函数式 (4-28)是拉普拉斯方程 。 速度势函数 满足拉普拉斯方程,
因而它也是一个调和函数 。
对于不可压缩流体的平面无旋流动,其流函数和速度势函数同时存在 。 比较式 (4-20)和式 (4-26)可知,流函数 ψ 和速度势函数 存在如下的关系
(4-29)
或写成
(4-29a)
满足上述关系的两个调和函数称为 共轭调和函数 。 已知其中的一个函数就能够求出另一个函数 。
0?
yyxx
xyyx
，
第四节 势流与速度势函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 这也是前述流函数的重要性质之一 。
我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率,来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 对流场中的任意一点,由流线微分方程可得流线在该点的斜率为
(b)
由等势线微分方程 uxdx+uydy=0可得等势线在该点的斜率为
(c)
x
y
u
u
x
y?
d
d
y
x
u
u
x
y
d
d
第四节 势流与速度势函数由式 (b)和 (c)可知,流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系,或者它们两者的乘积等于负一 。 这就说明,在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线是处处正交的 。
此外,由数学分析可知,式 (4-29)也是等势线族和流线族互相垂直的条件,即正交性条件 。 即由式 (4-29)也可以证明速度势函数及流函数的上述性质 。 因此,在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络,称为 流网,如图 4-12所示 。 有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布,从而也可以得出压力分布 。 即 在流场中,流线愈密集的地方,其流速愈大,
而压力愈小 。 它是求解稳定平面势流的近似图解法 。
第四节 势流与速度势函数图 4-12 流网第四节 势流与速度势函数
5.在势流流动的流场中,沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差,而与曲线的形状无关 。
沿任意曲线 ab的速度环量为
(4-30)
式 (4-30)说明,在 势流流场中,沿任意曲线 ab的速度环量只取决于起点 a和终止 b的位置,而与曲线 ab的形状无关 。 如果 a点和 b点重合,则曲线 ab为一条封闭曲线,因此 Γab=0。
b
a
ab
b
a
zy
b
a
xab
z
z
y
y
x
x
zuyuxu
dddd
ddd
第四节 势流与速度势函数在圆柱坐标系下,速度势函数与速度分量之间的关系为
(4-31)
(4-32)
此外,我们可以证明,对于稳定的有势流动来说,流场中所有流线的伯努利常数都相同 。 证明从略 。
zururu
z
u
r
u
r
u
zr
zr
dddd
1
,，
第五节 几种基本的平面有势流动内 容 提 要
一,均匀直线流
二,源流和汇流
三,涡流和点涡第五节 几种基本的平面有势流动一,均匀直线流当流体作匀速直线运动时,流场中各点的速度都是大小相等,方向相同的,这种流动就称为 均匀直线流,又称为 等速平行流 。
如图 4-13所示,流体的流动方向与 x轴的夹角为 θ,流场中各点的速度均为 u0,且 u0为一定值 。 则 x和 y方向 的分速度为
ux=u0cosθ,uy=u0sinθ (4-35)
其流函数及速度势函数可由下式求出
dψ=uxdy-uydx=u0cosθdy-u0sinθdx
dφ=uxdx+uydy=u0cosθdx+u0sinθdy
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-13 均匀直线流动积分上式可得流函数 ψ 及速度势函数 φ
ψ=u0cosθy-u0sinθx+C1
φ=u0cosθx+u0sinθy+C2
以上两式中的积分常数 C1和 C2可以任意选取,而不影响流体的流动图形 。 若令 C1=C2=0,得
ψ=u0cosθy-u0sinθx=u0(ycosθ-xsinθ)
φ=u0cosθx+u0sinθy=u0(xcosθ+ysinθ) (4-36)
由式 (4-36)可以看出,等势线族 (φ=常数 )和流线族 (ψ=常数 )在流场内处处正交,而且它们都为平行直线,如图 4-13所示 。 各流线与 x轴的夹角为 θ =tg-1(uy0/ux0)。
第五节 几种基本的平面有势流动第五节 几种基本的平面有势流动若流动平行于 x轴,则函数 及 成为
(4-36a)
当流动平行于 y轴时,
(4-36b)
由于流场中各点的速度都相等,根据伯努利方程可以得到
(4-37)
xu
yu
0
0
yu
xu
0
0
Czp
第五节 几种基本的平面有势流动如果均匀直线流动是在同一水平面内,或者重力的影响可以忽略不计时,则有
p=C (4-37a)
即在水平均匀直线流动的流场中,压力是处处相等的 。
第五节 几种基本的平面有势流动二,源流和汇流如图 4-14a所示,设无限平面内有一点 O,流体不断地从 O
点流出后,沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动,这种流动称为 源流,或简称 点源,O点称为 源点 。 与此相反,若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入 O点,则这种流动称为 汇流,或简称 点汇,O点称为 汇点,如图 4-14b所示 。
显然,这两种流动的流线都是从 O点发出的射线,即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 ur,而切向速度 uθ为 零 。
现以 O点为原点取柱坐标 (如图 4-14)。 对于不可压缩流体的稳定流动来说,流体每秒钟通过任一半径为 r的单位长度圆柱面上的体积流量 Q都应该相等,即 Q=2πrur=常数 。 流量 Q
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-14 源流和汇流第五节 几种基本的平面有势流动又称为 源流强度 (或 汇流强度 ),单位是米 3/秒 ·米 。 由此可得源流 (或汇流 )流场的速度分布为
(4-38)
对于源流,Q＞ 0,因而 ur＞ 0,因此有积分以上两式,并令积分常数 C=0,得
0
2
u
r
Qu
r,
r
rQ
rururu
Q
r
r
Q
rururu
rr
rr
d
2
dddd
d
2
d
2
dddd
第五节 几种基本的平面有势流动
(4-39)
由式 (4-39)可以看出,流线族是以源点为起点的辐射线,
而等势线族是以源点为圆心的同心圆,这说明等势线族与流线族是正交的 。
汇流与源流是互逆过程,流函数和速度势函数的表达式与源流相同,只是符号相反,即
(4-40)
22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ
22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ
第五节 几种基本的平面有势流动由于 ur=Q/2πr,当 r→ 0时,ur→∞,所以源点和汇点都是奇点 。 因此其流函数和速度势函数只有在源点或汇点之外才存在,
即除源点或汇点外,整个平面流场上都是有势流动 。
下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况 。 如果
xoy平面 是无限水平面,则根据伯努利方程,有式中 p∞为在 r→∞ 处的流体压力,该处的速度为 ur=Q/2πr=0。
将 ur=Q/2πr代入上式,得
(4-41)
pup r
2
2
1?
22
2 1
8 r
Qpp
第五节 几种基本的平面有势流动上式说明,压力 p随着半径 r的减小而降低,当 r=r0=
时,p=0。 当 r＜ r0时,绝对压力将出现负值,实际上这是不可能的 。 因此,实际中的源点和汇点是有一定截面积的 。 图 4-15
绘出了当 r0＜ r＜ ∞时点汇沿半径 r的压力分布规律 。
p
Q
2
2
8?
第五节 几种基本的平面有势流动
4-15 点汇沿半径的压力分布第五节 几种基本的平面有势流动三,涡流和点涡设有 一旋涡强度为 I的无限长直线涡束,该涡束象刚体一样以等角速度 ω绕自身轴旋转,并带动涡束周围的流体绕其环流,由于直线涡束为无限长,所以可以认为与涡束垂直的所有平面上流动情况都一样 。 就是说,这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 。 这种由涡束诱导出来的平面流动,
称为 涡流 。 设涡束轴为 z轴,则由涡束所诱导的环流的流线在
xoy平面内都是以坐标原点 O为圆心的同心圆,如图 4-16所示 。
由于涡束以等角速度旋转,因此,涡束 外流体沿同一圆周流线的流动是等速的 。 然而各条不同的圆周流线上流体的速度是不相同的,速度沿半径方向的变化规律可由斯托克斯定理求得 。
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-16 涡束诱导出的涡流第五节 几种基本的平面有势流动由斯托克斯定理可知,沿任何圆周流线的速度环量都等于涡束的旋涡强度,即 Γ=2πruθ=I=常数于是
(4-42)
因此,在涡束外流体的速度与半径成反比；而在涡束内,流体则如同刚体一样以等角速度 ω 绕其自身轴旋转,速度与半径成正比,即 uθ=ωr,如图 4-16所示 。 我们 称涡束外的流动区域为势流旋转区,称涡束内的流动区域为 涡核区 。
若涡束的半径 r0→ 0,则涡束就成为一条涡线,这样的涡流称为 点涡,或称 自由涡 。 当 r0→ 0时,uθ →∞,因此涡点是一个奇点,所以 点涡又称 纯环流 。
r
uu r
20,
第五节 几种基本的平面有势流动现在我们来求涡核外势流区的流函数和速度势函数 。 由于积分以上两式,并令积分常数 C=0,得势流区的流函数和速度势函数为
(4-43)
当 Γ>0时,uθ>0,环流为逆时针方向；当 Γ<0时,uθ<0,环流为顺时针方向 。
d
2
dddddd
d
2
dddddd
rururur
r
r
r
rururur
r
r
r
x
y
yxr
1-
22
tg
22
ln
2
ln
2
第五节 几种基本的平面有势流动注意,在涡核区内,流函数为,速度势函数不存在 。
由式 (4-43)可知,涡流的流线族是以涡点为圆心的同心圆周线,而等势线族则是从涡核边缘发出的放射线 。 对于点涡来说,等势线族则是从涡点发出的放射线,即除了涡点以外,整个平面流场都是有势流动 。
下面我们再来分析一下涡流流场内的压力分布规律 。 已知涡束的半径为 r0,涡束边缘上的速度为 uθ0=Γ/2πr0,压力为 p0；
当 r→∞ 时,速度 uθ显然为零,而压力为 p∞。
将式 (4-42)代入伯努利方程 (4-34),得 涡束外势流区的压力分布规律为：
2
2
1 r
第五节 几种基本的平面有势流动
(4-44)
式 (4-44)说明,在涡束以外的势流区内,压力 p随着半径 r的减小而降低 。 从式 (4-44)还可知,当 r→ 0处,p→ -∞,显然这是不可能的 。 所以在涡束内确实存在着如同刚体一样,以等角速度旋转的旋涡区域,即涡核区 。 涡核边缘上的压力为
(4-45)
或写成
(4-45a)
22
2
2 1
82
1
r
pupp
2
0
2
2
2
00
2
0
2
2
2
0
1
82
1
1
82
1
r
upp
r
pupp
o
第五节 几种基本的平面有势流动由式 (4-45a)可以看出,在涡核以外的势流区内,从无穷远处到涡核边缘的压力降是一个常数,它等于以涡核边缘的速度计算的动压 。
由于涡核内为有旋流动,各条流线的伯努利常数不同,因此,流体在径向的压力分布只能根据欧拉运动微分方程求得 。
沿流线主法线方向的欧拉运动微分方程为由于压力 p只沿 r方向变化,令 z=0,并且涡核内 uθ=ωr,故上式可改写为
r
u
r
zg
r
p 21?
