流体力学与流体机械
(八 )
多媒体教学课件李文科 制作第八章 可压缩流体的流动
第一节 热力学的基本参量和定律
第二节 弱扰动波传播的物理过程
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
第六节 完全气体的一维等熵流动
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征
第八节 喷管的计算第八章 可压缩流体的流动
第九节 激 波
第十节 膨 胀 波
第十一节 激波及膨胀波的反射和相交
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体等温流动第八章 可压缩流体的流动流体的可压缩性是流体的固有属性 。
任何真实的流体都是可以压缩的,只是它们的可压缩程度不同而已 。
把流体的密度看作为常数,会使问题得到很大的简化 。
对于可压缩流体而言,密度变化必然伴随着温度的变化,
就是说,在流体流动过程中,其 内能也在发生变化,这时 其机械能将不再守恒,必须 用能量守恒定律来取代机械能守恒定律 。
第一节 热力学的基本参量和定律内 容 提 要
一,比热
二,内能
三,焓
四,熵
五,热力学第一定律的能量方程式第一节 热力学的基本参量和定律一,比热单位质量流体温度变化 1K所需要的热量称为 比热,单位为焦耳 /千克 ·开 。
对于气体而言,如果过程是在等压条件下进行,则称为 等压比热,用 CP表示 ；如果过程是在等容条件下进行,则称为等容比热,用 CV表示 。
从热力学知道,等压比热 CP,等容比热 CV与气体常数 R之间存在着如下的关系
CP=CV+R (8-1)
式中 气体常数 R的 通用值为 R=8314J/kmol·K。 各种不同气体的气体常数值见表 8-1。
第一节 热力学的基本参量和定律气体的等压比热与等容比热的比值叫做 绝热指数,常用 k
表示,即
(8-2)
将式 (8-2)代入式 (8-1)可转化为
(8-3)
(8-4)
k=1.66(如氩气,氦气等 )；
k=1.40(如氧气,空气等 )；
k=1.33(如过热蒸气等 )；
k=1.135。
V
P
C
Ck?
1 k
RC
V
1 k
RkC
P
第一节 热力学的基本参量和定律二,内能宏观静止的流体,因其内部分子的热运动而具有的能量叫做 内能 。 常用符号 e来表示,对于单位质量流体来说,其单位是 焦耳 /千克 。
流体的内能一般包括 内动能 和 内位能 两部分 。
内动能是 温度 的函数,而内位能是 密度 或比容的函数 。
因此说,内能是热力状态的单值函数 。 在一定的热力状态下,
分子有一定的均方根速度和平均间距,也就有一定的内能,而与到达这一状态的路径无关 。 这就是内能作为一个状态参量的 基本性质 。
第一节 热力学的基本参量和定律通常情况下,因气体的热力状态可由两个独立的状态参量决定,所以其 内能也一定是两个独立状态参量的函数,一般可表达为
e=f(T,ρ) (8-5)
对于完全气体,由于其分子之间没有作用力,故分子之间就没有位能 。 这样,完全气体的内能就只是气体分子运动的动能,而不包含内位能了 。 因此,完全气体的内能只是温度的单值函数,而与密度或比容无关,即
e=f(T) (8-6)
由热力学知道,
de=CVdT (8-7)
第一节 热力学的基本参量和定律对于定比热的完全气体,CV=常数,上式积分得
e2-e1=CV(T2-T1) (8-8)
如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,e=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的内能为
e=CVT (8-9)
即 完全气体的内能与热力学温度成正比 。
第一节 热力学的基本参量和定律三,焓在有关热工计算的公式中时常有 e+p/ρ出现,为了简化公式和简化计算,我们 把它定义为 焓,用符号 i表示 。 规定
i=e+p/ρ (8-10)
式 (8-10)就是焓的定义式 。 从式中可以看出 焓 i的单位是 焦耳 /千克 。 式中还可以看出 焓也是一个状态参量 。 在任一平衡状态下,
e,p和 ρ都有一定 的值,因而焓 i也有一定的值,而与到达这一状态的路径无关,即
i=e+p/ρ=f(p,ρ) (8-11)
或 i=f(T,ρ) (8-11a)
第一节 热力学的基本参量和定律同内能一样,完全气体的焓也只是温度的单值函数,而与密度或比容无关 。 因为 i=e+p/ρ,其中 e只是温度的函数,而
p/ρ=RT也只是温度的 函数 。 所以
i=f(T) (8-12)
即,对于完全气体,式 (8-10)可写为
i=e+RT (8-13)
由式 (8-13),焓的变化为
di=de+RdT=CVdT+RdT
=(CV+R)dT=CPdT (8-14)
对于定比热的完全气体,CP=常数,则式 (8-14)积分得：
i2-i1=CP(T2-T1) (8-15)
第一节 热力学的基本参量和定律如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,i=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的焓为
(8-16)
即 完全气体的焓与热力学温度成正比 。
TCi p?
第一节 热力学的基本参量和定律四,熵熵也是一个状态参量,一般用 s表示,其单位是 焦耳 /开,
对于单位质量流体为 焦耳 /千克 ·开 。 对给定的状态,熵有确定的值 。 熵的变化为
(8-17)
式中 是微小过程给定系统单位质量流体得到的热量,T为介质的热力学温度 。
对绝热过程而言,＝ 0，熵的变化为
ds≥0 (8-18)
对于可逆绝热过程而言,ds=0,s=常数,称为 等熵过程 。
T
qsd
q
q
第一节 热力学的基本参量和定律对于等熵过程，有
(8-19)
式中 k为绝热指数,p为流体的压力,ρ为流体的密度。
注意到状态方程 p=ρRT,可得到等熵过程压力 p,密度 ρ和温度 T三者之间 的关系为
(8-20)
式中 p1,ρ1,T1为初态参量,p2,ρ2,T2为终态参量 。
对于不可逆绝热过程,ds＞ 0,过程始末单位质量流体的熵增为
1
1
2
1
2
1
2 )()( k
k
k
T
T
p
p
常数?kp?
第一节 热力学的基本参量和定律
(8-21)
或 (8-21a) )]()l n [ (lnln
)]()l n [ (lnln
2
11
1
1
2
1
2
1
2
12
2
11
1
2
1
2
1
2
12
k
V
k
k
p
T
T
RR
T
T
Css
p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
第一节 热力学的基本参量和定律五,热力学第一定律的能量方程式图 8-1示一开口系统,流体经 Ⅰ -Ⅰ 面流入,经 Ⅱ -Ⅱ 面流出 。
入口截面中心距基准面的几何高度为 z1,流体的静压为 p1,流速为 u1,密度为 ρ1；出口截面中心距基准面的几何高度为 z2，
流体的静压为 p2,流速为 u2,密度为 ρ2。 为单位质量流体在
Ⅰ ～ Ⅱ 两 截面间所得到的热量,为单位质量流体对外界所做的功 。
对于理想流体而言,不存在能量损失,则单位质量流体在两截面间的能量关系为
(8-22)
WeuzgpQeuzgp 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
22
w?
q?
第一节 热力学的基本参量和定律图 8-1 开口系统的能量平衡图第一节 热力学的基本参量和定律对于可压缩流体而言，位能的变化可忽略不计，能量方程式 (8-22)可简化为
(8-23)
当可压缩流体既不向系统外作功，又不从系统外吸热时，
能量方程可进一步简化为
(8-24)
或 (8-24a)
注意到式 (8-10)或 (8-13)，上式可变换为
WeupQeup 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
22
22
22
2
2
22
2
1
11
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
u
RTe
u
RTe
up
e
up
e
第一节 热力学的基本参量和定律
(8-25)
式 (8-25)说明,对于理想的可压缩流体的绝热流动而言,单位质量流体所具有的焓与动能之和保持常量 。
常数 22
2
2
2
2
1
1
uiui
第二节 弱扰动波传播的物理过程内 容 提 要
弱扰动波的传播与流体可压缩性的关系
弱扰动波传播的物理过程
声音传播速度的计算第二节 弱扰动波传播的物理过程在密度有变化的流场中,相邻两点之间的密度差与它们的压力差密切相关 。 密度对压力的变化率是分析可压缩流体流动的一个重要参量 。 我们将会看到,
密度对压力的变化率与声波的传播速度有密切关系,
声波 就是在可压缩流体中传播的弱扰动波,它的传播速度简称 声速,或称 音速 。
为了说明弱扰动波传播的物理过程,让我们观察图 8-2a所示的理想化模型 。
第二节 弱扰动波传播的物理过程图 8-2 弱扰动波传播的物理过程第二节 弱扰动波传播的物理过程设管道的截面积为 A,对控制体写出连续性方程
ρaA=(ρ+dρ)(a-du)A
略去二阶无穷小量,得
ρdu=adρ (8-26)
对控制体建立动量方程,并注意到控制体的体积趋近于零,
其质量力近似为零,且可忽略切应力的作用,于是动量方程可写成
pA-(p+dp)A=ρaA[(a-du)-a]
整理后可得
dp=ρadu (8-27)
由式 (8-26)及式 (8-27),消去 du可得到音速公式第二节 弱扰动波传播的物理过程
(8-28)
由于弱扰动波在传播过程中,流体的密度,压力及温度的变化无限小,且过程进行得很快,因此可以认为这个过程是等熵过程 。 于是音速公式 (8-28)可写成
(8-29)
音速公式 (8-29)无论对气体还是液体都是适用的 。 从式 (8-
29)可以看出,流体 中的音速与其可压缩性密切相关,它表示改变单位密度必须改变的压力值 。 因此,愈难压缩的流体,其中的音速越快；愈易压缩的流体,其中的音速越慢 。
d
d pa?
S
pa )(
第二节 弱扰动波传播的物理过程绝对刚体中声音的传播速度为无穷大 ∞。 实际中的物质都是可以压缩的 。 如常温条件下,纯水中的音速为 a≈1490m/s；
空气中的音速为 a≈343m/s。
对于完全气体的等熵过程,p/ρk=常数,对它进行微分,并考虑到完全气体的状态方程 p=ρRT,可得因此 完全气体的音速公式 可写成
(8-30)
可见,完全气体中的音速是热力学温度的函数 。 它也是一个过
TRkpkp S )(
TRkpka
第二节 弱扰动波传播的物理过程程量,而不是常数 。 就是说,音速 a主要取决于气体的种类 (k，
R)和热力学温度 (T)。
对于空气,k=1.4,R=287.06J/kg·K,代入式 (8-30),得
)/(05.20 smTa?
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征内 容 提 要
弱扰动波在静止流场中的传播特征
弱扰动波在亚音速流场中的传播特征
弱扰动波在超音速流场中的传播特征
马赫数、马赫锥、马赫线及马赫角的概念第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征马赫数 M是体现流场中流体可压缩性大小的重要参量 。 相同马赫数的流场具有相似的流动特征,它们的弹性力相似 。
根据马赫数的大小不同,可 将流场的流动特征分为三类,即
M<1 为亚音速流动；
M=1 为音速流动；
M>1 为超音速流动 。
为了说明亚音速流和超音速流的根本区别,我们首先来讨论均匀来流流场中弱扰动波的传播特征 。
设在静止流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱扰动波将以音速 a向四周传播,如图 8-3a所示 。 若坐标原点取在该扰动源上,则弱扰动波向四周传播的速度可写成 。
ria
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征若在均匀来流速度为 的流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱拢动波仍以速度 a相对于流体向四周传播 。 现以 O点为原点,沿流体流动方向作 x轴,由于流体本身以速度 u∞沿 x轴方向运动,故弱扰动波传播的绝对速度为
。 下面我们就三种情况分别讨论 。
(1)亚音速流动 (M<1)
若均匀来流为亚音速流动,则弱扰动波可以传播到整个流场 。 由图 8-3b可见,在 τ=0时刻,从 O点发出的弱扰动波,在
τ1=Δτ时刻将传播到以 O1为中心 (OO1=u∞Δτ),以 aΔτ为半径的球面上；而在 τ2=2Δτ时刻将传播到以 O2为中心 (OO2=2u∞Δτ),以
2aΔτ为半径的球面上；依此类推 。 因为
iuu
iuia r
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
u∞Δτ<aΔτ,所以在亚音速流动中,随着时间的推移,扰动波总可以传播到整个流场,只不过在逆来流方向上传播得慢些,而在顺来流的方向上传播得快些而已 。
(2)音速流动 (M=1)
流体的流动速度等于音速的流动称为 音速流动 。 若均匀来流为音速流动,即 u∞=a,则弱扰动波只能传播到 x≥0的半空间 。
由图 8-3c可见,由于 u∞Δτ=aΔτ,因此,任何时刻的扰动波都不可能越过 x=0的平面传到上游 。 这时我们可以将 x=0平面左侧的上游区称为,禁讯区,,而下游区称为,扰动区,。
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
(3)超音速流动 (M>1)
若均匀来流为超音速流动,则由 O点发出的弱扰动波,只能沿着气流方向以 O点为顶点,以过 O点的流线为轴线的锥形区域内传播 。 由图 8-3d可见,在 τ=0时刻从 O点发出的弱扰动波,
在 τ1=Δτ时刻将传播到以 O1为中心 (OO1=u∞Δτ),以 aΔτ为半径的球面上；而在 τ2=2Δτ时刻将传播到以 O2为中心 (OO2=2u∞Δτ)，
以 2aΔτ为半径的球面上；依此类推 。 因为 u∞Δτ>aΔτ,所以这些球面的包络面就是以扰动源为顶点的圆锥面,弱扰动波只能在该锥形区域内传播 。 锥的半顶角为 α,它与音速 a及气流的流速
u∞有如下关系
(8-31)
ua?sin
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征通常称此锥为 马赫锥,称锥的半顶角 α 为 马赫角 。
利用马赫数的定义,式 (8-31)可表示为
(8-32)
式中 M∞为来流的马赫数 。 由此可见,对于超音速流动,马赫数与马赫角的正弦互为倒数关系 。 M数愈大,α角越小,M数由 1趋向 ∞,α角由 π/2趋向 0。
对于平面流动,在流动平面上看,图 8-3d中的 OA,OB为两条扰动线,弱扰动波只能在 OA,OB两线之间的区域中传播,
我们把 OA,OB称作 马赫线 。
Mua 1s in?
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征在非均匀流场中,各点的速度,音速及其它物理量的分布是不均匀的,从而各点的马赫数也不相同 。 因此,扰动波的传播方式比在均匀来流中更为复杂 。 就空间流动而言,非均匀流场中的弱扰动波不再以球对称的方式向四周传播,超音速流动中的扰动面也不再是正圆锥面 。 就平面流动而言,马赫线
OA,OB不再是直线 。
由上面的分析可知,超音速流动与亚音速流动在物理上有原则的区别,即在亚音速流动的流场中,弱扰动波可以传播到整个流场,它不存在马赫锥或马赫线；而在超音速流动的流场中,弱扰动波只能在马赫锥中或马赫线间传播 。
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程内 容 提 要
1,连续性方程 2,欧拉运动方程
3,能量方程 4,动量方程
5,气体状态方程 6,等熵过程方程第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程主要包括：连续性方程,运动方程,动量方程,能量方程和状态方程等 。
连续性方程 (3-21)
其微分式为
(8-33)
欧拉运动方程 的微分和积分式分别为
(3-28)
(3-30)
0ddd AAuu
常数
2
d
0dd
d
2u
zg
p
uuzg
p
常数?Au?
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程如果忽略质量力的影响,式 (3-28)和式 (3-30)可写成
(3-29)
(8-34)
理想流体稳定流动的 动量方程 为
(3-46)
一维稳定流的动量方程的微分式可以写成
(8-34)
常数
2
d
0d
d
2up
uu
p
)(
)(
)(
12
12
12
zzz
yyy
xxx
uuQF
uuQF
uuQF
0dd x ARuup
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程完全气体的 状态方程 为
(1-12a)
其微分式为
(8-35)
完全气体的 等熵过程方程式 为
(8-19)
其微分式为
(8-36)
下面我们着重介绍可压缩理想流体在绝热流动条件下,能量方程的几种形式 。
T
T
p
p ddd
dd k
p
p?
RTp
常数?kp?/
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(一 )以焓值和流速表述的能量方程由第一节可知,可压缩的理想流体既不向系统外做功,又不从系统外吸热,并且忽略位能变化的影响时,其能量方程式为 (8-25)
或
(8-25a)
这个方程 既适用于可逆过程,也适用于不可逆过程 。 式 (8-25)
表明,单位质量流体具有的焓与动能之和保持常数 。 流体的速度增加时,焓值下降；流体的速度减小时,焓值增加 。
0
2
2
2
2
1
1
2
22
2
i
u
i
u
i
u
i
常数第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程当流体的速度 u=0时,其焓值称为 滞止焓,或称为 总焓,
用 i0表示； 与流速 u相对应的焓值称为 静焓,用 i表示 。 显然 i<i0。
由式 (8-25)可以看出,当流体的总焓 i0和静焓 i为已知时,就可以计算出与静焓 i相对应的流体速度,
如气流经管咀流出时,由于管咀很短,气流速度很大,可近似按等熵过程处理 。 只要根据焓 —熵图表查出某流体的总焓 i0和静焓 i,就可计算出气流 的流出速度 。
)(2 0 iiu
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(二 )以温度和流速表述的能量方程若以热力学零度为基准,则在 TK温度条件下的完全气体的焓值为 i=CPT (8-16)
将式 (8-16)代入式 (8-25),便可得到以温度和流速表述的能量方程
(8-37)
或者 (8-37a)
将等压比热 CP=kR/(k－ 1)代入以上两式得
0
2
2
2
2
1
1
2
22
2
TC
u
TC
u
TC
u
TC
ppp
p
常数第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(8-38)
或者 (8-38a)
式 (8-37)和式 (8-38)体现了流体的温度和流速间的相互转换关系 。 流体的流速增加时,其温度降低；流体的速度减小时,
其温度升高 。
流体的速度 u=0时的温度称为 滞止温度 或 总温,用 T0表示；
流速 u>0时的温度称为 静温,用 T表示 。 引入总温 T0后,式 (8-
37)可写 成
(8-39)
0
2
2
2
2
1
1 12121 TRk
kuTR
k
kuTR
k
k
pC
uTT
2
2
0
常数 21
2u
TRk k
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程式 (8-39)表明,当可压缩流体遇到固体障碍物时 (如图 8-5所示 )，
其滞止部位的温度 T0与流体的温度 T间的差值随流体流速的增加而增大 。 很显然,用普通的温度计或测温仪是不可能准确测出高速气流的真实温度的 。
当气流进行等熵运动时,其总温 T0和总压 p0是不变的,如果测得气流的静压 p,就可以计算出气流的静温 T,即当气流的马赫数不大,精度要求又不太高时,可用普通测温仪测量气体的温度,再用下式计算气流的静温 。
k
k
p
pTT 1
0
0 )(
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程式中 Tm为测温仪测出的气体温度； T0为气体的总温； T为气流的静温； η为修正系数,一般取 η=0.8～ 0.9。
图 8-5 气流冲击障碍物
TT TT m
0
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(三 )以音速和流速表述的能量方程第二节我们已经推导了音速与气流温度之间的关系式,即对于完全气体有
(8-30)
将上式代入式 (8-38)可得到以音速和流速表述的能量方程
(8-40)
或者 (8-40a)
式 (8-40)表明,随着流体流速的增加,其音速减小；随着流体流速的减小,其音速增加 。
TRka?
常数 21
22 u
k
a
12121
2
0
2
2
2
2
2
1
2
1
k
au
k
au
k
a
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程流速 u=0时的音速称为 滞止音速,用 a0表示；音速 a=0时
(相当于流体流入绝对真空,这时气流的压力,密度和热力学温度均降为零 )的气流速度称为 极限速度,用 umax表示,它是理论上的最大速度,实际上是得不到的,因为气体降到热力学零度以前早已液化了,umax是用来作为一个重要的参考速度 。
将 a0和 umax代入式 (8-40),得所以极限速度为
(8-41)
21
2
m a x
2
0 u
k
a?
1
2
1
2 0
0m a x k
TRk
kau
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程有了滞止音速和极限速度的概念后,能量方程式 (8-40)还可写为另一种形式 。 将 a0和 umax代入式 (8-40),得将上式各项分别用 a02／ (k-1)或 umax2/2去除,整理后得到
(8-42)
式 (8-42)是能量方程式 (8-40)的另一种形式 。 它是一个椭圆方程,
所以 通常称它为可压缩流的 绝热椭圆,其图形如图 8-6所示 。
2211
2
m a x
222
0 uu
k
a
k
a
1)()( 2
m a x
2
0
u uaa
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程椭圆与纵轴交于 a0,与横轴交于 umax。 在 A点上 u=a,马赫数 M=1,称为临界状态,习惯上临界状态下的参量注以下标
,*” 号,如临界速度 u*,临界压力 p*等 。 显然 u*=a*。 A点以左的区域为亚音速区,A
点以右的区域为超音速区 。
从图中还可看出,在超音速区内,音速下降很快,
马赫数 M增加也很快 。
图 8-6 可压缩流绝热椭圆第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(四 ) 以压力,密度和流速表述的能量方程利用状态方程 p=ρRT,自式 (8-38)可以得到
(8-43)
或者
(8-43a)
式 (8-43)就是以压力,密度和流速表述的能量方程 。
当流体的流速 u=0时的压力称为 滞止压力,或称 总压,用
p0表示,对应条件下流体的密度称为 滞止密度,用 ρ0表示；与流速 u相对应的流体压力称为 静压,用 p表示 。 可压缩流体的滞止压力和静压力都是指 绝对压力 。
0
0
2
2
2
2
2
1
1
1
12121
p
k
kup
k
kup
k
k
常数 21
2up
k
k
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程再次强调指出,以上我们讨论的可压缩理想流体在绝热条件下稳定流动的能量方程的四种形式,对于等熵流动和非等熵的绝热流动都是适用的 。 有趣的是,在等熵流动的条件下,将等熵过程方程式 p/ρk=常数代入欧拉运动方程式 (8-34),经过变换也可得到上述四种形式的能量方程 。 但是在非等熵流动的条件,运用欧拉运动方程积分是不能得到上述讨论的结果的 。 这说明,我们 以上所介绍的几大基本方程之间并非都是独立的,
在某些特定条件下,有些方程 (如运动方程和能量方程等 )有可能是等价的,使用中应注意选择 。 一般情况下独立的基本方程只有四个 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异内 容 提 要
一,不同马赫数下，流体密度随流速的变化关系
二,不同马赫数下，流体流速随管道截面积的变化关系
三,不同马赫数下，流体密度随管道截面积的变化关系
四,不同马赫数下，流体静压、静温随管道截面积的变化关系第五节 亚音速流动与超音速流动的差异一,不同马赫数下,流体密度随流速的变化关系由音速公式 (8-28)可得
dp=a2dρ (8-47)
在过程可逆的条件下,欧拉运动微分方程 (3-29)可写成
dp=-ρudu (8-48)
联立式 (8-47)和式 (8-48)，
a2dρ=-ρudu
或者
(8-49)
式 (8-49)给出了在不同马赫数 M下,流体的密度与速度间的变化特征 。
u
uM
u
u
a
u ddd 2
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异因 M数不同,流体的密度依变于速度的变化率有很大差异 。
式 (8-49)等号右侧的 负号 表示流速的变化方向与密度的变化方向相反,即流速增加时,流体的密度减小；流速减小时,流体的密度增加 。
(1)对于亚音速流动,M<1,流体密度的变化率 dρ/ρ小于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|<|du/u|。 当 M<0.3时,可忽略流动过程中流体密度的变化,按不可压缩流体的流动来处理 。
(2)对于超音速流动,M>1,流体密度的变化率 dρ/ρ大于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|>|du/u|。 这时流体的体积膨胀起主导作用 。 要使超音速气流进一步加速,就必须创造条件使流体得到进一步的充分膨胀 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(3)对于临界状态下的音速流动,M=1,流体密度的变化率
dρ/ρ等于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|=|du/u|。
二,不同马赫数下,流体流速随管道截面积的变化关系将式 (8-49)代入连续性方程式 (8-33),消去 dρ/ρ,整理后得到
(8-50)
由这个关系式可以看出：
(1)对于亚音速流动,M<1,(M2-1)<0,式 (8-50)等号的两侧具有相反的符号 。 因此,随着管道截面的增加,流体的速度将降低；随着管道截面的减小,流体的速度将增大 。
A
A
u
uM dd)1( 2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异亚音速流动的这一特性与不可压缩流体的流动规律相似 。
由式 (8-50)还可以看出,对于亚音速流动,其流速的变化率
du/u大于管截面的变化率 dA/A。
(2)对于超音速流动,M>1,(M2-1)>0,式 (8-50)等号两侧具有相同的符号 。 因此,随着管道截面的增加,流体的速度将增大；随着管道截面的减小,流体的速度将降低 。 就是说,
超音速气流在收缩形管道内流动时,其流速将逐渐降低；而在扩张形管道内流动时,其流速将逐渐增加 。 超音速流动的这一特性与亚音速流动恰恰相反,其 内在原因 在于,在马赫数 M>1
的条件下,流体密度的变化率 dρ/ρ将大于其管道截面的变化率
dA/A。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(3)对于音速流动,M=1,由式 (8-50)可知
dA/A=0
可见,在变截面管道中,音速流动只能发生在 dA=0的截面上 。 dA=0的截面可能是最小截面,也可能是最大截面,现在要说明的是,音速流动只可能发生在最小截面处 。 因为具有最小截面的管道是具有喉部的管道,若喉部前为亚音速流,
则随着管道截面的逐渐收缩,气流将逐渐加速,这样才有可能增加到音速；若喉部前为超音速流,随着管道截面的逐渐收缩,
气流将逐渐减速,这样才有可能减小到音速 。 而在最大截面处之前若为亚音速流,则随管道截面的逐渐增加,气流将逐渐减速,这样不可能达到音速；若在最大截面处之前为超音速第五节 亚音速流动与超音速流动的差异流,则随管道截面的逐渐增加,气流将逐渐加速,这样也不可能达到音速 。 因此,在变截面管道中,音速流动只可能发生在喉部 (最小截面处 )。
三,不同马赫数下,流体密度随管道截面积的变化关系联立式 (8-49)和式 (8-50),消去 du/u,整理后得到
(8-51)
上式表述了不同 M数下流体密度 ρ 随管道截面积 A的变化关系 。
(1)对于亚音速流动,M<1,(1-M2)/M2>0,式 (8-51)等号的两侧具有相同的符号,即流体密度的变化与管道截面的变化具有相同的方向 。 就是说,随着管道截面的增加,流体的
A
A
M
M dd1
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异密度将增大,流体的体积受到压缩；随着管道截面的减小,流体的密度将减小,流体的体积得到膨胀 。
(2)对于超音速流动,M>1,(1－ M2)/M2<0,式 (8-51)等号的两侧具有相反的符号,即流体密度的变化方向与管道截面的变化方向相反 。 这就是说,随着管道截面的增加,流体的密度将减小,流体的体积得到膨胀；随着管道截面的减小,
流体的密度将增大,流体的体积受到压缩 。
由式 (8-51)看出,对于超音速流动来说,|(1－ M2)/M2|<1，
这说明流体密度的变化率 dρ/ρ大于管道截面的变化率 dA/A。
即 超音速气流在扩张形管道中流动时,其气流的体积膨胀率将大于管道截面的增长率,最终使气流进一步膨胀加第五节 亚音速流动与超音速流动的差异速；反之,当超音速气流在收缩形管道中流动时,其气流的体积收缩率将大于管道截面的收缩率,最终使气流减速 。
四,不同马赫数下,流体静压,静温随管道截面积的变化关系将等熵过程方程式和气体状态方程式的微分式 (8-36)和式
(8-35)分别代入式 (8-51),经整理 后得到
(8-52)
式 (8-52)表述了不同 M数下,流体的静压,静温随管道截面的变化关系 。
A
A
T
T
Mk
M
p
p
Mk
M dd
)1(
1d1
2
2
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(1)对于亚音速流动,M<1,(1－ M2)/kM2>0,(1－ M2)/(k
－ 1)M2>0,式 (8-52)等号的两侧具有相同的符号,即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相同 。 因此,
随着管道截面的增加,流体的静压力和温度将升高；随着管道截面的减小,流体的静压力和温度将降低 。 就是说,亚音速流动的流体通过收缩形管道时,其静压力和温度是逐渐降低的,而流速是逐渐增大的 。 反之,亚音速流动的流体通过扩张形管道时,其静压力和温度逐渐升高,而流速逐渐降低 。
(2)对于超音速流动,M>1,(1－ M2)/kM2<0,(1－ M2)/(k
－ 1)M2<0,式 (8-52)等号的两侧具有相反的符号,即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相反 。 因此,
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异随着管道截面的增加,流体的静压力和温度将降低；随着管道截面的减小,流体的静压力和温度将升高 。 就是说,超音速流动的流体通过收缩形管道时,其静压力和温度将逐渐升高,
而流速则逐渐降低；超音速流动的流体通过扩张形管道时,其静压力和温度将逐渐降低,而流速则逐渐增大 。
通过上述分析,得出这样的 结论,在等熵流动的条件下,
要想获得超音速气流,必须具备 两个条件,第一,气流的上下游必须具有足够的压力差,即压力能的储备要足够大才有可能转化为较大的动能,以得到超音速气流； 第二,必须采用先收缩再扩张形的喷管,使亚音速气流在收缩段内加速至喉部达到音速,再经扩张段进一步膨胀加速而获得超音速 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异这种 具有喉部的收缩 ——扩张形喷管又称为 拉瓦尔喷管 。 它是以瑞典工程师拉瓦尔 (De Laval)而命名的 。 拉瓦尔喷管是获得超音速气流的主要装置,在近代工程技术上得到广泛的应用 。
为了便于比较,我们将等熵流动条件下,亚音速流动与超音速流动的主要物理差异,即主要流动参量沿程的变化规律列入表 8-2中 。
由表 8-2可以看出,具有足够压力能的完全气体,经拉瓦尔喷管等熵流动时,其流速和马赫数是逐渐增大的,而气流的静压力,温度,密度和音速是逐渐减小的 。 这体现了气流的焓降逐渐地转化为动能 。 气流的各个参量沿拉瓦尔喷管的变化曲线如图 8-7所示 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异表 8-2 一维等熵气流各参量沿程的变化趋势管段类型 M<1 M>1
渐缩管流速 u↑ 音速 a↓
静压 p↓ 马赫数 M↑
静温 T↓ 焓值 i↓
密度 ρ↓
流速 u↓ 音速 a↑
静压 p↑ 马赫数 M↓
静温 T↑ 焓值 i↑
密度 ρ↑
扩张管流速 u↓ 音速 a↑
静压 p↑ 马赫数 M↓
静温 T↑ 焓值 i↑
密度 ρ↑
流速 u↑ 音速 a↓
静压 p↓ 马赫数 M↑
静温 T↓ 焓值 i↓
密度 ρ↓
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异图 8-7 气流参量沿拉瓦尔喷管的变化第六节 完全气体的一维等熵流动内 容 提 要
一,流动参量与滞止参量间的关系
二,临界参量与滞止参量间的关系
三,流管有效截面与临界截面间的关系
四,无因次速度 Λ
五,完全气体一维流动的流速及流量的计算
(一 ) 流速的计算 (二 ) 流量的计算
(三 ) 低马赫数下流速的测量第六节 完全气体的一维等熵流动一,流动参量与滞止参量间的关系滞止参量 定义为气流速度为零条件下的参量 。 气体进行等熵流动时,其滞止参量是不变的 。 只要测出运动气体在某一截面上的流动参量,便可根据等熵流基本方程求得滞止参量 。
(1) 静温 T与滞止温度 T0间的关系对于完全气体的绝热流而言,不管流动是否等熵,其滞止温度 T0是不随过程而变化的 。
根据能量方程并注意到 CP=kR/(k－ 1)，,则可得到
0
2
2 TC
uTC
PP
TRka?
