流体力学与流体机械
(六 )
多媒体教学课件李文科 制作第六章 粘性流体绕物体的流动
第一节 粘性流体的运动微分方程
第二节 附面层的基本特征
第三节 层流附面层的微分方程式
第四节 附面层的动量积分方程式
第五节 附面层位移厚度和动量损失厚度
第六节 平板层流附面层的计算第六章 粘性流体绕物体的流动
第七节 平板紊流附面层的近似计算
第八节 平板混合附面层的近似计算
第九节 曲面附面层的分离现象
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
第十一节 粘性流体绕球体的流动第六章 粘性流体绕物体的流动在自然界和工程实际中存在着大量的 流体绕物体的流动问题 (简称 绕流问题 ),例如河水流过桥墩；飞机在空中飞行；船舶在海洋中航行；汽轮机,泵和压气机中流体绕叶栅的流动；
在锅炉,加热炉的余热回收设备中,烟气和空气横向流过受热的管束；煤粉颗粒和尘埃在空气中运动等等,都是绕流问题 。
在实际流体绕流过程中,由于粘性的存在必然要产生阻力,为了克服阻力就要损失一部分的机械能 。 与研究实际流体在管道中流动的问题一样,在本章中也要 探求 在实际流体绕物体的流动中产生阻力的原因,后果以及计算阻力损失的方法 。
在粘性流体的一维流动中,我们曾经引用牛顿内摩擦定律作为研究流动阻力的基础,在研究粘性流体的平面和空间流动中也用这一定律作为基础,并加以适当推广 。
第一节 粘性流体的运动微分方程内 容 提 要
粘性流体运动微分方程的推导方法和过程
切向应力 τ 和法向应力 σ 的计算
纳维 ——斯托克斯方程的物理意义和使用条件第一节 粘性流体的运动微分方程推导粘性流体的运动微分方程的方法和过程与推导理想流体的欧拉运动微分方程相同,都是牛顿第二定律在流体力学中的应用,只是除了质量力和法向应力 (即压力 )外,还需要考虑粘性切应力的影响 。
在运动着的粘性流体中取出一边长分别为 dx,dy和 dz的微元平行六面体的流体微团作为分析对象,如图 6-1所示 。 作用在平行六面体上的力,不仅有质量力和法向应力,还有切向应力 。 因此,作用在流体微团六个表面上的表面力的合力不再垂直于所作用的表面,而是与作用面成某一倾角 。 图中 σ代表法向应力,τ代表切向应力 。 它们都有两个脚 标,第一个表示应力所在平面的法线方向,第二个表示应力本身的方向 。
第一节 粘性流体的运动微分方程为方便起见,假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向,
切向应力在经过 A(x,y,z)点的三个平面上的方向与坐标轴的方向相反,其他三个平面上的相同 。 f代表单位质量力 。
根据牛顿第二定律,可以写出沿 x轴的运动微分方程
d
d
zddd
dd)d(dddd(
dddd)d(ddddd
x
zx
zxzx
yx
yx
yx
xx
xxxxx
u
yx
yxz
z
yxxz
y
xzzyx
x
zyzyxf
第一节 粘性流体的运动微分方程图 6-1 粘性流体微元的受力情况第一节 粘性流体的运动微分方程化简后得同理可得 (6-1)
式 (6-1)是以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程 。 现在的问题是要寻找粘性流体中关于 ζ和 η的计算式 。 我们可以从流体微团在运动中的变形来获得这些应力和变形速度之间的关系式 。
)(
11
d
d
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11
d
d
)(
11
d
d
yxz
f
u
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f
u
zyx
f
u
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z
z
xyzyyy
y
y
zxyxxx
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程
1.关于 τ 的计算：
首先研究切向应力之间的关系 。 根据达朗伯原理,作用于微元平行六面体上的各力对于通过中心点 M和 z轴相平行的轴的图 6-2 切向应力间的关系第一节 粘性流体的运动微分方程力矩之和应等于零,如图 6-2所示,又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量,可以略去不计,故有再略去四阶无穷小量,同时,方程两边同除以 dxdydz,得即同理可得 (6-2)
zxxz
yzzy
xyyx
xyyx
0
0
2
d
dd)d(
2
d
dd
2
d
dd)d(
2
d
dd
x
zyx
x
x
zy
y
zxy
y
y
zx
xy
xyxy
yx
yxyx
第一节 粘性流体的运动微分方程流体粘性引起的切向应力可按牛顿内摩擦定律式 (1-17)求得 。 理论证明,对于粘性流体微团有角变形运动时,流动所产生的粘性力与流体微团的角变形速度有关 。 借助弹性力学的理论可以推得,有角变形运动的流体流动所产生的 粘性切应力的大小与角变形速度间的关系为
(6-3)
y
zx
zxxz
x
yz
yzzy
z
xy
xyyx
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
2)(
2)(
2)(
第一节 粘性流体的运动微分方程式 (6-3)就是广义的牛顿内摩擦定律 。 其意义为,粘性切向应力的大小等于动力粘度和角变形速度的乘积的二倍 。
2.关于 σ 的计算：
对于理想流体,在同一点各个方向的法向应力 (压力 )是等值的,即 ζxx=ζyy=ζzz=－ p。 但对于粘性流体,由于粘性的影响,
流体微团除了发生角变形外,同时也发生线变形,即在使法向应力的大小有所改变 (与理想流体相比 ),产生了 附加的法向应力 。 同样,我们可以借助于弹性力学的理论推导出 法向应力与流体微团线变形速率之间的关系式,其结果是
，和有相对的线变形速率流体微团的法线方向上 zuyu、xu zyx
第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-4)
对于不可压缩流体,附加的法向应力等于动力粘度与线变形速率的乘积的二倍 。 由式 (6-4)可以看出,在粘性流体中,同一点的法向应力在三个互相垂直的方向上是不相等的 。
u
z
u
p
u
y
u
p
u
x
u
p
z
zz
y
yy
x
xx
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2
，0d iv?u?
第一节 粘性流体的运动微分方程现在将式 (6-3)和式 (6-4)代入式 (6-1),得到
(6-5)
)]}([)]([
)]d i v
3
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11
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y
xz
z
z
z
y
xz
y
y
y
y
xz
y
x
x
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程式 6-5就是 粘性流体的运动微分方程 。 在解决具体问题时,除上述方程组外,还应包括连续性方程；对于可压缩流体而言,
压力和密度的改变会引起温度的变化,因此还应包括状态方程；
对于非等温过程,还要引入能量方程 (热力学第一定律 )；在一般情况下,可压缩流体各点温度是变化的,还需要知道流体粘度随温度变化的关系式 μ=μ(T)。 现在对于七个未知量 ux,uy、
uz,p,ρ,T,μ,有七个方程,可以联立求解 。 如果过程是等温的,那么只有五个未知量 ux,uy,uz,p,ρ,相应的有五个方程,即运动方程 (三个 ),连续性方程 和状态方程 。
第一节 粘性流体的运动微分方程对于不可压缩流体,ρ=常数,且不可压缩流体在流动过程中温度变化很小,因此可将流体的粘性视为常数 。
于是式 (6-5)可简化为
(6-6)
式 (6-6)就是不可压缩粘性流体的运动微分方程,即著名的 纳维 ——斯托克斯方程 (简称 N-S方程 )。 它可以简化为理想流体的
，0d iv?u?