rrr
r
up ddd 22
第五节 几种基本的平面有势流动对上式积分,得积分常数 C由边界条件确定 。 在 r=r0处,p=p0,uθ=uθ0,代入上式得积分常数 C为最后得到 涡核区内的压力分布为：
(4-46)
或
(4-46a) 22202
22
0
2
1
2
1
rrpp
uupp
2
0
2
0
2
0
2
00 2
1
2
1
2
1
upuupupC
CuCrp 222 2121
第五节 几种基本的平面有势流动于是,涡核中心的压力为
(4-47)
而涡核边缘的压力为所以
(4-48)
由式 (4-48)可知,在涡核区内,从涡核边缘到涡核中心的压力降为一常数,且等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 比较式
(4-45a)和式 (4-48)还可以发现,涡核内,外的压力降是相等的,
都等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 涡核内,外的速度分布和压力分布如图 4-17所示 。
2 0 upp c
2
00
2
00
2
1
2
1
upp
upp
c
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-17 涡流中涡核内,外的速度和压力分布第五节 几种基本的平面有势流动由于涡核区的压力比涡核外势流区的压力低,故涡流有很强的抽吸作用,它能把势流旋转区中的部分流体抽吸到涡核区内来 。
第六节 有势流动的叠加内 容 提 要
一,螺 旋 流
二,偶 极 流
三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动第六节 有势流动的叠加凡是满足拉普拉斯方程的函数在数学分析中都称为调和函数 。 所以流函数和速度势函数都是调和函数 。 根据调和函数的叠加原理,即 若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数,
可以将若干个有势流动的速度势函数 (或流函数 )线性组合成一个新的有势流动的速度势函数 (或流函数 )。 如
(4-49)
式中 φ1,φ2,φ3… 和 ψ1,ψ2,ψ3… 分别代表几个简单有势流动的速度势函数和流函数 。 显然,叠加后新的有势流动的速度势函数 φ 和流函数 ψ 也满足拉普拉斯方程 。 根据速度势函数
(或流函数 )与速度分量之间的关系可得
321
321
第六节 有势流动的叠加
(4-50)
或 (4-50a)
式 (4-49)至式 (4-50a)表明,几个简单有势流动的速度势函数及流函数的代数和等于新的有势流动的速度势函数和流函数,它的速度是这些简单有势流动速度的向量和 。
上述叠加原理的方法虽然简单,但在实用上有很大意义,
我们可以应用这一原理,把一些简单的平面有势流动叠加成所需要的新的复杂的有势流动 。 或者将一复杂的有势流动分解几个已知的简单有势流动来分析 。
下面举几个平面有势流动叠加的例子 。
321
321
321
uuuu
uuuu
uuuu
yyyy
xxxx
第六节 有势流动的叠加一,螺旋流螺旋流 是由点源或者点汇流动和点涡流动叠加 (源点或者汇点和涡点重合 )而成的 。 将点源或者点汇 和点涡的速度势函数及流函数分别相加,即可得到螺旋流的速度势函数和流函数 。
如点汇和点涡叠加后得到的螺旋流的速度势函数和流函数为
(4-51)
式中 Γ 取逆时针方向为正 。 令以上两式等于常数,便可得到等势线方程和流线方程为
)ln(
2
1
ln
22
)ln(
2
1
2
ln
2
rQr
Q
rQr
Q
第六节 有势流动的叠加
(4-52)
或写成
(4-53)
式中 C1,C2是两个常数 。 显然,等势线族和流线族是两组相互正交的对数螺旋线族 (如图 4-18),所以称为 螺旋流 。 在图 4-18
所示的螺旋流动 (点汇和点涡叠加的结果 )的流场中,流体是从四周向中心流动 。 工程上常用的 离心分离 器,旋风除尘器 以及水力涡轮机 等设备中的旋转流体的流动情况即可近似看成是这种螺旋流 。
Q
Q
eCr
eCr
2
1
CrQ
CrQ
ln
ln
第六节 有势流动的叠加图 4-18 螺旋流 图 4-19 风机外壳中的流动第六节 有势流动的叠加上述螺旋流的 径向速度 和 切向速度 分别为
(4-54)
总速度为
(4-54a)
代入伯努利方程 (4-34),得流场中的 压力分布为：
(4-55)
式中 p∞为 r→∞ 处的压力,该处的速度 u=0。 对于流场中不同的两点,由伯努利方程可得
(4-56)
r
Q
r
Q
uuu
rr
u
r
Q
r
u
r
r
24
2
1
2
22
22
22
22?
22
22
2 1
8
)(
2
1
r
Qpupp
)11(
8
)(
2
1
2
2
2
22
21 rr
Qpp
第六节 有势流动的叠加式中 p1,p2为螺旋流流场中 1,2两点上的压力； r1,r2为 1,2两点距螺旋流中心的距离 。
对于 离心式水泵,风机 等涡壳中的流动可以近似看作是由点源和点涡叠加而成的螺旋流的例子,如图 4-19所示,其流动方向与图 4-18所 示的螺旋流的方向相反 。
第六节 有势流动的叠加二,偶极流偶极流是同强度的点源和点汇叠加的结果 。 若把点源和点汇无限靠近,即源点和汇点间的距离 ΔS→ 0,并且在 ΔS→ 0的同时,强度 Q→∞,以使得 ΔSQ=常数,这样便得到一个所谓的偶极流的有势流动 。
如图 4-20所示,为一把强度为 Q的点源和强度为 -Q的点汇分别放在坐标系的 A点 (-a,0)和 B点 (a,0)上,叠加后得到的流动图形 。 叠加后的速度势函数和流函数分别为
(4-57)
(4-58)?