第六节 完全气体的一维等熵流动所以
(8-53)
上式表明,只要测得等熵流任一截面上的马赫数 M及其相应的静温 T,就可计算出气流的滞止温度 T0。
等熵流任意两截面上静温间的关系可表示为
(8-54)
需要说明的是，式 (8-53)和式 (8-54)既适用于等熵过程，也适用于非等熵的绝热过程。
2
2
2
0
2
11
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Mk
M
k
M
k
TT
TT
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T
第六节 完全气体的一维等熵流动
(2) 静压 p与滞止压力 p0间的关系根据等熵过程压力 p,密度 ρ和温度 T间的关系式
(8-20)
得将式 (8-53)代入上式得
(8-55)
等熵流任意两截面上静压间的关系为
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1
1
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1
2
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2
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k
k
k
k
k
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T
p
p
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T
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p
120 )
2
11( k kMk
p
p
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-56)
式 (8-55)和式 (8-56)在推导过程中,都应用了等熵过程的条件
(8-20),因此它们 只适用于等熵过程 。
(3)密度 ρ 与滞止密度 ρ 0间的关系已知等熵过程密度和温度间的关系为将式 (8-53)代入上式得
1
2
2
2
11
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k
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p
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T
T
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-57)
等熵流任意两截面上流体密度间的关系为
(8-58)
式 (8-57)和式 (8-58)只 适用于等熵过程。
(4)音速 a与滞止音速 a0间的关系因为音速,滞止音速,所以
(8-59)
1
1
2
2
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Mk
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T
T
TRk
TRk
a
a
第六节 完全气体的一维等熵流动对于完全气体一维稳定流动,任意两流动截面上音速的关系为
(8-60)
通过以上分析可以发现,完全气体在等熵流动过程中,其压力 p,温度 T和密度 ρ三者都随马赫数 M的变化而变化,但压力 p随马赫数 M的变化最快,而温度 T随马赫数 M的变化最慢 。
2
1
2
2
2
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Mk
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第六节 完全气体的一维等熵流动二,临界参量与滞止参量间的关系临界参量 定义为马赫数 M=1条件下的气流参量 。 临界条件下的气流速度 u*等于临界音速 a*,即 u*=a*。
根据能量方程 (8-40)可得所以
(8-61)
式 (8-61)表明,完全气体的临界速度 u*(或临界音速 a*)除与气体的种类有关外,仅取决于气体的滞止温度 T0,而与气体的滞止压力无关 。
1
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ku
k
a
k
a
第六节 完全气体的一维等熵流动临界参量与滞止参量间的关系可由式 (8-53),(8-55),(8-
57)和式 (8-59)直接导出,只要令 M=1,即可得到上式表明,临界参量与滞止参量间的比值关系只与气体的绝热指数 k有关,k值给定 后,临界参量与滞止参量之比为一定值 。
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1
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k
T
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kk
k
k
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动单原子,双原子和多原子气体的临界参量比列于表 8-3中 。
完全气体经拉瓦尔喷管等熵流动时,获得超音速流的压力条件为式中 pe为喷管出口处的静压,一般情况下它应与喷管外介质的压力 pb相平衡,即 pe=pb。
1
0
*
0
)12( k
k
e
kp
p
p
p
第六节 完全气体的一维等熵流动三,流管 (喷管 )有效截面与临界截面间的关系获得超音速流必须采用先收缩后扩张形的拉瓦尔喷管 。 拉瓦尔喷管的截面变化与马赫数 M互为联系 。 借助一维稳定流动的连续性方程
ρuA=ρ*u*A*=常数可以导出流管 (喷管 )有效截面的变化与马赫数 M之间的依变关系,即
(a)
注意到
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1
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kT
T
第六节 完全气体的一维等熵流动代入式 (a),得
(8-66)
图 8-8 截面比与马赫数的关系曲线
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k
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第六节 完全气体的一维等熵流动对于流管任意两截面的面积之比与相应 M数之间的关系为
(8-67)
一般在工程计算中,首先给出的条件常常是压力比 p/p0，
利用连续性方程也很容易导出有效截面比与压力比的关系 。
根据一维稳定流动的连续性方程,得已知
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第六节 完全气体的一维等熵流动由能量方程可得到
(8-78)
将以上四式代入式 (b),整理后得到
(8-68)
式 (8-68)为有效截面比与压力比的关系式 。 由该式可以看出,
当压力比 p/p0给定时,其有效截面比 A/A*也 就确定了 。
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第六节 完全气体的一维等熵流动四,无因次速度 Λ
在以上我们所导出的一些公式中,都是以马赫数 M作为无因次自变量,这虽然大大地简化了问题,但也有它的 不足之处,
即,(1)随着管道截面的变化,截面上的气流速度 u与当地条件下的音速 a都发生变化,因而 M数的变化是由 u和 a二者的变化共同决定的,这就使得 M数的计算比较复杂； (2)当管道中气流的速度非常高时,因气流温度的降低而使音速减小,故 M数非常大,以致趋于无穷 。 为了避免上述缺点,引用无因次速度 Λ
会更加方便 。 Λ的定义 为
(8-69)
*a
u
第六节 完全气体的一维等熵流动式中 u是任意截面上的气流速度； a*为临界状态下的音速,它只是滞止温度 T0的函数,而与流速无关 。 对于一确定的变截面管道内完全气体的绝热流动来说,a*是不变的 。
无因次速度 Λ与马赫数 M间的关系可按下式导出
(8-70)
或
(8-71)
图 8-9绘出了式 (8-70)所表示的曲线 。 由图中的曲线可以看出,Λ与 M之间具有一一对应 的关系,即
2
2
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*
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a
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2
kkM
第六节 完全气体的一维等熵流动
M=0时,Λ=0； M<1时,Λ<1,且 Λ>M；
M=1时,Λ=1； M>1时,Λ>1,且 Λ<M；
M=∞时,Λ= 。
图 8-9 无因次速度 Λ 与马赫数 M的关系曲线 (k=1.4)
1
1
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动引入无因次速度 Λ后,我们可将各流动参量与滞止参量间的比值关系表示成以 Λ为自变量的无因次函数式 。 将式 (8-71)
分别代入式 (8-53),(8-55),(8-57),(8-59)和 (8-66),即可得到
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第六节 完全气体的一维等熵流动五,完全气体一维流动的流速及流量的计算
(一 )流速的计算由能量方程 (8-25)得则完全气体一维绝热流动的流速为
(8-77)
对于等熵过程有,并注意到状态方程 p/ρ=RT，
代入式 (8-77),得
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T
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)(
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-78)
或 (8-78a)
注意到,所以,以上三式也可写成无因次方程的形式,即
(8-79)
由式 (8-78)或 (8-78a)可以看出,可压缩流体的流动速度取决于上下游流体的压力比 p/p0,而不可压缩流体的流动速度则取决于上下游流体的压力差 p0-p=Δp,计算时要引起注意 。
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u 1
00m a x
)(11
第六节 完全气体的一维等熵流动如果已知的条件不是滞止条件,而是流体具有一定速度的流动条件,这时流体的流速公式同样可由能量方程推得,结果为
(8-80)
或
(8-80a)
式中 p1,T1,ρ1和 u1为 1截面上的流动参量； p2,T2,ρ2和 u2为 2
截面上的 流动参量 。
2
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1
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2 u
p
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1
1
2 ])(1[1
2 u
p
pp
k
ku kk
第六节 完全气体的一维等熵流动
(二 )流量的计算根据连续性方程 G=ρuA(注：为了与马赫数的符号 M区别起见,自本章起流体的质量流量用符号 G表示 ),并注意到便可得到完全气体一维等熵流动的质量流量计算公式
(8-81)
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k
k
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k
k
k
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p
p
p
p
p
k
k
A
p
pp
k
k
p
p
AAuG
第六节 完全气体的一维等熵流动式 (8-81)表明,一维等熵流动的流体的质量流量 G是压力比 p/p0
的函数,即当气流的滞止参量和管道截面积 A给定后,质量流量 G只与该截面上的压力比 p/p0有关 。
质量流量 G与流动马赫数 M之间 的函数关系,也可通过连续性方程导出 。 已知
(8-82)
代入一维连续性方程,整理后得到
(8-83)
2
1
2
0
02
1
2
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1
1
2
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2
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1(
M
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M
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k
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2
00 )2
11( kkMkMpkAG?
第六节 完全气体的一维等熵流动或
(8-83a)
式 (8-83)和式 (8-83a)就是一维等熵流的质量流量 G依变于马赫数 M的函数关系式 。 当气流的滞止参量和管道截面积给定后,
流体的质量流量只随该截面上的马赫数而变化 。
如果令 (8-84)
(8-85)
则式 (8-83a)可以 写成以下形式
(8-86)
)1(2
1
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k
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k
m
)(
0
0 Mq
T
pAmG?
第六节 完全气体的一维等熵流动对于给定的气体,m=常数 。 常用气体的常数 m值列于表 8-4中 。
比较式 (8-85)和式 (8-66),可以发现
(8-87)
q(M)值由等熵流函数表可以查得 。
如果用无因次速度 Λ代替马赫数 M,由式 (8-83a)可得质量流量的又一种表达形式 (8-88)
其中
(8-89)
以上所导出的流量计算公式,对于任意截面上的亚音速流动或超音速流动都适用 。
A
AMq *)(?
1
12
*
0
0
]
2
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)(
k
kk
A
A
q
q
T
pA
mG
第六节 完全气体的一维等熵流动在流体的滞止参量给定不变的情况下,随管道上下游压力比 pb/p0的降低,管中气流速度和质量流量将不断增大,当流动达到临界状态时,流体的质量流量将达到最大值 。 它不再随管道上下游压力比 pb/p0的降低而改变,这种现象称为 壅塞现象 。 现可简单证明如下：
根据式 (8-83)或式 (8-83a),令 dG/dM=0,可 得由此解出 M=1,即在流速等于音速的临界状态下,流体的质量流量最大 。 在式 (8-83)中只要令 M=1,并注意到 A=A*,即可得到最大的质量流量为
0)2 11(2 11 122MkMk
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-92)
或
(8-92a)
式 (8-92)为超临界状态下流体的质量流量计算公式 。 该公式也可由连续性方程 G=ρ*u*A*直接 得到 。
(三 )低马赫数下流速的测量对于流速较高,压力变化较大的可压缩流体,如果要用测得的流体的全压 p0和静压 p,并根据伯努利方程按不可压缩流体来计算其流速时,将会带来较大的误差 。 因此,当用毕托管等测量可压缩流体的总压和静压后,要根据伯努利方程来近似计算低马赫数流动流体的流速时,就必须进行必要的修正 。
0
0*
0
0*)1(2
1
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1
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k
G
k
k
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动显然,对于不可压缩流体,有
(8-93)
而对于可压缩流体用二项式定理展开上式,得则 (8-94)
pppu 2)(2 0
120 )
2
11( k kMk
p
p
6420 )2(48821 MkkMkMkpp
)24241(21 4
2
2
0
MkMMpkpp
第六节 完全气体的一维等熵流动又因为 (8-95)
则式 (8-94)可写成
(8-96)
由式 (8-96)可写出可压缩流体低马赫数流动的速度公式
(8-97)
由式 (8-95)可以看出,马赫数 M越大,其修正系数 ε之值越高 。
因此,若按不可压缩流体的速度公式 (8-93)来计算可压缩流体的流速时,将会产生很大 的误差 。
2
0 2
1 upp
4
2
2
2
2
24
2
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1
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2
1
M
kM
u
TRk
u
TRkMpk
pppu 2)(2 0
第六节 完全气体的一维等熵流动当 k=1.4时,
(8-98)
图 8-10绘出了 (8-98)的计算结果 。 同时为了计算方便起见,
将式 (8-98)所表示的 ε与 M数的关系列于表 8-5中 。
图 8-10 修正系数 ε 随马赫数 M的变化曲线 (k=1.4)
4041
42 MM
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征内 容 提 要
喷管各截面上流动参量的变化规律
壅塞现象第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征图 8-11a所示的为收缩形喷管,它连通着两个具有不同压力的空间,喷管进口前的压力为 p0(滞止压力 ),喷管出口后的压力为 pb,通常称作背压 。 我们以 pe表示喷管出口截面上的压力 。 若已知喷管截面的变化规律及流体的滞止状态参量 p0，
T0,ρ0和背压 pb,则由上节所讨论的公式不难确定整个喷管各截面上的各种流动参量 。 图 8-11b,c中的曲线,表示在不同的背压条件下管内压力分布曲线和流体流动速度 (M数 )的分布曲线 。
若 pb/p0=1,则喷管中的压力为常数,如图中曲线,Ⅰ,所示,此时管内并无流体流动,各截面上的马赫数都为零 。 若背压 pb稍有下降,则喷管内将有流体流过,喷管各截面上第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征图 8-11 收缩形喷管工作特性第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征的压力和马赫数都随之发生变化 。
利用式 (8-55),由 p0/pb可求出喷管出口马赫数 Mb,即
(8-99)
利用式 (8-83),由 Mb可求出质量流量 G,即
(8-100)
质量流量 G对于 pb/p0的变化曲线如图 8-11d所示 。
喷管中各截面上的马赫数 M可由式 (8-67)得到
(8-101)
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1
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00 )2
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M
M
M
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M
k
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M
A
A
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征喷管中 M对 A/Ab的分布曲线如图 8-11c所示 。
喷管中各 截面上的压力 p的分布可由式 (8-55)与式 (8-101)中的 M解得 。 p/p0对于 A/Ab的分布曲线如图 8-11b所示 。
显然,背压 pb越低,管中同一截面上的压力越低,马赫数越大,且喷管中通过的流量越大 。 在出口流速达到音速之前,
上述曲线只有数值上的差别而无本质区别 。 而且出口的压力 pe
与背压 pb相等 。 如图 8-11b,c中的,Ⅱ,及,Ⅲ,线所示 。
但是,当 背压 pb下降到一定的程度时,出口流速达到音速,
此时喷管流量达到最大值 。 我们已知,音速流动只能发生在喷管 的 最 小 截 面 处,故 此 时 喷 管 出 口 处 为 临 界 状 态,
ue=u*=a*,pb/p0=pe/p0=p*/p0= 。 若背压 pb/p0继续 下降,
1)
1
2(?
k
k
k
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征则 出口压力 pe/p0=p*/p0不会改变,但 pb/p0<pe/p0。 而管中的压力分布及马赫数分布仍如图 8-11b,c中的,Ⅳ,线所示,流体的质量流量 G保持为常数 。 这种现象则为前面所说的 壅塞现象,
即通过喷管的质量流量是有限制的,这正是可压缩流体在收缩形喷管中流动的重要特性之一 。
第八节 喷管的计算内 容 提 要
一,拉瓦尔喷管的计算
(一 ) 一般计算法
(二 ) 焓 —熵图计算法
(三 ) 气体等熵流函数表计算法
二,收缩形喷管的计算第八节 喷管的计算喷管的计算分两种情况,设计计算 和 校核计算 。
设计计算,是在已知气体的 原始参量和气体流出后的参量的情况下,根据要求的流量,计算喷管的结构尺寸,主要有临界截面积 A*,喷管的出口截面积 Ae,喷管各段的长度 (收缩段长度 Lc和扩张段长度 Ld)等 。
校核计算,是在已知喷管几何尺寸和压力比的情况,计算喷管的临界流速,出口流速和质量流量 。
在喷管计算时,因容器 中 (或气罐内 )气体的流速相对于气体出流速度很小,可近似认为 u0=0,且不考虑喷管中的阻力损失 。
第八节 喷管的计算一,拉瓦尔喷管的计算拉瓦尔喷管的计算方法一般有三种,即 一般计算法,焓 —
熵图计算法 和 气体等熵流函数表计算法,下面分别介绍 。
(一 )一般计算法
1.喷管中的气流速度：
气体经喷管出口处的流速，按式 (8-78)计算，即临界速度按式 (8-61)计算，即出口速度与临界速度之比为
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1
0
0
k
k
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e p
pRT
k
ku
1
2 0
* k
k R Tu
第八节 喷管的计算
(8-102)
可见,当气体的种类一定时,比值 ue/u*仅随压力比 pe/p0而变 。 其变化数值列于一维等熵流函数表中 。 在工程实际中,为防止压力波动带来的影响,一般应使出口压力 pe略大于外界环境压力 pb。
2.喷管中气体的流量：
喷管中气体的流量,对于设计计算 为已知量；对于校核计算为应计算的量 。 若喷管出口截面积为 Ae,则出口处气体的质量流量可按式 (8-81)计算,即
])(1[11
1
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k
k
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p
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k
u
u
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1
0
2
0
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k
k
eke
e p
p
p
pp
k
kAG
第八节 喷管的计算
3.喷管的截面积：
喷管出口截面积可按式 (8-81)计算,即
(8-103)
喷管的临界截面积可按 式 (8-92)计算,即
(8-104)
将给定气体的 k及 R之值代入上式,得简化式为对于空气
(8-104a)
])()[(
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0
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k
k
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p
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1
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k
k
k
k
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744.2446.1
p
TG
p
GA
第八节 喷管的计算对于氧气
(8-104b)
4.出口马赫数：
喷管的出口马赫数 Me可按式 (8-99)计算,即
(8-105)
或按马赫数的定义式计算,即
5.扩张段和收缩段长度：
由实验测得扩张段的扩张角取 β=6° ～ 8° 为宜,则扩张段的长度为
0
0
00
*
57.2346.1
p
TG
p
GA
]1)[(12
1
0?
k
k
e
e p
p
kM
e
e
e
e
e k R T
u
a
uM
第八节 喷管的计算
(8-106)
式中 de为喷管出口直径,d*为临界截面直径 。
确定收缩段长度的方法有两种：
(1)由实验测得收缩段的收缩角取 α=30～ 45° 为宜,则收缩段的长度为
(8-107)
式中 d0为气体导管直径。
(2)取收缩段曲率半径 R等于临界直径 d*的三倍作图，即
R=3d*，圆心在临界直径的延长线上，见图 8-12。
2
tg2
*
ddL e
d
2
tg2
*0
ddL
c
第八节 喷管的计算图 8-12 拉瓦尔喷管各主要尺寸在上述喷管的计算中,没有考虑摩擦损失,但实际气体是有粘性的,气体在喷管中流动时必然会产生摩擦阻力损失,因此对上述计算中的流速和截面积应该进行修正 。
在考虑摩擦损失的情况下,实际流速为
us=φu (8-108)
第八节 喷管的计算式中 φ为速度系数,对于可压缩流体,由实验确定其值为 φ=
0.96～ 0.99。
同样可得喷管实际截面积为
As=A/φ (8-109)
另外,对于实际气体,由于粘性内摩擦的作用,其理论上的临界流速并非出现在喷管的临界截面上,而是在临界截面的下游 。 再者,为了减弱喷管收缩段向扩张段的突变,减小局部阻力,一般临界截面需要保留少许等直径段,如图 8-12所示 。
等直径段的长度一般取 δ=(0.5～ 1.0)d*。
第八节 喷管的计算
(二 )焓 —熵图计算法可压缩流体在绝热膨胀时,流体的压力,密度,内能和速度均有变化,但在流动的任意截面上,其总能量是相等的 。 应用绝热过程的能量方程式即可求得喷管中任意截面的气流速度
u,若 u0=0,根据式 (8-25)可得即 (8-110)
根据连续性方程可求得喷管中任意截面的面积 A,即
G=ρuA
所以 (8-111)
)(2
2
0
2
0
iiu
u
ii
)(2 0 ii
G
u
GA
第八节 喷管的计算根据式 (8-16)和式 (8-3)及式 (8-30)可求得喷管中任意截面上的音速 a,即所以 (8-112)
应用式 (8-110)和式 (8-112)可求得喷管中任意截面上的马赫数 M,即
(8-113)
可压缩流体的焓值 i可由其相应的焓 — 熵图中查得 。 氧气的 i值可由图 8-13中查 得 。
ika
k
a
T
k
Rk
TCi P
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11
2
)1(12
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)(2 00?
i
i
kik
ii
a
uM
第八节 喷管的计算
(三 )气体等熵流函数表计算法为了简便而又准确地计算超音速喷管,可采用气体等熵流函数表,在已知 p/p0的 条件下,查出各参量的比值和截面比,
即可确定喷管的出口参量和截面尺寸 。
第八节 喷管的计算二,收缩形喷管的计算当气流出口压力比等于或大于临界压力比,即
,一般都采用收缩形喷管,这种条件下的气流出口速度只能达到音速或亚音速,故称这种收缩形喷管为音速喷管或亚音速喷管 。 这类喷管的关键几何参量是喷管出口截面积,因此,设计收缩形喷管,主要是确定喷管的出口截面积 。 收缩段的收缩角一般取 30° ～ 45°,收缩段的长度应根据输气管的内径确定 。 有时为了改进气流特性,收缩段的末端可增加少许直管段 。 收缩形喷管的计算步骤类同于拉瓦尔喷管,这里不再举例说明 。
1
0
*
0
)12( k
k
b
kp
p
p
p
第九节 激 波内 容 提 要
一,激波的概念和类型
二,正激波的形成和传播速度
三,正激波前后气流参量的关系
四,斜激波的形成
五,斜激波前后气流参量的关系
六,超音速气流过度膨胀形成的激波第九节 激 波一,激波的概念和类型激波又称 冲击波,它是超音速气流在前进过程中遇到障碍物的阻滞或受到突然压缩时而出现的一种特殊的物理现象 。
激波是一种强压缩波 。 亚音速气流遇到阻滞或压缩时不会出现激波 。
如图 8-15所示,当超音速气流流过大的障碍物时,气流在障碍物前受到急剧的压缩,其压力和密度突然显著地增加 。 这时所产生的强压力扰动波将以比音速大得多的速度向周围传播,
波面所到之处气流各参量将发生突然的变化 。 这种强压力扰动波就称为 激波,或称为 冲击波 。 气流通过激波面时,速度突然减小,而压力,密度和温度突然增大 。
第九节 激 波图 8-15 激波示意图激波有三种类型：
正激波,激波面与气流的来流方向垂直,气流通过正激波后不改变来流的方向 (如图 8-16a)。
斜激波,激波面与气流的来流方向不垂直,气流通过斜激波后要改变流动方向 (如图 8-16b)。
第九节 激 波曲面脱体激波,简称 曲激波,它是由正激波 (在中间部分 )
和斜激波系组成的 (如图 8-16c)。
图 8-16 激波的类型对于既无粘性又不导热的完全气体来说,激波面成为一种数学上的间断面,激波的厚度等于零 。 这种现象在物理上实际是不可能的,在实际气体中,必须考虑粘性和热传导对激波第九节 激 波的影响 。 由于粘性的存在,在激波中必然形成一个极薄层的过渡区,在过渡区中各参量发生连续的变化 。 所以 在实际气体中,激波是有一定厚度的 。 气体分子运动学说证明,激波厚度与气体分子的平均自由程是同一数量级,约为 10－ 4～ 10－ 5毫米,如图 8-17所示 。 各气流参量就在这个极小的激波厚度内连续地进行变化 。 所以在工程计算时也可以认为各气流参量是在一个几何断面上突然变化的,这就是说,可以把激波看作是一个不连续的间断面 。
图 8-17 激波的厚度第九节 激 波气流经过激波时,受到急剧地压缩,由于时间极短,因粘性内摩擦作用所产生的热量来不及外传,而使气流的熵增加 。
所以,激波的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程,即非等熵过程 。 也就是说,超音速气流经过激波后,气流中的部分动能将不可逆的转变为热能而损失掉 。 因而产生一种超音速气流所特有的阻力损失,这种阻力损失称为 波阻 。 波阻的大小与激波的形状有着密切的关系 。 实验和理论都证明,气流通过正激波时的波阻最大 。
第九节 激 波二,正激波的形成和传播速度
(一 )正激波形成的物理过程为了 说明正激波形成的物理过程,让我们 观察 图 8-18所示的 理想化模型 。 在一个直圆管中充满静止气体 。 若使活塞突然向右作加速运动,其速度从零迅速增加到 u,然后再作等速运动 。 活塞右侧的静止气体受压后被扰动而形成一个压缩波向右移动,已被扰动的气体的压力由 p1迅速升高到 p2,设 p2-p1是一个有限的压力增量 。 为分析方便起见,假定把活塞的突然加速运动看作是由一系列经过相等的无穷小时间间隔而发生的瞬时微小加速运动组合而成,每次的速度增量均为 du,而有限的压力增量 Δp=p2-p1可看作是无数个无穷小压力增量 dp的 总和 。
第九节 激 波图 8-18 正激波形成的过程第九节 激 波由此可 认为在活塞右侧形成的压缩波是由一系列微弱扰动波叠加而成,每一个微弱扰动波的压力增量均为 dp。 在活塞向右加速运动的第一个瞬间,产生第一个微弱扰动波以音速 a1传播到未被扰动的静止气体中去,该扰动波过后气体由静止状态变为微小的运动状态,其运动速度为 du,产生的压力增量为 dp；紧接着,在活塞向右加速运动的第二个瞬间,产生第二个微弱扰动波以音速 a2传播到已被第一个微弱扰动波扰动过的气体中去,
其绝对传播速度为 a2+du,该扰动波过后气体的运动速度从 du
增加到 2du,压力增量由 dp增加到 2dp；在活塞向右加速运动的第三个瞬间产生第三个微弱扰动波以音速 a3传播到已被第二个微弱扰动波扰动过的气体中去,其绝对传播速度为 a3+2du,
第九节 激 波该扰动波过后气体的运动速度从 2du增加到 3du,压力增量由
2dp增加到 3dp；与此类似,在活塞向右加速运动的第 n个瞬间,
产生第 n个微弱扰动波以音速 an传播到已被第 n-1个微弱扰动波扰动过的气体中去,其绝对传播速度为 an+(n-1)du,该扰动波过后气体的运动速度从 (n-1)du增加到 ndu,压力增量由 (n-1)dp
增加到 ndp；余此类推,当 n→∞时得到最后一个微弱扰动波的绝对传播速度为 a∞+u,最后一个微弱扰动波过后气体的速度增加到 u,压力增量增加到 Δp=p2-p1。 此外,每当一个微弱扰动波过后,气体的压力,密度和温度都略有增加,根据音速公式
a= 因此有 a1<a2<a3… <an,就是说后面的弱扰动波的传播速度要比前面的弱扰动波的传播速度为大 (绝对传播速度
,kRT
第九节 激 波
a1<a2+du<a3+2du… <a∞+u)。 经过一段时间后,后面的弱扰动波一个一个追赶上前面的弱扰动波,波形变得愈来愈陡,最后叠加成一个垂直于流动方向的具有压力不连续面的压缩波,它以大于音速的速度向前稳定传播,这就是正激波 。 由此可知,正激波可认为是由许多微弱扰动波叠加而成的具有一定强度的以超音速传播的压缩波 。 气流经过正激波后,除压力突跃地上升外,其密度和温度也同样突跃地增加,而流速则突然降低 。
(二 )正激波的传播速度如图 8-19所示,在充满静止气体的直圆管中,若使活塞突然向右加速移动,管内就产生了一个强烈的压缩波,即正激波向右推进 。 假定在 dτ时间内波面由 2-2移到 1-1,其间距为 dx,
第九节 激 波则激波面的推进速度 (传播速度 )为 uw=dx/dτ。 同时,2-1区域内气体的压力和密度由 p1和 ρ1增加到 p2和 ρ2。 取 2-1区域为控制体,
于是,在时间 dτ内,2-1区域 内气体的质量变化为
dm=(ρ2－ ρ1)Adx (a)
式中 A为圆管的横截面积 。
与此同时,气流由 3-2区域进入 2-1区域的质量 为
dm=ρ2uAdτ (b) 图 8-19 正激波的传播式中 u为激波过后气流的速度 。
根据连续性条件,式 (a)必与式 (b)相等,于是得到激波的传播速度与激波后气流的速度的关系为第九节 激 波
(c)
在时间 dτ内,原来在 2-1区域内的气体从静止状态进入速度为 u
的运动状态 。 由 动量定理可知,对应的动量变化量应等于作用力的冲量,而作用力是作用在 2-2和 1-1截面上的压力差,即
(p2－ p1)Adτ=ρ1Adx(u－ 0)
整理得
(d)
由式 (c)和式 (d)消去 u,即得到 正激波在静止气体中的传播速度为
(8-114)
12
2
wd
d
uux
u
ppux
1
12
wd
d
1
2
12
12
w?