)(
1
d
d
)(
1
d
d
)(
1
d
d
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
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2
2
2
2
2
2
2
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u
y
u
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u
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p
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y
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x
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y
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z
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y
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x
p
f
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z
z
yyy
y
y
xxx
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程
(μ=0)欧拉运动微分方程,也可以进一步简化为欧拉平衡微分方程 (ux=uy=uz=0)。 N-S方程适用于不可压缩牛顿流体的层流和紊流流动 。
在求解工程中的轴对称流动问题时,用圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程更为方便 。 若用 r,θ,z分别表示径向,圆周向 (切向 )和轴向坐标,ur,uθ,uz分别表示相应方向上的流速分量,fr,fθ,fz分别表示相应方向上的单位质量力,则对于不可压缩流体而言,圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程 为第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-7)
式 (6-7)与连续性方程式 (3-18)联立即可求解 。
)
11
(
1
)
211
(
1
)
211
(
1
2
2
2
2
22
2
2
2
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2
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2
22
2
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2
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u
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z
z
z
zz
r
z
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r
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rrrrr
r
r
z
rr
r
r
第二节 附面层的基本特征内 容 提 要
附面层的概念
附面层厚度的定义
附面层的基本特征
层流附面层、紊流附面层和混合附面层概念
判别层流附面层和紊流附面层的准则第二节 附面层的基本特征当空气,气体,蒸气和水等粘度很小的流体与其它物体作速度较高的相对运动时,一般雷诺数都很大 。 实验指出,在这些流动中,惯性力比粘性力大得多,可以略去粘性力；但在紧靠物体壁面的一层所谓 附面层 的流体薄层内,粘性力却大到约与惯性力相同的数量级,以致在这一区域中两者都不能略去 。
解决大雷诺数下绕物体流动的近似方法是以附面层理论为基础的,所以我们有必要了解附面层的一些基本概念和特征 。
现在来讨论粘性流体平滑地绕流某静止物体 (如机翼翼型 )
的情况,如图 6-4所示 。 在紧靠物体表面的薄层内,流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与来流速度 u∞同数量级的大小 。
这种 在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与第二节 附面层的基本特征来流速度相同数量级的流体薄层称为 附面层 。 在附面层内,流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大,即使粘度很小的流体,表现出的粘性力也较大,决不能忽略 。 由涡量计算公式在附面层内 很小,而 却很大,所以涡量 ξz≠0,因此,附面层内的流体有相当大的旋涡强度 。 当附面层内的有旋流离开物体而流向下游时,在物体后部形成尾涡区域 。 在尾涡区中,开始速度梯度很大,随着离开物体距离的增加,原有的旋涡将逐渐地扩散和衰减,速度分布逐渐趋向均匀,直到尾涡完全消失 (如图 6-4)。 在附面层外,速度梯度
,yuxu xyz xuy yux
第二节 附面层的基本特征图 6-4 绕流流场区域很小,即使粘度较大的流体,其粘性力也很小,可以忽略不计 。
所以可以认为,在附面层外的流动是无旋的势流流动 。
第二节 附面层的基本特征由此可见,当粘性流体绕物体流动时,可以 将整个绕流流场划分为三个区域,附面层区,尾涡区 和 外部势流区 。 在附面层和尾涡区域内,必须考虑物体的粘性力,它们应当按照粘性流体的有旋流动来处理；在附面层和尾涡区域以外的势流区域内,可按照理想流体的无旋流动来处理 。
在实际上,附面层内,外区域并没有一个明显的分界面,
也就是说,附面层的外边界,即附面层的厚度的概念并不很明显 。 一般在实际应用中 通常是把流体速度达到外部主流区速度的 99%的地方作为 附面层的外边界,或者说在附面层的外边界上流速达到层外势流速度的 99%,即
u|y=δ=0.99u∞(x) (6-9)
第二节 附面层的基本特征实际上附面层很薄,一般只有几毫米到几十毫米 。 为了清晰起见,图 6-4上是将附面层的尺寸放大了 。 从图 6-4中可以看出,
流体在前驻点 O处速度 为零,所以附面层的厚度在前驻点处为零,然后沿着流动方向厚度逐渐增加 。 另外,附面层的外边界和流线并不重合,流线伸入到附面层内,与外边界相交 。
原因是由于层外的流体质点不断地穿入到附面层里面去 。
综上所述,附面层有如下基本特征：
(1)与物体的长度相比,
(2)附面层内沿附面层厚度方向的速度变化非常急剧,即速度梯度很大；
(3)附面层沿着物体的流动方向逐渐增厚；
第二节 附面层的基本特征
(4)由于附面层很薄,因而可以近似地认为,附面层中各横截面上的压力等于同一截面上附面层外边界上的压力；
(5)在附面层内粘性力和惯性力是同一数量级；
(6)附面层内流体的流动是有旋流动；
(7)沿曲面的附面层易出现分离现象,并形成尾涡；
(8)附面层内流体的流动也有层流和紊流两种流动状态 。
全部附面层内都是层流的,称为 层流附面层 。 仅在附面层的起始部分是层流,而在其他部分是紊流的,称为 混合附面层 。
在层流与紊流之间有一个 过渡区域 ；在紊流附面层区,紧靠平板处,总是存在着一层极薄的 层流底层 。 如果全部附面层内都是紊流的,称为 紊流附面层 。
第二节 附面层的基本特征图 6-5 平板上的混合附面层对于附面层流动,判别层流和紊流的准则仍用雷诺数 Re，
雷诺数中的几何定性尺寸,一般是取离物体前缘点的距离 x，
特征速度可以取附面层外边界上主流的速度 u∞,即第二节 附面层的基本特征
(6-10)
实验得出,对于平板而言,层流转变为紊流的临界雷诺数为
Rexc=3× 105～ 3× 106,在工程应用上,常取 Rexc=5× 105 。 如果定性尺寸取临界转变点的附面层厚度 δc,则相应的临界雷诺数为 Reδc=2700～ 3500。 附面层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因素,如层外势流的紊流度,物体的形状及壁面的粗糙度,流场的压力梯度,流体的可压缩性,物体的加热或冷却效果等等都会影响 Rec。 实验证明,若增加流体的紊流度或增加物体壁面的粗糙度等都可使临界雷诺数的数值降低,即提早使层流转变为紊流 。
xuxu
x
Re
第三节 层流附面层的微分方程式内 容 提 要
附面层微分方程的简化过程
附面层微分方程的使用条件第三节 层流附面层的微分方程式附面层特性的确定,关系到流动阻力,能量损失,传热传质,流动的稳定性等重要工程实际问题 。 近几十年来,流体力学在这方面的发展很大,但迄今尚未全面解决 。 普朗特和冯 ·卡门在这方面作出了巨大的贡献,他们除了提出附面层的概念外,还推导了附面层的解析计算法和动量计算法,前者也称为附面层的微分方程,后者也称为附面层的动量积分方程 。
附面层的计算 主要解决的是附面层厚度沿界面的变化,流体压力分布和流动阻力的计算问题 。 现在我们根据附面层的特征,利用不可压缩粘性流体的运动微分方程,来研究附面层内流体的运动规律 。 为了简单起见,只讨论流体沿平板作稳定的平面流动情况,x轴与板面重合,方向与流向相同,假定第三节 层流附面层的微分方程式附面层内的流动全是层流,质量力忽略不计,则不可压缩粘性流体平面稳定流动的运动微分方程和连续性方程为
(6-11)
根据附面层的特征,应用数量级对比法,可将上式简化 。
由于附面层的厚度很小,它与平板尺寸和沿界面的流速 (ux)比起来可以看成是微小量,设其数量级为 ε?1,用符号 (～ )表示
0
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
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x
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y
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u
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u
x
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y
u
u
x
u
u
yx
yyy
y
y
x
xxx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式数量级相同,则 δ～ ε。 令 x和 ux的数量级为 1,即 x～ 1,ux～ 1。