2
)(
222
ln
2
ln
2
ln
2
QQQQ
r
rQ
r
Q
r
Q
BABAAB
B
A
BAAB
第六节 有势流动的叠加图 4-20 点源和点汇的叠加第六节 有势流动的叠加式中 α为动点 P(x,y)与源点 A和汇点 B的连接线之间的夹角 。 由流线方程 ψ=常数,得 α=常数 。 就是说,流线是经过源点 A和汇点 B的圆周线族,而且从源点流出的 流量全部流入汇点 。
现在来分析在点源与点汇无限接近的同时,流量 Q无限增大 (即 a→ 0时,Q→∞),以使得 2aQ保持一个有限常数 M的极限情况,即偶极流的情况 。 M=2aQ称为 偶极矩,或称为 偶极强度,单位为米 4/秒 ·米或米 3/秒,方向是从源点到汇点 为正 。
偶极流的速度势函数和流函数可由式 (4-57)和式 (4-58)根据上述条件推导出来 。 由式 (4-57)得
)1(ln
2
ln
2 B
BA
B
A
AB r
rrQ
r
rQ
第六节 有势流动的叠加图 4-21 推导偶极流速度势和流函数用图第六节 有势流动的叠加如图 4-21所示,当 A点和 B点向原点 O无限靠近时,rA-
rB≈2acosθA,而且当 2a→ 0,Q→∞ 时,2aQ=M,rA→r B→r,
θA→θ B→θ 。 又由于当 ε为无穷小时,可以略去高阶项,即 ln(1+ε)≈ε。 因此,偶极流的速度势函数为
(4-59)
432)ln ( 1
432
222
Q
02a
Q
02a
Q
02a
2
c o s
2
c o s
2
)
c o s2
2
(lim)]
c o s2
1ln (
2
[limlim
yx
xM
r
rM
r
M
r
aQ
r
aQ
B
A
B
A
AB
第六节 有势流动的叠加由式 (4-58)得又因为当 ε→ 0时,tg-1ε≈ε。 所以偶极流的流函数为
222
1
2
1
BA
BA1
2
tg
2
))((
1
tg
2
tgtg1
tgtg
tg
2
)(
2
ayx
yaQ
axax
y
ax
y
ax
y
Q
QQ
BAAB
753
tg
753
1
第六节 有势流动的叠加
(4-60)
令式 (4-60)等于常数 C1,得流线方程为即流线是半径为 M/4πC1,圆心为 (0,-M/4πC1)且与 x轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中实线所示 。
同样,令式 (4-59)等于常数 C2,得等势线方程为
r
M
r
rM
yx
yM
ayx
yaQ
ayx
yaQ
Q
a
Q
a
s in
2
s in
22
)
2
2
(lim)
2
tg
2
(lim
222
222
02
222
1-
02
2
1
2
1
2 )
4
()
4
(
C
M
C
Myx
2
2
22
2
)
4
()
4
(
C
My
C
Mx
第六节 有势流动的叠加图 4-22 偶极流的流线和等势线第六节 有势流动的叠加即等势线是半径为 M/4πC2,圆心为 (M/4πC2,0)且与 y轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中虚线所示 。
偶极流的流场中 速度分布为：
在直角坐标系下
(4-61)
在圆柱坐标系下
(4-62)
2
2
222
222
22
s i n
2
c o s
2
)(
2
2
)(2
r
M
r
u
r
M
r
u
yx
yxM
y
u
yx
yxM
x
u
r
y
x
第六节 有势流动的叠加偶极流的总速度为
(4-63)
偶极 流流场内的 压力分布 可由伯努利方程计算得到 。 在流场中 r→∞ 处的压力为 p∞,速度 u∞=0,将式 (4-63)代入伯努利方程 (4-34),得
(4-64)
对于流场中不同两点间的压力差为
(4-65)
2
2222
2 r
Muuuuu
ryx
42
2
2 1
82
1
r
Mpupp
)11(
8 41422
2
21 rr
Mpp
第六节 有势流动的叠加三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动设有一在无穷远处 速度为 u∞的均匀直线流 (平行流 ),从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为 r0的无限长圆柱体流动,如图 4-23所示,这一流动可认为是 由 均匀直线流 和 偶极流 叠加而成的 组合平面流动 。 根据式 (4-36a)与式 (4-59)和式 (4-60)可得组合流动的速度势函数与流函数 分别为
(4-66)
(4-67)
)
1
2
1(
2
)
1
2
1(
2
2222
2222
yxu
M
yu
yx
yM
yu
yxu
M
xu
yx
xM
xu
第六节 有势流动的叠加图 4-23 平行流绕圆柱体无环量的流第六节 有势流动的叠加于是,流线方程 为选取不同的常数值 C,可得如图 4-23所示的流动图形 。 当 C=0
时,ψ=0,该流线 称为 零值流线 。 零值流线的方程为即由此可知,零值流线是 x轴和一个以坐标原点为圆心,半径为的圆周线所构成的图形 。 该流线到 A点 (驻点 )处
C
yxu
Myu?
)
1
2
1( 22
u
M
yxy
yxu
M
yu
2
0
0)
1
2
1(
22
22
，
uMr?20
第六节 有势流动的叠加分成两股,沿上下两个半圆周流到 B点 (驻点 )又重新汇合 。 由于流体不能穿过零值流线,因此,一个均匀直线流绕半径为 r0
的圆柱体的平面流动,可以用这个均匀直线流与一个偶极矩为
M=2πu∞r20的偶极流叠加而成 的组合流动来代替 。 于是,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动的速度势函数和流函数也可以写成
(4-66a)
(4-67a)
以上两式中的 r≥r0,因为 r＜ r0在圆柱体内,没有实际意义 。
s in)1()1(
c o s)1()1(
2
2
0
22
2
0
2
2
0
22
2
0
r
r
r
u
yx
r
yu
r
r
r
u
yx
r
xu
第六节 有势流动的叠加流场中任一点的速度分量为
(4-68)
在 x=∞,y=∞处,ux=u∞,uy=0。 这表明在离开圆柱体无穷远处,
均匀直线流未受圆柱体的干扰,仍为均匀直线流 。 在图 4-23中的 A点 (-r0,0)和 B点 (r0,0)处,ux=uy=0,A为前驻点,B为后驻点 。
222
2
0
222
222
0
)(
2
]
)(
)(
1[
yx
yx
ru
y
u
yx
yxr
u
x
u
y
x
第六节 有势流动的叠加对于圆柱坐标系,速度分量为
(4-69)
沿包围圆柱体的任意圆周线的速度环量为即均匀直线流绕圆柱体的平面流动其速度环量为零 。
当 r=r0时,即 在圆柱面上,
(4-70)
s in)1(
1
c o s)1(
2
2
0
2
2
0
r
r
u
r
u
r
r
u
r
u
r
0ds in)1(d 2
2
0
rr
rusu
s in2
0
uu
u r
第六节 有势流动的叠加图 4-24 在平行流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布第六节 有势流动的叠加这说明 流体沿圆柱面只有切线方向的速度,而没有径向速度 。
这也证实了该组合流动符合流体不穿入又不脱离圆柱面的边界条件 。 在圆柱面上,速度是按正弦曲线规律分布的,如图 4-24
所示 。 在前,后驻点处流速为零；在 θ=± π/2处,流速最大,
其值为无穷远处速度的二倍 。
圆柱面上各点的压力分布,可由伯努利方程求得,即式中 p∞为无穷远处流体的压力 。 将式 (4-70)代入上式,得
(4-71)
22
2
1
2
1
upup
)s i n41(
2
1 22
upp
第六节 有势流动的叠加在工程上常用 无因次压力系数 来表示流体作用在物体上任一点的压力,它的定义为
(4-72)
将式 (4-71)代入上式,
(4-73)
由此可见,沿圆柱体表面的无因次压力系数 Cp既与圆柱体的半径 r0无关,也与无穷远处的速度 u∞和压力 p∞无关,仅 与 θ 角有关 。 这就是在研究理想流体无环量绕流圆柱体的柱面上的压力时,利用这个压力系数的方便所在 。
2
2
1
u
pp
C p
2s in41pC
第六节 有势流动的叠加根据式 (4-73)计算出的理论无因次压力系数曲线如图 4-25
所示 。 应当注意,在计算时,θ角是从前驻点 A起沿顺时针方向增加 。 ① 在 前驻点 A(θ=0° )上,速度等于零,Cp=1,压力达到最大值,pA=p∞+ρu2∞/2。 ② 在垂直于来流方向的 最大截面
D点 (θ=90° )上,速度最大,Cp=-3,压力降到最小值,pD=p∞-
3ρu2∞/2。 ③ 在 后驻点 B(θ=180° )上,速度又等于零,Cp=1，
压力又达到最大值,pB=p∞+ρu2∞/2。 180° ≤θ≤360° 范围内的理论曲线与 0° ≤θ≤180° 范围内的完全一样,即圆柱面上所受的流体压力上下左右都是对称的 。 因此,作用在圆柱面上的压力在各个方向上都 互相平衡,合力等于零 。 这可证明如下：
第六节 有势流动的叠加图 4-25 压力系数沿圆柱面的分布第六节 有势流动的叠加图 4-26 推导理想流体对圆柱体的作用力用图第六节 有势流动的叠加如图 4-26所示,在单位长度的圆柱体上,作用在微元弧段
ds=r0dθ上的微小总压力 dF=pr0dθ,则 dF沿 x和 y轴的分量为
(4-74)
式中的负号是 考虑到当 θ为正值时,dFx和 dFy的方向分别与 x和
y轴的方向相反 。 将式 (4-71)代入以上 二式,并积分,便得到流体作用在圆柱体上的总压力沿 x和 y轴方向的分量为
ds i nd
dc o sd
0
0
prF
prF
y
x
2
0
22
0
2
0
22
0
0ds in)]s in41(
2
1
[
0dc o s)]s in41(
2
1
[
uprFF
uprFF
yL
xD
第六节 有势流动的叠加即理想流体作用在圆柱面上的压力的合力等于零 。 流体作用在圆柱面上的总压力沿 x和 y轴方向的分量,即圆柱面受到的与来流方向平行的和垂直的作用力分别称为流体作用在圆柱体上的阻力 和 升力,并分别用 FD和 FL表示 。 这就是说,当理想流体的均匀直线流无环量地绕流圆柱体时,没有作用在圆柱体上的阻力和升力 。
本 章 小 结一、基本概念：
二、基本定律和基本方程：
三、重要的性质和结论：
（四）
多媒体教学课件李文科 制作第四章 流体的有旋流动和无旋流动
第一节 流体微团运动的分析
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度
第三节 平面流与流函数
第四节 势流与速度势函数
第五节 几种基本的平面有势流动
第六节 有势流动的叠加第一节 流体微团运动的分析内 容 提 要
一,移动
二,转动
三,线变形运动
四,角变形运动第一节 流体微团运动的分析刚体 的运动一般可以分解为 移动 和 转动 两部分 。 但流体与刚体不同,流体受力便会发生运动状态的变化,即流体具有流动性,极易变形 。 因此,流体微团 在运动过程中不但会发生移动和转动,而且还会发生变形运动 。 所以,在一般情况下流体微团的运动 可以分解为 移动,转动 和 变形运动 三部分 。
变形运动 又分为 线变形运动 和 角变形运动 两种情况 。 下面我们分别讨论这几种运动情况 。
一,移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团,各边长分别为
dx,dy,dz,形心 a处沿三个坐标轴的速度分量分别为 ux,uy、
uz,如图 4-1所示 。 如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量第一节 流体微团运动的分析图 4-1 微团移动分析也都是 ux,uy和 uz,那么整个流体微团就只有移动,也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置,而其形状和大小及方位并不改变 。
第一节 流体微团运动的分析二,转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团,转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行,为讨论方便起见,我们先讨论流体微团绕垂直于 xoy平面的轴 (z轴 )转动的情况,如图 4-2所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的速度分量分别为 ux和 uy。 当 A点在 y轴方向的分速度不同于 O点在 y轴方向的分速度及 B点在 x轴方向的分速度不同于 O点在 x轴方向的分速度时,流体微团才会发生旋转 。 A点在 y轴方向的分速度和 B点在 x轴方向 的分速度可按泰勒级数展开,并略去高阶无穷小量而得到,它们分别为
y
y
uux
x
uu x
x
y
y dd?