ppu
第九节 激 波如果波的强度很弱,压力和密度的增加量都极微小,即 p2≈p1，
ρ2≈ρ1,于是可将式 (8-114)写成即微弱的压缩波是以音速传播的 。
由式 (c)和式 (d)消去 uw,得到 波面后气流的速度为
(8-115)
由此可见,激波的强度愈弱,波面后气体的流速愈低 。 如果是微弱的声波,波面后的气体是没有运动的 。 因为由式 (8-115)可看出,在 p2≈p1和 ρ2≈ρ1时,u≈0。
apppu dd
1
2
12
12
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1212 )()(
ppu
第九节 激 波三,正激波前后气流参量的关系为了研究方便起见,假设直圆管中的气流以激波的传播速度向左流动,这时,正激波的波面在管内将固定不动,处于相对静止状态,如图 8-20所示 。 这样就有 u1=uw,u2=uw-u,流速方向向左；超音速气流经过正激波时发生突然压缩,流速 u1突然下降到 u2,压力,密度和温度则由 p1,ρ1和 T1突然升高到 p2、
ρ2和 T2。 下面我们就利用连续性方程,动量方程,能量方程和状态方程等来寻求正激波前后各气流参量之间的关系 。
取控制体,1122”如图 8-20所示 。 由于圆管的截面不变,
所以连续性方程和动量方程可写成
ρ 1u1=ρ 2u2 (1)
第九节 激 波图 8-20 正激波前后气流参量的变化
p1-p2=ρ １ u1(u2-u1) (2)
或 p1+ρ 1u12=p2+ρ 2u22 (2′ )
第九节 激 波气流通过正激波的过程是绝热的压缩过程,所以气流在激波前后的总能量相等,并保持不变,即
(3)
正激波前后气体的状态方程
(4)
利用以上诸方程,可以求得正激波前后各气流参量之间的关系 。
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第九节 激 波
(一 )正激波前后压力,密度关系式由动量方程式 (2)可得上式两边同乘以 (u2+u1),得注意到连续性方程 (1),上式可写成
(5)
由能量方程式 (3)可得
(6)
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第九节 激 波由式 (5)和式 (6)得到上式两边同乘以 ρ2/ρ1,得到
(7)
将式 (7)整理后,得到
(8-116)
(8-117)
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或第九节 激 波式 (8-116)和式 (8-117)就是气流经过正激波时受到突跃压缩的压力,密 度 关 系 式 。 与 等 熵 过 程 的 压 力,密度关系式
ρ2/ρ1=(p2/p1)1/k相比较可以看出,等熵压缩时,当 p2/p1→∞,则
ρ2/ρ1→∞,即等熵压缩时,气体的密度随其压力的升高可无限增加；而激波压缩时,当 p2/p1→∞,则 ρ2/ρ1→(k＋ 1)/(k－ 1)，
即 激波压缩的强度无限增大时,气体的密度最多增加 (k+1)/(k-
1)倍 。 例如,当 k=1.4时,气体的密度最多只增加 (k+1)/(k－
1)=6倍 。 图 8-21绘出了等熵压缩和激波压缩的密度 (ρ2/ρ1)与压力 (p2/p1)的依变关系 。
第九节 激 波图 8-21 密度与压力的关系 图 8-22 温度与压力的关系
1-激波过程； 2-等熵过程 1-激波过程； 2-等熵过程第九节 激 波
(二 )正激波前后压力,温度关系式将式 (8-117)的分子,分母同乘以 (k-1)/(k+1),代入状态方程式 (4),整理后得到
(8-118)
对于等熵过程而言,温度,压力关系式为图 8-22绘出了等熵压缩和激波压缩的温度变化曲线 。 从图中可以看出,对于同一个 (p2/p1)值而言,激波压缩 的温度上升要比
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第九节 激 波等熵压缩的温度上升高 。 这表明激波压缩过程中有一部分机械能转化成了热能 。 因而激波压缩要比等熵压缩温度升高得快,
从而使气流密度 (ρ2/ρ1)值增大得比等熵过程小 。
(三 )正激波前后速度关系式将式 (2′)的两边同除以 ρ1,并注意到连续性方程式 (1),得
(8)
由能量方程式 (3)可得
(9)
(10)
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第九节 激 波将式 (9)和式 (10)代入式 (8),简化后得到
(u2-u1)u1u2=(u2-u1)a*2
因为 u2≠u1,所以上式可写成
(8-119)
或写成无因次形式为
(8-119a)
由式 (8-119)可以得到 重要结论,超音速气流通过正激波后一定变成亚音速气流 。 正激波前的速度 u1越大,正激波后的速度 u2
就越小 。 当速度 u1≈a*时,激波就不存在了 。 所以,正激波后的气流速度永远小于临界音速 a*。
2*21 auu?
121
第九节 激 波将式 (8-70)代入式 (8-119a),可得到正激波前后马赫数间的关系,即
(8-120)
根据式 (8-120),给出正激波前的马赫数 M1值,就可以求得正激波后的马赫数 M2值 。 图 8-23绘出了正激波前后马赫数的依变关系曲线 。 由图中可以看出,M1由 1开始增大,而 M2由
1开始减小； 当 M1趋于无穷时,M2的极限是 。 这表明,
波前 M1数值越大,正激波对超音速气流的阻滞作用越强,M2
数值就越小 。 当 M1接近于 1时,M2也接近于 1。
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第九节 激 波图 8-23 正激波前后马赫数的关系
(四 )正激波前后气流参量比与波前 M1数的关系式由连续性方程式 (1)得
(8-121)
将式 (8-70)代入式 (8-121)，得
2
12
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第九节 激 波
(8-122)
将式 (8-122)代入式 (8-116),整理后得
(8-123)
将式 (8-122)和式 (8-123)代入状态方程,可得到正激波前后的温度比与马赫数 M1的关系式,即
(8-124)
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第九节 激 波由连续性方程式 (1),可得到正激波前后气流速度比为
(8-125)
正激波前后气流的滞止压力比是激波压缩过程不可逆的度量,其比值关系式可导出如下将式 (8-55)和式 (8-123)代入上式,并注意到式 (8-120),整理后得到
(8-126)
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第九节 激 波由式 (8-126)可以看出,随着正激波前气流马赫数 M1的增加,
正激波前后气流的滞止压力比 p02/p01将减小 。 这说明 超音速气流经过正激波后,其滞止压力是降低的,并且激波的强度越大,波后气流的滞止压力降低得越大 。
式 (8-122)至式 (8-126)表示的正激波前后各气流参量比,都是正激波前马赫数 M1的函数 。 所以,当波前各气流参量已知时,就可以由这些公式求得波后各气流参量之值 。 为了工程计算方便起见,上述各式已制成函数表,即正激波函数表,工程计算时可直接查表 。
第九节 激 波四,斜激波的形成斜激波的形成同样可以 认为是由无数微弱扰动波叠加的结果 。 为了说明斜激波的形成过程,我们先研究超音速气流流过凹钝角的情况 。 设超音速气流以等速 u1沿着直壁 OA稳定流动,
在 A点处有一向内凹的微小折转角 dθ,如图 8-24所示 。 由于 A
点处 dθ的存在,就设置了一个扰动源,并形成一微弱扰动波沿马赫线 AB传播开来 。 气流经过 AB后向上折转了一个 dθ角,气流的截面积减小了 。 于是,气流受到压缩,流速有微量减小,
同时压力,密度和温度也有微量增加 。 这种波为微弱压缩波 。
第九节 激 波图 8-24 超音速气流流过微小凹钝角 图 8-25 斜激波的形成假如 A点处的折转角是一个有限值 θ,如图 8-25所示,则可认为它是由无限多个 dθ组合而成的 。 而每一个 dθ的存在都可产生一个微弱扰动波,因此在 A点处可产生无限多个微弱扰动波,
并形成无限多条马赫线 (即扰动线 )。 第一条马赫线 AB1与原来气流方向 u1的夹角为 α1=sin-1(1/M1)； 最后一条马赫线第九节 激 波
AB2与转折后气流方向 u2的夹角为 α2=sin-1(1/M2)。 由于 u2<u1，
a2>a1,所以 M2<M1,α2>α1。 这说明,最后一条马赫线是在已经扰动的区域内,而且在马赫线 AB1之前,显然,这在实际上是不可能实现的 。 因此,唯一的可能就是这些马赫线重合叠加在一起,形成一个间断面 。 虽然每条马赫线的扰动是微弱的,但是,无限多个微弱扰动重叠在一起,就形成一个强烈扰动的间断面 。 这个间断面就是斜激波的波面,即斜激波,它与来流的方向成 β角,这个倾斜角称为斜激波角,一般它大于来流的马赫角 。
当超音速气流流经楔形物体时,在物体的尖端也将会产生两道斜激波 (如图 8-15a)。
第九节 激 波如果超音速气流沿着连续弯曲的凹壁面流动,则在壁面上的每一点气流都折转一个微小角度 dθ。 这样就有无限多的马赫线,在壁面上形成一压缩波组,在离壁面一定距离处相交,最后形成一条曲线激波 BT,如图 8-26所示 。 由于
BT线上 各点的速度不同,所以在曲线激波后的气流必为涡流 。
图 8-26 超音速气流流过凹壁面形成的曲线激波第九节 激 波从以上分析中可以看出,斜激波形成的原因是由于超音速气流受到凹钝角或凹曲壁面的压缩 。 气流经过斜激波后压力突然升高,流速突然降低 。 由此可见,当超音速气流流入高压区
(p2>p1)时,以及在超音速气流中任何一点压力作有限升高时,
也都会产生激波 。 超音速气流经过斜激波后,它的流动参量都要发生突变 。
第九节 激 波五,斜激波前后气流参量的关系设在超音速气流中某处出现一斜激波,如图 8-27所示,波前的气流参量为 u1,p1,ρ1和 T1,波后的气流参量为 u2,p2,ρ2
和 T2；激波面与来流的夹角为 β,波后气流速度 u2与波前气流速度 u1间的夹角为 θ。 为了便于分析斜激波前后气流参量之间的关系,把激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度 u1n和
u2n以及与波面平行的分速 度 u1τ和 u2τ。
由于通过激波面的流量与沿波面的分速度 uτ无关,
故连续性方程为 图 8-27 斜激波第九节 激 波
ρ1u1n=ρ2u2n (a)
在垂直于波面方向上的动量方程为
p1-p2=ρ1u1n(u2n-u1n)
或 p1+ρ1u1n2=p2+ρ2u2n2 (b)
由于经过斜激波气流压力增加 (p2>p1),由上式可知,经过斜激波气流的法向分速度必然减小 (u2n<u1n)。 由于沿激波面方向压力没有变化,所以在平行于波面方向上的动量方程为
ρ1u1n(u2τ-u1τ)=0 (c′ )
或 u1τ=u2τ=uτ (c)
即当气流经过斜激波时,波前波后的切向分速度不变 。 这样,
当气流经过斜激波时,只有法向分速度发生变化 。 因此,我们第九节 激 波可将斜激波看作是对于法向分速度的正激波 。 进而可借用正激波的公式来求斜激波前后各气流参量的关系 。 以法向分速度的马赫数
(d)
取代式 (8-122),(8-123)和 (8-124)中 M1,就可得到斜激波前后相应参量之比,即
(8-128)
(8-129)
(8-130)
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第九节 激 波同样 (8-131)
斜激波前后马赫数的关系,可借用式 (8-120)求得,分别以
(e)
代替式 (8-120)中的 M1和 M2,则有
(8-132)
斜激波角 β与波后气流折转角 θ的关系可按以下方法导出：
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第九节 激 波
(f)
由于 u1τ=u2τ,u2n/u1n=ρ1/ρ2,并注意到式 (8-128),则以上两式相比,得
(8-133)
进一步整理,得
(8-134)
上述关系式给出了斜激波前后各气流参量间的关系 。 但是,
若仅已知波前的气流参量,还不能确定波后的气流参量,其原因是斜激波角 β 不能由波前的参量来确定 。 因此,必须补充一个波后条件,通常是给定气流的折转角 θ 或波后压力 p2。
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第九节 激 波六,超音速气流过度膨胀形成的激波当气流经拉瓦尔喷管膨胀加速,并达到超音速后,如果在喷管出口截面上气体的压力低于外界环境压力时,称为 气流过度膨胀 。 当超音速气流流入高压区时,将会产生激波 。 如果喷管出口截面气体的静压为 pe,外界环境气体的静压为 pb,且
pe<pb,则在压差 Δp=pb-pe的作用下,出流气体边界将向轴线方向收缩,如图 8-29所示 。 由于气流截面逐渐缩小,超音速气流受到压缩,在管口边缘将形成斜激波 。 气流内外的压差越大,
气流的收缩角越大,斜激波的强度就越大,到一定程度时,两斜激波相交,在气流中部出现正激波,如图 8-30中的 ac为斜激波,cc为正激波 。 随着气流内外压差的进一步增大,正第九节 激 波图 8-29 管口外斜激波图 8-30 管口外正激波和斜激波 图 8-31 正激波进入管口第九节 激 波激波将向管口靠近,直至进入管口,如图 8-31。 由式 (8-119)可知,超音速气流通过正激波后将变为亚音速气流,因此,在设计超音速喷管时,截面比 A/A*的选择必须与压力比 pb/p0相适应,
以免出现正激波 。
第十节 膨 胀 波内 容 提 要
一,膨胀波的概念
二,膨胀波前后气流参量的关系
三,气流不充分膨胀形成的膨胀波第十节 膨 胀 波一,膨胀波的概念膨胀波 是音速或超音速气流在膨胀加速过程中出现的一种物理现象 。 如图 8-32所示,设超音速气流沿直壁面作稳定流动,
壁面在 A点处向外折转一个微小角度 dθ。 由于 dθ的存在,就在
A点设置了一个扰动源 。 气流在 A点产生一微弱扰动,其扰动波沿马赫线 AB传播开来,马赫线 AB与气流方向所构成的马赫角为 α1=sin-1(1/M1)。 在马赫线 AB后气流速度有所增加,同时其压力,密度和温度都略有下降 。 由于折转角 dθ很小,所以可以认为各气流参量的变化都是微量的,我们把这样的扰动波称为微弱膨胀波 。
第十节 膨 胀 波图 8-32 超音速气流绕微小凸钝角的流动 图 8-33 音速气流绕凸钝角的膨胀波如果 A点的折转角是一个有限值 θ所形成的凸钝角,如图 8-
33所示,超音速气流经过 A点将发生连续膨胀 。 超音速气流经过第一条马赫线 AB1时,气流方向只折转了一个微小角度 dθ,气流速度略有增加,压力,密度和温度都略有减小 。
第十节 膨 胀 波由于固体壁面的折转角是一个有限值 θ,所以,气流经过马赫线 AB1后,尚须作继续折转膨胀,即在 A点产生另一个微弱扰动波,它的马赫线为 AB′。 这样继续下去,一直到气流方向折转到与 AC壁面平行时为止 。 超音速气流所受到的扰动从马赫线 AB1开始 (α1=sin-1(1/M1)到马赫线 AB2为止 (α 2=sin-1(1/M2)。 在马赫线 AB1和 AB2之间可作出无限多条马赫线,组成一定强度的膨胀波组,气流在膨胀波组中不断进行膨胀,压力由 p1逐渐下降到 p2,速度由 u1逐渐增加到 u2,这个变化可看作是由无限多个微小的变化 dp和 du组合而成 。 所以,在膨胀区 B1AB2中的流线是弯曲的,各马赫线与流线之间的角度 (马赫角 )沿气流方向逐渐变小 。
第十节 膨 胀 波超音速气流流入低压区 (p2<p1)时,同样会产生膨胀波,如后面的图 8-37。
至于超音速气流沿凸曲壁面的流动 (如图 8-34),可以认为是沿着无数次折转的壁面的流动 。 显然,曲面上每一点都成为产生微弱扰动波的扰动源,所以,曲壁面上每一点都有一条马赫线 。 这种情况也可以把凸曲壁面看成是穿过膨胀波组的一条流线,而这个波组的扰动源是在曲壁面的曲率中心 A点上 。
应当指出,气流膨胀加速后的各参量只取决于壁面的总折转角 θ,而与其折转方式无关,只要总的 θ 角一样,原始来流条件一样,那么,膨胀加速后的气流各参量亦必一样 。
第十节 膨 胀 波图 8-34 超音速气流沿凸曲壁面的流动第十节 膨 胀 波二,膨胀波前后气流参量的关系超音速气流的膨胀加速过程是等熵过程,气流通过膨胀波后,其滞止参量不变 。 膨胀波后气流的压力 p2,密度 ρ2和温度
T2等是马赫数 M2的函数,故式 (8-55),(8-57)和 (8-53)仍是适用的,即
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第十节 膨 胀 波前已述及,超音速气流绕凸 钝角流动时,通过膨胀波后的气流参量只与壁面的折转角 θ有关 。 如果初始气流的马赫数
M1=1,膨胀后气流的马赫数 M2与折转角 θ的 函数关系为
(8-135)
如果用无因次速度 Λ取代马赫数 M,则式 (8-135)转换为
(8-136)
当气流向绝对真空自由膨胀时 (气流的压力,密度和温度降为零 )Mmax=∞,Λmax=,这时壁面折转角达到了最大值 θmax,将 Λmax= 代入式 (8-136)得最大折
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第十节 膨 胀 波转角为 (8-137)
对于双原子气体,k=1.4,θmax=130° 27′15″；对于多原子气体,
k=1.33,θmax=149° 08′46″。 必须指出,这样的流动只是理论上的极限流动 。
膨胀波后的气流参量与马赫数 M的函数关系已制成膨胀波函数表,在该表中还列出了马赫角 α和马赫线的折转角 φ (详见有关资料 )。
)111(2m a x kk
第十节 膨 胀 波三,气流不充分膨胀形成的膨胀波音速或超音速气流离开喷管截面时,如果气体静压力 pe高于环境气体压力 pb,则称为气流不充分膨胀 (如图 8-37)。
图 8-37 气流不充分膨胀形成的膨胀波第十节 膨 胀 波因为 pe>pb,在压力差 Δp=pe-pb的作用下,气流边界必向外扩张,气流有效截面增大 。 就喷管的半剖面而言,相当于气流绕凸钝角壁面的流动,管口边缘 a点相当于平壁的折转点 A,折转角 θ根据压力值 pe和 pb确定,Δp越大,θ值就越大 。 自喷管出口边缘形成的膨胀波组将流场分为三个区域,M1为气流出口马赫数,M2为气流通过一组扇形膨胀波后的马赫数,M3为气流通过两组膨胀波后的马赫数,并且 M3>M2>M1。 随着马赫数的变化,气流的各参量也相应地发生变化 。 各有关参量的计算仍按等熵流的公式计算 。
第十一节 激波及膨胀波的反射和相交内 容 提 要
一,斜激波的反射和相交
二,膨胀波的反射和相交第十一节 激波及膨胀波的反射和相交一,斜激波的反射和相交 （ 简略 ）
(一 )斜激波与壁面相交和反射
(二 )斜激波与自由边界相交和反射
(三 )不同族的两道斜激波相交
(四 )同族的两道斜激波相交二,膨胀波的反射和相交 （ 简略 ）
(一 )膨胀波与壁面相交和反射
(二 )膨胀波与自由边界相交和反射
(三 )膨胀波与同族斜激波相交第十一节 激波及膨胀波的反射和相交通过上面对斜激波及膨胀波的反射和相交的讨论,可以归纳出以下结论：
(1)斜激波经壁面反射后仍为斜激波或曲激波；
(2)斜激波在气流的自由边界反射为膨胀波；
(3)两道斜激波相交后透射出斜激波；
(4)膨胀波经壁面反射后仍为膨胀波；
(5)膨胀波在气流的自由边界反射为斜激波；
(6)膨胀波遇激波反射后仍为膨胀波；
(7)膨胀波相交后仍为膨胀波 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征内 容 提 要
1,文氏管工作区
2,过度膨胀区
3,充分膨胀区
4,不充分膨胀区第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征图 8-49所示的为一缩扩形喷管,即拉瓦尔喷管 。 它连通着两个具有不同压力的空间,喷管进口前气罐内的压力为 p0,喷管出口后调压室内的压力 (简称背压 )为 pb,我们以 pe表示喷管出口截面上的压力,以 pc表示喉口截面上的压力,p2和 p*分别代表拉瓦尔喷管在设计工况下出口截面上的压力及喉口截面上的临界压力 。 根据压力比 pb/p0的 不同,可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征可分为四种情况,即文氏管工作区,过度膨胀区,
充分膨胀区和不充分膨胀区 。
1.文氏管工作区若 pb/p0=1,则喷管中的压力为常数,此时管内没有流体流图 8-49 拉瓦尔喷管中的流动特性第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征动 。 若调压室内背压 pb略有下降,则管内将有流体流过,随着
pb的逐渐下降,流量将逐渐增加 。 当气罐与调压室内的压差比较小时,气体流经拉瓦尔喷管在收缩段内流速逐渐增加,压力逐渐降低,至喉口截面处气流速度 uc达到最大值,但 uc≤u*,压力 pc降至最小值,且 pc≥p*；气体进入扩张段后,流速逐渐减小,
压力逐渐升高,到达喷管出口截面处,气流速度减小为 ue,气流压力升高为 pe,并且 pe与调压室内的压力 pb相平衡,但 pe大于喷管在设计工况下的出口压力 p2,即 pe=pb>p2。
文氏管工作区的最大速度值在喉口截面上,其可能达到的极限数值是临界音速 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
2.过度膨胀区随着调压室内压力 pb的降低,气罐与调压室内的压差相应增大,压力比 pb/p0逐渐减小,喉口截面将出现临界压力 p*和临界速度 u*。 进入扩张段后,气体进一步膨胀加速,压力能逐渐转化为动能 。 根据压力比的不同可能出现三种情况：管外出现斜激波；管外出现正激波；正激波进入管口直至逼近喉口 。 图
8-29至图 8-31及图 8-47和图 8-48均 示出了气流过度膨胀管口附近的波结构 。
设计拉瓦尔喷管时,应避免产生正激波,因为超音速气流通过正激波后立即转变为亚音速气流,超音速喷管将失去意义 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
3.充分膨胀区当拉瓦尔喷管在设计 工况 (即等熵流动的理想工况 )下工作时,气体的压力能能够充分地转化为动能,此种状况可称作完全膨胀或充分膨胀 。 在充分膨胀区内,气体沿喷管的流动始终是降压,膨胀,加速,在最小截面 (喉口 )处达到临界状态,然后在扩张段中继续降压,膨胀,加速,达到超音速,在出口截面上压力降到设计压力 p2,即 pe=p2=pb,如图 8-49b,c中的曲线 ACB。 这时管口附近不会出现激波,也不会出现 膨胀波 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
4.不充分膨胀区当调压室的压力 pb继续降低,使得 pb低于设计工况下的出口压力 p2时,超音速气流从出口截面流入低压空间,在出口边缘突然降压膨胀,产生两族膨胀波组,气流经过膨胀波组后向外偏转 θ角,并形成周期性的,膨胀 — 压缩,过程 。 图 8-37和图 8-46示出了气流不充分膨胀管口附近的波结构 。 由于超音速气流在喷管出口边缘所产生的膨胀波组不可能逆流向向上传播,
因此,在出口截面上的压力 pe仍保持为设计压力 p2,即
pe=p2>pb,整个喷管内仍按图 8-49b,c中的 ACB曲线降压膨胀加速 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征应当指出,拉瓦尔喷管作成锥形的扩张段是不可能完全消除,膨胀 —压缩,这一周期现象的,即便是压力比 pb/p0符合设计条件,但由于边缘气流沿锥面喷出管咀时,不可能平行于轴线,必然出现过度膨胀后再压缩的周期过程 。 只有用曲面代替锥面才可能消除,膨胀 —压缩,周期现象 。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动内 容 提 要
一,等截面有摩擦绝热管流的基本方程
二,范诺方程和范诺线
三,范诺流参量沿程的变化趋势
四,范诺流的极限管长
五,范诺流参量变化关系式第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动前面几节我们讨论了无粘性的完全气体在绝热过程中的流动问题 。 但是实际的气体都是具有粘性的,它们在管道中流动时,由于粘性内摩擦的作用,总有一部分机械能不可逆地转变成了热能,使气流的熵值增加 。 此外,气流可以通过管壁与外界发生热量交换,也并非为绝热流动 。 所以,在实际上气体在管道内的流动问题是非常复杂的 。 本节先研究气体在等截面有摩擦的绝热管道中流动的情况 。 对于这种流动,其流体的流动参量变化完全起因于管内的摩擦阻力 。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动一,等截面有摩擦绝热管流的基本方程气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,由于气体的粘性内摩擦作用,使气体的各流动参量发生了变化 。 根据气体的基本方程式,可以计算各参量的变化情况 。
图 8-50为一等截面有摩擦的绝热管段,按图中虚线所示取控制体,各管截面上的流动参量均取其平均值,这样可认为气流参量沿管截面是均匀分布的,设 Cp=kR/(k-1)=常数 。 列 1,2
两截面间气体的基本方程如下：
连续性方程
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-50 等截面有摩擦绝热管流式中 为流体通过单位有效截面积的质量流量,称为质量密流,
单位为千克 /秒 ·米 2。
能量方程
G?