而令 y和 uy的数量级为 ε,其相应微分量与积分量相对应,即分别为 1和 ε。 式 (6-11)简化为
(6-12)
式 (6-12)就是不可压缩粘性流体作稳定平面层流流动的附面层微分方程式,也称为普朗特附面层微分方程 。 其边界条件是
y=0,ux=uy=0； y=δ,ux=u∞
0
0
1
2
2
y
u
x
u
y
p
y
u
x
p
y
u
u
x
u
u
yx
xx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式
u∞为附面层外缘的主流速度 。 当 时,主流速度 u∞为一常数,
与 x无关 。 否则,它将是 x的函数,即 u∞=u∞(x)。
由式 (6-12)中 可知,在附面层内部,压力 p与坐标 y无关,附面层横截面上各点的压力相等,等于附面层外边界上的压力 。 于是附面层内的压力分布为 p=p(x),可以根据外部势流的速度由伯努利方程来确定,由此,附面层的压力 p可看作是已知数 。
方程组 (6-12)是在物体壁面为平面的假设条件下得到的,
它适用于平板和楔形等物体,但是,对于曲面的物体,只要壁面上的任何点的曲率半径与该处附面层厚度相比很大时 (如叶片叶型等 ),该方程组仍然是适用的,并具有足够的准确度 。
0 xp
0 xp
第三节 层流附面层的微分方程式但这时需要引用曲线坐标系,x轴沿着物体的曲面,y轴垂直于曲面 (如图 6-4)。
弯曲壁面与平壁附面层方程的差别在于对沿弯曲壁面流动所产生的离心力必须与 y方向的压力梯度相平衡,不再为零 。 但是如果壁面的曲率半径较大,附面层又极薄,壁面与附面层外边界之间的压力差很小,所以仍可以认为附面层横截面上的压力是几乎相等的 。
虽然层流附面层的微分方程式 (6-12)比一般的粘性流体运动微分方程要简化得多,但是该方程仍然是二阶非线性的偏微分方程,即使对于外形最简单的物体,求解也是十分困难的 。
yp
第四节 附面层的动量积分方程式内 容 提 要
附面层动量积分方程的推导过程
附面层动量积分方程的物理意义
附面层动量积分方程的使用方法第四节 附面层的动量积分方程式附面层动量积分方程式,简称动量方程式 。 它是 冯 ·卡门根据动量原理提出的 。 可以适用于层流附面层和紊流附面层,
以及有压力梯度和无压力梯度的情况 。 在沿流动方向有压力梯度时,主流区的流速 (即附面层外缘的流速 )是随 x而变化的,
即 u∞是 x的函数,用 u∞(x)表示 。 在无压力梯度时,u∞为常数 。
图 6-6所示为物体边界附面层的一部分 。 沿附面层划出垂直于纸面为一个单位厚度的微小控制体 abcd,其受力情况如图所示 。
现在应用动量定理来研究该控制体内的流体在单位时间内沿 x
方向的动量变化和外力之间的关系 。 并认为流体的流动是稳定的 。 质量力沿 x方向的 分量等于零 。
单位时间内在 x方向上经过 ab流入控制体的质量和带入的动量分别为第四节 附面层的动量积分方程式图 6-6 附面层内微小控制体第四节 附面层的动量积分方程式单位时间内在 x方向经 cd流出控制体的质量和带出的动量分别为根据连续性方程,对于稳定流动来说,必然有而
xyu
x
yux
x
K
KK
xyu
x
yux
x
m
mm
xx
ab
abcd
xx
ab
abcd
d)d(dd
d)d(dd
0
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0
2
00
xyu
x
umuK
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x
mmm
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d)d(
d)d(
0
0
0
2
0
d
d
yuK
yum
xab
xab
第四节 附面层的动量积分方程式式中 u∞为附面层外边界上的主流速度 。 这样,可得到单位时间内该控制体内流体沿 x方向的动量变化量为
(1)
现在计算作用在控制体上沿 x方向的外力之和,即作用在控制面 ab,bc,cd面上的总压力和作用在 ad面上的摩擦力 。 应当注意,bc是附面层的外边界,速度梯度趋近于零,因此沿 bc
面上没有切应力 。 则
00
2 d)d(d)d( xyu
x
uxyu
x
KKKK
xx
bcabcdx
)d)(d(
x
x
p
pP
pP
cd
ab
第四节 附面层的动量积分方程式式中,是作用在 bc面上的平均压力 。
壁面 ad作用在流体 (控制体 )上的切应力的合力为于是,单位时间内作用在该控制体上沿 x方向的各外力之合为由于 dxdδ?δdx,故忽略二阶无穷小量后,得到
(2)
d)d
2
1( x
x
ppP
bc?
xxpp d21
xxxppxxpppF x d)d)(d(d)d21( w
xxpxxxpF x )d(dd ww
xT dwab
第四节 附面层的动量积分方程式将式 (1)和式 (2)代入动量方程,并除以 dx得到
(6-13)
式 (6-13)就是附面层动量积分方程式 。 它是由冯 ·卡门在 1921年根据动量定理首先导出的,所以常称为 卡门动量积分方程 。 由第三节已知,在附面层内 p=p(x),而且从以后的计算中可知,
在附面层某截面上的速度分布 ux=ux(y),附面层的厚度 δ=δ(x)，
所以上式中左边的两个积分项也都只是 x的函数 。 因此上式中的偏导数可以改写为全导数,则式 (6-13)可写为
(6-14)
)(dd w
00
2
x
pyu
x
uyu
x xx
)
d
d(d
d
dd
d
d
w00
2
x
pyu
x
uyu
x xx
第四节 附面层的动量积分方程式如果附面层外边界上主流的速度 u∞在流动过程中不随 x而改变,如绕流平板的情况,即 u∞=常数 时,由伯努利方程可知附面层外边界上的压力 p也不随 x变化而保持常数,即
dp/dx=0。 因此式 (6-14)可 简化为
(6-15)
在以上推导附面层动量积分方程式的过程中,对壁面上的切应力 ηw未作任何假定,故式 (6-13)至 (6-15)对层流附面层和紊流附面层都适用 。 在附面层动量积分方程式中包含有 三个未知数常数221 up?
w0 d)(d
d
yuuux xx
第四节 附面层的动量积分方程式
ux,τW和 δ,因此,还需要找出两个补充关系式才能求解 。 通常 把沿附面层厚度方向的速度分布 ux=ux(y)以及切应力与附面层厚度的关系式 τw=τw(δ)作为两个补充关系式 。 一般在应用附面层动量积分方程式 (6-14)来求解附面层问题时,附面层内的速度分布是按已有的经验来假定的 。 假定的速度分布 ux=ux(y)
愈接近实际,则所得到的结果愈精确 。 所以,选择附面层内的速度分布函数 ux(y)是求解 附面层问题的重要关键 。
附面层内速度分布通常可取作多项式,三角函数式或双曲函数,指数函数和对数函数等形式,一般结合实际情况来选定 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度内 容 提 要
1,位移厚度 δ 1
2,动量损失厚度 δ 2
3,能量损失厚度 δ 3
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
1.位移厚度 δ 1
附面层的位移厚度又称 流量损失厚度 或称 排挤厚度,其含义是：对于不可压缩流体,当在理想流动情况下 (即不存在附面层 ),流速均等于主流速度 u∞时,流过 δ1的流量应和在实际情况下 (有附面层时 ),由于粘性的作用而使流速减低时整个流场减小的流量相等,即与流量损失量相等 。 如图 6-7所示,即面积 (1+3)=面积 (2+3)。 由此可见,在流量相等的条件下,犹如将没有粘性的理想流体从固体壁面向主流区推移了厚度为 δ1的距离,或者说向主流区排挤了一个 δ1的 距离 。 这就是位移厚度或排挤厚度名称的由来 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度图 6-7 位移厚度第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度理想流体流过 δ1厚度的流量为 u∞δ1(指单位宽度,下同 )实际情况下由于粘性的存在而使速度减低,从而减小的流体流量为于是所以 (6-16)
如果已知 ux/u∞与 y的关系,即可通过式 (6-16)计算附面层的位移厚度 δ1。
01
0
d)(
d)(
yuuu
yuu
x
x
001
d)1(d)1( y
u
uy
u
u xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
2.动量损失厚度 δ 2
动量损失厚度 δ2的定义与 δ1相似,即在理想情况下 (无粘性 )
通过厚度 δ2的 流体动量等于实际情况下整个流场中实际流量与速度减小量的乘积,也就是等于动量损失量,即即
(6-17)
00
2
0
2
2
d)1(d)1(
d)(
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
3.能量损失厚度 δ 3
能量损失厚度 δ3的定义为：在理想情况下通过厚度 δ3的流体的动能等于实际情况下整个流场的动能损失量,即
(6-18)
在已知 ux/u∞与 y的关系后,即可通过式 (6-17)和式 (6-18)计算附面层的动量损失厚度 δ2和能量损失厚度 δ3。 利用 δ1,δ2和 δ3
可以进行附面层的解析计算,并且可以根据 δ,δ1,δ2和 δ3间的比值来表达附面层中的速度分布 。
0
2
0
2
3
22
0
3
3
d])(1[d])(1[
d)(
2
1
2
1
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第六节 平板层流附面层的计算内 容 提 要
一,平板层流附面层的解析计算
平板层流附面层的解析计算方法
平板层流附面层的解析计算公式
二,平板层流附面层的近似计算
平板层流附面层的近似计算方法
平板层流附面层的近似计算公式第六节 平板层流附面层的计算一,平板层流附面层的解析计算平板层流附面层的解析计算就是从层流附面层的微分方程式 (6-12)及其边界条件出发,首先将运动方程式和连续性方程式归并,再进行简化,将偏微分方程组化成常微分方程式,最后进行求解,求得附面层中速度分布规律及沿流动方向附面层厚度的增长规律,并由此确定流动的切应力 ηW,摩擦总阻力 Ff
及阻力系数 Cf。 下面就来说明其计算方法及过程,如图 6-8所示 。
计算结果如下：
第六节 平板层流附面层的计算图 6-8 平板层流附面层第六节 平板层流附面层的计算
1.附面层厚度 δ 的计算式：
(6-22)
或
(6-23)
2.附面层位移厚度 δ １ 的计算式：
(6-24)
3.附面层动量损失厚度 δ 2的计算式：
(6-25)
)Re(Re0.5
Re
0.5
Re0.5
Re
0.5
0.5
2
1
2
1
xu
x
x
x
u
x
xx
x
x
x
其中
2
1
1 Re721.1Re
721.1721.1?