和第一节 流体微团运动的分析图 4-2 微团旋转运动分析第一节 流体微团运动的分析它们 相对于 O点的对应分速度 (相对于 O点的线速度 )分别为所以它们相对于 O点的角速度 (逆时针方向旋转为正 )应分别为
A点上
B点上而对于微团中其它各点绕 z轴转动的角速度 （ 如 C点等 ） 则是由该点 y向的分速度在 x轴方向的变化量和 x向的分速度在 y轴方向的变化量共同产生的 。 因此,我们可以把整个微团绕 z轴 转动的
y
y
ux
x
u xy dd
和
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy
d/d
d/d
第一节 流体微团运动的分析分角速度用 OA与 OB在 xoy平面内的平均角速度来表示,即同理,可求得流体微团绕 x轴和 y轴转动的角速度分量 ω x和 ω y。
于是流体微团旋转角速度 ω 的三个分量分别为
(4-1)
)(
2
1
y
u
x
u xy
z?
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-2)
写成向量形式为
(4-3)
式中 为 哈米尔顿算子,为速度
222
zyx
uukji zyx
r o t2121
k
y
u
x
u
j
x
u
z
u
i
z
u
y
u
uuu
zyx
kji
u
xyzxyz
zyx
)()()(
r o t
kzjyix
u
rot u?
第一节 流体微团运动的分析的旋度,在流体力学中也称为流场的 涡量,一般用 表示,即
。 那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为
(4-4)
而
(4-5)
当涡量,即 ωx=ωy=ωz=0时,流体的流动是无旋的,称为 无旋流动,否则称为 有旋流动 。
222
2
2
2
zyx
xy
zz
zx
yy
yz
xx
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
0ro t u
2?
第一节 流体微团运动的分析应当指出,判断流体微团是有旋流动还是无旋流动,完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转,而与流体微团本身的运动轨迹无关 。 如图 4-3所示,流体微团的运动轨迹均为圆周线,在 (a)中微团自身有转动,是有旋流动；在 (b)中 微团自身没有转动,是无旋流动 。
第一节 流体微团运动的分析
(a)有旋流动 (b)无旋流动图 4-3 流体微团的运动轨迹第一节 流体微团运动的分析对于圆柱坐标系来说因此,用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式,即
(4-6)
(4-7)
zzrr iuiuiuu
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
zr
r
z
zr
z
r
r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u
第一节 流体微团运动的分析
(4-8)
(4-9)
写成向量 (4-6a)
(4-8a)
r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u
r
zz
zr
z
rr
2
2
2
zzrr
zzrr
zr
iii
iii
222
第一节 流体微团运动的分析三,线变形运动线变形运动 是指流体微团的形状随时间在变化,而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动 。 所以线变形运动又称作 体变形运动 。 对于不可压缩流体来说,流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小 。
流体微团的 线变形速度 是用直线距离上单位时间单位长度的伸长量 (或缩短量 )来表示的 。 线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx,εy,εz表示 。 如图 4-4所示,在流场中任取一流体微团,形心点为 O,OA平行于 x轴,长度为 dx,OB平行于 y
轴,长度为 dy,OC平行于 z轴 (垂直于纸面 ),长度为 dz。 形心
O点处流体质点的速度 u在各坐标轴上的分量为 ux,uy,uz。
第一节 流体微团运动的分析图 4-4 微团线变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点的 x向分速度和 B点的 y向分速度及 C点的 z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到,它们 分别为则 A点相对 O点在 x轴方向的相对速度为 ； B点相对 O点在 y轴方向的相对速度为 ； C点相对 O点在 z轴方向的相对速度为 。 就是由于这些相对速度的存在,将造成流体微团在各坐标轴方向伸长 (或缩短 )。 在 dτ时间内 OA在 x轴
z
z
uuy
y
uux
x
uu z
z
y
y
x
x ddd?
,、
x
x
u x d
y
y
u y d
z
z
u z d
第一节 流体微团运动的分析方向的伸长量为 ；在 dτ时间内 OB到 y轴方向的缩短量为 ；在 dτ时间内 OC在 z轴方向的伸长量 (或缩短量 )为 。 则在 x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量为在 y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
dd x
x
u x
dd y
y
u y
dd z
z
u z
y
u
y
y
y
u
y
y
y
dd
dd
x
u
x
x
x
u
x
x
x
dd
dd
第一节 流体微团运动的分析同理,在 z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量
(或缩短量 )为由此得到 流体微团的线变形运动速度分量为
(4-10)
z
u
z
z
z
u
z
z
z
dd
dd
z
u
y
u
x
u
z
z
y
y
x
x
第一节 流体微团运动的分析如果 我们用 ε 来表示流体微团在单位时间内的 体积变形率,
或称 体积膨胀率 。 则有
(4-11)
式中 为速度 的散度 。 显然,对于不可压缩流体,ε=0，
即体积变形率为零 。
u
z
u
y
u
x
u zyx
zyx
d i v?
u?div u?
第一节 流体微团运动的分析四,角变形运动如果流体微团内各点受力不均,有切向力存在时,将会使流体微团产生角变形运动 。 角变形运动的快慢程度用角变形速度 θ来度量 。 角变形速度 的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示,它在各坐标轴方向的分量分别用 θx,θy,θz表示 。 在流场中任取一流体微团如图 4-5
所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的分速度分别为 ux和 uy,相对于 O点而言,A点在 y方向 的分速度为,B点在 x方向的分速度为 。 因此相对于 O点的对应的角速度分别为
xxu y d
y
y
u x d
第一节 流体微团运动的分析图 4-5 微团角变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点上
B点上在 dτ时间内对应的角度变化量分别为则 ∠ AOB在 dτ时间内的总变化量为于是,流体微团在 xoy平面内的角变形速度为
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy
d/d
d/d
dddd
y
u
x
u xy
,
)d(dddd
y
u
x
u
y
u
x
u xyxy
第一节 流体微团运动的分析同理,可得到流体微团在 yoz平面和 xoz平面内的角变形速度 。
因此,流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为
(4-12)
)(
2
1
d
)d(
2
1
y
u
x
uy
u
x
u
xy
xy
z
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-13)
上面我们对流体微团的移动,转动和变形运动分别进行了讨论和分析,但在实际情况下,流体微团的运动一般都同时存在着移动,转动和变形运动 。 因此,在分析流体的实际运动状态时,应当进行综合分析和研究 。
222
zyx
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度内 容 提 要
涡量场的概念
涡线的概念和涡线微分方程
涡管、涡束、涡旋截面的概念
旋涡强度和速度环量的概念
斯托克斯定理
有旋流动的运动学性质第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在有旋流动的流场中,全部 或 局部地区 的流体微团绕自身轴旋转,于是就形成了一个用涡量或角速度表示的 涡量场,
或称为旋涡场 。 如同在速度场中曾经引入流线,流管,流束和流量一样,在涡量场中,我们引入涡线,涡管,涡束和旋涡强度的概念 。
涡线 是这样一条曲线,在给定瞬时,曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合 。 因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的,所以 涡线 也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线,如图 4-6所示 。 一般而言,涡线并不与流线相重合,而是与流线相交 。 在稳定流场中,涡线不随时间而改变 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-6 涡线 图 4-7 涡管第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度从概念上讲,涡线和流线两者是很相似的 。 其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量 。 从涡线的定义我们知道,涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴,而其向量代表流体微团的旋转角速度 。 于是,我们可用推导流线微分方程类似的方法得到 涡线微分方程,即
(4-14)
在给定的瞬时,在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线,
通过该封闭曲线上每一点作涡线,这些涡线构成一个管状表面,称为 涡管,如图 4-7所示 。 涡管中充满着作旋转运动的流体,亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族,称为 涡束 。
zyx
zyx
ddd
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在稳定流场中,涡管和涡束的形状不随时间而改变 。
垂直于涡管中所有涡线的截面称为 涡旋截面 。
涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为 旋涡强度,也称为 涡管强度 或 涡通量 。 常用 I来表示 。
对于涡旋截面为 dA的微元涡管 (或涡束 ),其旋涡强度为
(4-15)
那么,整个涡管的旋涡强度可表示为
(4-16)
旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得 。 但根据 实际观察发现,在有旋流动的流场中,流体环绕某一核心旋转时,
AAuI ddr o td
zzyyxA xAA AAAAAuI dddddr o t
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度旋涡强度越大,旋转速度越快,旋转的范围就越扩大 。 因此可以推断,在有旋流动中,流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系 。 为了解决这个问题,我们需要引入 速度环量 的概念,利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度 。
在流场中任取一封闭曲线 S,如图 4-8所示,则 流速 u沿此曲线的积分称为曲线 S上的速度环量,用 Γ表示 。
(4-17)
速度环量是个标量,它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向 。 一般规定积分时以逆时针方向绕行为正 。 当速度在积分线路 上的投影与 同向时,Γ 为正 。
zuyuxusu zys xs dddd
u?