0dd
222
22
2
2
2
1
1
uui
u
i
u
i
u
i 常数第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动动量方程状态方程焓的变化
0d
d
)(
)(
1221
1221
A
R
uu
p
uuG
A
R
pp
uuGRApAp
x
x
x
T
T
p
p
TRp
ddd
TCi
TTCii
p
p
dd
)( 1212
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动熵的变化利用以上各基本方程式即可计算出气流参量在等截面有摩擦绝热管道中的变化关系 。
)
dd
1
(
dd
d
)]()l n [ (lnln
2
11
1
2
1
2
1
2
12
p
p
T
T
k
k
R
p
p
R
T
T
Cs
p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
P
k
k
P
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动二,范诺方程和范诺线利用可压缩流体的能量方程式 (8-25)和连续性方程式 (3-21)
可 得到
(8-138)
上式则称为 范诺方程 。 式中 i0和 通常是已知的,根据式 (8-138)，
给定一个密度 ρ1,就可求出对应的静焓值 i1,然后再利用气体的基本方程式或热力学函数表就可以求得对应于,1”状态的其它气体参量值,如 T1,p1,u1,s1等 。 由此可见,根据已知的气体质量密流 和滞止焓 i0,只要改变气体的密度 ρ的数值,就相应地改变了其它的气流参量,从而可在 i-s图上
2
0 )(2
1
Gii
G?
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动绘出一条曲线,如图 8-52所示 。 该曲线称为 范诺线 。 它显示出了气体在等截面的绝热管道中流动时,由于摩擦阻力的产生而对气体参量变化的影响 。 这种流动称为 范诺流动 。
图 8-52中范诺线上熵 s的变化代表气体流动克服摩擦阻力所做的无用功 。 a点代表给定的滞止焓 i0和质量 密流情况下的最大熵值,它把曲线分成上,下两支,上支对应的 图 8-52 i-s图上的范诺线
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动区域 是亚音速区,下支对应的是超音速区 。 根据热力学第二定律,对于非等熵的绝热过程,气体的熵值 s只能随过程的进行而逐渐增加,而不可能下降 。 因此,气体的流动方向只能是图
8-52中箭头所示的方向 。 所以,亚音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其焓值 i下降,流速 u增加,马赫数 M增大,
至 a点达到最大熵值 smax,该点对应的气流速度为临界音速
u*=a*,对应的马赫数 M=1。 而 超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其焓值 i上升,流速 u减小,马赫数 M减小,
至 a点达到最大熵值 smax,对应的气流速度为临界音速 u*=a*，
对应的马赫数 M=1。 由此可知,无论气体的初始马赫第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动数 M<1或者 M>1,它们在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,
其最终的马赫数 M都是趋近于 1的 。 也就是说,气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,不论其进口速度是亚音速还是超音速,它们最终的极限速度都是临界音速 。 这说明,在有摩擦存在的等截面绝热管道中,使气流由亚音速连续地变为超音速,或者由超音速连续地变为亚音速都是不可能的 。
图 8-52中范诺线上 a点所对应的极限速度可证明如下：
由热力学第一定律知
(a)
pisT ddd
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对范诺方程 (8-138)微分,并注意到 i0和 均为给定的常量,
得
(b)
将式 (b)代入式 (a),得
(c)
由于 a点是最大熵值点,即在 a点上 ds=0,因此式 (c)可写成
(d)
又知在 a点上
(e)
3
2 dd
Gi
pGsT ddd
3
2
G?
22
2
)(dd uGp
2)(
d
d)()(
d
d aps
s
ppp
ss
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动比较式 (d)和式 (e),可得到 a点上所对应的极限速度为
u=a 或 M=1
上式表明,范诺线上的 a点为临界点,该点所对应的气流速度为临界音速 。 不管来流的初始马赫数 M<1还是 M>1,其最终的极限速度都趋向于 M=1。
对于不同的气体质量密流 和不同的滞止焓 i0,范诺线的形状和位置也不尽相同 。 图 8-53绘出了在滞止焓 i0不变的条件下,对应于不同的质量密流 情况下的范诺线,从图中可以看出,气体的质量密流 越大,范诺线越向左推移 。 若气体的质量密流 恒定时,提高气体的滞止焓 i0,范诺线将向上推移 。
G?
G?
G?
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-54绘出了在具有相同状态 i1和 s1的条件下,对应于不同的和 i0值情况 下的范诺线 。
图 8-53 i0不变时不同 值的 图 8-54 具有同一 i1和 s1条件范诺线 下的范诺线
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对于等截面有摩擦的绝热管道,当初始滞止参量不变时,
随着管道出口背压 pb的逐渐降低,气流的出口速度 u将逐渐增加,出口马赫数 M逐渐增大,其质量流量 G也相应增加 。 当气流出口速度增加到临界音速 a*时,出口马赫数 M=1,质量流量达到最大值 Gmax,这时再降低背压 pb,气流出口速度 u及马赫数 M和质量流量 G都不再改变,这种现象称为 摩擦管的壅塞现象 。 当管内流动出现壅塞以后,在保持原始滞止参量不变的条件下,要进一步增加管长,必将引起熵值的进一步增加 。 但对于原有的范诺线来说,a点的熵值为最大,无法再增加,为进一步增加管长,必然要减少质量流量 。 由此可知,当气流的第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-55 摩擦管的壅塞现象第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动初始滞 止条件和流动的终止条件给定后,管段越长,其壅塞流量值越小 。
表 8-6列出了亚音速气流和超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道中流动时,其流动参量沿程的变化趋势 。
表 8-6 等截面有摩擦绝热管流各参量沿程的变化趋势
↓↑↓↑↑↑↑↑↓↓不变超音速区 M>1
↑↓↑↓↓↓↓↑↓↓不变亚音速区 M<1
MauρpTiSρ0p0T0
气 流 参 量流动区域第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动三,范诺流参量沿程的变化趋势引起范诺流参量变化的根本原因是摩擦阻力,如果我们知道管道任意两流动截面间的总阻力,就可以根据上游截面上的流动参量算得下游截面上的流动参量 。 由于总阻力是流体对管道内表面切应力的总和,而沿管长切应力并不为常量,因此,
首先需要建立微分方程,然后再积分求解 。
在图 8-56所示的等截面直管道中取出长度为 dx的微元管段作为控制体,根据动量定理得
)d(21d)d( 2 uuuAuAuD xAppAp
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-56 等截面有摩擦微元管长的参量变化简化后,得
(8-139)
式中 λ 为沿程阻力系数 。
02ddd
2
uDxuup
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动能量方程式 (8-43)微分后,整理得将状态方程 和连续性方程 代入上式,
得将上式代入式 (8-139),得
u
u
k
aRTp dd2
uukkpp d1dd
uukuuuukauukkuukap d1ddd1dd
22
02ddd1dd
22
uD xuuuukuuuuka?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动上式整理后,得到
(8-140)
将式 (8-140)与式 (8-50)比较可以看出,实际气体在等截面有摩擦的绝热管道中流动,就相当于完全气体在无摩擦的收缩形管道内等熵流动,即摩擦的作用永远是单向的,它的作用总是相当于将管道截面逐渐缩小 。 因为不论是亚音速气流还是超音速气流,在流动过程中 x总是增加的,即 dx永远大于零 。 对于亚音速气流,M<1,1-M2>0,式 (8-140)等号两边为同号,
因此 du>0,即亚音速气流在等截面有摩擦的绝 热管道内
2
dd)1( 22 Mk
D
x
u
uM
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动流动时,其流速 u逐渐增加,同时其压力 p逐渐下降,密度 ρ和温度 T逐渐减小,马赫数 M逐渐增大,极限情况是 M=1；对于超音速气流,M>1,1-M2<0,式 (8-140)等号两边为异号,因此
du<0,即超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其流速 u逐渐减小,同时其压力 p逐渐升高,密度 ρ和温度 T逐渐增加,马赫数 M逐渐减小,极限情况是 M=1。 这与前面由范诺线所讨论的结果是相同的,见表 8-6。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动四,范诺流的极限管长根据以上讨论可知,不论是亚音速气流还是超音速气流,
当它们在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,极限情况只能出现在管路的末端,即只有在管末端处才可能出现 M=1的情况 。
因此,在这种情况下对管长必有所限制,这就是所谓的,极限管长,,极限管长常用 Lmax表示 。 现在就来讨论这个问题 。
根据马赫数的定义得上式两边取对数,并微分得
(a)
TRkMMau
T
T
M
M
u
u d
2
1dd
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对于范诺流而言,滞止温度 T0不变,即上式两边取对数,并微分得
(b)
将式 (b)代入式 (a),得
(c)
将式 (c)代入式 (8-140),整理后得到
0
2
11
d)1(d
2
Mk
MMk
T
T
常数 02 )2 11( TMkT
])1(2[
d2
2
11
d)1(
2
1dd
2
2 MkM
M
Mk
MMk
M
M
u
u
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
(8-141)
在对 式 (8-141)积分之前应当注意,沿程阻力系数 λ是雷诺数 Re
的函数,它随气流的流动过程而变化,为此,积分时应取平均沿程阻力系数 来代替 λ。 式 (8-141)的积分上下限分别为,x=0
时,M=M； x=Lmax时,M=1。 积分得
(8-142)
如果用无因次速度 Λ来取代马赫数 M,则式 (8-142)变为
(8-143)
])1(2[
d)1(4d
23
2
MkMk
MM
D
x
2
2
2
2
m a x
)1(2
)1(ln
2
11
Mk
Mk
k
k
Mk
M
D
L
)1ln21(2 1 2m a x kkDL?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动由式 (8-142)可以看出,只是初始马赫数 M的函数,
给定一个初始马赫数 M1就可以算出一个对应的极限管长 L1max，
所以使气流从某一个给定的初始马赫数 M1变至某一个给定的终了马赫数 M2所需要的管长 l可 由下式求得
(8-144)
DLm ax?
m a x2m a x1 LLl
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动五,范诺流参量变化关系式实际气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动为非等熵过程,
前面所讨论的等熵过程的气流参量变化关系式在这里不再适用,
因此,我们需要另外导出等截面有摩擦绝热管道中气流参量的变化关系式 。 为此,取气流的临界参量作为参考量,可得到各气流参量与相应马赫数的无因次函数关系式 。
因为对于范诺流来说,其滞止温度 T0不变,所以无因次温度与马赫数的函数式可由式 (8-53)确定,即
(8-145)
2
2*
0
0* )1(2
1
2
1
1
2
1
Mk
k
M
k
k
T
T
T
T
T
T
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动同样
(8-146)
无因次速度为
(8-147)
同理
(8-148)
2
1
2
2
2
1
1
22
1
1
2
1
2
11
22
1
2
2
1
2
2
2
1
***
]
)1(2
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[)(
]
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Mk
Mk
M
M
T
T
M
M
TRkM
TRkM
u
u
Mk
Mk
T
T
M
TRk
TRkM
u
u
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2
2
1
2
2
2
1
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0
2
1
2
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2
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1
2
1
1
Mk
Mk
M
k
M
k
T
T
T
T
T
T
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动由连续性方程式可得无因次密度关系式
(8-149)
(8-150)
由状态方程式得无因次压力比为
(8-151)
(8-152)
当地滞止压力比为
2
1
2
2
*
*
])1( )1(2[ Mk Mkuu
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2 ]
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Mk
Mk
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1
2
2
2
1
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1
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1
[
1
Mk
Mk
M
M
T
T
p
p
Mk
k
MT
T
p
p
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
(8-153)
同理
(8-154)
式中 p0,p01和 p02分别为对应于马赫数 M,M1和 M2截面上气流的滞止压力,p0*为对应于马赫数 M=1截面 上气流的滞止压力 。
以上各式已制成热力学函数表,工程应用可查表计算 。
)1(2
1
2
1
2
2
2
1)1(2
1
2
1
2
2
2
1
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*0
*0
02
01
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k
k
k
k
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Mk
M
M
M
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M
p
p
p
p
p
p
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*
*
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k
k
k
k
k
k
k
k
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k
kM
M
k
kM
kMk
k
M
M
k
p
p
p
p
p
p
p
p
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动六,范诺流压降及流量近似计算式
1,压力近似计算式长管：
短管：
2,流量近似计算式
1
1
2
1
12 )2
11( k k
D R T
lu
k
kpp?
])(1[
1
2 1
1
2
11
k
k
p
pp
l
D
k
kAG
1
1
2
1
1
2
12 ])ln2(
11[ k k
RT
u
u
u
D
l
k
kpp?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动内 容 提 要
一,等截面无摩擦非绝热管流的基本方程
二,瑞利线及瑞利流参量沿程的变化趋势
三,瑞利流参量变化关系式第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动在工程实际中除了有摩擦之外,有热交换的气体的流动也是很多的,如气体在燃烧室中因燃料的燃烧而获得大量的热能；
在锅炉过热器中,干蒸气在流动中继续被加热；高温高压的气体在输送中逐渐被冷却等 。 本节将主要讨论完全气体通过等截面管道无摩擦而有热量交换的流动情况 。
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动一,等截面无摩擦非绝热管流的基本方程图 8-57所示为一等截面无摩擦有热交换的管道,在长度为 l
的管段中取一微元管长为 dx的 管段作为控制体,如图中虚线图 8-57 等截面无摩擦非绝热管流第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动部分所示 。 流动中流体与外界有热量交换,单位质量流体的热交换量为,>0时流体被加热； <0时流体被冷却 。 这种流体的流动称为 瑞利流动 。 这种流动应满足以下基本方程：
连续性方程能量方程 (8-155)
或 (8-156)
(8-157)
动量方程或
q?d
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
q?d q?d
quuii
iqi
u
iq
u
i
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22
0
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2
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常数
2
222
2
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2
11
2
2221
upup
uupp
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动状态方程焓的变化熵的变化
0dd uup?
)
dd
1
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dd
d
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p
p
T
T
k
k
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p
p
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p
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T
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p
R
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T
Css
P
k
k
P
TCi
TTCii
p
p
dd
)( 1212
T
T
p
p
RTp
ddd
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动二,瑞利线及瑞利流参量沿程的变化趋势考虑到以上完全气体在等截面无摩擦有热交换管道内流动的基本 方程和气体热力状态的关系,可以用 i-S图来表示瑞利流动的参量间的关系,如图 8-58所示 。 图中曲线称为 瑞利线,它是在质量密流 和沿管道单位面积的气流冲量 (p+ρu2)
不变的情况下作出的,该曲线显示了 完全气体在等截面无摩擦非绝热的管道中流动时,由于热交换而对气流参量变化的影响 。
G?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动图 8-58 i-s图上的瑞利线第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动图 8-58中瑞利线上熵 s的变化是由于完全气体与管壁面间有热量交换而产生的 。 a点上的熵值为质量密流 给定条件下的最大熵值 。 它把曲线分成上下两支,上支表示有热交换的亚音速流动 (M<1),下支表示有热交换的超音速流动 (M>1)。 这条曲线说明：
(1)亚音速气流在等截面无摩擦的管道内流动被加热时
( >0),其焓值升高,流速增加,马赫数增大 。 但是焓值 i的升高有一个极大值 imax,如图 8-58中的 b点所示,在 b点上 i=imax，
M=1/ 。 从 b点到最大熵值点 a点间,气流的焓值有所下降,即虽然气流被 加热,但其温度在该区间内却有所降低,
G?
q?d
k
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动而 流速和马赫数仍在增加,到达最大熵值点 a处,流速达到临界音速 u*=a*,马赫数增加到 M=1,流动达到临界状态,管内的质量流量不再变化,出现壅塞；当亚音速气流在流动中被冷却时 ( <0),其焓值下降,流速减小,马赫数减小 。 但在 a点到 b点之间,焓值 有所增高 。
(2)超音速气流在等截面无摩擦的管道内流动被加热时
( >0),其焓值升高,流速减小,马赫数减小 。 当达到最大熵值点 a点时,其流速降至临界音速 u*=a*,马赫数减小到 M=1；
当超音速气流在流动中被冷却时 ( <0),其焓值下降,流速增加,马赫数增大 。 超音速气流在流动中被冷却时 ( <0)，
q?d
q?d
q?d
q?d
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动其焓值下降,流速增加,马赫数增大 。
由此可知,不论是亚音速气流还是超音速气流,加热的作用就相当于摩擦,它总是使气流的马赫数趋近于 1,而冷却的作用则总是使气流的马赫数向远离 1的方向变化 。 因而,单纯加热是不可能使亚音速气流连续地变成超音速气流的,也不可能使超音速气流连续地变成亚音速气流 。 这就是说,不论是亚音速气流还是超音速气流,在等截面无摩擦的管道内流动被加热时,其最终的流动马赫数 M都是趋近于 1,流动达到临界状态,流速为临界音速 。
上述规律可以证明如下：
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动由连续性方程微分式 (1)
和状态方程微分式 (2)
又知 (3)
将式 (3)代入式 (8-157),有
(4)
考虑到 a2=kRT,则
u
udd
T
T
p
p ddd
TkkRTCi P d1dd
uuTk kRuuiq dd1ddd
uuTTk aq dd1d
2
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动或 (5)
根据式 (1)和式 (2),有
(6)
将式 (6)代入式 (5),得到
(7)
根据动量方程的微分式 (8)
和音速公式
(9)
u
u
p
p
p
p
T
T ddddd
u
uM
u
u
p
p
ka
q d)dd(
1
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2
u
uM
T
T
ka
q dd
1
1d 2
2
pka?2
0dd uup?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动得或 (10)
将式 (10)代入式 (7),得到
(8-158)
注意到,则上式可写成
(8-159)
u
u
Mk
p
p
u
u
M
p
k
u
u
a
up
kuu
p
dd
dd
d
d
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u
uM
ku
uM
u
u
u
ukM
ka
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2
i
q
u
uM?dd)1( 2
11
2
k
aT
k
RkTCi
P
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动从式 (8-159)可以证明加热或冷却对亚音速气流和超音速气流的影响 。 即总结以上讨论的结果,将完全气体在等截面无摩擦有热交换的管道内流动时,各参量沿程的变化规律列于表 8-7中 。
。气流加速，则，时，，当气流冷却流动时，；气流减速，则，时，，当气流冷却流动时，
0
d
0110d
0
d
0110d
2
2
u
u
MMq
u
u
MMq
；气流减速，则，时，，当气流加热流动时，；气流加速，则，时，，当气流加热流动时，
0
d
0110d
0
d
0110d
2
2
u
u
MMq
u
u
MMq
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动表 8-7 等截面无摩擦非绝热管流各参量沿程的变化趋势第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动三,瑞利流参量变化关系式上面我们已经讨论了有热交换的等截面无摩擦管道内流体流动的瑞利线,现在将进一步研究流动参量与马赫数间的关系 。
我们仍取临界参量作为参考量,利用上述基本方程组,可得到各截面上的气流参量与相应马赫数的无因次关系式 。
(1)压力与马赫数的关系式根据动量方程,并注意到音速公式,得所以
(8-160)2*
2
2
2
1
1
)1()1(
Mk
k
p
p
Mkp
pk
uk
pup
常数
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-161)
(2)温度与马赫数的关系式根据连续性方程,状态方程和音速公式,有或者所以有由此得到常数常数
T
Mp
R
k
T
Mp
TRkM
TR
p
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2
2
2
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2
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Mk
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1
2
1
*
2
*
22
T
Mp
T
Mp
T
p
T
Mp
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-162)
(8-163)
(3)密度与马赫数的关系式根据状态方程,有
(8-164)
(8-165)
2
2
2
2
1
2
1
2
22
1
2
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Mk
M
M
Mk
Mk
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p
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Mk
Mk
k
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T
p
p
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*
2
*
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第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(4)流速与马赫数的关系式根据连续性方程,有
(8-166)
(8-167)
(5)当地滞止温度与相应马赫数的关系式根据滞止温度的定义和式 (8-53),有
)
1
1
(
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1
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Mk
M
M
u
u
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k
M
u
u
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第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-168)
(8-169)
(6)当地滞止压力与相应马赫数的关系式根据滞止压力与滞止温度的关系式,得到
(8-170)
]
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Mk
Mk
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k
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k
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Mk
k
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p
p
p
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-171)
(7)熵变与相应马赫数的关系式
(8-172)
(8-173)
瑞利流动的各流动参量与马赫数的函数关系已制成热力学函数表,工程应用时可以直接查表计算 。
])
1
1
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k
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k
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k kk k
Mk
Mk
Mk
kM
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p
p
p
p
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动内 容 提 要
一,等截面有摩擦等温管流的基本方程
二,等截面有摩擦等温管流参量沿程的变化趋势
三,等截面有摩擦等温管流的压降及流量计算
四,等截面有摩擦等温管流的极限管长
五,等截面有摩擦等温管流参量变化关系式第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动在工程实际中,如果管道很长,流速不是很大,气体与外界能够进行充分的热量交换,使气流基本上保持着与周围环境相同的温度,这类管道可按等温流动来处理,如氮气管道,煤气管道和压缩空气管道等 。
一,等截面有摩擦等温管流的基本方程完全气体在等截面有摩擦有热量交换的管道中作等温流动时 (如图 8-59),其 流动参量的变化是由于气体的粘性摩擦作用以及与外界进行热量交换作用共同造成的 。 对于等截面的等温流动,因管道截面积 A=常数,温度 T=常数,因此,其基本方程可进一步简化 。
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动图 8-59 等截面有摩擦非绝热等温管流第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动连续性方程能量方程 因为在等温流动中,温度 T为已知常数,未知参量一般只有 u,p,ρ三个,故无需能量方程 。 如果需要分析吸热和放热情况,以及滞止温度 T0的变化情况等,可用以下能量方程 。
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
quui
uquiqi
ddd
22
0
2
2
2
1
0201
或第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动动量方程
(8-139)
状态方程熵的变化
0
2
d
d
d
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2
1221
u
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p
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p
p
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p
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p
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d
d
lnln
2
1
1
2
12
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动二,等截面有摩擦等温管流参量沿程的变化趋势通过对上述基本方程的分析,可以找到等截面摩擦管内等温流动各参量沿程的变化趋势 。 用 p/ρ去除上述等温流动的动量微分方程式 (8-139),得
(a)
在等温流动中,T=常数,因而 =常数 。
由 u=Ma,得由状态方程和连续性方程,得
02 ddd
2
D xpup uupp
kR Ta?
M
M
u
uMau dd,dd
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动
(b)
而
(c)
(d)
将 (b),(c),(d)三式代入式 (a)中,得整理后得 (8-174)
或写成 (8-175)
2
222
MkTRMapu
MMk
TR
MMa
TR
uu
p
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M
M
u
u
p
p
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2
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2
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2
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2
2
2
2
Mk
D
x
u
u
Mk
Mk
D
x
M
M
Mk
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动由式 (8-174)和式 (8-175)可以看出：
当 M<1/ 时,1-kM2>0,等号的两边为同号,因此 du>0，
dM>0,此时的气体在等截面有摩擦的管道中作等温流动时,
其流速和马赫数沿程不断增大,同时,其压力和密度沿程不断减小,极限情况是在管末端处 M=1/ 。 在这种情况下,要维持等温流动,气流必须 不断地从外界吸收热量 来补充才能够保持温度平衡,因此其滞止温度沿程将不断升高 。
当 M>1/ 时,1-kM2<0,等号的两边为异号,因此 du<0，
dM<0,此时的气体在等截面有摩擦的管道中作等温流动时,
其流速和马赫数沿程不断减小,同时,其压力和密度沿程不断增加,极限情况是在管末端处 M=1/ 。 在这种情况下,气
k
k
k
k
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动流必须 不断地向外界放出热量 才能够维持其等温流动,因此其滞止温度沿程将不断降低 。
表 8-8列出了完全气体在等截面有摩擦有热量交换的管道中作等温流动时,各流动参量沿程的变化趋势 。
表 8-8 等截面有摩擦等温管流各参量沿程的变化趋势气流参量流动区域 T0 S p ρ u M
亚音速区 ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑
亚音速或超音速区 ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓
kM /1?
kM /1?
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动三,等截面有摩擦等温管流的压降及流量计算等截面有摩擦等温管流的动量微分方程式为上式各项同除以 u2/2,得
(8-176)
由等温流动的连续性方程和状态方程,得故
02ddd
2
uDxuup
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1
2
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1
2
11
2
11
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111
p
p
uu
u
uu
p
p
u
u
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动将上式代入式 (8-176),并沿长度为 l的 1,2两截面间的管段积分因 λ=f(Re,Δ/D),而 Re=ρuD/μ,在等截面管道中 D=常数,ρu=常数；
在等温流动中 μ=常数,因此,Re和 Δ/D均为常数,故流体在等截面管道中作等温流动时,其沿程阻力系数 λ 沿程不变,其值可参照不可压缩流体的情况选取 。 上式积分结果为或写成
(8-177)
0dd2d2
0121
2
1
2
1
xDuupppu lu
u
p
p
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1
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l
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2
1
2
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1
2
2
D
l
u
u
pu
pp?
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动如果管道较长,项可以略去不计,则得到等温流动的压降近似计算式为
(8-178)
或
(8-179)
将 代入式 (8-178),注意到 p1/ρ1=RT,即得到等截面管道中等温流动的流体的质量流量近似计算式,即
(8-180)
1
2
1
2 ln2,ln2
u
u
D
l
u
u
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11
2
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1
2
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TR
u
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lp
p
u
D
lpp
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11
1
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D
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)(
16
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2
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2
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1 pp
TRl
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TR
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l
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2
11
11
2
11
2
2
2
1 222 fpp
u
D
lppu
D
lpp
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动四,等截面有摩擦等温管流的极限管长根据 前面对等截面摩擦管中等温流动的流体各参量沿程的变化趋势分析可知,无论进口截面马赫数是小于还是大于 1/,
M沿流程总是向着趋近于 1/ 变化,因此在管道中间就不可能出现由 M<1/ 变为 M>1/,或由 M>1/ 变为 M<1/ 的临界截面,临界截面只能出现在管道出口截面上 。 也就是说,在等截面有摩擦的管道中作等温流动的流体不可能由 M<1/ 连续地加速到 M>1/,也不可能由 M>1/ 连续地减速到 M<1/,其极限的情况 M=1/ 只可能出现在管道的出口截面上 。 当管道出口截面上的马赫数 M=1/ 时,相应的管长就是等温流的
k
kkkk
k
k
k k
k
k
k
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动极限管长 Lmax。 如果实际管长大于极限管长,则管内流动将出现 壅塞现象 。
将式 (8-174)进一步整理成取积分上下限,x=0时,M=M； x=Lmax时,M=1/ 。 对上式积分,得到等截面摩擦管内等温流动的极限管长计算式
(8-181)
由式 (8-181)看出,λLmax/D只是初始马赫数 M的函数,在已知管径和沿程阻力系数的情况下,给出一个初始马赫数 M,就可以算出相应的极限管长 Lmax。
2
4
2
3
2
d1d)1(2d MMk MkMMk MkD x
k
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2
ma x Mk
Mk
Mk
D
L
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动五,等截面有摩擦等温管流参量变化关系式对于在等截面有摩擦的管道中作等温流动的流体,其流动参量变化关系式非常简单 。 我们用下标,Δ”来表示在 M=1/
极限情况下的参量,并用该条件下的参量作为参考量 。 注意到等温流动 a=常数,可得到以下各气流 参量与相应马赫数的无因次函数关系式 。
(8-182)
(8-183)
由等截面等温流动的状态方程和连续性方程,得
k
1
2
11
22
1
2
M
M
aM
aM
u
u
MkkMaM aMuu
/1
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动
(8-184)
(8-185)
在 MΔ=1/ 极限情况下的气流速度为
(8-186)
由前述的分析可知,在 MΔ=1/ 时所对应的流体压力 pΔ为等截面摩擦管内等温流动的流体 (入口马赫数 M<1/ 时 )可能的最小压力,可用 pmin表示 。 当管道入口的压力和马赫数分别为
p1和 M1时,由式 (8-184)可算得流体可能的最小压力为
(8-187)
TRk TRkaMu
11m in Mpkpp
2
1
2
1
1
2
1
2
M
M
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p
Mku
u
p
p 1
k
k
k
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
(八 )
多媒体教学课件李文科 制作第八章 可压缩流体的流动
第一节 热力学的基本参量和定律
第二节 弱扰动波传播的物理过程
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
第六节 完全气体的一维等熵流动
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征
第八节 喷管的计算第八章 可压缩流体的流动
第九节 激 波
第十节 膨 胀 波
第十一节 激波及膨胀波的反射和相交
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体等温流动第八章 可压缩流体的流动流体的可压缩性是流体的固有属性 。
任何真实的流体都是可以压缩的,只是它们的可压缩程度不同而已 。
把流体的密度看作为常数,会使问题得到很大的简化 。
对于可压缩流体而言,密度变化必然伴随着温度的变化,
就是说,在流体流动过程中,其 内能也在发生变化,这时 其机械能将不再守恒,必须 用能量守恒定律来取代机械能守恒定律 。
第一节 热力学的基本参量和定律内 容 提 要
一,比热
二,内能
三,焓
四,熵
五,热力学第一定律的能量方程式第一节 热力学的基本参量和定律一,比热单位质量流体温度变化 1K所需要的热量称为 比热,单位为焦耳 /千克 ·开 。
对于气体而言,如果过程是在等压条件下进行,则称为 等压比热,用 CP表示 ；如果过程是在等容条件下进行,则称为等容比热,用 CV表示 。
从热力学知道,等压比热 CP,等容比热 CV与气体常数 R之间存在着如下的关系
CP=CV+R (8-1)
式中 气体常数 R的 通用值为 R=8314J/kmol·K。 各种不同气体的气体常数值见表 8-1。
第一节 热力学的基本参量和定律气体的等压比热与等容比热的比值叫做 绝热指数,常用 k
表示,即
(8-2)
将式 (8-2)代入式 (8-1)可转化为
(8-3)
(8-4)
k=1.66(如氩气,氦气等 )；
k=1.40(如氧气,空气等 )；
k=1.33(如过热蒸气等 )；
k=1.135。
V
P
C
Ck?