x
x
xx
u
x
2
1
2 Re6 6 4.0Re
6 6 4.06 6 4.0?
x
x
xx
u
x
第六节 平板层流附面层的计算
4.平板表面上 x处的摩擦切应力 τw的计算式：
(6-26)
5.平板表面上 x处的摩擦阻力系数 (称当地摩擦阻力系数 )Cfx的计算式：
(6-27)
2
1
2
2
w
Re3 3 2.0
3 3 2.03 3 2.0
xu
xu
u
x
u
u
2
1
2
2
1
2
2
w Re6 6 4.0
2
1
Re3 3 2.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
第六节 平板层流附面层的计算
6.对于长度为 L,宽度为 B的平板,单侧面上的总摩擦阻力 Ff的计算 式：
(6-28)
7.整个平板的总摩擦阻力系数 Cf的计算式：
(6-29)
式中,ReL— 按板长 L计算的雷诺数,即 ReL=u∞L/ν。
2
1
23
0
2
1
3
0
w
Re6 6 4.06 6 4.0
d3 3 2.0d
L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF
2
1
2
2
1
2
2
Re3 2 8.1
2
1
Re6 6 4.0
2
1
LL
f
f
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算二,平板层流附面层的近似计算如图 6-8,当自由来流绕流平板时,平板上附面层边界上的速度可取 u∞,且 u∞=常数 。 由伯努利方程可知沿流动方向不存在压力梯度,即 。 因此,平板层流附面层的动量积分方程式为
(6-15)
对于不可压缩流体,ρ =常数,则上式可写为
(6-30)
0w d)(d d yuuux xx
x
uy
u
u
u
u
x
u xx
d
dd)1(
d
d 22
0
2
w
0 xp
第六节 平板层流附面层的计算上式对 ηw并未加任何限制,对平板层流附面层和紊流附面层都适用 。 式中包含三个未知数 ux,ηw和 δ,需要另外增加两个补充关系式 。
第一个补充关系式,设层流附面层内的速度分布为 y的幂级数,
即 ux=ux(y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4 (1)
由于附面层的厚度很小,所以 y是个微小量,取幂级数的前五项已是足够精确了 。 待定系数 a0,a1,a2,a3和 a4由下列边界条件确定 。
边界条件：
(1) y=0处,ux=0；
(2) y=δ处,ux=u∞；
第六节 平板层流附面层的计算
(3) y=δ处,
(4) y=δ处,ux=u∞=常数,根据附面层微分方程式 (6-12)
(5) y=0处,ux=uy=0,由式 (6-12)得到利用上面的五个边界条件可求得：
将上面各系数代入式 (1),得到
(6-31)；，即 0)(0)( yuyu xx；可得到 0)( 2
2
yu x；0)( 02
2
yxyu
4433210 2020
uauaauaa,，，，
])()(2)(2[ 43 yyyuu x
第六节 平板层流附面层的计算或写成
(6-31a)
第二个补充关系式,对于层流附面层,可根据牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为
(6-32)
于是附面层动量损失厚度 δ 2为
(6-33)
uyyu
y
u
yy
x 2])(4)(62[)(
0
32
0w
43 )()(2)(2
yyy
u
u x
3 1 5
37
d])()(2)(21][)()(2)(2[
d)1(
4343
0
0
2
y
yyyyyy
y
u
u
u
u
xx
第六节 平板层流附面层的计算将式 (6-32)和式 (6-33)代入式 (6-30),得到上式整理后为对上式积分得上式为二次抛物线方程 。 由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0,由此得到 附面层的厚度 δ为
(6-34)
xu
u
d
d
315
372 2
xu d37630d
2
1
Re84.5
Re
84.584.5?
x
x
xx
u
x
Cxu
37
6 3 0
2
1 2
第六节 平板层流附面层的计算或者写成
(6-34a)
由式 (6-34)可以看出,平板层流附面层的厚度变化曲线为二次抛物线,δ随 x的增加而增大,随来流速度 u∞的 增加而减小,流体的粘性愈大,附面层也愈厚 。
附面层的厚度 δ 求出后,其它各量均可计算 。 把式 (6-34)
代入式 (6-32)得到 壁面上的粘性切应力 为
(6-35)
2
1
Re84.5
Re
84.5
x
xx
2
1
22
w
Re3 4 3.03 4 3.0
84.5
22
x
u
xu
u
x
uuu
第六节 平板层流附面层的计算当地摩擦阻力系数 为
(6-36)
对于长度为 L,宽度为 B的 平板一侧面上的 总摩擦阻力 为
(6-37)
平板的 总摩擦阻力系数 为
(6-38)
2
1
23
0
2
1
3
0 w
Re6 8 6.06 8 6.0
d3 4 3.0d
L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF
2
1
2
2
1
2
2
w Re6 8 6.0
2
1
Re3 4 3.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
2
1
2
2
1
2
2
Re3 7 2.1
2
1
Re6 8 6.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算附面层的位移厚度 δ 1和动量损失厚度 δ 2分别为
(6-39)
(6-33a)
动量积分方程的计算结果与微分方程的计算结果是很接近的 。 改变附面层中的流速分布式,可使两者的计算结果十分接近 。 这说明动量积分方程计算法是可以用于附面层计算的 。 对于除平板层流附面层以外的其他复杂情况 (如曲面绕流和紊流附面层等 ),难以或根本不能应用微分方程 计算,动量积分方程的计算方法是目前唯一可以采用的计算方法 。
2
1
2
2
1
43
00
1
Re6 8 6.084.5
3 1 5
37
3 1 5
37
Re7 5 2.17 5 2.184.5
10
3
10
3
d])()(2)(21[d)1(
x
x
x
x
u
x
x
u
x
u
x
y
yyy
y
u
u
第七节 平板紊流附面层的近似计算内 容 提 要
平板紊流附面层的近似计算方法
平板紊流附面层的近似计算公式
平板层流附面层和平板紊流附面层特征比较第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流附面层要比层流附面层复杂得多 。 因为流体在流动中不仅有粘性力存在,而且还产生紊流附加切应力 。 并且这部分应力在紊流附面层中的不同区域所占的比例不同,越远离壁面,
其所占的比例越大；越靠近壁面,其所占的比例越小,直到层流底层中这部分应力才不复存在 。 对这部分附加应力将如何考虑,目前还不能从理论上得到解决 。 上节所取的两个补充关系式是建立在层流的牛顿内摩擦定律和层流附面层微分方程基础上的,显然不能应用于紊流附面层 。 对于紊流附面层还必须设法另找两个补充关系式 。 人们对流体在圆管内作紊流流动的规律已完整地研究过,普朗特曾经作过这样的假设：沿平板附面层内的紊流流动与管内紊流流动相同 。 于是就可借用管内第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流流动的理论结果去寻找动量积分方程式的两个补充方程 。
这时,圆管中心线上的最大速度 umax相当于平板的来流速度 u∞，
圆管的半径 R相当于附面层的厚度 δ。 并且假定平板附面层从前缘开始 (x=0)处就是 紊流 。
与圆管内一样,紊流附面层内的速度分布规律也假定是七分之一次方指数规律,这与实验测得的结果很符合,于是有
(6-40)
另外一个补充方程,即紊流附面层内壁面上的切应力计算式可推导如下：
7
1
7
1
)(
)0()(
y
u
u
y
y
uu
x
x
第七节 平板紊流附面层的近似计算如图 6-9所示,当粘性流体在等直径管道内作稳定流动时,
由上式得到
(6-41)
平板紊流附面层内壁面上的切应力计算式就是借用圆管内紊流流动的壁面切 应力公式 (6-41),其中 沿程阻力 系数 λ在
4000<Re≤26.98(d/Δ)8/7的范围内可用布拉修斯公式 (5-39)计算,
即
lddudl x w22 4121?