s?ds?d
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-8 速度环量第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度设封闭曲线 S所包围的区域 A为单连通域,根据数学分析中的斯托克斯公式,沿封闭曲线 S的线积分可以化为以 S为边界的曲面 A的面积分 。 即
(4-18)
亦即 (4-18a)
式 (4-18)表明,在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度 。 这个结论在流体力学中称为 斯托克斯定理 。
AA
zzyy
A
xx
xyzx
A
yz
zy
s
x
s
AuAAAA
yx
y
u
x
u
xz
x
u
z
u
zy
z
u
y
u
zuyuxusu
dr o tdddd
dd)(dd)(dd)(
dddd
I
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度由斯托克斯定理可知,速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在,而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度 。
在无旋流动的流场中,涡量 ξ=0,所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零 。 反之也可以断定,如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,那么,该区域内就没有旋涡存在,即该区域内的流动一定是无旋流动 。 因此在求解单连通域的总旋涡强度时,不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在,都不必考虑其中无旋流动区域的大小,可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定 。
在有旋流动的流场中,涡量 ξ≠0,所以,一般情况下沿第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度封闭曲线的速度环量不等于零,即流场中的总旋涡强度不为零 。
但是,有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零,而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况 。 这是由于该区域内同时存在几个大小相等,方向相反的旋涡,其旋涡强度相互抵消,使得该区域的总旋涡强度为零,沿封闭曲线的速度环量也为零 。 所以在判断流场是有旋还是无旋时,不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零,或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断,而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零,或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度有旋流动有一个重要的 运动学性质,在同一瞬时,通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等 。 该性质为亥姆霍兹第一定理,可以通过斯托克斯定理加以证明 。
根据上述性质可以得到以下 推论,
(1)对于同一涡管来说,涡旋截面越小的地方,流体的涡量或旋转角速度越大 。
(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止,而只能在流体中自行封闭成涡环,或者附在流体的边界上 。 这是因为在涡旋截面趋近于零的地方,流体的旋转角速度趋近于无穷大 。 实际上这是不可能的 。 例如抽烟人吐出的 烟圈 就是自行封闭的涡环；自然界中的 龙卷风 就开始于地面,终止于云层 。
第三节 平面流与流函数内 容 提 要
平面流动的概念
流函数的概念
流函数存在的条件
流函数与速度分量之间的关系
流函数的性质第三节 平面流与流函数如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数,即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化,这种流动就称作 平面流动 。 平面流动实际上就是二维流动 。
流线可以形象地描绘出流场内的流动形态 。 在数学分析上,
我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 流函数 。
设有一不可压缩流体的二维平面流动,其连续性方程为
(a)
流线微分方程为
0?
y
u
x
u yx
yx u
y
u
x dd?
第三节 平面流与流函数或写成 (b)
根据数学分析可知,如果式 (b)的左边恰好是某一个函数 ψ=ψ(x，
y)的全微分,即
(4-19)
那么式 (b)就是一个全微分方程 。 函数 ψ(x,y)就称为流函数 。
由式 (4-19)
(4-20)
将式 (4-20)代入平面流的连续性方程式 (a),得
x
u
y
u yx
,
yuxuy
y
x
x xy
ddddd
0dd xuyu yx
0
22
yxxyy
u
x
u yx
第三节 平面流与流函数显然,不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是 流函数 ψ 存在的充分和必要条件 。 即流函数 ψ永远满足连续性方程 。 另外还可以看出,在流线上 dψ=0或 ψ=常数,并且 在每条流线上都有它自己的流函数值 。
应当指出,在引入流函数这个概念时,既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的,也没有涉及流体是有旋的还是无旋的 。
所以,不论是理想流体还是粘性流体,不论是有旋流动还是无旋流动,只要是不可压缩流体的平面流动,就存在着流函数 。
第三节 平面流与流函数流函数存在下列几个重要性质,
1.流函数 ψ(x,y)=C的方程为流线方程 。
2.通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
设在给定的 某一瞬时,有两条流线 1和 2,它们的流函数值分别为 ψ1和 ψ2,如图 4-10所示 。 现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相等,并且恒等于两条流线上的流函数值之差 。 例如通过 AB截面的体积流量 (取单位宽度 )为
2
1
2
1
2
1
12ddd
y
y
yuQ y
y
y
yxAB
第三节 平面流与流函数图 4-10 流量与流函数值的关系第三节 平面流与流函数
AB方向上 x等于常数 。
同理,通过 BC截面的体积流量为
BC方向上 y等于 常数 。 因此得到
Q12=QAB=QBC=ψ 2-ψ 1 (4-21)
由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的,所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
3.不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程 。
即
12
1
2
2
1
2
1
dd)(d
x
x
xuQ x
x
x
x yBC
第三节 平面流与流函数
(4-22)
因为对于二维的无旋流动,ωz=0,即而代入上式,有凡是满足拉普拉斯方程的函数,在数学分析上称为调和函数,所以 流函数是一个调和函数 。
02
2
2
2
yx
0
0
2
2
2
2
yx
x
u
y
u
y
u
x
u
yx
xy
，
第三节 平面流与流函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,流线与等势线处处正交 。 关于等势线的概念及这一性质的证明,将在下一节中介绍 。
对于圆柱坐标系来说,流函数与速度分量之间的关系为
(4-23)
(4-24)
ddd
1
ruru
r
u
r
u
r
r
,
第四节 势流与速度势函数内 容 提 要
势流的概念
速度位势和速度势函数的概念
速度势函数存在的条件
速度势函数与速度分量之间的关系
速度势函数的性质第四节 势流与速度势函数在有旋流动的流场中,流体质点除具有一定的运动速度
(线速度 )外,还存在着一定的旋转速度 (角速度 ),即 在有旋流动的流场中,既有速度场 u(x,y,z),又有涡量场 ξ(x,y,z)。
一般来说,有旋流动要比无旋流动复杂得多 。 所以 对于一些旋涡强度很弱的有旋流动,可以近似作为无旋流动来处理,这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便 。
流体的无旋流动,即角速度 ω=0的流动也称为 有势流动,
简称为 势流 。
在势流流场中,各流体质点仅具有速度向量,而没有角速度向量 。 一般情况下,在某一瞬时,流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向,它们各自具有不同的 速度位势 。
第四节 势流与速度势函数所谓 速度位势 就速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积,即 。 如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来,所组成的线 (或面 )就称为等势线 (或等势面 )。 速度向量垂直于等势线 (或等势面 )。 在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势,而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势 。 因此,与流线一样,用等势线也可以描述流场的特征 。 对于不同的等势线 (或等势面 )也可以用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 速度势函数,
或简称为 速度势 或 势函数 。
在势流流场中,其涡量 (或旋转角速度 )为零,即由式 (4-4)
有
su d?
第四节 势流与速度势函数
(a)
由数学分析可知,上式 (a)是表达式成为某一函数 的全微分的充分必要条件 。 因此,在无旋流动的条件下必然存在函数,它和速度分量 ux,uy,uz的关系为
(4-25)
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
zx
yz
zuyuxu zyx dddd
zuyuxu zyx ddd
)( zyx,，
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数在给定瞬时,函数 的全微分又可写成比较以上两式,可以得出
(4-26)
函数 就称为速度势函数 。 对于稳定流动 ；
对于非稳定流动,但一般时间 τ 是作为参变量出现的 。 将式 (4-26)代入式 (a),可以发现势函数 的二阶偏导数与求导次序无关 。
z
u
y
u
x
u zyx
,，
z
z
y
y
x
x
dddd
)(,，,zyx?