1 k
RC
V
1 k
RkC
P
第一节 热力学的基本参量和定律二,内能宏观静止的流体,因其内部分子的热运动而具有的能量叫做 内能 。 常用符号 e来表示,对于单位质量流体来说,其单位是 焦耳 /千克 。
流体的内能一般包括 内动能 和 内位能 两部分 。
内动能是 温度 的函数,而内位能是 密度 或比容的函数 。
因此说,内能是热力状态的单值函数 。 在一定的热力状态下,
分子有一定的均方根速度和平均间距,也就有一定的内能,而与到达这一状态的路径无关 。 这就是内能作为一个状态参量的 基本性质 。
第一节 热力学的基本参量和定律通常情况下,因气体的热力状态可由两个独立的状态参量决定,所以其 内能也一定是两个独立状态参量的函数,一般可表达为
e=f(T,ρ) (8-5)
对于完全气体,由于其分子之间没有作用力,故分子之间就没有位能 。 这样,完全气体的内能就只是气体分子运动的动能,而不包含内位能了 。 因此,完全气体的内能只是温度的单值函数,而与密度或比容无关,即
e=f(T) (8-6)
由热力学知道,
de=CVdT (8-7)
第一节 热力学的基本参量和定律对于定比热的完全气体,CV=常数,上式积分得
e2-e1=CV(T2-T1) (8-8)
如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,e=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的内能为
e=CVT (8-9)
即 完全气体的内能与热力学温度成正比 。
第一节 热力学的基本参量和定律三,焓在有关热工计算的公式中时常有 e+p/ρ出现,为了简化公式和简化计算,我们 把它定义为 焓,用符号 i表示 。 规定
i=e+p/ρ (8-10)
式 (8-10)就是焓的定义式 。 从式中可以看出 焓 i的单位是 焦耳 /千克 。 式中还可以看出 焓也是一个状态参量 。 在任一平衡状态下,
e,p和 ρ都有一定 的值,因而焓 i也有一定的值,而与到达这一状态的路径无关,即
i=e+p/ρ=f(p,ρ) (8-11)
或 i=f(T,ρ) (8-11a)
第一节 热力学的基本参量和定律同内能一样,完全气体的焓也只是温度的单值函数,而与密度或比容无关 。 因为 i=e+p/ρ,其中 e只是温度的函数,而
p/ρ=RT也只是温度的 函数 。 所以
i=f(T) (8-12)
即,对于完全气体,式 (8-10)可写为
i=e+RT (8-13)
由式 (8-13),焓的变化为
di=de+RdT=CVdT+RdT
=(CV+R)dT=CPdT (8-14)
对于定比热的完全气体,CP=常数,则式 (8-14)积分得：
i2-i1=CP(T2-T1) (8-15)
第一节 热力学的基本参量和定律如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,i=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的焓为
(8-16)
即 完全气体的焓与热力学温度成正比 。
TCi p?
第一节 热力学的基本参量和定律四,熵熵也是一个状态参量,一般用 s表示,其单位是 焦耳 /开,
对于单位质量流体为 焦耳 /千克 ·开 。 对给定的状态,熵有确定的值 。 熵的变化为
(8-17)
式中 是微小过程给定系统单位质量流体得到的热量,T为介质的热力学温度 。
对绝热过程而言,＝ 0，熵的变化为
ds≥0 (8-18)
对于可逆绝热过程而言,ds=0,s=常数,称为 等熵过程 。
T
qsd
q
q
第一节 热力学的基本参量和定律对于等熵过程，有
(8-19)
式中 k为绝热指数,p为流体的压力,ρ为流体的密度。
注意到状态方程 p=ρRT,可得到等熵过程压力 p,密度 ρ和温度 T三者之间 的关系为
(8-20)
式中 p1,ρ1,T1为初态参量,p2,ρ2,T2为终态参量 。
对于不可逆绝热过程,ds＞ 0,过程始末单位质量流体的熵增为
1
1
2
1
2
1
2 )()( k
k
k
T
T
p
p
常数?kp?
第一节 热力学的基本参量和定律
(8-21)
或 (8-21a) )]()l n [ (lnln
)]()l n [ (lnln
2
11
1
1
2
1
2
1
2
12
2
11
1
2
1
2
1
2
12
k
V
k
k
p
T
T
RR
T
T
Css
p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
第一节 热力学的基本参量和定律五,热力学第一定律的能量方程式图 8-1示一开口系统,流体经 Ⅰ -Ⅰ 面流入,经 Ⅱ -Ⅱ 面流出 。
入口截面中心距基准面的几何高度为 z1,流体的静压为 p1,流速为 u1,密度为 ρ1；出口截面中心距基准面的几何高度为 z2，
流体的静压为 p2,流速为 u2,密度为 ρ2。 为单位质量流体在
Ⅰ ～ Ⅱ 两 截面间所得到的热量,为单位质量流体对外界所做的功 。
对于理想流体而言,不存在能量损失,则单位质量流体在两截面间的能量关系为
(8-22)
WeuzgpQeuzgp 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
22
w?
q?
第一节 热力学的基本参量和定律图 8-1 开口系统的能量平衡图第一节 热力学的基本参量和定律对于可压缩流体而言，位能的变化可忽略不计，能量方程式 (8-22)可简化为
(8-23)
当可压缩流体既不向系统外作功，又不从系统外吸热时，
能量方程可进一步简化为
(8-24)
或 (8-24a)
注意到式 (8-10)或 (8-13)，上式可变换为
WeupQeup 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
22
22
22
2
2
22
2
1
11
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
u
RTe
u
RTe
up
e
up
e
第一节 热力学的基本参量和定律
(8-25)
式 (8-25)说明,对于理想的可压缩流体的绝热流动而言,单位质量流体所具有的焓与动能之和保持常量 。
常数 22
2
2
2
2
1
1
uiui
第二节 弱扰动波传播的物理过程内 容 提 要
弱扰动波的传播与流体可压缩性的关系
弱扰动波传播的物理过程
声音传播速度的计算第二节 弱扰动波传播的物理过程在密度有变化的流场中,相邻两点之间的密度差与它们的压力差密切相关 。 密度对压力的变化率是分析可压缩流体流动的一个重要参量 。 我们将会看到,
密度对压力的变化率与声波的传播速度有密切关系,
声波 就是在可压缩流体中传播的弱扰动波,它的传播速度简称 声速,或称 音速 。
为了说明弱扰动波传播的物理过程,让我们观察图 8-2a所示的理想化模型 。
第二节 弱扰动波传播的物理过程图 8-2 弱扰动波传播的物理过程第二节 弱扰动波传播的物理过程设管道的截面积为 A,对控制体写出连续性方程
ρaA=(ρ+dρ)(a-du)A
略去二阶无穷小量,得
ρdu=adρ (8-26)
对控制体建立动量方程,并注意到控制体的体积趋近于零,
其质量力近似为零,且可忽略切应力的作用,于是动量方程可写成
pA-(p+dp)A=ρaA[(a-du)-a]
整理后可得
dp=ρadu (8-27)
由式 (8-26)及式 (8-27),消去 du可得到音速公式第二节 弱扰动波传播的物理过程
(8-28)
由于弱扰动波在传播过程中,流体的密度,压力及温度的变化无限小,且过程进行得很快,因此可以认为这个过程是等熵过程 。 于是音速公式 (8-28)可写成
(8-29)
音速公式 (8-29)无论对气体还是液体都是适用的 。 从式 (8-
29)可以看出,流体 中的音速与其可压缩性密切相关,它表示改变单位密度必须改变的压力值 。 因此,愈难压缩的流体,其中的音速越快；愈易压缩的流体,其中的音速越慢 。
d
d pa?
S
pa )(
第二节 弱扰动波传播的物理过程绝对刚体中声音的传播速度为无穷大 ∞。 实际中的物质都是可以压缩的 。 如常温条件下,纯水中的音速为 a≈1490m/s；
空气中的音速为 a≈343m/s。
对于完全气体的等熵过程,p/ρk=常数,对它进行微分,并考虑到完全气体的状态方程 p=ρRT,可得因此 完全气体的音速公式 可写成
(8-30)
可见,完全气体中的音速是热力学温度的函数 。 它也是一个过
TRkpkp S )(
TRkpka
第二节 弱扰动波传播的物理过程程量,而不是常数 。 就是说,音速 a主要取决于气体的种类 (k，
R)和热力学温度 (T)。
对于空气,k=1.4,R=287.06J/kg·K,代入式 (8-30),得
)/(05.20 smTa?
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征内 容 提 要
弱扰动波在静止流场中的传播特征
弱扰动波在亚音速流场中的传播特征
弱扰动波在超音速流场中的传播特征
马赫数、马赫锥、马赫线及马赫角的概念第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征马赫数 M是体现流场中流体可压缩性大小的重要参量 。 相同马赫数的流场具有相似的流动特征,它们的弹性力相似 。
根据马赫数的大小不同,可 将流场的流动特征分为三类,即
M<1 为亚音速流动；
M=1 为音速流动；
M>1 为超音速流动 。
为了说明亚音速流和超音速流的根本区别,我们首先来讨论均匀来流流场中弱扰动波的传播特征 。
设在静止流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱扰动波将以音速 a向四周传播,如图 8-3a所示 。 若坐标原点取在该扰动源上,则弱扰动波向四周传播的速度可写成 。
ria
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征若在均匀来流速度为 的流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱拢动波仍以速度 a相对于流体向四周传播 。 现以 O点为原点,沿流体流动方向作 x轴,由于流体本身以速度 u∞沿 x轴方向运动,故弱扰动波传播的绝对速度为
。 下面我们就三种情况分别讨论 。
(1)亚音速流动 (M<1)
若均匀来流为亚音速流动,则弱扰动波可以传播到整个流场 。 由图 8-3b可见,在 τ=0时刻,从 O点发出的弱扰动波,在
τ1=Δτ时刻将传播到以 O1为中心 (OO1=u∞Δτ),以 aΔτ为半径的球面上；而在 τ2=2Δτ时刻将传播到以 O2为中心 (OO2=2u∞Δτ),以
2aΔτ为半径的球面上；依此类推 。 因为
iuu
iuia r
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
u∞Δτ<aΔτ,所以在亚音速流动中,随着时间的推移,扰动波总可以传播到整个流场,只不过在逆来流方向上传播得慢些,而在顺来流的方向上传播得快些而已 。
(2)音速流动 (M=1)
流体的流动速度等于音速的流动称为 音速流动 。 若均匀来流为音速流动,即 u∞=a,则弱扰动波只能传播到 x≥0的半空间 。
由图 8-3c可见,由于 u∞Δτ=aΔτ,因此,任何时刻的扰动波都不可能越过 x=0的平面传到上游 。 这时我们可以将 x=0平面左侧的上游区称为,禁讯区,,而下游区称为,扰动区,。
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
(3)超音速流动 (M>1)
若均匀来流为超音速流动,则由 O点发出的弱扰动波,只能沿着气流方向以 O点为顶点,以过 O点的流线为轴线的锥形区域内传播 。 由图 8-3d可见,在 τ=0时刻从 O点发出的弱扰动波,
在 τ1=Δτ时刻将传播到以 O1为中心 (OO1=u∞Δτ),以 aΔτ为半径的球面上；而在 τ2=2Δτ时刻将传播到以 O2为中心 (OO2=2u∞Δτ)，
以 2aΔτ为半径的球面上；依此类推 。 因为 u∞Δτ>aΔτ,所以这些球面的包络面就是以扰动源为顶点的圆锥面,弱扰动波只能在该锥形区域内传播 。 锥的半顶角为 α,它与音速 a及气流的流速
u∞有如下关系
(8-31)
ua?sin
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征通常称此锥为 马赫锥,称锥的半顶角 α 为 马赫角 。
利用马赫数的定义,式 (8-31)可表示为
(8-32)
式中 M∞为来流的马赫数 。 由此可见,对于超音速流动,马赫数与马赫角的正弦互为倒数关系 。 M数愈大,α角越小,M数由 1趋向 ∞,α角由 π/2趋向 0。
对于平面流动,在流动平面上看,图 8-3d中的 OA,OB为两条扰动线,弱扰动波只能在 OA,OB两线之间的区域中传播,
我们把 OA,OB称作 马赫线 。
Mua 1s in?
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征在非均匀流场中,各点的速度,音速及其它物理量的分布是不均匀的,从而各点的马赫数也不相同 。 因此,扰动波的传播方式比在均匀来流中更为复杂 。 就空间流动而言,非均匀流场中的弱扰动波不再以球对称的方式向四周传播,超音速流动中的扰动面也不再是正圆锥面 。 就平面流动而言,马赫线
OA,OB不再是直线 。
由上面的分析可知,超音速流动与亚音速流动在物理上有原则的区别,即在亚音速流动的流场中,弱扰动波可以传播到整个流场,它不存在马赫锥或马赫线；而在超音速流动的流场中,弱扰动波只能在马赫锥中或马赫线间传播 。
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程内 容 提 要
1,连续性方程 2,欧拉运动方程
3,能量方程 4,动量方程
5,气体状态方程 6,等熵过程方程第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程主要包括：连续性方程,运动方程,动量方程,能量方程和状态方程等 。
连续性方程 (3-21)
其微分式为
(8-33)
欧拉运动方程 的微分和积分式分别为
(3-28)
(3-30)
0ddd AAuu
常数
2
d
0dd
d
2u
zg
p
uuzg
p
常数?Au?
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程如果忽略质量力的影响,式 (3-28)和式 (3-30)可写成
(3-29)
(8-34)
理想流体稳定流动的 动量方程 为
(3-46)
一维稳定流的动量方程的微分式可以写成
(8-34)
常数
2
d
0d
d
2up
uu
p
)(
)(
)(
12
12
12
zzz
yyy
xxx
uuQF
uuQF
uuQF
0dd x ARuup
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程完全气体的 状态方程 为
(1-12a)
其微分式为
(8-35)
完全气体的 等熵过程方程式 为
(8-19)
其微分式为
(8-36)
下面我们着重介绍可压缩理想流体在绝热流动条件下,能量方程的几种形式 。
T
T
p
p ddd
dd k
p
p?
RTp
常数?kp?/
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(一 )以焓值和流速表述的能量方程由第一节可知,可压缩的理想流体既不向系统外做功,又不从系统外吸热,并且忽略位能变化的影响时,其能量方程式为 (8-25)
或
(8-25a)
这个方程 既适用于可逆过程,也适用于不可逆过程 。 式 (8-25)
表明,单位质量流体具有的焓与动能之和保持常数 。 流体的速度增加时,焓值下降；流体的速度减小时,焓值增加 。
0
2
2
2
2
1
1
2
22
2
i
u
i
u
i
u
i
常数第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程当流体的速度 u=0时,其焓值称为 滞止焓,或称为 总焓,
用 i0表示； 与流速 u相对应的焓值称为 静焓,用 i表示 。 显然 i<i0。
由式 (8-25)可以看出,当流体的总焓 i0和静焓 i为已知时,就可以计算出与静焓 i相对应的流体速度,
如气流经管咀流出时,由于管咀很短,气流速度很大,可近似按等熵过程处理 。 只要根据焓 —熵图表查出某流体的总焓 i0和静焓 i,就可计算出气流 的流出速度 。
)(2 0 iiu
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(二 )以温度和流速表述的能量方程若以热力学零度为基准,则在 TK温度条件下的完全气体的焓值为 i=CPT (8-16)
将式 (8-16)代入式 (8-25),便可得到以温度和流速表述的能量方程
(8-37)
或者 (8-37a)
将等压比热 CP=kR/(k－ 1)代入以上两式得
0
2
2
2
2
1
1
2
22
2
TC
u
TC
u
TC
u
TC
ppp
p
常数第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(8-38)
或者 (8-38a)
式 (8-37)和式 (8-38)体现了流体的温度和流速间的相互转换关系 。 流体的流速增加时,其温度降低；流体的速度减小时,
其温度升高 。
流体的速度 u=0时的温度称为 滞止温度 或 总温,用 T0表示；
流速 u>0时的温度称为 静温,用 T表示 。 引入总温 T0后,式 (8-
37)可写 成
(8-39)
0
2
2
2
2
1
1 12121 TRk
kuTR
k
kuTR
k
k
pC
uTT
2
2
0
常数 21
2u
TRk k
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程式 (8-39)表明,当可压缩流体遇到固体障碍物时 (如图 8-5所示 )，
其滞止部位的温度 T0与流体的温度 T间的差值随流体流速的增加而增大 。 很显然,用普通的温度计或测温仪是不可能准确测出高速气流的真实温度的 。
当气流进行等熵运动时,其总温 T0和总压 p0是不变的,如果测得气流的静压 p,就可以计算出气流的静温 T,即当气流的马赫数不大,精度要求又不太高时,可用普通测温仪测量气体的温度,再用下式计算气流的静温 。
k
k
p
pTT 1
0
0 )(
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程式中 Tm为测温仪测出的气体温度； T0为气体的总温； T为气流的静温； η为修正系数,一般取 η=0.8～ 0.9。
图 8-5 气流冲击障碍物
TT TT m
0
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(三 )以音速和流速表述的能量方程第二节我们已经推导了音速与气流温度之间的关系式,即对于完全气体有
(8-30)
将上式代入式 (8-38)可得到以音速和流速表述的能量方程
(8-40)
或者 (8-40a)
式 (8-40)表明,随着流体流速的增加,其音速减小；随着流体流速的减小,其音速增加 。
TRka?
常数 21
22 u
k
a
12121
2
0
2
2
2
2
2
1
2
1
k
au
k
au
k
a
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程流速 u=0时的音速称为 滞止音速,用 a0表示；音速 a=0时
(相当于流体流入绝对真空,这时气流的压力,密度和热力学温度均降为零 )的气流速度称为 极限速度,用 umax表示,它是理论上的最大速度,实际上是得不到的,因为气体降到热力学零度以前早已液化了,umax是用来作为一个重要的参考速度 。
将 a0和 umax代入式 (8-40),得所以极限速度为
(8-41)
21
2
m a x
2
0 u
k
a?
1
2
1
2 0
0m a x k
TRk
kau
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程有了滞止音速和极限速度的概念后,能量方程式 (8-40)还可写为另一种形式 。 将 a0和 umax代入式 (8-40),得将上式各项分别用 a02／ (k-1)或 umax2/2去除,整理后得到
(8-42)
式 (8-42)是能量方程式 (8-40)的另一种形式 。 它是一个椭圆方程,
所以 通常称它为可压缩流的 绝热椭圆,其图形如图 8-6所示 。
2211
2
m a x
222
0 uu
k
a
k
a
1)()( 2
m a x
2
0
u uaa
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程椭圆与纵轴交于 a0,与横轴交于 umax。 在 A点上 u=a,马赫数 M=1,称为临界状态,习惯上临界状态下的参量注以下标
,*” 号,如临界速度 u*,临界压力 p*等 。 显然 u*=a*。 A点以左的区域为亚音速区,A
点以右的区域为超音速区 。
从图中还可看出,在超音速区内,音速下降很快,
马赫数 M增加也很快 。
图 8-6 可压缩流绝热椭圆第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
(四 ) 以压力,密度和流速表述的能量方程利用状态方程 p=ρRT,自式 (8-38)可以得到
(8-43)
或者
(8-43a)
式 (8-43)就是以压力,密度和流速表述的能量方程 。
当流体的流速 u=0时的压力称为 滞止压力,或称 总压,用
p0表示,对应条件下流体的密度称为 滞止密度,用 ρ0表示；与流速 u相对应的流体压力称为 静压,用 p表示 。 可压缩流体的滞止压力和静压力都是指 绝对压力 。
0
0
2
2
2
2
2
1
1
1
12121
p
k
kup
k
kup
k
k
常数 21
2up
k
k
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程再次强调指出,以上我们讨论的可压缩理想流体在绝热条件下稳定流动的能量方程的四种形式,对于等熵流动和非等熵的绝热流动都是适用的 。 有趣的是,在等熵流动的条件下,将等熵过程方程式 p/ρk=常数代入欧拉运动方程式 (8-34),经过变换也可得到上述四种形式的能量方程 。 但是在非等熵流动的条件,运用欧拉运动方程积分是不能得到上述讨论的结果的 。 这说明,我们 以上所介绍的几大基本方程之间并非都是独立的,
在某些特定条件下,有些方程 (如运动方程和能量方程等 )有可能是等价的,使用中应注意选择 。 一般情况下独立的基本方程只有四个 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异内 容 提 要
一,不同马赫数下，流体密度随流速的变化关系
二,不同马赫数下，流体流速随管道截面积的变化关系
三,不同马赫数下，流体密度随管道截面积的变化关系
四,不同马赫数下，流体静压、静温随管道截面积的变化关系第五节 亚音速流动与超音速流动的差异一,不同马赫数下,流体密度随流速的变化关系由音速公式 (8-28)可得
dp=a2dρ (8-47)
在过程可逆的条件下,欧拉运动微分方程 (3-29)可写成
dp=-ρudu (8-48)
联立式 (8-47)和式 (8-48)，
a2dρ=-ρudu
或者
(8-49)
式 (8-49)给出了在不同马赫数 M下,流体的密度与速度间的变化特征 。
u
uM
u
u
a
u ddd 2
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异因 M数不同,流体的密度依变于速度的变化率有很大差异 。
式 (8-49)等号右侧的 负号 表示流速的变化方向与密度的变化方向相反,即流速增加时,流体的密度减小；流速减小时,流体的密度增加 。
(1)对于亚音速流动,M<1,流体密度的变化率 dρ/ρ小于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|<|du/u|。 当 M<0.3时,可忽略流动过程中流体密度的变化,按不可压缩流体的流动来处理 。
(2)对于超音速流动,M>1,流体密度的变化率 dρ/ρ大于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|>|du/u|。 这时流体的体积膨胀起主导作用 。 要使超音速气流进一步加速,就必须创造条件使流体得到进一步的充分膨胀 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(3)对于临界状态下的音速流动,M=1,流体密度的变化率
dρ/ρ等于其速度的变化率 du/u,即 |dρ/ρ|=|du/u|。
二,不同马赫数下,流体流速随管道截面积的变化关系将式 (8-49)代入连续性方程式 (8-33),消去 dρ/ρ,整理后得到
(8-50)
由这个关系式可以看出：
(1)对于亚音速流动,M<1,(M2-1)<0,式 (8-50)等号的两侧具有相反的符号 。 因此,随着管道截面的增加,流体的速度将降低；随着管道截面的减小,流体的速度将增大 。
A
A
u
uM dd)1( 2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异亚音速流动的这一特性与不可压缩流体的流动规律相似 。
由式 (8-50)还可以看出,对于亚音速流动,其流速的变化率
du/u大于管截面的变化率 dA/A。
(2)对于超音速流动,M>1,(M2-1)>0,式 (8-50)等号两侧具有相同的符号 。 因此,随着管道截面的增加,流体的速度将增大；随着管道截面的减小,流体的速度将降低 。 就是说,
超音速气流在收缩形管道内流动时,其流速将逐渐降低；而在扩张形管道内流动时,其流速将逐渐增加 。 超音速流动的这一特性与亚音速流动恰恰相反,其 内在原因 在于,在马赫数 M>1
的条件下,流体密度的变化率 dρ/ρ将大于其管道截面的变化率
dA/A。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(3)对于音速流动,M=1,由式 (8-50)可知
dA/A=0
可见,在变截面管道中,音速流动只能发生在 dA=0的截面上 。 dA=0的截面可能是最小截面,也可能是最大截面,现在要说明的是,音速流动只可能发生在最小截面处 。 因为具有最小截面的管道是具有喉部的管道,若喉部前为亚音速流,
则随着管道截面的逐渐收缩,气流将逐渐加速,这样才有可能增加到音速；若喉部前为超音速流,随着管道截面的逐渐收缩,
气流将逐渐减速,这样才有可能减小到音速 。 而在最大截面处之前若为亚音速流,则随管道截面的逐渐增加,气流将逐渐减速,这样不可能达到音速；若在最大截面处之前为超音速第五节 亚音速流动与超音速流动的差异流,则随管道截面的逐渐增加,气流将逐渐加速,这样也不可能达到音速 。 因此,在变截面管道中,音速流动只可能发生在喉部 (最小截面处 )。
三,不同马赫数下,流体密度随管道截面积的变化关系联立式 (8-49)和式 (8-50),消去 du/u,整理后得到
(8-51)
上式表述了不同 M数下流体密度 ρ 随管道截面积 A的变化关系 。
(1)对于亚音速流动,M<1,(1-M2)/M2>0,式 (8-51)等号的两侧具有相同的符号,即流体密度的变化与管道截面的变化具有相同的方向 。 就是说,随着管道截面的增加,流体的
A
A
M
M dd1
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异密度将增大,流体的体积受到压缩；随着管道截面的减小,流体的密度将减小,流体的体积得到膨胀 。
(2)对于超音速流动,M>1,(1－ M2)/M2<0,式 (8-51)等号的两侧具有相反的符号,即流体密度的变化方向与管道截面的变化方向相反 。 这就是说,随着管道截面的增加,流体的密度将减小,流体的体积得到膨胀；随着管道截面的减小,
流体的密度将增大,流体的体积受到压缩 。
由式 (8-51)看出,对于超音速流动来说,|(1－ M2)/M2|<1，
这说明流体密度的变化率 dρ/ρ大于管道截面的变化率 dA/A。
即 超音速气流在扩张形管道中流动时,其气流的体积膨胀率将大于管道截面的增长率,最终使气流进一步膨胀加第五节 亚音速流动与超音速流动的差异速；反之,当超音速气流在收缩形管道中流动时,其气流的体积收缩率将大于管道截面的收缩率,最终使气流减速 。
四,不同马赫数下,流体静压,静温随管道截面积的变化关系将等熵过程方程式和气体状态方程式的微分式 (8-36)和式
(8-35)分别代入式 (8-51),经整理 后得到
(8-52)
式 (8-52)表述了不同 M数下,流体的静压,静温随管道截面的变化关系 。
A
A
T
T
Mk
M
p
p
Mk
M dd
)1(
1d1
2
2
2
2
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
(1)对于亚音速流动,M<1,(1－ M2)/kM2>0,(1－ M2)/(k
－ 1)M2>0,式 (8-52)等号的两侧具有相同的符号,即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相同 。 因此,
随着管道截面的增加,流体的静压力和温度将升高；随着管道截面的减小,流体的静压力和温度将降低 。 就是说,亚音速流动的流体通过收缩形管道时,其静压力和温度是逐渐降低的,而流速是逐渐增大的 。 反之,亚音速流动的流体通过扩张形管道时,其静压力和温度逐渐升高,而流速逐渐降低 。
(2)对于超音速流动,M>1,(1－ M2)/kM2<0,(1－ M2)/(k
－ 1)M2<0,式 (8-52)等号的两侧具有相反的符号,即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相反 。 因此,
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异随着管道截面的增加,流体的静压力和温度将降低；随着管道截面的减小,流体的静压力和温度将升高 。 就是说,超音速流动的流体通过收缩形管道时,其静压力和温度将逐渐升高,
而流速则逐渐降低；超音速流动的流体通过扩张形管道时,其静压力和温度将逐渐降低,而流速则逐渐增大 。
通过上述分析,得出这样的 结论,在等熵流动的条件下,
要想获得超音速气流,必须具备 两个条件,第一,气流的上下游必须具有足够的压力差,即压力能的储备要足够大才有可能转化为较大的动能,以得到超音速气流； 第二,必须采用先收缩再扩张形的喷管,使亚音速气流在收缩段内加速至喉部达到音速,再经扩张段进一步膨胀加速而获得超音速 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异这种 具有喉部的收缩 ——扩张形喷管又称为 拉瓦尔喷管 。 它是以瑞典工程师拉瓦尔 (De Laval)而命名的 。 拉瓦尔喷管是获得超音速气流的主要装置,在近代工程技术上得到广泛的应用 。
为了便于比较,我们将等熵流动条件下,亚音速流动与超音速流动的主要物理差异,即主要流动参量沿程的变化规律列入表 8-2中 。
由表 8-2可以看出,具有足够压力能的完全气体,经拉瓦尔喷管等熵流动时,其流速和马赫数是逐渐增大的,而气流的静压力,温度,密度和音速是逐渐减小的 。 这体现了气流的焓降逐渐地转化为动能 。 气流的各个参量沿拉瓦尔喷管的变化曲线如图 8-7所示 。
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异表 8-2 一维等熵气流各参量沿程的变化趋势管段类型 M<1 M>1
渐缩管流速 u↑ 音速 a↓
静压 p↓ 马赫数 M↑
静温 T↓ 焓值 i↓
密度 ρ↓
流速 u↓ 音速 a↑
静压 p↑ 马赫数 M↓
静温 T↑ 焓值 i↑
密度 ρ↑
扩张管流速 u↓ 音速 a↑
静压 p↑ 马赫数 M↓
静温 T↑ 焓值 i↑
密度 ρ↑
流速 u↑ 音速 a↓
静压 p↓ 马赫数 M↑
静温 T↓ 焓值 i↓
密度 ρ↓
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异图 8-7 气流参量沿拉瓦尔喷管的变化第六节 完全气体的一维等熵流动内 容 提 要
一,流动参量与滞止参量间的关系
二,临界参量与滞止参量间的关系
三,流管有效截面与临界截面间的关系
四,无因次速度 Λ
五,完全气体一维流动的流速及流量的计算
(一 ) 流速的计算 (二 ) 流量的计算
(三 ) 低马赫数下流速的测量第六节 完全气体的一维等熵流动一,流动参量与滞止参量间的关系滞止参量 定义为气流速度为零条件下的参量 。 气体进行等熵流动时,其滞止参量是不变的 。 只要测出运动气体在某一截面上的流动参量,便可根据等熵流基本方程求得滞止参量 。
(1) 静温 T与滞止温度 T0间的关系对于完全气体的绝热流而言,不管流动是否等熵,其滞止温度 T0是不随过程而变化的 。
根据能量方程并注意到 CP=kR/(k－ 1)，,则可得到
0
2
2 TC
uTC
PP
TRka?