2
w 8 xu?
4
1
25.0
25.0
)(
2 6 6.0
)(
3 1 6 4.0
Re
3 1 6 4.0
Rudu xx
第七节 平板紊流附面层的近似计算图 6-9 圆管紊流将上式代入式 (6-41),得在以上雷诺数范围内,平均流速 约等于 0.817umax,将
=0.817umax代入上式,并将圆管中心线上的速度 umax和半径 R用附面层外边界上的速度 u∞和附面层厚度 δ代替,则得到
4
1
2
w )(03325.0 Ruu
x
x
xu xu
第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-42)
由式 (6-17)和式 (6-40)可求得附面层的动量损失厚度 δ2为
(6-43)
将式 (6-42)和式 (6-43)代入动量积分方程式 (6-30),得或者
4
1
2
w )(0 2 3 3 4.0?
uu
72
7
d])()[(
d])(1[)(d)1(
0
7
2
7
1
7
1
0
7
1
0
2
y
yy
y
yy
y
u
u
u
u xx
x
u
x
u
u
u
d)0,2 4 (d
d
d
72
7
)(02334.0
4
1
4
1
24
1
2
第七节 平板紊流附面层的近似计算积分后得由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0。 由此得到附面层的厚度为
(6-44)
或者写成
(6-45)
将式 (6-44)代入式 (6-42),则得到板面上 x处的切应力为
(6-46)
当地摩阻系数为
Cxu
4
1
4
5
)(24.054
5
1
5
1
2.0
5
4
5
1
Re382.0
Re382.0
Re
382.0
)(382.0
x
x
x
x
x
x
x
u
5
1
25
1
2
w Re0297.0)(0297.0
xuxuu?
第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-47)
平板一侧的总摩阻为
(6-48)
平板的总摩阻系数为
(6-49)
5
1
2
5
1
2
2
w Re0 5 9 4.0
2
1
Re0 2 9 7.0
2
1
xxxf
u
u
u
C
5
1
25
1
2
0
5
1
5
1
2
0
w
Re037.0)(037.0
d)(0297.0d
L
LL
f
uBL
Lu
uBL
xxB
u
uxBF
5
1
2
5
1
2
2
Re074.0
2
1
Re037.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第七节 平板紊流附面层的近似计算实验测得的比较精确的平板紊流总摩擦阻力系数 Cf随 ReL
的变化关系式,与上面所推导的结果相一致,即
(6-50)
适用范围是 3× 105≤ReL≤107。 当 ReL>107时,式 (6-50)就不再准确,可利用施利希廷公式进行计算,即
(6-51)
平板紊流附面层的位移厚度 δ1和动量损失厚度 δ2分别为
(6-52)
(6-53)
5
1
Re074.0 LfC
)10Re10(
)Re( lg
455.0 96
58.2 L
L
fC
5
1
2
5
1
0
7
1
0
1
Re0 3 7.0
72
7
Re0 4 8.0
8
1
d])(1[d)1(
x
x
x
x
xy
y
y
u
u
第七节 平板紊流附面层的近似计算应当注意,我们在推导上述平板紊流附面层的公式时,是借用了圆管中紊流速度分布的七分之一次方指数规律和切应力公式,并且假定流动处在水力光滑壁的区域内,所以,以上所得到的结果只适用于一定的范围 。
通过以上讨论,我们比较一下平板层流附面层和平板紊流附面层的特征,可以找出它们的 重要差别 有：
(1)紊流附面层内沿平板壁面法向截面上的速度比层流附面层内的速度增加得快,也就是说,紊流附面层的速度分布曲线比层流附面层的速度分布曲线饱满得多 。 这与圆管中的情况相似 。
(2)沿流动方向平板壁面紊流附面层的厚度要比层流附面层的厚度增加得快,因为紊流的 δ与 x4/5 成正比,而层流的 δ
第七节 平板紊流附面层的近似计算则与 x1/2 成正比 。 这是由于在紊流附面层内流体微团发生横向运动,容易促使厚度迅速增加 。
(3)在其他条件相同的情况下,在紊流附面层中平板壁面上的切应力 ηw沿着壁面 (流动方向 )的减小要比在层流附面层中减小得慢 。 因为在紊流附面层中 ηw与 x－ 1/5 成正比,而在层流附面层中 ηw与 x－ 1/2 成正比 。
(4)在同一雷诺数 Rex下,紊流附面层的摩擦阻力系数比层流附面层的摩擦系数大得多 。 这是因为,在层流中摩擦阻力只是由于不同流层之间发生相对运动时因流体分子扩散而引起的；
在紊流中除了流体分子扩散作用外,还由于流体质点有很剧烈的横向掺混,而产生更大的摩擦阻力 。
第八节 平板混合附面层的近似计算内 容 提 要
两个假设条件
混合附面层总摩擦阻力系数的计算公式第八节 平板混合附面层的近似计算附面层内的流动状态主要由雷诺数决定,当雷诺数增大到某一数值时 (对平板而言,Rex在 3× 105～ 3× 106之间 ),附面层由层流转变为紊流,成为混合附面层,即平板前端是层流附面层,后部是紊流附面层 。 在层流附面层转变为紊流附面层之间有一个过渡区 。 若是大雷诺数下,可以看成是在某一截面上突然发生转变 (如图 6-10)。
由于混合附面层内的流动情况十分复杂,所以在研究平板混合附面层的摩擦阻力时,为简化计算,作下列 两个假设：
(1)在 B点由层流附面层突然转变为紊流附面层；
(2)在计算紊流附面层的厚度变化,层内速度分布和切应力分布时都认为是从前缘点 O开始的 。
第八节 平板混合附面层的近似计算图 6-10 平板上的混合附面层第八节 平板混合附面层的近似计算根据这两个假设,可用下列方法计算平板混合附面层的总摩擦阻力 。 令 FfM代表混合附面层的总摩擦阻力,FfL代表层流附面层的总摩擦阻力,FfT代表紊流附面层的总摩擦阻力,则式中,xc为临界转变点 B至前缘点 O的距离,CfL和 CfT及 CfT′分别为层流附面层和紊流附面层的总摩擦阻力系数 。
由上式可得到混合附面层的总摩擦阻力系数为
])([
2
1
2
1
2
1
2
1
'2
22'2
L
x
CCCBLu
xBuCxBuCBLuC
FFFFFF
c
LfTfTf
cLfcTfTf
LfTfTfLfTfMf OBOBOAOBBAOA
第八节 平板混合附面层的近似计算式中,取决于层流附面层转变为紊流附面层的临界雷诺数 Rexc,见表 6-2。
L
Tf
L
xLfTf
Tf
c
LfTfTf
c
LfTfTfMf
A
C
CC
C
Lu
xu
CCC
L
x
CCCC
c
ReRe
Re)(
/
/
)(
)(
'
'
'
，
c
cc
c x
xx
xLfTf CCA Re)Re
328.1
Re
074.0(Re)(
5.02.0
'
第八节 平板混合附面层的近似计算表 6-2 A与 Rexc之间的关系这样,
(6-54)
当雷诺数 ReL在 106～ 109的范围时,混合附面层的总摩擦阻力系数 CfM可按下 式进行计算
(6-55)
Rexc 3× 105 5 × 105 106 3× 106
A 1050 1700 3300 8700
)10Re103(ReRe 074.0 752.0 L
LL
Mf
AC
)10Re10(Re)Re( l g 455.0 9658.2 L
LL
Mf
AC
第八节 平板混合附面层的近似计算综上所述,因为层流附面层的摩擦阻力系数比紊流附面层的摩擦阻力系数要小得多,所以,层流附面层段越长,即层流附面层到紊流附面层的临界转变点 B离平板前缘越远,则平板混合附面层的摩擦阻力就越小 。
第九节 曲面附面层的分离现象内 容 提 要
曲面附面层分离的原因
压差阻力 (旋涡阻力 )的概念及其产生的原因第九节 曲面附面层的分离现象如前所述,当不可压缩粘性流体纵向流过平板时,在附面层外边界上沿平板方向 (流动方向 )的速度是相同的,而且整个流场,包括附面层内的压力都保持不变 。 当粘性流体绕曲面物体流动时,附面层外边界上沿流动方向的速度 u∞是变化的,所以曲面附面层内的压力也将同样发生变化 。 由于压力的变化将对附面层内的流动产生影响 。 关于曲面附面层的计算是很复杂的 。 在这里我们不准备作详细讨论,只着重说明曲面附面层的分离现象 。
如图 6-11为流体绕过一曲面物体的流动,u∞和 p∞表示无穷远处自由来流的速度和压力 。 由于流体绕流过物体的前驻点后,