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数由以上讨论可知,只要流动是无旋的,就一定存在速度势函数 。 反之,只要流场中存在速度势函数,则流动就必定是无旋的 。
速度势函数 φ 存在以下几个重要性质,
1.速度势函数 =C的方程为等势线方程 。 而速度势函数 =C的方程为等势面方程 。
2.速度势函数的梯度就是流场中流体的速度 。 或者说,流体的速度即为速度势函数的梯度 。 按向量分析,有
(4-27)
g r a d kzjyixkujuiuu zyx
)( zyx,，
)( yx,
第四节 势流与速度势函数另外,根据速度位势的定义可知,速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影 。 根据方向导数的定义,函数 φ 在任一方向 l上的方向导数为
3.不可压缩流体的有势流动,其速度势函数满足拉普拉斯方程 。
将式 (4-26)代入不可压缩流体的连续性方程,可得
(4-28)
lzyx uzluyluxlu
zl
z
yl
y
xl
xl
),c o s (),c o s (),c o s (
),c o s (),c o s (),c o s (
02
2
2
2
2
2
zyx
第四节 势流与速度势函数式 (4-28)是拉普拉斯方程 。 速度势函数 满足拉普拉斯方程,
因而它也是一个调和函数 。
对于不可压缩流体的平面无旋流动,其流函数和速度势函数同时存在 。 比较式 (4-20)和式 (4-26)可知,流函数 ψ 和速度势函数 存在如下的关系
(4-29)
或写成
(4-29a)
满足上述关系的两个调和函数称为 共轭调和函数 。 已知其中的一个函数就能够求出另一个函数 。
0?
yyxx
xyyx
，
第四节 势流与速度势函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 这也是前述流函数的重要性质之一 。
我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率,来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 对流场中的任意一点,由流线微分方程可得流线在该点的斜率为
(b)
由等势线微分方程 uxdx+uydy=0可得等势线在该点的斜率为
(c)
x
y
u
u
x
y?
d
d
y
x
u
u
x
y
d
d
第四节 势流与速度势函数由式 (b)和 (c)可知,流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系,或者它们两者的乘积等于负一 。 这就说明,在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线是处处正交的 。
此外,由数学分析可知,式 (4-29)也是等势线族和流线族互相垂直的条件,即正交性条件 。 即由式 (4-29)也可以证明速度势函数及流函数的上述性质 。 因此,在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络,称为 流网,如图 4-12所示 。 有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布,从而也可以得出压力分布 。 即 在流场中,流线愈密集的地方,其流速愈大,
而压力愈小 。 它是求解稳定平面势流的近似图解法 。
第四节 势流与速度势函数图 4-12 流网第四节 势流与速度势函数
5.在势流流动的流场中,沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差,而与曲线的形状无关 。
沿任意曲线 ab的速度环量为
(4-30)
式 (4-30)说明,在 势流流场中,沿任意曲线 ab的速度环量只取决于起点 a和终止 b的位置,而与曲线 ab的形状无关 。 如果 a点和 b点重合,则曲线 ab为一条封闭曲线,因此 Γab=0。
b
a
ab
b
a
zy
b
a
xab
z
z
y
y
x
x
zuyuxu
dddd
ddd
第四节 势流与速度势函数在圆柱坐标系下,速度势函数与速度分量之间的关系为
(4-31)
(4-32)
此外,我们可以证明,对于稳定的有势流动来说,流场中所有流线的伯努利常数都相同 。 证明从略 。
zururu
z
u
r
u
r
u
zr
zr
dddd
1
,，
第五节 几种基本的平面有势流动内 容 提 要
一,均匀直线流
二,源流和汇流
三,涡流和点涡第五节 几种基本的平面有势流动一,均匀直线流当流体作匀速直线运动时,流场中各点的速度都是大小相等,方向相同的,这种流动就称为 均匀直线流,又称为 等速平行流 。
如图 4-13所示,流体的流动方向与 x轴的夹角为 θ,流场中各点的速度均为 u0,且 u0为一定值 。 则 x和 y方向 的分速度为
ux=u0cosθ,uy=u0sinθ (4-35)
其流函数及速度势函数可由下式求出
dψ=uxdy-uydx=u0cosθdy-u0sinθdx
dφ=uxdx+uydy=u0cosθdx+u0sinθdy
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-13 均匀直线流动积分上式可得流函数 ψ 及速度势函数 φ
ψ=u0cosθy-u0sinθx+C1
φ=u0cosθx+u0sinθy+C2
以上两式中的积分常数 C1和 C2可以任意选取,而不影响流体的流动图形 。 若令 C1=C2=0,得
ψ=u0cosθy-u0sinθx=u0(ycosθ-xsinθ)
φ=u0cosθx+u0sinθy=u0(xcosθ+ysinθ) (4-36)
由式 (4-36)可以看出,等势线族 (φ=常数 )和流线族 (ψ=常数 )在流场内处处正交,而且它们都为平行直线,如图 4-13所示 。 各流线与 x轴的夹角为 θ =tg-1(uy0/ux0)。
第五节 几种基本的平面有势流动第五节 几种基本的平面有势流动若流动平行于 x轴,则函数 及 成为
(4-36a)
当流动平行于 y轴时,
(4-36b)
由于流场中各点的速度都相等,根据伯努利方程可以得到
(4-37)
xu
yu
0
0
yu
xu
0
0
Czp
第五节 几种基本的平面有势流动如果均匀直线流动是在同一水平面内,或者重力的影响可以忽略不计时,则有
p=C (4-37a)
即在水平均匀直线流动的流场中,压力是处处相等的 。
第五节 几种基本的平面有势流动二,源流和汇流如图 4-14a所示,设无限平面内有一点 O,流体不断地从 O
点流出后,沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动,这种流动称为 源流,或简称 点源,O点称为 源点 。 与此相反,若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入 O点,则这种流动称为 汇流,或简称 点汇,O点称为 汇点,如图 4-14b所示 。
显然,这两种流动的流线都是从 O点发出的射线,即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 ur,而切向速度 uθ为 零 。
现以 O点为原点取柱坐标 (如图 4-14)。 对于不可压缩流体的稳定流动来说,流体每秒钟通过任一半径为 r的单位长度圆柱面上的体积流量 Q都应该相等,即 Q=2πrur=常数 。 流量 Q
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-14 源流和汇流第五节 几种基本的平面有势流动又称为 源流强度 (或 汇流强度 ),单位是米 3/秒 ·米 。 由此可得源流 (或汇流 )流场的速度分布为
(4-38)
对于源流,Q＞ 0,因而 ur＞ 0,因此有积分以上两式,并令积分常数 C=0,得
0
2
u
r
Qu
r,
r
rQ
rururu
Q
r
r
Q
rururu
rr
rr
d
2
dddd
d
2
d
2
dddd
第五节 几种基本的平面有势流动
(4-39)
由式 (4-39)可以看出,流线族是以源点为起点的辐射线,
而等势线族是以源点为圆心的同心圆,这说明等势线族与流线族是正交的 。
汇流与源流是互逆过程,流函数和速度势函数的表达式与源流相同,只是符号相反,即
(4-40)
22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ
22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ
第五节 几种基本的平面有势流动由于 ur=Q/2πr,当 r→ 0时,ur→∞,所以源点和汇点都是奇点 。 因此其流函数和速度势函数只有在源点或汇点之外才存在,
即除源点或汇点外,整个平面流场上都是有势流动 。
下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况 。 如果
xoy平面 是无限水平面,则根据伯努利方程,有式中 p∞为在 r→∞ 处的流体压力,该处的速度为 ur=Q/2πr=0。
将 ur=Q/2πr代入上式,得
(4-41)
pup r
2
2
1?
22
2 1
8 r
Qpp
第五节 几种基本的平面有势流动上式说明,压力 p随着半径 r的减小而降低,当 r=r0=
时,p=0。 当 r＜ r0时,绝对压力将出现负值,实际上这是不可能的 。 因此,实际中的源点和汇点是有一定截面积的 。 图 4-15
绘出了当 r0＜ r＜ ∞时点汇沿半径 r的压力分布规律 。
p
Q
2
2
8?