第六节 完全气体的一维等熵流动所以
(8-53)
上式表明,只要测得等熵流任一截面上的马赫数 M及其相应的静温 T,就可计算出气流的滞止温度 T0。
等熵流任意两截面上静温间的关系可表示为
(8-54)
需要说明的是，式 (8-53)和式 (8-54)既适用于等熵过程，也适用于非等熵的绝热过程。
2
2
2
0
2
11
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Mk
M
k
M
k
TT
TT
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T
第六节 完全气体的一维等熵流动
(2) 静压 p与滞止压力 p0间的关系根据等熵过程压力 p,密度 ρ和温度 T间的关系式
(8-20)
得将式 (8-53)代入上式得
(8-55)
等熵流任意两截面上静压间的关系为
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1
1
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1
2
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2
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k
k
k
k
k
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T
p
p
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T
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p
120 )
2
11( k kMk
p
p
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-56)
式 (8-55)和式 (8-56)在推导过程中,都应用了等熵过程的条件
(8-20),因此它们 只适用于等熵过程 。
(3)密度 ρ 与滞止密度 ρ 0间的关系已知等熵过程密度和温度间的关系为将式 (8-53)代入上式得
1
2
2
2
11
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k
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p
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T
T
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-57)
等熵流任意两截面上流体密度间的关系为
(8-58)
式 (8-57)和式 (8-58)只 适用于等熵过程。
(4)音速 a与滞止音速 a0间的关系因为音速,滞止音速,所以
(8-59)
1
1
2
2
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Mk
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T
T
TRk
TRk
a
a
第六节 完全气体的一维等熵流动对于完全气体一维稳定流动,任意两流动截面上音速的关系为
(8-60)
通过以上分析可以发现,完全气体在等熵流动过程中,其压力 p,温度 T和密度 ρ三者都随马赫数 M的变化而变化,但压力 p随马赫数 M的变化最快,而温度 T随马赫数 M的变化最慢 。
2
1
2
2
2
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Mk
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第六节 完全气体的一维等熵流动二,临界参量与滞止参量间的关系临界参量 定义为马赫数 M=1条件下的气流参量 。 临界条件下的气流速度 u*等于临界音速 a*,即 u*=a*。
根据能量方程 (8-40)可得所以
(8-61)
式 (8-61)表明,完全气体的临界速度 u*(或临界音速 a*)除与气体的种类有关外,仅取决于气体的滞止温度 T0,而与气体的滞止压力无关 。
1
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ku
k
a
k
a
第六节 完全气体的一维等熵流动临界参量与滞止参量间的关系可由式 (8-53),(8-55),(8-
57)和式 (8-59)直接导出,只要令 M=1,即可得到上式表明,临界参量与滞止参量间的比值关系只与气体的绝热指数 k有关,k值给定 后,临界参量与滞止参量之比为一定值 。
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1
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k
T
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kk
k
k
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动单原子,双原子和多原子气体的临界参量比列于表 8-3中 。
完全气体经拉瓦尔喷管等熵流动时,获得超音速流的压力条件为式中 pe为喷管出口处的静压,一般情况下它应与喷管外介质的压力 pb相平衡,即 pe=pb。
1
0
*
0
)12( k
k
e
kp
p
p
p
第六节 完全气体的一维等熵流动三,流管 (喷管 )有效截面与临界截面间的关系获得超音速流必须采用先收缩后扩张形的拉瓦尔喷管 。 拉瓦尔喷管的截面变化与马赫数 M互为联系 。 借助一维稳定流动的连续性方程
ρuA=ρ*u*A*=常数可以导出流管 (喷管 )有效截面的变化与马赫数 M之间的依变关系,即
(a)
注意到
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1
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kT
T
第六节 完全气体的一维等熵流动代入式 (a),得
(8-66)
图 8-8 截面比与马赫数的关系曲线
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k
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第六节 完全气体的一维等熵流动对于流管任意两截面的面积之比与相应 M数之间的关系为
(8-67)
一般在工程计算中,首先给出的条件常常是压力比 p/p0，
利用连续性方程也很容易导出有效截面比与压力比的关系 。
根据一维稳定流动的连续性方程,得已知
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第六节 完全气体的一维等熵流动由能量方程可得到
(8-78)
将以上四式代入式 (b),整理后得到
(8-68)
式 (8-68)为有效截面比与压力比的关系式 。 由该式可以看出,
当压力比 p/p0给定时,其有效截面比 A/A*也 就确定了 。
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第六节 完全气体的一维等熵流动四,无因次速度 Λ
在以上我们所导出的一些公式中,都是以马赫数 M作为无因次自变量,这虽然大大地简化了问题,但也有它的 不足之处,
即,(1)随着管道截面的变化,截面上的气流速度 u与当地条件下的音速 a都发生变化,因而 M数的变化是由 u和 a二者的变化共同决定的,这就使得 M数的计算比较复杂； (2)当管道中气流的速度非常高时,因气流温度的降低而使音速减小,故 M数非常大,以致趋于无穷 。 为了避免上述缺点,引用无因次速度 Λ
会更加方便 。 Λ的定义 为
(8-69)
*a
u
第六节 完全气体的一维等熵流动式中 u是任意截面上的气流速度； a*为临界状态下的音速,它只是滞止温度 T0的函数,而与流速无关 。 对于一确定的变截面管道内完全气体的绝热流动来说,a*是不变的 。
无因次速度 Λ与马赫数 M间的关系可按下式导出
(8-70)
或
(8-71)
图 8-9绘出了式 (8-70)所表示的曲线 。 由图中的曲线可以看出,Λ与 M之间具有一一对应 的关系,即
2
2
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*
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a
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2
kkM
第六节 完全气体的一维等熵流动
M=0时,Λ=0； M<1时,Λ<1,且 Λ>M；
M=1时,Λ=1； M>1时,Λ>1,且 Λ<M；
M=∞时,Λ= 。
图 8-9 无因次速度 Λ 与马赫数 M的关系曲线 (k=1.4)
1
1
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动引入无因次速度 Λ后,我们可将各流动参量与滞止参量间的比值关系表示成以 Λ为自变量的无因次函数式 。 将式 (8-71)
分别代入式 (8-53),(8-55),(8-57),(8-59)和 (8-66),即可得到
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第六节 完全气体的一维等熵流动五,完全气体一维流动的流速及流量的计算
(一 )流速的计算由能量方程 (8-25)得则完全气体一维绝热流动的流速为
(8-77)
对于等熵过程有,并注意到状态方程 p/ρ=RT，
代入式 (8-77),得
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T
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)(
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-78)
或 (8-78a)
注意到,所以,以上三式也可写成无因次方程的形式,即
(8-79)
由式 (8-78)或 (8-78a)可以看出,可压缩流体的流动速度取决于上下游流体的压力比 p/p0,而不可压缩流体的流动速度则取决于上下游流体的压力差 p0-p=Δp,计算时要引起注意 。
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u 1
00m a x
)(11
第六节 完全气体的一维等熵流动如果已知的条件不是滞止条件,而是流体具有一定速度的流动条件,这时流体的流速公式同样可由能量方程推得,结果为
(8-80)
或
(8-80a)
式中 p1,T1,ρ1和 u1为 1截面上的流动参量； p2,T2,ρ2和 u2为 2
截面上的 流动参量 。
2
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1
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2 u
p
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1
1
2 ])(1[1
2 u
p
pp
k
ku kk
第六节 完全气体的一维等熵流动
(二 )流量的计算根据连续性方程 G=ρuA(注：为了与马赫数的符号 M区别起见,自本章起流体的质量流量用符号 G表示 ),并注意到便可得到完全气体一维等熵流动的质量流量计算公式
(8-81)
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k
k
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k
k
k
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p
p
p
p
p
k
k
A
p
pp
k
k
p
p
AAuG
第六节 完全气体的一维等熵流动式 (8-81)表明,一维等熵流动的流体的质量流量 G是压力比 p/p0
的函数,即当气流的滞止参量和管道截面积 A给定后,质量流量 G只与该截面上的压力比 p/p0有关 。
质量流量 G与流动马赫数 M之间 的函数关系,也可通过连续性方程导出 。 已知
(8-82)
代入一维连续性方程,整理后得到
(8-83)
2
1
2
0
02
1
2
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1
1
2
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2
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1(
M
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M
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k
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2
00 )2
11( kkMkMpkAG?
第六节 完全气体的一维等熵流动或
(8-83a)
式 (8-83)和式 (8-83a)就是一维等熵流的质量流量 G依变于马赫数 M的函数关系式 。 当气流的滞止参量和管道截面积给定后,
流体的质量流量只随该截面上的马赫数而变化 。
如果令 (8-84)
(8-85)
则式 (8-83a)可以 写成以下形式
(8-86)
)1(2
1
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k
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k
m
)(
0
0 Mq
T
pAmG?
第六节 完全气体的一维等熵流动对于给定的气体,m=常数 。 常用气体的常数 m值列于表 8-4中 。
比较式 (8-85)和式 (8-66),可以发现
(8-87)
q(M)值由等熵流函数表可以查得 。
如果用无因次速度 Λ代替马赫数 M,由式 (8-83a)可得质量流量的又一种表达形式 (8-88)
其中
(8-89)
以上所导出的流量计算公式,对于任意截面上的亚音速流动或超音速流动都适用 。
A
AMq *)(?
1
12
*
0
0
]
2
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)(
k
kk
A
A
q
q
T
pA
mG
第六节 完全气体的一维等熵流动在流体的滞止参量给定不变的情况下,随管道上下游压力比 pb/p0的降低,管中气流速度和质量流量将不断增大,当流动达到临界状态时,流体的质量流量将达到最大值 。 它不再随管道上下游压力比 pb/p0的降低而改变,这种现象称为 壅塞现象 。 现可简单证明如下：
根据式 (8-83)或式 (8-83a),令 dG/dM=0,可 得由此解出 M=1,即在流速等于音速的临界状态下,流体的质量流量最大 。 在式 (8-83)中只要令 M=1,并注意到 A=A*,即可得到最大的质量流量为
0)2 11(2 11 122MkMk
第六节 完全气体的一维等熵流动
(8-92)
或
(8-92a)
式 (8-92)为超临界状态下流体的质量流量计算公式 。 该公式也可由连续性方程 G=ρ*u*A*直接 得到 。
(三 )低马赫数下流速的测量对于流速较高,压力变化较大的可压缩流体,如果要用测得的流体的全压 p0和静压 p,并根据伯努利方程按不可压缩流体来计算其流速时,将会带来较大的误差 。 因此,当用毕托管等测量可压缩流体的总压和静压后,要根据伯努利方程来近似计算低马赫数流动流体的流速时,就必须进行必要的修正 。
0
0*
0
0*)1(2
1
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1
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k
G
k
k
k
k
第六节 完全气体的一维等熵流动显然,对于不可压缩流体,有
(8-93)
而对于可压缩流体用二项式定理展开上式,得则 (8-94)
pppu 2)(2 0
120 )
2
11( k kMk
p
p
6420 )2(48821 MkkMkMkpp
)24241(21 4
2
2
0
MkMMpkpp
第六节 完全气体的一维等熵流动又因为 (8-95)
则式 (8-94)可写成
(8-96)
由式 (8-96)可写出可压缩流体低马赫数流动的速度公式
(8-97)
由式 (8-95)可以看出,马赫数 M越大,其修正系数 ε之值越高 。
因此,若按不可压缩流体的速度公式 (8-93)来计算可压缩流体的流速时,将会产生很大 的误差 。
2
0 2
1 upp
4
2
2
2
2
24
2
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1
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2
1
M
kM
u
TRk
u
TRkMpk
pppu 2)(2 0
第六节 完全气体的一维等熵流动当 k=1.4时,
(8-98)
图 8-10绘出了 (8-98)的计算结果 。 同时为了计算方便起见,
将式 (8-98)所表示的 ε与 M数的关系列于表 8-5中 。
图 8-10 修正系数 ε 随马赫数 M的变化曲线 (k=1.4)
4041
42 MM
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征内 容 提 要
喷管各截面上流动参量的变化规律
壅塞现象第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征图 8-11a所示的为收缩形喷管,它连通着两个具有不同压力的空间,喷管进口前的压力为 p0(滞止压力 ),喷管出口后的压力为 pb,通常称作背压 。 我们以 pe表示喷管出口截面上的压力 。 若已知喷管截面的变化规律及流体的滞止状态参量 p0，
T0,ρ0和背压 pb,则由上节所讨论的公式不难确定整个喷管各截面上的各种流动参量 。 图 8-11b,c中的曲线,表示在不同的背压条件下管内压力分布曲线和流体流动速度 (M数 )的分布曲线 。
若 pb/p0=1,则喷管中的压力为常数,如图中曲线,Ⅰ,所示,此时管内并无流体流动,各截面上的马赫数都为零 。 若背压 pb稍有下降,则喷管内将有流体流过,喷管各截面上第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征图 8-11 收缩形喷管工作特性第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征的压力和马赫数都随之发生变化 。
利用式 (8-55),由 p0/pb可求出喷管出口马赫数 Mb,即
(8-99)
利用式 (8-83),由 Mb可求出质量流量 G,即
(8-100)
质量流量 G对于 pb/p0的变化曲线如图 8-11d所示 。
喷管中各截面上的马赫数 M可由式 (8-67)得到
(8-101)
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1
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00 )2
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M
M
M
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M
k
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M
A
A
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征喷管中 M对 A/Ab的分布曲线如图 8-11c所示 。
喷管中各 截面上的压力 p的分布可由式 (8-55)与式 (8-101)中的 M解得 。 p/p0对于 A/Ab的分布曲线如图 8-11b所示 。
显然,背压 pb越低,管中同一截面上的压力越低,马赫数越大,且喷管中通过的流量越大 。 在出口流速达到音速之前,
上述曲线只有数值上的差别而无本质区别 。 而且出口的压力 pe
与背压 pb相等 。 如图 8-11b,c中的,Ⅱ,及,Ⅲ,线所示 。
但是,当 背压 pb下降到一定的程度时,出口流速达到音速,
此时喷管流量达到最大值 。 我们已知,音速流动只能发生在喷管 的 最 小 截 面 处,故 此 时 喷 管 出 口 处 为 临 界 状 态,
ue=u*=a*,pb/p0=pe/p0=p*/p0= 。 若背压 pb/p0继续 下降,
1)
1
2(?
k
k
k
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征则 出口压力 pe/p0=p*/p0不会改变,但 pb/p0<pe/p0。 而管中的压力分布及马赫数分布仍如图 8-11b,c中的,Ⅳ,线所示,流体的质量流量 G保持为常数 。 这种现象则为前面所说的 壅塞现象,
即通过喷管的质量流量是有限制的,这正是可压缩流体在收缩形喷管中流动的重要特性之一 。
第八节 喷管的计算内 容 提 要
一,拉瓦尔喷管的计算
(一 ) 一般计算法
(二 ) 焓 —熵图计算法
(三 ) 气体等熵流函数表计算法
二,收缩形喷管的计算第八节 喷管的计算喷管的计算分两种情况,设计计算 和 校核计算 。
设计计算,是在已知气体的 原始参量和气体流出后的参量的情况下,根据要求的流量,计算喷管的结构尺寸,主要有临界截面积 A*,喷管的出口截面积 Ae,喷管各段的长度 (收缩段长度 Lc和扩张段长度 Ld)等 。
校核计算,是在已知喷管几何尺寸和压力比的情况,计算喷管的临界流速,出口流速和质量流量 。
在喷管计算时,因容器 中 (或气罐内 )气体的流速相对于气体出流速度很小,可近似认为 u0=0,且不考虑喷管中的阻力损失 。
第八节 喷管的计算一,拉瓦尔喷管的计算拉瓦尔喷管的计算方法一般有三种,即 一般计算法,焓 —
熵图计算法 和 气体等熵流函数表计算法,下面分别介绍 。
(一 )一般计算法
1.喷管中的气流速度：
气体经喷管出口处的流速，按式 (8-78)计算，即临界速度按式 (8-61)计算，即出口速度与临界速度之比为
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1
0
0
k
k
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e p
pRT
k
ku
1
2 0
* k
k R Tu
第八节 喷管的计算
(8-102)
可见,当气体的种类一定时,比值 ue/u*仅随压力比 pe/p0而变 。 其变化数值列于一维等熵流函数表中 。 在工程实际中,为防止压力波动带来的影响,一般应使出口压力 pe略大于外界环境压力 pb。
2.喷管中气体的流量：
喷管中气体的流量,对于设计计算 为已知量；对于校核计算为应计算的量 。 若喷管出口截面积为 Ae,则出口处气体的质量流量可按式 (8-81)计算,即
])(1[11
1
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k
k
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p
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k
u
u
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1
0
2
0
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k
k
eke
e p
p
p
pp
k
kAG
第八节 喷管的计算
3.喷管的截面积：
喷管出口截面积可按式 (8-81)计算,即
(8-103)
喷管的临界截面积可按 式 (8-92)计算,即
(8-104)
将给定气体的 k及 R之值代入上式,得简化式为对于空气
(8-104a)
])()[(
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0
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k
k
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p
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1
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k
k
k
k
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744.2446.1
p
TG
p
GA
第八节 喷管的计算对于氧气
(8-104b)
4.出口马赫数：
喷管的出口马赫数 Me可按式 (8-99)计算,即
(8-105)
或按马赫数的定义式计算,即
5.扩张段和收缩段长度：
由实验测得扩张段的扩张角取 β=6° ～ 8° 为宜,则扩张段的长度为
0
0
00
*
57.2346.1
p
TG
p
GA
]1)[(12
1
0?
k
k
e
e p
p
kM
e
e
e
e
e k R T
u
a
uM
第八节 喷管的计算
(8-106)
式中 de为喷管出口直径,d*为临界截面直径 。
确定收缩段长度的方法有两种：
(1)由实验测得收缩段的收缩角取 α=30～ 45° 为宜,则收缩段的长度为
(8-107)
式中 d0为气体导管直径。
(2)取收缩段曲率半径 R等于临界直径 d*的三倍作图，即
R=3d*，圆心在临界直径的延长线上，见图 8-12。
2
tg2
*
ddL e
d
2
tg2
*0
ddL
c
第八节 喷管的计算图 8-12 拉瓦尔喷管各主要尺寸在上述喷管的计算中,没有考虑摩擦损失,但实际气体是有粘性的,气体在喷管中流动时必然会产生摩擦阻力损失,因此对上述计算中的流速和截面积应该进行修正 。
在考虑摩擦损失的情况下,实际流速为
us=φu (8-108)
第八节 喷管的计算式中 φ为速度系数,对于可压缩流体,由实验确定其值为 φ=
0.96～ 0.99。
同样可得喷管实际截面积为
As=A/φ (8-109)
另外,对于实际气体,由于粘性内摩擦的作用,其理论上的临界流速并非出现在喷管的临界截面上,而是在临界截面的下游 。 再者,为了减弱喷管收缩段向扩张段的突变,减小局部阻力,一般临界截面需要保留少许等直径段,如图 8-12所示 。
等直径段的长度一般取 δ=(0.5～ 1.0)d*。
第八节 喷管的计算
(二 )焓 —熵图计算法可压缩流体在绝热膨胀时,流体的压力,密度,内能和速度均有变化,但在流动的任意截面上,其总能量是相等的 。 应用绝热过程的能量方程式即可求得喷管中任意截面的气流速度
u,若 u0=0,根据式 (8-25)可得即 (8-110)
根据连续性方程可求得喷管中任意截面的面积 A,即
G=ρuA
所以 (8-111)
)(2
2
0
2
0
iiu
u
ii
)(2 0 ii
G
u
GA
第八节 喷管的计算根据式 (8-16)和式 (8-3)及式 (8-30)可求得喷管中任意截面上的音速 a,即所以 (8-112)
应用式 (8-110)和式 (8-112)可求得喷管中任意截面上的马赫数 M,即
(8-113)
可压缩流体的焓值 i可由其相应的焓 — 熵图中查得 。 氧气的 i值可由图 8-13中查 得 。
ika
k
a
T
k
Rk
TCi P
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11
2
)1(12
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)(2 00?
i
i
kik
ii
a
uM
第八节 喷管的计算
(三 )气体等熵流函数表计算法为了简便而又准确地计算超音速喷管,可采用气体等熵流函数表,在已知 p/p0的 条件下,查出各参量的比值和截面比,
即可确定喷管的出口参量和截面尺寸 。
第八节 喷管的计算二,收缩形喷管的计算当气流出口压力比等于或大于临界压力比,即
,一般都采用收缩形喷管,这种条件下的气流出口速度只能达到音速或亚音速,故称这种收缩形喷管为音速喷管或亚音速喷管 。 这类喷管的关键几何参量是喷管出口截面积,因此,设计收缩形喷管,主要是确定喷管的出口截面积 。 收缩段的收缩角一般取 30° ～ 45°,收缩段的长度应根据输气管的内径确定 。 有时为了改进气流特性,收缩段的末端可增加少许直管段 。 收缩形喷管的计算步骤类同于拉瓦尔喷管,这里不再举例说明 。
1
0
*
0
)12( k
k
b
kp
p
p
p
第九节 激 波内 容 提 要
一,激波的概念和类型
二,正激波的形成和传播速度
三,正激波前后气流参量的关系
四,斜激波的形成
五,斜激波前后气流参量的关系
六,超音速气流过度膨胀形成的激波第九节 激 波一,激波的概念和类型激波又称 冲击波,它是超音速气流在前进过程中遇到障碍物的阻滞或受到突然压缩时而出现的一种特殊的物理现象 。
激波是一种强压缩波 。 亚音速气流遇到阻滞或压缩时不会出现激波 。
如图 8-15所示,当超音速气流流过大的障碍物时,气流在障碍物前受到急剧的压缩,其压力和密度突然显著地增加 。 这时所产生的强压力扰动波将以比音速大得多的速度向周围传播,
波面所到之处气流各参量将发生突然的变化 。 这种强压力扰动波就称为 激波,或称为 冲击波 。 气流通过激波面时,速度突然减小,而压力,密度和温度突然增大 。
第九节 激 波图 8-15 激波示意图激波有三种类型：
正激波,激波面与气流的来流方向垂直,气流通过正激波后不改变来流的方向 (如图 8-16a)。
斜激波,激波面与气流的来流方向不垂直,气流通过斜激波后要改变流动方向 (如图 8-16b)。
第九节 激 波曲面脱体激波,简称 曲激波,它是由正激波 (在中间部分 )
和斜激波系组成的 (如图 8-16c)。
图 8-16 激波的类型对于既无粘性又不导热的完全气体来说,激波面成为一种数学上的间断面,激波的厚度等于零 。 这种现象在物理上实际是不可能的,在实际气体中,必须考虑粘性和热传导对激波第九节 激 波的影响 。 由于粘性的存在,在激波中必然形成一个极薄层的过渡区,在过渡区中各参量发生连续的变化 。 所以 在实际气体中,激波是有一定厚度的 。 气体分子运动学说证明,激波厚度与气体分子的平均自由程是同一数量级,约为 10－ 4～ 10－ 5毫米,如图 8-17所示 。 各气流参量就在这个极小的激波厚度内连续地进行变化 。 所以在工程计算时也可以认为各气流参量是在一个几何断面上突然变化的,这就是说,可以把激波看作是一个不连续的间断面 。
图 8-17 激波的厚度第九节 激 波气流经过激波时,受到急剧地压缩,由于时间极短,因粘性内摩擦作用所产生的热量来不及外传,而使气流的熵增加 。
所以,激波的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程,即非等熵过程 。 也就是说,超音速气流经过激波后,气流中的部分动能将不可逆的转变为热能而损失掉 。 因而产生一种超音速气流所特有的阻力损失,这种阻力损失称为 波阻 。 波阻的大小与激波的形状有着密切的关系 。 实验和理论都证明,气流通过正激波时的波阻最大 。
第九节 激 波二,正激波的形成和传播速度
(一 )正激波形成的物理过程为了 说明正激波形成的物理过程,让我们 观察 图 8-18所示的 理想化模型 。 在一个直圆管中充满静止气体 。 若使活塞突然向右作加速运动,其速度从零迅速增加到 u,然后再作等速运动 。 活塞右侧的静止气体受压后被扰动而形成一个压缩波向右移动,已被扰动的气体的压力由 p1迅速升高到 p2,设 p2-p1是一个有限的压力增量 。 为分析方便起见,假定把活塞的突然加速运动看作是由一系列经过相等的无穷小时间间隔而发生的瞬时微小加速运动组合而成,每次的速度增量均为 du,而有限的压力增量 Δp=p2-p1可看作是无数个无穷小压力增量 dp的 总和 。
第九节 激 波图 8-18 正激波形成的过程第九节 激 波由此可 认为在活塞右侧形成的压缩波是由一系列微弱扰动波叠加而成,每一个微弱扰动波的压力增量均为 dp。 在活塞向右加速运动的第一个瞬间,产生第一个微弱扰动波以音速 a1传播到未被扰动的静止气体中去,该扰动波过后气体由静止状态变为微小的运动状态,其运动速度为 du,产生的压力增量为 dp；紧接着,在活塞向右加速运动的第二个瞬间,产生第二个微弱扰动波以音速 a2传播到已被第一个微弱扰动波扰动过的气体中去,
其绝对传播速度为 a2+du,该扰动波过后气体的运动速度从 du
增加到 2du,压力增量由 dp增加到 2dp；在活塞向右加速运动的第三个瞬间产生第三个微弱扰动波以音速 a3传播到已被第二个微弱扰动波扰动过的气体中去,其绝对传播速度为 a3+2du,
第九节 激 波该扰动波过后气体的运动速度从 2du增加到 3du,压力增量由
2dp增加到 3dp；与此类似,在活塞向右加速运动的第 n个瞬间,
产生第 n个微弱扰动波以音速 an传播到已被第 n-1个微弱扰动波扰动过的气体中去,其绝对传播速度为 an+(n-1)du,该扰动波过后气体的运动速度从 (n-1)du增加到 ndu,压力增量由 (n-1)dp
增加到 ndp；余此类推,当 n→∞时得到最后一个微弱扰动波的绝对传播速度为 a∞+u,最后一个微弱扰动波过后气体的速度增加到 u,压力增量增加到 Δp=p2-p1。 此外,每当一个微弱扰动波过后,气体的压力,密度和温度都略有增加,根据音速公式
a= 因此有 a1<a2<a3… <an,就是说后面的弱扰动波的传播速度要比前面的弱扰动波的传播速度为大 (绝对传播速度
,kRT
第九节 激 波
a1<a2+du<a3+2du… <a∞+u)。 经过一段时间后,后面的弱扰动波一个一个追赶上前面的弱扰动波,波形变得愈来愈陡,最后叠加成一个垂直于流动方向的具有压力不连续面的压缩波,它以大于音速的速度向前稳定传播,这就是正激波 。 由此可知,正激波可认为是由许多微弱扰动波叠加而成的具有一定强度的以超音速传播的压缩波 。 气流经过正激波后,除压力突跃地上升外,其密度和温度也同样突跃地增加,而流速则突然降低 。
(二 )正激波的传播速度如图 8-19所示,在充满静止气体的直圆管中,若使活塞突然向右加速移动,管内就产生了一个强烈的压缩波,即正激波向右推进 。 假定在 dτ时间内波面由 2-2移到 1-1,其间距为 dx,
第九节 激 波则激波面的推进速度 (传播速度 )为 uw=dx/dτ。 同时,2-1区域内气体的压力和密度由 p1和 ρ1增加到 p2和 ρ2。 取 2-1区域为控制体,
于是,在时间 dτ内,2-1区域 内气体的质量变化为
dm=(ρ2－ ρ1)Adx (a)
式中 A为圆管的横截面积 。
与此同时,气流由 3-2区域进入 2-1区域的质量 为
dm=ρ2uAdτ (b) 图 8-19 正激波的传播式中 u为激波过后气流的速度 。
根据连续性条件,式 (a)必与式 (b)相等,于是得到激波的传播速度与激波后气流的速度的关系为第九节 激 波
(c)
在时间 dτ内,原来在 2-1区域内的气体从静止状态进入速度为 u
的运动状态 。 由 动量定理可知,对应的动量变化量应等于作用力的冲量,而作用力是作用在 2-2和 1-1截面上的压力差,即
(p2－ p1)Adτ=ρ1Adx(u－ 0)
整理得
(d)
由式 (c)和式 (d)消去 u,即得到 正激波在静止气体中的传播速度为
(8-114)
12
2
wd
d
uux
u
ppux
1
12
wd
d
1
2
12
12
w?