沿上表面的流速将逐渐增加,直到曲面上某一点 M,然后第九节 曲面附面层的分离现象图 6-11 曲面附面层分离的形成示意图第九节 曲面附面层的分离现象又逐渐减小 。 由伯努利方程可知,相应的压力则先是逐渐降低
(dp/dx<0),而后又逐渐升高 (dp/dx>0)。 M点处附面层外边界上的速度最大,而压力最低 (dp/dx=0)。 沿曲面各点法向的速度剖面和压力变化曲线同时示于图 6-11中 。 图中实线表示流线,虚线表示附面层的外边界 。
我们从流体在附面层内流动的物理过程来说明曲面附面层的分离现象 。 当粘性流体流经曲面时,附面层内的流体质点被粘性力所阻滞而消耗动能,逐渐减速；越靠近物体壁面的流体微团受粘性力的阻滞作用越大,动能的消耗也越大,速度降低也越快,壁面上的流速为零 。 在曲面的降压加速段中 (M点以前 ),由于流体的部分压力能转变为流体的动能,附面层内流第九节 曲面附面层的分离现象体微团虽然受到粘性力的阻滞作用,但仍有足够的动能克服粘性力而继续前进 。 但是在曲面的升压减速段中 (M点以后 ),流体不仅因粘性力的阻滞作用而消耗动能,而且流体的部分动能还将转变为压力能 。 这就使得流体微团的动能消耗更大,流速迅速降低,附面层不断增厚 。 当流体流到曲面的某一点 S时,
靠近壁面的流体微团的动能已全被耗尽而停滞不前 。 跟着而来的流体微团也将同样停滞下来,以致越来越多的被停滞的流体微团在物体壁面和主流之间堆积起来 。 与此同时,在 S点之后,
压力的继续升高将使这部分流体微团被迫反向逆流,并迅速向外扩展 。 这样,主流便被挤得离开了物体壁面,形成了附面层的分离现象 。 在 ST线上一系列 流体微团的速度都等于零,
第九节 曲面附面层的分离现象成为主流和回流之间的间断面 。 由于间断面的不稳定性,很小的扰动就会引起间断面的波动,进而发展并破裂而形成旋涡 。
S点称为附面层的分离点,ST线 为零值流线 。 附面层分离时形成的旋涡,不断地被主流带走,在物体后部形成尾涡区 。 尾涡区中强烈的旋涡运动将消耗能量,使物体后部的压力不能恢复,造成物体前后明显的压力差,增加了物体的绕流阻力,
这种阻力称为 压差阻力,也称 旋涡阻力 。 在管道的扩张段中,
也有可能出现附面层的分离现象,产生压差阻力 。
综上所述 可得如下结论,粘性流体在压力降低区内流动
(加速流动 ),决不会出现附面层分离现象,只有在压力升高区内流动 (减速流动 ),才有可能出现附面层分离,出现旋涡 。
第九节 曲面附面层的分离现象尤其在主流的减速足够大的情况下,附面层的分离就一定会发生 。 例如,在圆柱体或球体这样的钝头体的后半部分上,当流体的流速足够大时,便会发生附面层的分离现象 。 这是由于在钝头体的后半部分有急剧的压力升高区,而引起主流减速加剧的缘故 。 因此,在工程上,若将钝头体的后半部分改为充分细长形的尾部,成为圆头尖尾的所谓流线形物体,就可使主流的速度缓慢降低,从而可避免或推迟附面层的分离,以减少由此而产生的压差阻力 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动内 容 提 要
粘性流体绕流圆柱体的流场特征
粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD及阻力系数
CD的计算
,卡门涡街”现象 和“阻力跌落”现象第十节 粘性流体绕圆柱体的流动在第四章中我们已经讨论了理想流体绕圆柱体的流动情况,
并得到圆柱面上 (r=r0)的速度分布和压力分布规律：
(4-70)
和 (4-71)
或者 (4-73)
由此可以看出,对于理想流体绕圆柱体流动时,其前后驻点处速度均为零,并且压力相等 。 但当粘性流体绕圆柱体流动时,
在圆柱体的表面上要形成附面层 。 若流体以相当于几个雷诺数
2
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第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
(如 Re<1～ 5)的很低的速度 u∞绕流圆柱体时,在开始瞬间与理想流体绕圆柱体的流动情况一样,流体在前驻点速度为零,而后沿圆柱体左右两侧流动,流动在圆柱体的前半部分是降压过程,速度逐渐增大到最大值；在后半部分是升压过程,速度逐渐减小,到后驻点重新等于零 (如图 6-13a所示 )。 当来流速度增加,即雷诺数增大时,使圆柱体后半部分的压力梯度增加,以致引起附面层分离,并在圆柱体的背后形成旋涡区 (如图 6-13b)。
这时,原来的后驻点已不再是驻点,沿圆柱面上的压力分布也不再符合式 (4-71)的规律 。 图 6-14绘出了沿圆柱面的三条无因次压力分布曲线,理论曲线 1是按公式 (4-73)绘制的,另外二条是粘性流体绕流圆柱体时,实测的压力分布曲线 。 其中第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13 卡门涡街的形成过程第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
————— 理论的压力分布
—·—·— Re=6.7× 105(超临界 )的压力分布
…………… Re=1.86× 105(亚临界 )的压力分布图 6-14 压力系数沿圆柱面的分布第十节 粘性流体绕圆柱体的流动中点划线 2对应于较高的绕流雷诺数,虚线 3对应于较低的雷诺数 。 绕流雷诺数为 Re=u∞d/ν,其中 d为圆柱体的直径,u∞为自由来流的速度,ν为流体的运动粘度 。 由图 6-14可以 看出：
(1)实际流体绕流与理想流体绕流的圆柱面上的压力分布曲线有一定的差别 。 只是在前驻点附近 ± 30° 左右的区域中,
两者的压力分布曲线基本上是相同的,而在其他范围内有较大的出入 。
(2)按理论压力分布曲线沿圆周积分,不管流体速度多大,
整个圆柱体浸在流体中是不受力的,这与实际情况出入较大 。
在实际流体绕流中,流动的流体对被绕流的圆柱体有一个沿流向的推力,由圆柱体的前侧指向后侧 。 这是由圆柱体前后第十节 粘性流体绕圆柱体的流动压力分布不对称而产生的 。 显然实际压力分布曲线能解释这种情况 。
(3)实际压力分布曲线,除前驻点附近 ± 30° 的区域内与理论曲线一致外,其他区域的压力分布形状与绕流的雷诺数 Re
有关 。 这表明压力分布曲线与圆柱体表面上附面层的性质有关,
也与附面层分离点的位置有关 。 当绕流雷诺数较低时,柱体表面的附面层属于层流附面层,附面层分离点较靠前,并且随雷诺数 Re的增大而前移,使旋涡区增大,因而压力分布曲线较平坦 。 当绕流雷诺数很大,超过临界值时,附面层由层流转变为紊流附面层 。 由于紊流附面层与主流进行动量交换的能力要比层流附面层强,保证了由主流向附面层供应能量,提高第十节 粘性流体绕圆柱体的流动了克服粘性阻力的能力,使附面层分离点的位置向柱体的后部推移,旋涡区大为减小,从而使流体对圆柱体的绕流得到改善 。
这就使压力分布曲线更接近于理论分布曲线,而且圆柱体后部压力得到提高 。 这说明不同 Re数下绕流情况是不同的,绕流
Re数越高,绕流情况越好,在超临界 Re数的情况下,绕流状况大为改善 。
前面已经讲到,当绕流雷诺数增加时,在圆柱体后部产生附面层分离,并有旋涡区形成 。 实验发现,在圆柱体后部的旋涡区内,旋涡总是成对出现,并且其旋转方向相反 (如图 6-13b
所示 )。 当绕流雷诺数超过 40以后,对称的旋涡不断增长,直到 Re≈60时,这对不稳定的对称旋涡将周期性地交替脱落 (如第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13c),最后形成几乎稳定的,非对称的,多少有些规则的,
旋转方向相反的交错旋涡,称为 卡门涡街 (如图 6-13d)。 它以比来流速度 u∞小得多的速度 u*运动 。 实验证明,有规则的卡门涡街,只能在 Re=60～ 5000的范围内观察到,而且在大多数情况下是不稳定的 。 卡门证明,对圆柱体后的卡门涡街,当
Re≈150时,只有在两列旋涡之间的距离 h与同列中相邻两旋涡的间距 l之比 h/l=0.2806的情况下,才能真正达到稳定 。 图 6-15
是卡门涡街的流谱 。 根据动量定理对如图 6-15所 示的卡门涡街进行理论计算,得到作用在单位长度圆柱体上的阻力为
(6-56) ])(12.1)(83.2[ 2**2
u
u
u
uhuF
D?