第五节 几种基本的平面有势流动
4-15 点汇沿半径的压力分布第五节 几种基本的平面有势流动三,涡流和点涡设有 一旋涡强度为 I的无限长直线涡束,该涡束象刚体一样以等角速度 ω绕自身轴旋转,并带动涡束周围的流体绕其环流,由于直线涡束为无限长,所以可以认为与涡束垂直的所有平面上流动情况都一样 。 就是说,这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 。 这种由涡束诱导出来的平面流动,
称为 涡流 。 设涡束轴为 z轴,则由涡束所诱导的环流的流线在
xoy平面内都是以坐标原点 O为圆心的同心圆,如图 4-16所示 。
由于涡束以等角速度旋转,因此,涡束 外流体沿同一圆周流线的流动是等速的 。 然而各条不同的圆周流线上流体的速度是不相同的,速度沿半径方向的变化规律可由斯托克斯定理求得 。
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-16 涡束诱导出的涡流第五节 几种基本的平面有势流动由斯托克斯定理可知,沿任何圆周流线的速度环量都等于涡束的旋涡强度,即 Γ=2πruθ=I=常数于是
(4-42)
因此,在涡束外流体的速度与半径成反比；而在涡束内,流体则如同刚体一样以等角速度 ω 绕其自身轴旋转,速度与半径成正比,即 uθ=ωr,如图 4-16所示 。 我们 称涡束外的流动区域为势流旋转区,称涡束内的流动区域为 涡核区 。
若涡束的半径 r0→ 0,则涡束就成为一条涡线,这样的涡流称为 点涡,或称 自由涡 。 当 r0→ 0时,uθ →∞,因此涡点是一个奇点,所以 点涡又称 纯环流 。
r
uu r
20,
第五节 几种基本的平面有势流动现在我们来求涡核外势流区的流函数和速度势函数 。 由于积分以上两式,并令积分常数 C=0,得势流区的流函数和速度势函数为
(4-43)
当 Γ>0时,uθ>0,环流为逆时针方向；当 Γ<0时,uθ<0,环流为顺时针方向 。
d
2
dddddd
d
2
dddddd
rururur
r
r
r
rururur
r
r
r
x
y
yxr
1-
22
tg
22
ln
2
ln
2
第五节 几种基本的平面有势流动注意,在涡核区内,流函数为,速度势函数不存在 。
由式 (4-43)可知,涡流的流线族是以涡点为圆心的同心圆周线,而等势线族则是从涡核边缘发出的放射线 。 对于点涡来说,等势线族则是从涡点发出的放射线,即除了涡点以外,整个平面流场都是有势流动 。
下面我们再来分析一下涡流流场内的压力分布规律 。 已知涡束的半径为 r0,涡束边缘上的速度为 uθ0=Γ/2πr0,压力为 p0；
当 r→∞ 时,速度 uθ显然为零,而压力为 p∞。
将式 (4-42)代入伯努利方程 (4-34),得 涡束外势流区的压力分布规律为：
2
2
1 r
第五节 几种基本的平面有势流动
(4-44)
式 (4-44)说明,在涡束以外的势流区内,压力 p随着半径 r的减小而降低 。 从式 (4-44)还可知,当 r→ 0处,p→ -∞,显然这是不可能的 。 所以在涡束内确实存在着如同刚体一样,以等角速度旋转的旋涡区域,即涡核区 。 涡核边缘上的压力为
(4-45)
或写成
(4-45a)
22
2
2 1
82
1
r
pupp
2
0
2
2
2
00
2
0
2
2
2
0
1
82
1
1
82
1
r
upp
r
pupp
o
第五节 几种基本的平面有势流动由式 (4-45a)可以看出,在涡核以外的势流区内,从无穷远处到涡核边缘的压力降是一个常数,它等于以涡核边缘的速度计算的动压 。
由于涡核内为有旋流动,各条流线的伯努利常数不同,因此,流体在径向的压力分布只能根据欧拉运动微分方程求得 。
沿流线主法线方向的欧拉运动微分方程为由于压力 p只沿 r方向变化,令 z=0,并且涡核内 uθ=ωr,故上式可改写为
r
u
r
zg
r
p 21?
rrr
r
up ddd 22
第五节 几种基本的平面有势流动对上式积分,得积分常数 C由边界条件确定 。 在 r=r0处,p=p0,uθ=uθ0,代入上式得积分常数 C为最后得到 涡核区内的压力分布为：
(4-46)
或
(4-46a) 22202
22
0
2
1
2
1
rrpp
uupp
2
0
2
0
2
0
2
00 2
1
2
1
2
1
upuupupC
CuCrp 222 2121
第五节 几种基本的平面有势流动于是,涡核中心的压力为
(4-47)
而涡核边缘的压力为所以
(4-48)
由式 (4-48)可知,在涡核区内,从涡核边缘到涡核中心的压力降为一常数,且等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 比较式
(4-45a)和式 (4-48)还可以发现,涡核内,外的压力降是相等的,
都等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 涡核内,外的速度分布和压力分布如图 4-17所示 。
2 0 upp c
2
00
2
00
2
1
2
1
upp
upp
c
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-17 涡流中涡核内,外的速度和压力分布第五节 几种基本的平面有势流动由于涡核区的压力比涡核外势流区的压力低,故涡流有很强的抽吸作用,它能把势流旋转区中的部分流体抽吸到涡核区内来 。
第六节 有势流动的叠加内 容 提 要
一,螺 旋 流
二,偶 极 流
三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动第六节 有势流动的叠加凡是满足拉普拉斯方程的函数在数学分析中都称为调和函数 。 所以流函数和速度势函数都是调和函数 。 根据调和函数的叠加原理,即 若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数,
可以将若干个有势流动的速度势函数 (或流函数 )线性组合成一个新的有势流动的速度势函数 (或流函数 )。 如
(4-49)
式中 φ1,φ2,φ3… 和 ψ1,ψ2,ψ3… 分别代表几个简单有势流动的速度势函数和流函数 。 显然,叠加后新的有势流动的速度势函数 φ 和流函数 ψ 也满足拉普拉斯方程 。 根据速度势函数
(或流函数 )与速度分量之间的关系可得
321
321
第六节 有势流动的叠加
(4-50)
或 (4-50a)
式 (4-49)至式 (4-50a)表明,几个简单有势流动的速度势函数及流函数的代数和等于新的有势流动的速度势函数和流函数,它的速度是这些简单有势流动速度的向量和 。
上述叠加原理的方法虽然简单,但在实用上有很大意义,
我们可以应用这一原理,把一些简单的平面有势流动叠加成所需要的新的复杂的有势流动 。 或者将一复杂的有势流动分解几个已知的简单有势流动来分析 。
下面举几个平面有势流动叠加的例子 。
321
321
321
uuuu
uuuu
uuuu
yyyy
xxxx
第六节 有势流动的叠加一,螺旋流螺旋流 是由点源或者点汇流动和点涡流动叠加 (源点或者汇点和涡点重合 )而成的 。 将点源或者点汇 和点涡的速度势函数及流函数分别相加,即可得到螺旋流的速度势函数和流函数 。
如点汇和点涡叠加后得到的螺旋流的速度势函数和流函数为
(4-51)
式中 Γ 取逆时针方向为正 。 令以上两式等于常数,便可得到等势线方程和流线方程为
)ln(
2
1
ln
22
)ln(
2
1
2
ln
2
rQr
Q
rQr
Q
第六节 有势流动的叠加
(4-52)
或写成
(4-53)
式中 C1,C2是两个常数 。 显然,等势线族和流线族是两组相互正交的对数螺旋线族 (如图 4-18),所以称为 螺旋流 。 在图 4-18
所示的螺旋流动 (点汇和点涡叠加的结果 )的流场中,流体是从四周向中心流动 。 工程上常用的 离心分离 器,旋风除尘器 以及水力涡轮机 等设备中的旋转流体的流动情况即可近似看成是这种螺旋流 。
Q
Q
eCr
eCr
2
1
CrQ
CrQ
ln
ln
第六节 有势流动的叠加图 4-18 螺旋流 图 4-19 风机外壳中的流动第六节 有势流动的叠加上述螺旋流的 径向速度 和 切向速度 分别为
(4-54)
总速度为
(4-54a)
代入伯努利方程 (4-34),得流场中的 压力分布为：
(4-55)
式中 p∞为 r→∞ 处的压力,该处的速度 u=0。 对于流场中不同的两点,由伯努利方程可得
(4-56)
r
Q
r
Q
uuu
rr
u
r
Q
r
u
r
r
24
2
1
2
22
22
22
22?
22
22
2 1
8
)(
2
1
r
Qpupp
)11(
8
)(
2
1
2
2
2
22
21 rr
Qpp
第六节 有势流动的叠加式中 p1,p2为螺旋流流场中 1,2两点上的压力； r1,r2为 1,2两点距螺旋流中心的距离 。
对于 离心式水泵,风机 等涡壳中的流动可以近似看作是由点源和点涡叠加而成的螺旋流的例子,如图 4-19所示,其流动方向与图 4-18所 示的螺旋流的方向相反 。
第六节 有势流动的叠加二,偶极流偶极流是同强度的点源和点汇叠加的结果 。 若把点源和点汇无限靠近,即源点和汇点间的距离 ΔS→ 0,并且在 ΔS→ 0的同时,强度 Q→∞,以使得 ΔSQ=常数,这样便得到一个所谓的偶极流的有势流动 。
如图 4-20所示,为一把强度为 Q的点源和强度为 -Q的点汇分别放在坐标系的 A点 (-a,0)和 B点 (a,0)上,叠加后得到的流动图形 。 叠加后的速度势函数和流函数分别为
(4-57)
(4-58)?