ppu
第九节 激 波如果波的强度很弱,压力和密度的增加量都极微小,即 p2≈p1，
ρ2≈ρ1,于是可将式 (8-114)写成即微弱的压缩波是以音速传播的 。
由式 (c)和式 (d)消去 uw,得到 波面后气流的速度为
(8-115)
由此可见,激波的强度愈弱,波面后气体的流速愈低 。 如果是微弱的声波,波面后的气体是没有运动的 。 因为由式 (8-115)可看出,在 p2≈p1和 ρ2≈ρ1时,u≈0。
apppu dd
1
2
12
12
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1212 )()(
ppu
第九节 激 波三,正激波前后气流参量的关系为了研究方便起见,假设直圆管中的气流以激波的传播速度向左流动,这时,正激波的波面在管内将固定不动,处于相对静止状态,如图 8-20所示 。 这样就有 u1=uw,u2=uw-u,流速方向向左；超音速气流经过正激波时发生突然压缩,流速 u1突然下降到 u2,压力,密度和温度则由 p1,ρ1和 T1突然升高到 p2、
ρ2和 T2。 下面我们就利用连续性方程,动量方程,能量方程和状态方程等来寻求正激波前后各气流参量之间的关系 。
取控制体,1122”如图 8-20所示 。 由于圆管的截面不变,
所以连续性方程和动量方程可写成
ρ 1u1=ρ 2u2 (1)
第九节 激 波图 8-20 正激波前后气流参量的变化
p1-p2=ρ １ u1(u2-u1) (2)
或 p1+ρ 1u12=p2+ρ 2u22 (2′ )
第九节 激 波气流通过正激波的过程是绝热的压缩过程,所以气流在激波前后的总能量相等,并保持不变,即
(3)
正激波前后气体的状态方程
(4)
利用以上诸方程,可以求得正激波前后各气流参量之间的关系 。
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第九节 激 波
(一 )正激波前后压力,密度关系式由动量方程式 (2)可得上式两边同乘以 (u2+u1),得注意到连续性方程 (1),上式可写成
(5)
由能量方程式 (3)可得
(6)
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第九节 激 波由式 (5)和式 (6)得到上式两边同乘以 ρ2/ρ1,得到
(7)
将式 (7)整理后,得到
(8-116)
(8-117)
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或第九节 激 波式 (8-116)和式 (8-117)就是气流经过正激波时受到突跃压缩的压力,密 度 关 系 式 。 与 等 熵 过 程 的 压 力,密度关系式
ρ2/ρ1=(p2/p1)1/k相比较可以看出,等熵压缩时,当 p2/p1→∞,则
ρ2/ρ1→∞,即等熵压缩时,气体的密度随其压力的升高可无限增加；而激波压缩时,当 p2/p1→∞,则 ρ2/ρ1→(k＋ 1)/(k－ 1)，
即 激波压缩的强度无限增大时,气体的密度最多增加 (k+1)/(k-
1)倍 。 例如,当 k=1.4时,气体的密度最多只增加 (k+1)/(k－
1)=6倍 。 图 8-21绘出了等熵压缩和激波压缩的密度 (ρ2/ρ1)与压力 (p2/p1)的依变关系 。
第九节 激 波图 8-21 密度与压力的关系 图 8-22 温度与压力的关系
1-激波过程； 2-等熵过程 1-激波过程； 2-等熵过程第九节 激 波
(二 )正激波前后压力,温度关系式将式 (8-117)的分子,分母同乘以 (k-1)/(k+1),代入状态方程式 (4),整理后得到
(8-118)
对于等熵过程而言,温度,压力关系式为图 8-22绘出了等熵压缩和激波压缩的温度变化曲线 。 从图中可以看出,对于同一个 (p2/p1)值而言,激波压缩 的温度上升要比
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第九节 激 波等熵压缩的温度上升高 。 这表明激波压缩过程中有一部分机械能转化成了热能 。 因而激波压缩要比等熵压缩温度升高得快,
从而使气流密度 (ρ2/ρ1)值增大得比等熵过程小 。
(三 )正激波前后速度关系式将式 (2′)的两边同除以 ρ1,并注意到连续性方程式 (1),得
(8)
由能量方程式 (3)可得
(9)
(10)
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第九节 激 波将式 (9)和式 (10)代入式 (8),简化后得到
(u2-u1)u1u2=(u2-u1)a*2
因为 u2≠u1,所以上式可写成
(8-119)
或写成无因次形式为
(8-119a)
由式 (8-119)可以得到 重要结论,超音速气流通过正激波后一定变成亚音速气流 。 正激波前的速度 u1越大,正激波后的速度 u2
就越小 。 当速度 u1≈a*时,激波就不存在了 。 所以,正激波后的气流速度永远小于临界音速 a*。
2*21 auu?
121
第九节 激 波将式 (8-70)代入式 (8-119a),可得到正激波前后马赫数间的关系,即
(8-120)
根据式 (8-120),给出正激波前的马赫数 M1值,就可以求得正激波后的马赫数 M2值 。 图 8-23绘出了正激波前后马赫数的依变关系曲线 。 由图中可以看出,M1由 1开始增大,而 M2由
1开始减小； 当 M1趋于无穷时,M2的极限是 。 这表明,
波前 M1数值越大,正激波对超音速气流的阻滞作用越强,M2
数值就越小 。 当 M1接近于 1时,M2也接近于 1。
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第九节 激 波图 8-23 正激波前后马赫数的关系
(四 )正激波前后气流参量比与波前 M1数的关系式由连续性方程式 (1)得
(8-121)
将式 (8-70)代入式 (8-121)，得
2
12
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第九节 激 波
(8-122)
将式 (8-122)代入式 (8-116),整理后得
(8-123)
将式 (8-122)和式 (8-123)代入状态方程,可得到正激波前后的温度比与马赫数 M1的关系式,即
(8-124)
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第九节 激 波由连续性方程式 (1),可得到正激波前后气流速度比为
(8-125)
正激波前后气流的滞止压力比是激波压缩过程不可逆的度量,其比值关系式可导出如下将式 (8-55)和式 (8-123)代入上式,并注意到式 (8-120),整理后得到
(8-126)
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第九节 激 波由式 (8-126)可以看出,随着正激波前气流马赫数 M1的增加,
正激波前后气流的滞止压力比 p02/p01将减小 。 这说明 超音速气流经过正激波后,其滞止压力是降低的,并且激波的强度越大,波后气流的滞止压力降低得越大 。
式 (8-122)至式 (8-126)表示的正激波前后各气流参量比,都是正激波前马赫数 M1的函数 。 所以,当波前各气流参量已知时,就可以由这些公式求得波后各气流参量之值 。 为了工程计算方便起见,上述各式已制成函数表,即正激波函数表,工程计算时可直接查表 。
第九节 激 波四,斜激波的形成斜激波的形成同样可以 认为是由无数微弱扰动波叠加的结果 。 为了说明斜激波的形成过程,我们先研究超音速气流流过凹钝角的情况 。 设超音速气流以等速 u1沿着直壁 OA稳定流动,
在 A点处有一向内凹的微小折转角 dθ,如图 8-24所示 。 由于 A
点处 dθ的存在,就设置了一个扰动源,并形成一微弱扰动波沿马赫线 AB传播开来 。 气流经过 AB后向上折转了一个 dθ角,气流的截面积减小了 。 于是,气流受到压缩,流速有微量减小,
同时压力,密度和温度也有微量增加 。 这种波为微弱压缩波 。
第九节 激 波图 8-24 超音速气流流过微小凹钝角 图 8-25 斜激波的形成假如 A点处的折转角是一个有限值 θ,如图 8-25所示,则可认为它是由无限多个 dθ组合而成的 。 而每一个 dθ的存在都可产生一个微弱扰动波,因此在 A点处可产生无限多个微弱扰动波,
并形成无限多条马赫线 (即扰动线 )。 第一条马赫线 AB1与原来气流方向 u1的夹角为 α1=sin-1(1/M1)； 最后一条马赫线第九节 激 波
AB2与转折后气流方向 u2的夹角为 α2=sin-1(1/M2)。 由于 u2<u1，
a2>a1,所以 M2<M1,α2>α1。 这说明,最后一条马赫线是在已经扰动的区域内,而且在马赫线 AB1之前,显然,这在实际上是不可能实现的 。 因此,唯一的可能就是这些马赫线重合叠加在一起,形成一个间断面 。 虽然每条马赫线的扰动是微弱的,但是,无限多个微弱扰动重叠在一起,就形成一个强烈扰动的间断面 。 这个间断面就是斜激波的波面,即斜激波,它与来流的方向成 β角,这个倾斜角称为斜激波角,一般它大于来流的马赫角 。
当超音速气流流经楔形物体时,在物体的尖端也将会产生两道斜激波 (如图 8-15a)。
第九节 激 波如果超音速气流沿着连续弯曲的凹壁面流动,则在壁面上的每一点气流都折转一个微小角度 dθ。 这样就有无限多的马赫线,在壁面上形成一压缩波组,在离壁面一定距离处相交,最后形成一条曲线激波 BT,如图 8-26所示 。 由于
BT线上 各点的速度不同,所以在曲线激波后的气流必为涡流 。
图 8-26 超音速气流流过凹壁面形成的曲线激波第九节 激 波从以上分析中可以看出,斜激波形成的原因是由于超音速气流受到凹钝角或凹曲壁面的压缩 。 气流经过斜激波后压力突然升高,流速突然降低 。 由此可见,当超音速气流流入高压区
(p2>p1)时,以及在超音速气流中任何一点压力作有限升高时,
也都会产生激波 。 超音速气流经过斜激波后,它的流动参量都要发生突变 。
第九节 激 波五,斜激波前后气流参量的关系设在超音速气流中某处出现一斜激波,如图 8-27所示,波前的气流参量为 u1,p1,ρ1和 T1,波后的气流参量为 u2,p2,ρ2
和 T2；激波面与来流的夹角为 β,波后气流速度 u2与波前气流速度 u1间的夹角为 θ。 为了便于分析斜激波前后气流参量之间的关系,把激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度 u1n和
u2n以及与波面平行的分速 度 u1τ和 u2τ。
由于通过激波面的流量与沿波面的分速度 uτ无关,
故连续性方程为 图 8-27 斜激波第九节 激 波
ρ1u1n=ρ2u2n (a)
在垂直于波面方向上的动量方程为
p1-p2=ρ1u1n(u2n-u1n)
或 p1+ρ1u1n2=p2+ρ2u2n2 (b)
由于经过斜激波气流压力增加 (p2>p1),由上式可知,经过斜激波气流的法向分速度必然减小 (u2n<u1n)。 由于沿激波面方向压力没有变化,所以在平行于波面方向上的动量方程为
ρ1u1n(u2τ-u1τ)=0 (c′ )
或 u1τ=u2τ=uτ (c)
即当气流经过斜激波时,波前波后的切向分速度不变 。 这样,
当气流经过斜激波时,只有法向分速度发生变化 。 因此,我们第九节 激 波可将斜激波看作是对于法向分速度的正激波 。 进而可借用正激波的公式来求斜激波前后各气流参量的关系 。 以法向分速度的马赫数
(d)
取代式 (8-122),(8-123)和 (8-124)中 M1,就可得到斜激波前后相应参量之比,即
(8-128)
(8-129)
(8-130)
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第九节 激 波同样 (8-131)
斜激波前后马赫数的关系,可借用式 (8-120)求得,分别以
(e)
代替式 (8-120)中的 M1和 M2,则有
(8-132)
斜激波角 β与波后气流折转角 θ的关系可按以下方法导出：
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第九节 激 波
(f)
由于 u1τ=u2τ,u2n/u1n=ρ1/ρ2,并注意到式 (8-128),则以上两式相比,得
(8-133)
进一步整理,得
(8-134)
上述关系式给出了斜激波前后各气流参量间的关系 。 但是,
若仅已知波前的气流参量,还不能确定波后的气流参量,其原因是斜激波角 β 不能由波前的参量来确定 。 因此,必须补充一个波后条件,通常是给定气流的折转角 θ 或波后压力 p2。
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第九节 激 波六,超音速气流过度膨胀形成的激波当气流经拉瓦尔喷管膨胀加速,并达到超音速后,如果在喷管出口截面上气体的压力低于外界环境压力时,称为 气流过度膨胀 。 当超音速气流流入高压区时,将会产生激波 。 如果喷管出口截面气体的静压为 pe,外界环境气体的静压为 pb,且
pe<pb,则在压差 Δp=pb-pe的作用下,出流气体边界将向轴线方向收缩,如图 8-29所示 。 由于气流截面逐渐缩小,超音速气流受到压缩,在管口边缘将形成斜激波 。 气流内外的压差越大,
气流的收缩角越大,斜激波的强度就越大,到一定程度时,两斜激波相交,在气流中部出现正激波,如图 8-30中的 ac为斜激波,cc为正激波 。 随着气流内外压差的进一步增大,正第九节 激 波图 8-29 管口外斜激波图 8-30 管口外正激波和斜激波 图 8-31 正激波进入管口第九节 激 波激波将向管口靠近,直至进入管口,如图 8-31。 由式 (8-119)可知,超音速气流通过正激波后将变为亚音速气流,因此,在设计超音速喷管时,截面比 A/A*的选择必须与压力比 pb/p0相适应,
以免出现正激波 。
第十节 膨 胀 波内 容 提 要
一,膨胀波的概念
二,膨胀波前后气流参量的关系
三,气流不充分膨胀形成的膨胀波第十节 膨 胀 波一,膨胀波的概念膨胀波 是音速或超音速气流在膨胀加速过程中出现的一种物理现象 。 如图 8-32所示,设超音速气流沿直壁面作稳定流动,
壁面在 A点处向外折转一个微小角度 dθ。 由于 dθ的存在,就在
A点设置了一个扰动源 。 气流在 A点产生一微弱扰动,其扰动波沿马赫线 AB传播开来,马赫线 AB与气流方向所构成的马赫角为 α1=sin-1(1/M1)。 在马赫线 AB后气流速度有所增加,同时其压力,密度和温度都略有下降 。 由于折转角 dθ很小,所以可以认为各气流参量的变化都是微量的,我们把这样的扰动波称为微弱膨胀波 。
第十节 膨 胀 波图 8-32 超音速气流绕微小凸钝角的流动 图 8-33 音速气流绕凸钝角的膨胀波如果 A点的折转角是一个有限值 θ所形成的凸钝角,如图 8-
33所示,超音速气流经过 A点将发生连续膨胀 。 超音速气流经过第一条马赫线 AB1时,气流方向只折转了一个微小角度 dθ,气流速度略有增加,压力,密度和温度都略有减小 。
第十节 膨 胀 波由于固体壁面的折转角是一个有限值 θ,所以,气流经过马赫线 AB1后,尚须作继续折转膨胀,即在 A点产生另一个微弱扰动波,它的马赫线为 AB′。 这样继续下去,一直到气流方向折转到与 AC壁面平行时为止 。 超音速气流所受到的扰动从马赫线 AB1开始 (α1=sin-1(1/M1)到马赫线 AB2为止 (α 2=sin-1(1/M2)。 在马赫线 AB1和 AB2之间可作出无限多条马赫线,组成一定强度的膨胀波组,气流在膨胀波组中不断进行膨胀,压力由 p1逐渐下降到 p2,速度由 u1逐渐增加到 u2,这个变化可看作是由无限多个微小的变化 dp和 du组合而成 。 所以,在膨胀区 B1AB2中的流线是弯曲的,各马赫线与流线之间的角度 (马赫角 )沿气流方向逐渐变小 。
第十节 膨 胀 波超音速气流流入低压区 (p2<p1)时,同样会产生膨胀波,如后面的图 8-37。
至于超音速气流沿凸曲壁面的流动 (如图 8-34),可以认为是沿着无数次折转的壁面的流动 。 显然,曲面上每一点都成为产生微弱扰动波的扰动源,所以,曲壁面上每一点都有一条马赫线 。 这种情况也可以把凸曲壁面看成是穿过膨胀波组的一条流线,而这个波组的扰动源是在曲壁面的曲率中心 A点上 。
应当指出,气流膨胀加速后的各参量只取决于壁面的总折转角 θ,而与其折转方式无关,只要总的 θ 角一样,原始来流条件一样,那么,膨胀加速后的气流各参量亦必一样 。
第十节 膨 胀 波图 8-34 超音速气流沿凸曲壁面的流动第十节 膨 胀 波二,膨胀波前后气流参量的关系超音速气流的膨胀加速过程是等熵过程,气流通过膨胀波后,其滞止参量不变 。 膨胀波后气流的压力 p2,密度 ρ2和温度
T2等是马赫数 M2的函数,故式 (8-55),(8-57)和 (8-53)仍是适用的,即
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第十节 膨 胀 波前已述及,超音速气流绕凸 钝角流动时,通过膨胀波后的气流参量只与壁面的折转角 θ有关 。 如果初始气流的马赫数
M1=1,膨胀后气流的马赫数 M2与折转角 θ的 函数关系为
(8-135)
如果用无因次速度 Λ取代马赫数 M,则式 (8-135)转换为
(8-136)
当气流向绝对真空自由膨胀时 (气流的压力,密度和温度降为零 )Mmax=∞,Λmax=,这时壁面折转角达到了最大值 θmax,将 Λmax= 代入式 (8-136)得最大折
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第十节 膨 胀 波转角为 (8-137)
对于双原子气体,k=1.4,θmax=130° 27′15″；对于多原子气体,
k=1.33,θmax=149° 08′46″。 必须指出,这样的流动只是理论上的极限流动 。
膨胀波后的气流参量与马赫数 M的函数关系已制成膨胀波函数表,在该表中还列出了马赫角 α和马赫线的折转角 φ (详见有关资料 )。
)111(2m a x kk
第十节 膨 胀 波三,气流不充分膨胀形成的膨胀波音速或超音速气流离开喷管截面时,如果气体静压力 pe高于环境气体压力 pb,则称为气流不充分膨胀 (如图 8-37)。
图 8-37 气流不充分膨胀形成的膨胀波第十节 膨 胀 波因为 pe>pb,在压力差 Δp=pe-pb的作用下,气流边界必向外扩张,气流有效截面增大 。 就喷管的半剖面而言,相当于气流绕凸钝角壁面的流动,管口边缘 a点相当于平壁的折转点 A,折转角 θ根据压力值 pe和 pb确定,Δp越大,θ值就越大 。 自喷管出口边缘形成的膨胀波组将流场分为三个区域,M1为气流出口马赫数,M2为气流通过一组扇形膨胀波后的马赫数,M3为气流通过两组膨胀波后的马赫数,并且 M3>M2>M1。 随着马赫数的变化,气流的各参量也相应地发生变化 。 各有关参量的计算仍按等熵流的公式计算 。
第十一节 激波及膨胀波的反射和相交内 容 提 要
一,斜激波的反射和相交
二,膨胀波的反射和相交第十一节 激波及膨胀波的反射和相交一,斜激波的反射和相交 （ 简略 ）
(一 )斜激波与壁面相交和反射
(二 )斜激波与自由边界相交和反射
(三 )不同族的两道斜激波相交
(四 )同族的两道斜激波相交二,膨胀波的反射和相交 （ 简略 ）
(一 )膨胀波与壁面相交和反射
(二 )膨胀波与自由边界相交和反射
(三 )膨胀波与同族斜激波相交第十一节 激波及膨胀波的反射和相交通过上面对斜激波及膨胀波的反射和相交的讨论,可以归纳出以下结论：
(1)斜激波经壁面反射后仍为斜激波或曲激波；
(2)斜激波在气流的自由边界反射为膨胀波；
(3)两道斜激波相交后透射出斜激波；
(4)膨胀波经壁面反射后仍为膨胀波；
(5)膨胀波在气流的自由边界反射为斜激波；
(6)膨胀波遇激波反射后仍为膨胀波；
(7)膨胀波相交后仍为膨胀波 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征内 容 提 要
1,文氏管工作区
2,过度膨胀区
3,充分膨胀区
4,不充分膨胀区第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征图 8-49所示的为一缩扩形喷管,即拉瓦尔喷管 。 它连通着两个具有不同压力的空间,喷管进口前气罐内的压力为 p0,喷管出口后调压室内的压力 (简称背压 )为 pb,我们以 pe表示喷管出口截面上的压力,以 pc表示喉口截面上的压力,p2和 p*分别代表拉瓦尔喷管在设计工况下出口截面上的压力及喉口截面上的临界压力 。 根据压力比 pb/p0的 不同,可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征可分为四种情况,即文氏管工作区,过度膨胀区,
充分膨胀区和不充分膨胀区 。
1.文氏管工作区若 pb/p0=1,则喷管中的压力为常数,此时管内没有流体流图 8-49 拉瓦尔喷管中的流动特性第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征动 。 若调压室内背压 pb略有下降,则管内将有流体流过,随着
pb的逐渐下降,流量将逐渐增加 。 当气罐与调压室内的压差比较小时,气体流经拉瓦尔喷管在收缩段内流速逐渐增加,压力逐渐降低,至喉口截面处气流速度 uc达到最大值,但 uc≤u*,压力 pc降至最小值,且 pc≥p*；气体进入扩张段后,流速逐渐减小,
压力逐渐升高,到达喷管出口截面处,气流速度减小为 ue,气流压力升高为 pe,并且 pe与调压室内的压力 pb相平衡,但 pe大于喷管在设计工况下的出口压力 p2,即 pe=pb>p2。
文氏管工作区的最大速度值在喉口截面上,其可能达到的极限数值是临界音速 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
2.过度膨胀区随着调压室内压力 pb的降低,气罐与调压室内的压差相应增大,压力比 pb/p0逐渐减小,喉口截面将出现临界压力 p*和临界速度 u*。 进入扩张段后,气体进一步膨胀加速,压力能逐渐转化为动能 。 根据压力比的不同可能出现三种情况：管外出现斜激波；管外出现正激波；正激波进入管口直至逼近喉口 。 图
8-29至图 8-31及图 8-47和图 8-48均 示出了气流过度膨胀管口附近的波结构 。
设计拉瓦尔喷管时,应避免产生正激波,因为超音速气流通过正激波后立即转变为亚音速气流,超音速喷管将失去意义 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
3.充分膨胀区当拉瓦尔喷管在设计 工况 (即等熵流动的理想工况 )下工作时,气体的压力能能够充分地转化为动能,此种状况可称作完全膨胀或充分膨胀 。 在充分膨胀区内,气体沿喷管的流动始终是降压,膨胀,加速,在最小截面 (喉口 )处达到临界状态,然后在扩张段中继续降压,膨胀,加速,达到超音速,在出口截面上压力降到设计压力 p2,即 pe=p2=pb,如图 8-49b,c中的曲线 ACB。 这时管口附近不会出现激波,也不会出现 膨胀波 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
4.不充分膨胀区当调压室的压力 pb继续降低,使得 pb低于设计工况下的出口压力 p2时,超音速气流从出口截面流入低压空间,在出口边缘突然降压膨胀,产生两族膨胀波组,气流经过膨胀波组后向外偏转 θ角,并形成周期性的,膨胀 — 压缩,过程 。 图 8-37和图 8-46示出了气流不充分膨胀管口附近的波结构 。 由于超音速气流在喷管出口边缘所产生的膨胀波组不可能逆流向向上传播,
因此,在出口截面上的压力 pe仍保持为设计压力 p2,即
pe=p2>pb,整个喷管内仍按图 8-49b,c中的 ACB曲线降压膨胀加速 。
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征应当指出,拉瓦尔喷管作成锥形的扩张段是不可能完全消除,膨胀 —压缩,这一周期现象的,即便是压力比 pb/p0符合设计条件,但由于边缘气流沿锥面喷出管咀时,不可能平行于轴线,必然出现过度膨胀后再压缩的周期过程 。 只有用曲面代替锥面才可能消除,膨胀 —压缩,周期现象 。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动内 容 提 要
一,等截面有摩擦绝热管流的基本方程
二,范诺方程和范诺线
三,范诺流参量沿程的变化趋势
四,范诺流的极限管长
五,范诺流参量变化关系式第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动前面几节我们讨论了无粘性的完全气体在绝热过程中的流动问题 。 但是实际的气体都是具有粘性的,它们在管道中流动时,由于粘性内摩擦的作用,总有一部分机械能不可逆地转变成了热能,使气流的熵值增加 。 此外,气流可以通过管壁与外界发生热量交换,也并非为绝热流动 。 所以,在实际上气体在管道内的流动问题是非常复杂的 。 本节先研究气体在等截面有摩擦的绝热管道中流动的情况 。 对于这种流动,其流体的流动参量变化完全起因于管内的摩擦阻力 。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动一,等截面有摩擦绝热管流的基本方程气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,由于气体的粘性内摩擦作用,使气体的各流动参量发生了变化 。 根据气体的基本方程式,可以计算各参量的变化情况 。
图 8-50为一等截面有摩擦的绝热管段,按图中虚线所示取控制体,各管截面上的流动参量均取其平均值,这样可认为气流参量沿管截面是均匀分布的,设 Cp=kR/(k-1)=常数 。 列 1,2
两截面间气体的基本方程如下：
连续性方程
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-50 等截面有摩擦绝热管流式中 为流体通过单位有效截面积的质量流量,称为质量密流,
单位为千克 /秒 ·米 2。
能量方程
G?