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD是由摩擦阻力 Ff和压差阻力
FP两部分组成,其阻力系数一般通过实验测得 。 图 6-16中绘出了粘性流体绕圆柱体流动时,阻力系数 CD随绕流雷诺数 Re的变化关系 。 阻力系数 CD的定义 式为
(6-57)
式中,FD— 圆柱体对流体的阻力,牛顿；
A— 圆柱体的最大迎流面积,A=直径 d× 长度 L。
由图 6-16可见,在附面层没有分离时,阻力系数 CD随 Re的增大下降较快 。 但当出现附面层分离后,雷诺数增大时,随分
Au
F
C DD
2
2
1
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动离点前移,旋涡区增大,压差阻力略有增大,摩擦阻力减小,
这时 CD随 Re增大而继续减小,但比无分离时缓慢 。 当 Re>103
以后,摩擦阻力已在总阻力中变得微不足道,阻力主要由压差阻力组成,因分离点不再前移,CD 基本成一定值 。 当
Re>2× 105时,阻力系数 CD突然减小,这表明当 Re数超过临界值后,圆柱体表面的层流附面层转变为紊流附面层,使附面层分离点突然向后推移,旋涡区减小,绕流得到改善,圆柱体后压力提高,使圆柱体前后的压力差减小,这时虽然摩擦阻力有所增加,但由于压差阻力显著减小,而使得总阻力 FD减小,从而使阻力系数 CD大幅度下降,出现,阻力跌落,现象 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-15 卡门涡街流谱第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-16 圆柱体的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十节 粘性流体绕圆柱体的流动圆柱体后尾流的流动状态在小雷诺数下是层流,在较大的雷诺数时形成卡门涡街 。 随着雷诺数的增加 (150<Re<300)，
在尾流中出现流体微团的横向运动,由层流状态过渡为紊流状态 。 到 Re≈300时,整个尾流区成为紊流,而旋涡不断消失在紊流中 。
在圆柱体后尾流的卡门涡街中,两列旋转方向相反的旋涡周期性地均匀交替脱落,有一定的脱落频率 。 旋涡的脱落频率
n可按斯特罗哈提出的经验公式计算,即
(6-58)
式中 nd/u∞=St称为斯特罗哈数,它是一个相似准数,与雷诺
)102Re250()Re 7.191(198.0St 5
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动数 Re有关 。 除此之外,根据罗斯柯 1954年的实验结果,St与 Re
之间存在着如图 6-17所示的关系,在大雷诺数 (Re>103)下,斯特罗哈数近似等于常数,即 St=0.21。
图 6-17 St数与 Re数的关系第十节 粘性流体绕圆柱体的流动卡门涡街交替脱落时会产生振动,并发生声响效应,这种声响是由于卡门涡街周期性脱落时引起的流体中的压力脉动所造成的声波,正如日常生活中听到风吹电线嘘嘘发响一样 。 工业上使用的空气预热器等多由圆管组装而成,流体绕流圆管时,
卡门涡街的交替脱落会引起预热器管箱中气柱的振动 。 如果卡门涡街的脱落频率恰好与管箱的声学驻波频率相重合时,就会诱发强烈的管箱声学驻波振动 (产生共振 ),产生很大的噪声,
造成空气预热器管箱的激烈振动 。 严重时,能使空气预热器的管箱振鼓,甚至破裂 。 如果我们改变管箱和气柱的固有频率,
使之与卡门涡街的脱落频率错开,避免发生共振,则可防止设备的破坏 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动应当指出,不只是流体绕圆柱体流动时才产生卡门涡街 。
当流体绕流其它非流线型的物体时,只要发生附面层的脱离,
都可能会出现卡门涡街 。 因此,有些设备或设施,例如水下建筑或航空设备等都作成流线型,以避免附面层的分离及产生卡门涡街的破坏作用 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动内 容 提 要
蠕流的概念
斯托克斯方程及其解析结果
绕流球体的阻力系数 CD及其计算
自由沉降速度的概念及其计算
非球形物体自由沉降速度的计算
减小绕流物体阻力的措施第十一节 粘性流体绕球体的流动工程上遇到粘性流体绕球体的流动情况也很多,象燃料炉炉膛空气流中的煤粉颗粒,油滴,烟道烟气中的灰尘以及锅炉汽包内蒸气空间中蒸气夹带的水滴等,都可以近似地看作小圆球 。 因此我们要经常研究固体微粒和液体细滴在流体中的运动情况 。 比如,在气力输送中要研究固体微粒在何种条件下才能被气流带走；在除尘器中要解决在何种条件下尘粒才能沉降；
在煤粉燃烧技术中要研究煤粉颗粒的运动状况等问题 。
当煤粉和灰尘等微小颗粒在空气,烟气或水等流体中运动时,由于这些微粒的尺寸以及流体与微粒间的相对运动速度都很小,所以在这些运动中雷诺数都很小,即它们的惯性力与粘性力相比要小得多,可以忽略不计 。 又由于微粒表面的附面层第十一节 粘性流体绕球体的流动极薄,于是质量力的影响也很小,也可略去 (这种情况下的绕流运动常称为 蠕流 )。 这样,在稳定流动中,可把纳维 — 斯托克斯方程简化 为
(6-59)
不可压缩流体的连续性方程为
)(
)(
)(
2
2
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2
2
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第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-18 小雷诺数时绕圆球的流动
0?