2
)(
222
ln
2
ln
2
ln
2
QQQQ
r
rQ
r
Q
r
Q
BABAAB
B
A
BAAB
第六节 有势流动的叠加图 4-20 点源和点汇的叠加第六节 有势流动的叠加式中 α为动点 P(x,y)与源点 A和汇点 B的连接线之间的夹角 。 由流线方程 ψ=常数,得 α=常数 。 就是说,流线是经过源点 A和汇点 B的圆周线族,而且从源点流出的 流量全部流入汇点 。
现在来分析在点源与点汇无限接近的同时,流量 Q无限增大 (即 a→ 0时,Q→∞),以使得 2aQ保持一个有限常数 M的极限情况,即偶极流的情况 。 M=2aQ称为 偶极矩,或称为 偶极强度,单位为米 4/秒 ·米或米 3/秒,方向是从源点到汇点 为正 。
偶极流的速度势函数和流函数可由式 (4-57)和式 (4-58)根据上述条件推导出来 。 由式 (4-57)得
)1(ln
2
ln
2 B
BA
B
A
AB r
rrQ
r
rQ
第六节 有势流动的叠加图 4-21 推导偶极流速度势和流函数用图第六节 有势流动的叠加如图 4-21所示,当 A点和 B点向原点 O无限靠近时,rA-
rB≈2acosθA,而且当 2a→ 0,Q→∞ 时,2aQ=M,rA→r B→r,
θA→θ B→θ 。 又由于当 ε为无穷小时,可以略去高阶项,即 ln(1+ε)≈ε。 因此,偶极流的速度势函数为
(4-59)
432)ln ( 1
432
222
Q
02a
Q
02a
Q
02a
2
c o s
2
c o s
2
)
c o s2
2
(lim)]
c o s2
1ln (
2
[limlim
yx
xM
r
rM
r
M
r
aQ
r
aQ
B
A
B
A
AB
第六节 有势流动的叠加由式 (4-58)得又因为当 ε→ 0时,tg-1ε≈ε。 所以偶极流的流函数为
222
1
2
1
BA
BA1
2
tg
2
))((
1
tg
2
tgtg1
tgtg
tg
2
)(
2
ayx
yaQ
axax
y
ax
y
ax
y
Q
BAAB
753
tg
753
1
第六节 有势流动的叠加
(4-60)
令式 (4-60)等于常数 C1,得流线方程为即流线是半径为 M/4πC1,圆心为 (0,-M/4πC1)且与 x轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中实线所示 。
同样,令式 (4-59)等于常数 C2,得等势线方程为
r
M
r
rM
yx
yM
ayx
yaQ
ayx
yaQ
Q
a
Q
a
s in
2
s in
22
)
2
2
(lim)
2
tg
2
(lim
222
222
02
222
1-
02
2
1
2
1
2 )
4
()
4
(
C
M
C
Myx
2
2
22
2
)
4
()
4
(
C
My
C
Mx
第六节 有势流动的叠加图 4-22 偶极流的流线和等势线第六节 有势流动的叠加即等势线是半径为 M/4πC2,圆心为 (M/4πC2,0)且与 y轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中虚线所示 。
偶极流的流场中 速度分布为：
在直角坐标系下
(4-61)
在圆柱坐标系下
(4-62)
2
2
222
222
22
s i n
2
c o s
2
)(
2
2
)(2
r
M
r
u
r
M
r
u
yx
yxM
y
u
yx
yxM
x
u
r
y
x
第六节 有势流动的叠加偶极流的总速度为
(4-63)
偶极 流流场内的 压力分布 可由伯努利方程计算得到 。 在流场中 r→∞ 处的压力为 p∞,速度 u∞=0,将式 (4-63)代入伯努利方程 (4-34),得
(4-64)
对于流场中不同两点间的压力差为
(4-65)
2
2222
2 r
Muuuuu
ryx
42
2
2 1
82
1
r
Mpupp
)11(
8 41422
2
21 rr
Mpp
第六节 有势流动的叠加三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动设有一在无穷远处 速度为 u∞的均匀直线流 (平行流 ),从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为 r0的无限长圆柱体流动,如图 4-23所示,这一流动可认为是 由 均匀直线流 和 偶极流 叠加而成的 组合平面流动 。 根据式 (4-36a)与式 (4-59)和式 (4-60)可得组合流动的速度势函数与流函数 分别为
(4-66)
(4-67)
)
1
2
1(
2
)
1
2
1(
2
2222
2222
yxu
M
yu
yx
yM
yu
yxu
M
xu
yx
xM
xu
第六节 有势流动的叠加图 4-23 平行流绕圆柱体无环量的流第六节 有势流动的叠加于是,流线方程 为选取不同的常数值 C,可得如图 4-23所示的流动图形 。 当 C=0
时,ψ=0,该流线 称为 零值流线 。 零值流线的方程为即由此可知,零值流线是 x轴和一个以坐标原点为圆心,半径为的圆周线所构成的图形 。 该流线到 A点 (驻点 )处
C
yxu
Myu?
)
1
2
1( 22
u
M
yxy
yxu
M
yu
2
0
0)
1
2
1(
22
22
，
uMr?20
第六节 有势流动的叠加分成两股,沿上下两个半圆周流到 B点 (驻点 )又重新汇合 。 由于流体不能穿过零值流线,因此,一个均匀直线流绕半径为 r0
的圆柱体的平面流动,可以用这个均匀直线流与一个偶极矩为
M=2πu∞r20的偶极流叠加而成 的组合流动来代替 。 于是,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动的速度势函数和流函数也可以写成
(4-66a)
(4-67a)
以上两式中的 r≥r0,因为 r＜ r0在圆柱体内,没有实际意义 。
s in)1()1(
c o s)1()1(
2
2
0
22
2
0
2
2
0
22
2
0
r
r
r
u
yx
r
yu
r
r
r
u
yx
r
xu
第六节 有势流动的叠加流场中任一点的速度分量为
(4-68)
在 x=∞,y=∞处,ux=u∞,uy=0。 这表明在离开圆柱体无穷远处,
均匀直线流未受圆柱体的干扰,仍为均匀直线流 。 在图 4-23中的 A点 (-r0,0)和 B点 (r0,0)处,ux=uy=0,A为前驻点,B为后驻点 。
222
2
0
222
222
0
)(
2
]
)(
)(
1[
yx
yx
ru
y
u
yx
yxr
u
x
u
y
x
第六节 有势流动的叠加对于圆柱坐标系,速度分量为
(4-69)
沿包围圆柱体的任意圆周线的速度环量为即均匀直线流绕圆柱体的平面流动其速度环量为零 。
当 r=r0时,即 在圆柱面上,
(4-70)
s in)1(
1
c o s)1(
2
2
0
2
2
0
r
r
u
r
u
r
r
u
r
u
r
0ds in)1(d 2
2
0
rr
rusu
s in2
0
uu
u r
第六节 有势流动的叠加图 4-24 在平行流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布第六节 有势流动的叠加这说明 流体沿圆柱面只有切线方向的速度,而没有径向速度 。
这也证实了该组合流动符合流体不穿入又不脱离圆柱面的边界条件 。 在圆柱面上,速度是按正弦曲线规律分布的,如图 4-24
所示 。 在前,后驻点处流速为零；在 θ=± π/2处,流速最大,
其值为无穷远处速度的二倍 。
圆柱面上各点的压力分布,可由伯努利方程求得,即式中 p∞为无穷远处流体的压力 。 将式 (4-70)代入上式,得
(4-71)
22
2
1
2
1
upup
)s i n41(
2
1 22
upp
第六节 有势流动的叠加在工程上常用 无因次压力系数 来表示流体作用在物体上任一点的压力,它的定义为
(4-72)
将式 (4-71)代入上式,
(4-73)
由此可见,沿圆柱体表面的无因次压力系数 Cp既与圆柱体的半径 r0无关,也与无穷远处的速度 u∞和压力 p∞无关,仅 与 θ 角有关 。 这就是在研究理想流体无环量绕流圆柱体的柱面上的压力时,利用这个压力系数的方便所在 。
2
2
1
u
pp
C p
2s in41pC
第六节 有势流动的叠加根据式 (4-73)计算出的理论无因次压力系数曲线如图 4-25
所示 。 应当注意,在计算时,θ角是从前驻点 A起沿顺时针方向增加 。 ① 在 前驻点 A(θ=0° )上,速度等于零,Cp=1,压力达到最大值,pA=p∞+ρu2∞/2。 ② 在垂直于来流方向的 最大截面
D点 (θ=90° )上,速度最大,Cp=-3,压力降到最小值,pD=p∞-
3ρu2∞/2。 ③ 在 后驻点 B(θ=180° )上,速度又等于零,Cp=1，
压力又达到最大值,pB=p∞+ρu2∞/2。 180° ≤θ≤360° 范围内的理论曲线与 0° ≤θ≤180° 范围内的完全一样,即圆柱面上所受的流体压力上下左右都是对称的 。 因此,作用在圆柱面上的压力在各个方向上都 互相平衡,合力等于零 。 这可证明如下：
第六节 有势流动的叠加图 4-25 压力系数沿圆柱面的分布第六节 有势流动的叠加图 4-26 推导理想流体对圆柱体的作用力用图第六节 有势流动的叠加如图 4-26所示,在单位长度的圆柱体上,作用在微元弧段
ds=r0dθ上的微小总压力 dF=pr0dθ,则 dF沿 x和 y轴的分量为
(4-74)
式中的负号是 考虑到当 θ为正值时,dFx和 dFy的方向分别与 x和
y轴的方向相反 。 将式 (4-71)代入以上 二式,并积分,便得到流体作用在圆柱体上的总压力沿 x和 y轴方向的分量为
ds i nd
dc o sd
0
0
prF
prF
y
x
2
0
22
0
2
0
22
0
0ds in)]s in41(
2
1
[
0dc o s)]s in41(
2
1
[
uprFF
uprFF
yL
xD
第六节 有势流动的叠加即理想流体作用在圆柱面上的压力的合力等于零 。 流体作用在圆柱面上的总压力沿 x和 y轴方向的分量,即圆柱面受到的与来流方向平行的和垂直的作用力分别称为流体作用在圆柱体上的阻力 和 升力,并分别用 FD和 FL表示 。 这就是说,当理想流体的均匀直线流无环量地绕流圆柱体时,没有作用在圆柱体上的阻力和升力 。
本 章 小 结一、基本概念：
二、基本定律和基本方程：
三、重要的性质和结论：