0dd
222
22
2
2
2
1
1
uui
u
i
u
i
u
i 常数第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动动量方程状态方程焓的变化
0d
d
)(
)(
1221
1221
A
R
uu
p
uuG
A
R
pp
uuGRApAp
x
x
x
T
T
p
p
TRp
ddd
TCi
TTCii
p
p
dd
)( 1212
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动熵的变化利用以上各基本方程式即可计算出气流参量在等截面有摩擦绝热管道中的变化关系 。
)
dd
1
(
dd
d
)]()l n [ (lnln
2
11
1
2
1
2
1
2
12
p
p
T
T
k
k
R
p
p
R
T
T
Cs
p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
P
k
k
P
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动二,范诺方程和范诺线利用可压缩流体的能量方程式 (8-25)和连续性方程式 (3-21)
可 得到
(8-138)
上式则称为 范诺方程 。 式中 i0和 通常是已知的,根据式 (8-138)，
给定一个密度 ρ1,就可求出对应的静焓值 i1,然后再利用气体的基本方程式或热力学函数表就可以求得对应于,1”状态的其它气体参量值,如 T1,p1,u1,s1等 。 由此可见,根据已知的气体质量密流 和滞止焓 i0,只要改变气体的密度 ρ的数值,就相应地改变了其它的气流参量,从而可在 i-s图上
2
0 )(2
1
Gii
G?
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动绘出一条曲线,如图 8-52所示 。 该曲线称为 范诺线 。 它显示出了气体在等截面的绝热管道中流动时,由于摩擦阻力的产生而对气体参量变化的影响 。 这种流动称为 范诺流动 。
图 8-52中范诺线上熵 s的变化代表气体流动克服摩擦阻力所做的无用功 。 a点代表给定的滞止焓 i0和质量 密流情况下的最大熵值,它把曲线分成上,下两支,上支对应的 图 8-52 i-s图上的范诺线
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动区域 是亚音速区,下支对应的是超音速区 。 根据热力学第二定律,对于非等熵的绝热过程,气体的熵值 s只能随过程的进行而逐渐增加,而不可能下降 。 因此,气体的流动方向只能是图
8-52中箭头所示的方向 。 所以,亚音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其焓值 i下降,流速 u增加,马赫数 M增大,
至 a点达到最大熵值 smax,该点对应的气流速度为临界音速
u*=a*,对应的马赫数 M=1。 而 超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其焓值 i上升,流速 u减小,马赫数 M减小,
至 a点达到最大熵值 smax,对应的气流速度为临界音速 u*=a*，
对应的马赫数 M=1。 由此可知,无论气体的初始马赫第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动数 M<1或者 M>1,它们在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,
其最终的马赫数 M都是趋近于 1的 。 也就是说,气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,不论其进口速度是亚音速还是超音速,它们最终的极限速度都是临界音速 。 这说明,在有摩擦存在的等截面绝热管道中,使气流由亚音速连续地变为超音速,或者由超音速连续地变为亚音速都是不可能的 。
图 8-52中范诺线上 a点所对应的极限速度可证明如下：
由热力学第一定律知
(a)
pisT ddd
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对范诺方程 (8-138)微分,并注意到 i0和 均为给定的常量,
得
(b)
将式 (b)代入式 (a),得
(c)
由于 a点是最大熵值点,即在 a点上 ds=0,因此式 (c)可写成
(d)
又知在 a点上
(e)
3
2 dd
Gi
pGsT ddd
3
2
G?
22
2
)(dd uGp
2)(
d
d)()(
d
d aps
s
ppp
ss
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动比较式 (d)和式 (e),可得到 a点上所对应的极限速度为
u=a 或 M=1
上式表明,范诺线上的 a点为临界点,该点所对应的气流速度为临界音速 。 不管来流的初始马赫数 M<1还是 M>1,其最终的极限速度都趋向于 M=1。
对于不同的气体质量密流 和不同的滞止焓 i0,范诺线的形状和位置也不尽相同 。 图 8-53绘出了在滞止焓 i0不变的条件下,对应于不同的质量密流 情况下的范诺线,从图中可以看出,气体的质量密流 越大,范诺线越向左推移 。 若气体的质量密流 恒定时,提高气体的滞止焓 i0,范诺线将向上推移 。
G?
G?
G?
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-54绘出了在具有相同状态 i1和 s1的条件下,对应于不同的和 i0值情况 下的范诺线 。
图 8-53 i0不变时不同 值的 图 8-54 具有同一 i1和 s1条件范诺线 下的范诺线
G?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对于等截面有摩擦的绝热管道,当初始滞止参量不变时,
随着管道出口背压 pb的逐渐降低,气流的出口速度 u将逐渐增加,出口马赫数 M逐渐增大,其质量流量 G也相应增加 。 当气流出口速度增加到临界音速 a*时,出口马赫数 M=1,质量流量达到最大值 Gmax,这时再降低背压 pb,气流出口速度 u及马赫数 M和质量流量 G都不再改变,这种现象称为 摩擦管的壅塞现象 。 当管内流动出现壅塞以后,在保持原始滞止参量不变的条件下,要进一步增加管长,必将引起熵值的进一步增加 。 但对于原有的范诺线来说,a点的熵值为最大,无法再增加,为进一步增加管长,必然要减少质量流量 。 由此可知,当气流的第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-55 摩擦管的壅塞现象第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动初始滞 止条件和流动的终止条件给定后,管段越长,其壅塞流量值越小 。
表 8-6列出了亚音速气流和超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道中流动时,其流动参量沿程的变化趋势 。
表 8-6 等截面有摩擦绝热管流各参量沿程的变化趋势
↓↑↓↑↑↑↑↑↓↓不变超音速区 M>1
↑↓↑↓↓↓↓↑↓↓不变亚音速区 M<1
MauρpTiSρ0p0T0
气 流 参 量流动区域第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动三,范诺流参量沿程的变化趋势引起范诺流参量变化的根本原因是摩擦阻力,如果我们知道管道任意两流动截面间的总阻力,就可以根据上游截面上的流动参量算得下游截面上的流动参量 。 由于总阻力是流体对管道内表面切应力的总和,而沿管长切应力并不为常量,因此,
首先需要建立微分方程,然后再积分求解 。
在图 8-56所示的等截面直管道中取出长度为 dx的微元管段作为控制体,根据动量定理得
)d(21d)d( 2 uuuAuAuD xAppAp
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动图 8-56 等截面有摩擦微元管长的参量变化简化后,得
(8-139)
式中 λ 为沿程阻力系数 。
02ddd
2
uDxuup
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动能量方程式 (8-43)微分后,整理得将状态方程 和连续性方程 代入上式,
得将上式代入式 (8-139),得
u
u
k
aRTp dd2
uukkpp d1dd
uukuuuukauukkuukap d1ddd1dd
22
02ddd1dd
22
uD xuuuukuuuuka?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动上式整理后,得到
(8-140)
将式 (8-140)与式 (8-50)比较可以看出,实际气体在等截面有摩擦的绝热管道中流动,就相当于完全气体在无摩擦的收缩形管道内等熵流动,即摩擦的作用永远是单向的,它的作用总是相当于将管道截面逐渐缩小 。 因为不论是亚音速气流还是超音速气流,在流动过程中 x总是增加的,即 dx永远大于零 。 对于亚音速气流,M<1,1-M2>0,式 (8-140)等号两边为同号,
因此 du>0,即亚音速气流在等截面有摩擦的绝 热管道内
2
dd)1( 22 Mk
D
x
u
uM
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动流动时,其流速 u逐渐增加,同时其压力 p逐渐下降,密度 ρ和温度 T逐渐减小,马赫数 M逐渐增大,极限情况是 M=1；对于超音速气流,M>1,1-M2<0,式 (8-140)等号两边为异号,因此
du<0,即超音速气流在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,其流速 u逐渐减小,同时其压力 p逐渐升高,密度 ρ和温度 T逐渐增加,马赫数 M逐渐减小,极限情况是 M=1。 这与前面由范诺线所讨论的结果是相同的,见表 8-6。
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动四,范诺流的极限管长根据以上讨论可知,不论是亚音速气流还是超音速气流,
当它们在等截面有摩擦的绝热管道内流动时,极限情况只能出现在管路的末端,即只有在管末端处才可能出现 M=1的情况 。
因此,在这种情况下对管长必有所限制,这就是所谓的,极限管长,,极限管长常用 Lmax表示 。 现在就来讨论这个问题 。
根据马赫数的定义得上式两边取对数,并微分得
(a)
TRkMMau
T
T
M
M
u
u d
2
1dd
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动对于范诺流而言,滞止温度 T0不变,即上式两边取对数,并微分得
(b)
将式 (b)代入式 (a),得
(c)
将式 (c)代入式 (8-140),整理后得到
0
2
11
d)1(d
2
Mk
MMk
T
T
常数 02 )2 11( TMkT
])1(2[
d2
2
11
d)1(
2
1dd
2
2 MkM
M
Mk
MMk
M
M
u
u
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
(8-141)
在对 式 (8-141)积分之前应当注意,沿程阻力系数 λ是雷诺数 Re
的函数,它随气流的流动过程而变化,为此,积分时应取平均沿程阻力系数 来代替 λ。 式 (8-141)的积分上下限分别为,x=0
时,M=M； x=Lmax时,M=1。 积分得
(8-142)
如果用无因次速度 Λ来取代马赫数 M,则式 (8-142)变为
(8-143)
])1(2[
d)1(4d
23
2
MkMk
MM
D
x
2
2
2
2
m a x
)1(2
)1(ln
2
11
Mk
Mk
k
k
Mk
M
D
L
)1ln21(2 1 2m a x kkDL?
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动由式 (8-142)可以看出,只是初始马赫数 M的函数,
给定一个初始马赫数 M1就可以算出一个对应的极限管长 L1max，
所以使气流从某一个给定的初始马赫数 M1变至某一个给定的终了马赫数 M2所需要的管长 l可 由下式求得
(8-144)
DLm ax?
m a x2m a x1 LLl
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动五,范诺流参量变化关系式实际气体在等截面有摩擦的绝热管道内流动为非等熵过程,
前面所讨论的等熵过程的气流参量变化关系式在这里不再适用,
因此,我们需要另外导出等截面有摩擦绝热管道中气流参量的变化关系式 。 为此,取气流的临界参量作为参考量,可得到各气流参量与相应马赫数的无因次函数关系式 。
因为对于范诺流来说,其滞止温度 T0不变,所以无因次温度与马赫数的函数式可由式 (8-53)确定,即
(8-145)
2
2*
0
0* )1(2
1
2
1
1
2
1
Mk
k
M
k
k
T
T
T
T
T
T
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动同样
(8-146)
无因次速度为
(8-147)
同理
(8-148)
2
1
2
2
2
1
1
22
1
1
2
1
2
11
22
1
2
2
1
2
2
2
1
***
]
)1(2
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[)(
]
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Mk
Mk
M
M
T
T
M
M
TRkM
TRkM
u
u
Mk
Mk
T
T
M
TRk
TRkM
u
u
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2
2
1
2
2
2
1
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0
2
1
2
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2
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1
2
1
1
Mk
Mk
M
k
M
k
T
T
T
T
T
T
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动由连续性方程式可得无因次密度关系式
(8-149)
(8-150)
由状态方程式得无因次压力比为
(8-151)
(8-152)
当地滞止压力比为
2
1
2
2
*
*
])1( )1(2[ Mk Mkuu
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2 ]
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Mk
Mk
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1
2
2
2
1
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1
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1
[
1
Mk
Mk
M
M
T
T
p
p
Mk
k
MT
T
p
p
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
(8-153)
同理
(8-154)
式中 p0,p01和 p02分别为对应于马赫数 M,M1和 M2截面上气流的滞止压力,p0*为对应于马赫数 M=1截面 上气流的滞止压力 。
以上各式已制成热力学函数表,工程应用可查表计算 。
)1(2
1
2
1
2
2
2
1)1(2
1
2
1
2
2
2
1
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*0
*0
02
01
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k
k
k
k
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Mk
M
M
M
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M
p
p
p
p
p
p
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*
*
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k
k
k
k
k
k
k
k
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k
kM
M
k
kM
kMk
k
M
M
k
p
p
p
p
p
p
p
p
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动六,范诺流压降及流量近似计算式
1,压力近似计算式长管：
短管：
2,流量近似计算式
1
1
2
1
12 )2
11( k k
D R T
lu
k
kpp?
])(1[
1
2 1
1
2
11
k
k
p
pp
l
D
k
kAG
1
1
2
1
1
2
12 ])ln2(
11[ k k
RT
u
u
u
D
l
k
kpp?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动内 容 提 要
一,等截面无摩擦非绝热管流的基本方程
二,瑞利线及瑞利流参量沿程的变化趋势
三,瑞利流参量变化关系式第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动在工程实际中除了有摩擦之外,有热交换的气体的流动也是很多的,如气体在燃烧室中因燃料的燃烧而获得大量的热能；
在锅炉过热器中,干蒸气在流动中继续被加热；高温高压的气体在输送中逐渐被冷却等 。 本节将主要讨论完全气体通过等截面管道无摩擦而有热量交换的流动情况 。
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动一,等截面无摩擦非绝热管流的基本方程图 8-57所示为一等截面无摩擦有热交换的管道,在长度为 l
的管段中取一微元管长为 dx的 管段作为控制体,如图中虚线图 8-57 等截面无摩擦非绝热管流第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动部分所示 。 流动中流体与外界有热量交换,单位质量流体的热交换量为,>0时流体被加热； <0时流体被冷却 。 这种流体的流动称为 瑞利流动 。 这种流动应满足以下基本方程：
连续性方程能量方程 (8-155)
或 (8-156)
(8-157)
动量方程或
q?d
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
q?d q?d
quuii
iqi
u
iq
u
i
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22
0
0201
2
2
2
2
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常数
2
222
2
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2
11
2
2221
upup
uupp
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动状态方程焓的变化熵的变化
0dd uup?
)
dd
1
(
dd
d
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2
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p
p
T
T
k
k
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p
p
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T
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p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
P
k
k
P
TCi
TTCii
p
p
dd
)( 1212
T
T
p
p
RTp
ddd
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动二,瑞利线及瑞利流参量沿程的变化趋势考虑到以上完全气体在等截面无摩擦有热交换管道内流动的基本 方程和气体热力状态的关系,可以用 i-S图来表示瑞利流动的参量间的关系,如图 8-58所示 。 图中曲线称为 瑞利线,它是在质量密流 和沿管道单位面积的气流冲量 (p+ρu2)
不变的情况下作出的,该曲线显示了 完全气体在等截面无摩擦非绝热的管道中流动时,由于热交换而对气流参量变化的影响 。
G?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动图 8-58 i-s图上的瑞利线第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动图 8-58中瑞利线上熵 s的变化是由于完全气体与管壁面间有热量交换而产生的 。 a点上的熵值为质量密流 给定条件下的最大熵值 。 它把曲线分成上下两支,上支表示有热交换的亚音速流动 (M<1),下支表示有热交换的超音速流动 (M>1)。 这条曲线说明：
(1)亚音速气流在等截面无摩擦的管道内流动被加热时
( >0),其焓值升高,流速增加,马赫数增大 。 但是焓值 i的升高有一个极大值 imax,如图 8-58中的 b点所示,在 b点上 i=imax，
M=1/ 。 从 b点到最大熵值点 a点间,气流的焓值有所下降,即虽然气流被 加热,但其温度在该区间内却有所降低,
G?
q?d
k
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动而 流速和马赫数仍在增加,到达最大熵值点 a处,流速达到临界音速 u*=a*,马赫数增加到 M=1,流动达到临界状态,管内的质量流量不再变化,出现壅塞；当亚音速气流在流动中被冷却时 ( <0),其焓值下降,流速减小,马赫数减小 。 但在 a点到 b点之间,焓值 有所增高 。
(2)超音速气流在等截面无摩擦的管道内流动被加热时
( >0),其焓值升高,流速减小,马赫数减小 。 当达到最大熵值点 a点时,其流速降至临界音速 u*=a*,马赫数减小到 M=1；
当超音速气流在流动中被冷却时 ( <0),其焓值下降,流速增加,马赫数增大 。 超音速气流在流动中被冷却时 ( <0)，
q?d
q?d
q?d
q?d
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动其焓值下降,流速增加,马赫数增大 。
由此可知,不论是亚音速气流还是超音速气流,加热的作用就相当于摩擦,它总是使气流的马赫数趋近于 1,而冷却的作用则总是使气流的马赫数向远离 1的方向变化 。 因而,单纯加热是不可能使亚音速气流连续地变成超音速气流的,也不可能使超音速气流连续地变成亚音速气流 。 这就是说,不论是亚音速气流还是超音速气流,在等截面无摩擦的管道内流动被加热时,其最终的流动马赫数 M都是趋近于 1,流动达到临界状态,流速为临界音速 。
上述规律可以证明如下：
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动由连续性方程微分式 (1)
和状态方程微分式 (2)
又知 (3)
将式 (3)代入式 (8-157),有
(4)
考虑到 a2=kRT,则
u
udd
T
T
p
p ddd
TkkRTCi P d1dd
uuTk kRuuiq dd1ddd
uuTTk aq dd1d
2
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动或 (5)
根据式 (1)和式 (2),有
(6)
将式 (6)代入式 (5),得到
(7)
根据动量方程的微分式 (8)
和音速公式
(9)
u
u
p
p
p
p
T
T ddddd
u
uM
u
u
p
p
ka
q d)dd(
1
1d 2
2
u
uM
T
T
ka
q dd
1
1d 2
2
pka?2
0dd uup?
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动得或 (10)
将式 (10)代入式 (7),得到
(8-158)
注意到,则上式可写成
(8-159)
u
u
Mk
p
p
u
u
M
p
k
u
u
a
up
kuu
p
dd
dd
d
d
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2
2
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u
uM
ku
uM
u
u
u
ukM
ka
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2
i
q
u
uM?dd)1( 2
11
2
k
aT
k
RkTCi
P
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动从式 (8-159)可以证明加热或冷却对亚音速气流和超音速气流的影响 。 即总结以上讨论的结果,将完全气体在等截面无摩擦有热交换的管道内流动时,各参量沿程的变化规律列于表 8-7中 。
。气流加速，则，时，，当气流冷却流动时，；气流减速，则，时，，当气流冷却流动时，
0
d
0110d
0
d
0110d
2
2
u
u
MMq
u
u
MMq
；气流减速，则，时，，当气流加热流动时，；气流加速，则，时，，当气流加热流动时，
0
d
0110d
0
d
0110d
2
2
u
u
MMq
u
u
MMq
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动表 8-7 等截面无摩擦非绝热管流各参量沿程的变化趋势第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动三,瑞利流参量变化关系式上面我们已经讨论了有热交换的等截面无摩擦管道内流体流动的瑞利线,现在将进一步研究流动参量与马赫数间的关系 。
我们仍取临界参量作为参考量,利用上述基本方程组,可得到各截面上的气流参量与相应马赫数的无因次关系式 。
(1)压力与马赫数的关系式根据动量方程,并注意到音速公式,得所以
(8-160)2*
2
2
2
1
1
)1()1(
Mk
k
p
p
Mkp
pk
uk
pup
常数
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-161)
(2)温度与马赫数的关系式根据连续性方程,状态方程和音速公式,有或者所以有由此得到常数常数
T
Mp
R
k
T
Mp
TRkM
TR
p
uG
22
2
2
2
1
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2
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Mk
Mk
p
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2
1
2
1
2
1
*
2
*
22
T
Mp
T
Mp
T
p
T
Mp
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-162)
(8-163)
(3)密度与马赫数的关系式根据状态方程,有
(8-164)
(8-165)
2
2
2
2
1
2
1
2
22
1
2
2
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Mk
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M
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Mk
M
M
Mk
Mk
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p
p
k
Mk
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Mk
Mk
k
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T
p
p
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22
*
2
*
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第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(4)流速与马赫数的关系式根据连续性方程,有
(8-166)
(8-167)
(5)当地滞止温度与相应马赫数的关系式根据滞止温度的定义和式 (8-53),有
)
1
1
(
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1
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Mk
M
M
u
u
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k
M
u
u
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第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-168)
(8-169)
(6)当地滞止压力与相应马赫数的关系式根据滞止压力与滞止温度的关系式,得到
(8-170)
]
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2
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Mk
Mk
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M
M
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k
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k
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k
Mk
Mk
k
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T
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p
p
p
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
(8-171)
(7)熵变与相应马赫数的关系式
(8-172)
(8-173)
瑞利流动的各流动参量与马赫数的函数关系已制成热力学函数表,工程应用时可以直接查表计算 。
])
1
1
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k
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k
k
k
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k
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k kk k
Mk
Mk
Mk
kM
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p
p
p
p
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动内 容 提 要
一,等截面有摩擦等温管流的基本方程
二,等截面有摩擦等温管流参量沿程的变化趋势
三,等截面有摩擦等温管流的压降及流量计算
四,等截面有摩擦等温管流的极限管长
五,等截面有摩擦等温管流参量变化关系式第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动在工程实际中,如果管道很长,流速不是很大,气体与外界能够进行充分的热量交换,使气流基本上保持着与周围环境相同的温度,这类管道可按等温流动来处理,如氮气管道,煤气管道和压缩空气管道等 。
一,等截面有摩擦等温管流的基本方程完全气体在等截面有摩擦有热量交换的管道中作等温流动时 (如图 8-59),其 流动参量的变化是由于气体的粘性摩擦作用以及与外界进行热量交换作用共同造成的 。 对于等截面的等温流动,因管道截面积 A=常数,温度 T=常数,因此,其基本方程可进一步简化 。
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动图 8-59 等截面有摩擦非绝热等温管流第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动连续性方程能量方程 因为在等温流动中,温度 T为已知常数,未知参量一般只有 u,p,ρ三个,故无需能量方程 。 如果需要分析吸热和放热情况,以及滞止温度 T0的变化情况等,可用以下能量方程 。
0
dd
2211
u
u
uuuG
常数?
quui
uquiqi
ddd
22
0
2
2
2
1
0201
或第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动动量方程
(8-139)
状态方程熵的变化
0
2
d
d
d
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2
1221
u
D
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uu
p
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p
p
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p
p
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p
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d
d
lnln
2
1
1
2
12
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动二,等截面有摩擦等温管流参量沿程的变化趋势通过对上述基本方程的分析,可以找到等截面摩擦管内等温流动各参量沿程的变化趋势 。 用 p/ρ去除上述等温流动的动量微分方程式 (8-139),得
(a)
在等温流动中,T=常数,因而 =常数 。
由 u=Ma,得由状态方程和连续性方程,得
02 ddd
2
D xpup uupp
kR Ta?
M
M
u
uMau dd,dd
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动
(b)
而
(c)
(d)
将 (b),(c),(d)三式代入式 (a)中,得整理后得 (8-174)
或写成 (8-175)
2
222
MkTRMapu
MMk
TR
MMa
TR
uu
p
uu
M
M
u
u
p
p
d
ddd
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2
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2
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2
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2
2
2
2
Mk
D
x
u
u
Mk
Mk
D
x
M
M
Mk
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动由式 (8-174)和式 (8-175)可以看出：
当 M<1/ 时,1-kM2>0,等号的两边为同号,因此 du>0，
dM>0,此时的气体在等截面有摩擦的管道中作等温流动时,
其流速和马赫数沿程不断增大,同时,其压力和密度沿程不断减小,极限情况是在管末端处 M=1/ 。 在这种情况下,要维持等温流动,气流必须 不断地从外界吸收热量 来补充才能够保持温度平衡,因此其滞止温度沿程将不断升高 。
当 M>1/ 时,1-kM2<0,等号的两边为异号,因此 du<0，
dM<0,此时的气体在等截面有摩擦的管道中作等温流动时,
其流速和马赫数沿程不断减小,同时,其压力和密度沿程不断增加,极限情况是在管末端处 M=1/ 。 在这种情况下,气
k
k
k
k
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动流必须 不断地向外界放出热量 才能够维持其等温流动,因此其滞止温度沿程将不断降低 。
表 8-8列出了完全气体在等截面有摩擦有热量交换的管道中作等温流动时,各流动参量沿程的变化趋势 。
表 8-8 等截面有摩擦等温管流各参量沿程的变化趋势气流参量流动区域 T0 S p ρ u M
亚音速区 ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑
亚音速或超音速区 ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓
kM /1?
kM /1?
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动三,等截面有摩擦等温管流的压降及流量计算等截面有摩擦等温管流的动量微分方程式为上式各项同除以 u2/2,得
(8-176)
由等温流动的连续性方程和状态方程,得故
02ddd
2
uDxuup
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1
2
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1
2
11
2
11
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111
p
p
uu
u
uu
p
p
u
u
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动将上式代入式 (8-176),并沿长度为 l的 1,2两截面间的管段积分因 λ=f(Re,Δ/D),而 Re=ρuD/μ,在等截面管道中 D=常数,ρu=常数；
在等温流动中 μ=常数,因此,Re和 Δ/D均为常数,故流体在等截面管道中作等温流动时,其沿程阻力系数 λ 沿程不变,其值可参照不可压缩流体的情况选取 。 上式积分结果为或写成
(8-177)
0dd2d2
0121
2
1
2
1
xDuupppu lu
u
p
p
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1
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l
u
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2
1
2
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2
1
2
2
D
l
u
u
pu
pp?
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动如果管道较长,项可以略去不计,则得到等温流动的压降近似计算式为
(8-178)
或
(8-179)
将 代入式 (8-178),注意到 p1/ρ1=RT,即得到等截面管道中等温流动的流体的质量流量近似计算式,即
(8-180)
1
2
1
2 ln2,ln2
u
u
D
l
u
u
2
11
2
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1
2
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TR
u
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lp
p
u
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lpp
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11
1
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D
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)(
16
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2
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2
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1 pp
TRl
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TR
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l
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2
11
11
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11
2
2
2
1 222 fpp
u
D
lppu
D
lpp
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动四,等截面有摩擦等温管流的极限管长根据 前面对等截面摩擦管中等温流动的流体各参量沿程的变化趋势分析可知,无论进口截面马赫数是小于还是大于 1/,
M沿流程总是向着趋近于 1/ 变化,因此在管道中间就不可能出现由 M<1/ 变为 M>1/,或由 M>1/ 变为 M<1/ 的临界截面,临界截面只能出现在管道出口截面上 。 也就是说,在等截面有摩擦的管道中作等温流动的流体不可能由 M<1/ 连续地加速到 M>1/,也不可能由 M>1/ 连续地减速到 M<1/,其极限的情况 M=1/ 只可能出现在管道的出口截面上 。 当管道出口截面上的马赫数 M=1/ 时,相应的管长就是等温流的
k
kkkk
k
k
k k
k
k
k
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动极限管长 Lmax。 如果实际管长大于极限管长,则管内流动将出现 壅塞现象 。
将式 (8-174)进一步整理成取积分上下限,x=0时,M=M； x=Lmax时,M=1/ 。 对上式积分,得到等截面摩擦管内等温流动的极限管长计算式
(8-181)
由式 (8-181)看出,λLmax/D只是初始马赫数 M的函数,在已知管径和沿程阻力系数的情况下,给出一个初始马赫数 M,就可以算出相应的极限管长 Lmax。
2
4
2
3
2
d1d)1(2d MMk MkMMk MkD x
k
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2
ma x Mk
Mk
Mk
D
L
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动五,等截面有摩擦等温管流参量变化关系式对于在等截面有摩擦的管道中作等温流动的流体,其流动参量变化关系式非常简单 。 我们用下标,Δ”来表示在 M=1/
极限情况下的参量,并用该条件下的参量作为参考量 。 注意到等温流动 a=常数,可得到以下各气流 参量与相应马赫数的无因次函数关系式 。
(8-182)
(8-183)
由等截面等温流动的状态方程和连续性方程,得
k
1
2
11
22
1
2
M
M
aM
aM
u
u
MkkMaM aMuu
/1
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体的等温流动
(8-184)
(8-185)
在 MΔ=1/ 极限情况下的气流速度为
(8-186)
由前述的分析可知,在 MΔ=1/ 时所对应的流体压力 pΔ为等截面摩擦管内等温流动的流体 (入口马赫数 M<1/ 时 )可能的最小压力,可用 pmin表示 。 当管道入口的压力和马赫数分别为
p1和 M1时,由式 (8-184)可算得流体可能的最小压力为
(8-187)
TRk TRkaMu
11m in Mpkpp
2
1
2
1
1
2
1
2
M
M
u
u
p
p
Mku
u
p
p 1
k
k
k
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