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u zyx
第十一节 粘性流体绕球体的流动
1851年斯托克斯首先解决了粘性流体绕圆球作雷诺数很小
(Re<1)的稳定流动时,圆球所受的阻力问题 。 在这种情况下,
除略去惯性力和质量力外,还假定绕流时在球面上不发生附面层的分离 (如图 6-18)。 将式 (6-59)及连续性方程式转化为球坐标形式,并结合边界条件进行理论求解,可得 解析结果 (具体解析过程在这里不再详述,可参考有关著作 )为速度分布：
(6-60)
压力分布：
(6-61)
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2
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r
r
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r
r
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r
第十一节 粘性流体绕球体的流动式中 u∞和 p∞分别为无穷远处流体的速度和压力,r0为圆球的半径 。
在圆球的前后两驻点 A和 B处的压力是在前驻点 A(θ=180° )
在后驻点 B(θ=0° )
由此可见,流体对圆球在 x方向上的作用力有一个合力,
即在 x方向上流体对圆球有一个推力 。 为了确定这个推力 (阻力 )
的大小,先要求出球面上各点的法向应力和切向应力 (图 6-18)。
由于在球面 上
0
0
2
3
2
3
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u
pp
B
A
，，,0/0/0/uuru rr
第十一节 粘性流体绕球体的流动
ur(r0,θ)=uθ(r0,θ)=0,于是可得到
(6-62)
现在求流体作用在球面上的法向力和切向力沿 x轴方向的分量 Fp和 Ff。 在球面上划出微元带形表面 (图 6-18),其面积
dA=2πr0sinθ·r0dθ=2πr20sinθdθ,于是
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第十一节 粘性流体绕球体的流动则粘性流体绕流圆球时所受到的阻力 (即流体作用在圆球上的推力 )为
FD=FP+Ff=πdμu∞+2πdμu∞=3πdμu∞ (6-63)
其中 FP为 压差阻力,Ff为 摩擦阻力,FD为 总阻力 。 式中 d=2r0
为圆球的直径 。
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第十一节 粘性流体绕球体的流动式 (6-63)就是粘性流体绕流圆球的 斯托克斯阻力公式 。 其阻力系数为
(6-64)
式中 A— 圆球的 迎流面积,A=(1/4)πd2。 当雷诺数 Re<1时,式
(6-64)与 实验结果很相符合 。
实验证明,绕流球体的阻力系数 CD随着绕流雷诺数 Re的增加而减小 。 图 6-19绘出了粘性流体绕圆球流动的阻力系数 CD
随 Re数变化的实验曲线,其临界雷诺数 Rec=(2～ 3)× 105。 对应于图 6-19各区域的 CD近似计算 公式有
Re
2424
4
1
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1
3
2
1 222
du
du
ud
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第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-19 圆球和圆盘的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十一节 粘性流体绕球体的流动
)656(
)102Re5 0 0(44.0
)1 0 0 0Re10(
Re
13
)1 0 0( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)5( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)1( R e
Re
24
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2
1
牛顿公式，
阿连公式，
奥森修正公式，
奥森公式，
斯托克斯公式，
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
第十一节 粘性流体绕球体的流动现在我们 研究一个圆球在静止流体中的运动情况 。 一个直径为 d的圆球从静止开始,在静止的流体中自由下落,由于重力的作用,下降速度逐渐增大,同时,圆球受到的流体阻力也逐渐增大 。 当圆球的重量 G与作用在圆球上的流体的浮力 FB及流体的阻力 FD达到 平衡时,
G=FB+FD
圆球在流体中将以等速度 uf自由沉降 。 这一临界速度 uf称为圆球的 自由沉降速度 。 将圆球的重量 G=(1/6)πd3γs，
流体的浮力 FB=(1/6)πd3γ，
和流体对圆球的阻力 FD=CD(1/2)ρu2f·( 1/4)πd2代入 上式,
第十一节 粘性流体绕球体的流动得 (6-66)
当 Re<1时,将 CD=24/Re代入上式,得到
(6-67)
当 Re=10～ 1000时,将 CD= 代入式 (6-66)得
(6-68)
当 Re=500～ 2× 105时,将 CD=0.44代入式 (6-66)得
(6-69)
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D
s
D
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f gddgu 3)(74.1
2
1
Re13
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果圆球是在气体中沉降时,由于气体的密度 ρ比球体的密度 ρs小得多,故式 (6-67),(6-68),(6-69)可以 近似地写为
(6-70)
(6-71)
(6-72)
对于非球形物体,自由沉降速度公式 (6-66)同样适用,只需引入 当量直径 de和 圆球度 Ω的概念,它们 的定义为
)1( R e
18
2
dgu s
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)1 0 0 0Re10()()
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4( 313232
5.0
ddgu ssf?
)102Re500(3)(74.1 52
1
dgdgu ss
f
第十一节 粘性流体绕球体的流动
(6-73)
(6-74)
式中 V0为物体的体积,A0为物体的表面积 。 对于正方体
Ω=0.806,圆柱体 Ω=0.86,煤粉 Ω=0.70,砂粒 Ω=0.53～ 0.63。
于是
(6-75)
由于,所以上式也可写为
(6-75a)
0
3
2
0
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0
3 0
8 3 6.4
6
A
V
AV
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V
d
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的实际物体的表面积体积为的圆球的表面积体积为
s
D
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f C
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3
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06
A
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s
D
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0
08
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果球体能被以速度为 u∞的垂直上升的流体带走,则它的绝对运动速度为
us=u∞-uf (6-76)
因此,当 uf=u∞时,圆球的绝对速度 us等于零,即圆球将悬浮在流体中静止不动 。 这时流体的上升速度 u∞称为圆球的 悬浮速度,
它的数值与 uf相等 。 所以,只有当流体的上升速度 u∞大于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球才会被流体带走；反之,当流体的上升速度 u∞小于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球将在流动的流体中沉降 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动通过前面对流动阻力的讨论可知,粘性流体绕物体流动所产生的阻力是由切向应力和压力差所造成的,故 流动阻力分为摩擦阻力 和 压差阻力 两种 。
摩擦阻力是流体粘性直接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,流体对物体表面作用有切向应力,由切向应力而产生摩擦阻力 。 所以,摩擦阻力是指作用在物体表面上的切向应力在来流方向上的投影的总和 。
压差阻力是流体粘性间接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,比如说绕圆柱体流动时,如果附面层在压力升高
(dp/dx>0)的区域内发生分离,形成旋涡,则在从分离点开始的圆柱体后部所受到的流体压力,大致接近于分离点的压力,而第十一节 粘性流体绕球体的流动不能恢复到理想流体绕圆柱体流动时应有的压力数值 (见图 6-
14),这样,就破坏了作用在圆柱体上前后压力的对称性,从而产生圆柱体前后的压力差,形成了压差阻力 。 而旋涡所携带的能量也将在整个尾涡区中被消耗而变成热量最后散失掉 。 所以压差阻力是指作用在物体表面上的压力在来流方向上的投影的总和 。 压差阻力的大小与物体的形状有很大的关系,所以又称为形状阻力 。 压差阻力和摩擦阻力之和称为物体阻力 。 虽然物体阻力的形成过程,从物理观点来看完全清楚,可是,要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力,至今还是十分困难 。
物体阻力目前都是用实验方法测得的 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动根据物体阻力的形成过程,我们可以 采用以下措施来减小绕流物体的阻力：
(1)根据工程需要,尽可能 采用流线型物体,这样可避免附面层的分离,大大减小压差阻力 。
(2)对于流线型物体,为了进一步减小粘性阻力,可以考虑 设计成层流型体 。 因为流线型物体的阻力主要是摩擦阻力
(没有附面层分离 )。 为进一步减小摩阻,应该使其附面层全为层流附面层,这是因为层流附面层的摩擦阻力要比紊流附面层的摩擦阻力小得多 。
(3)对于 非流线型物体应使其附面层为紊流附面层 。 虽然这样做增加了摩擦阻力,但由于紊流附面层内流速分布比较第十一节 粘性流体绕球体的流动
,饱满,,本身具有的能量较大,因而能够大大推迟附面层的分离,减小分离后的旋涡区,从而大大减小了压差阻力 。 摩阻略增,压阻大减,最终使总的物体阻力有所降低 。
(4)对附面层进行人工控制 。 这样可防止和推迟附面层的分离,从而减小压差阻力 。 具体方法有 吹喷和抽吸 等,以增加附面层内流体的动能,使附面层不分离或减缓附面层分离 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
(六 )
多媒体教学课件李文科 制作第六章 粘性流体绕物体的流动
第一节 粘性流体的运动微分方程
第二节 附面层的基本特征
第三节 层流附面层的微分方程式
第四节 附面层的动量积分方程式
第五节 附面层位移厚度和动量损失厚度
第六节 平板层流附面层的计算第六章 粘性流体绕物体的流动
第七节 平板紊流附面层的近似计算
第八节 平板混合附面层的近似计算
第九节 曲面附面层的分离现象
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
第十一节 粘性流体绕球体的流动第六章 粘性流体绕物体的流动在自然界和工程实际中存在着大量的 流体绕物体的流动问题 (简称 绕流问题 ),例如河水流过桥墩；飞机在空中飞行；船舶在海洋中航行；汽轮机,泵和压气机中流体绕叶栅的流动；
在锅炉,加热炉的余热回收设备中,烟气和空气横向流过受热的管束；煤粉颗粒和尘埃在空气中运动等等,都是绕流问题 。
在实际流体绕流过程中,由于粘性的存在必然要产生阻力,为了克服阻力就要损失一部分的机械能 。 与研究实际流体在管道中流动的问题一样,在本章中也要 探求 在实际流体绕物体的流动中产生阻力的原因,后果以及计算阻力损失的方法 。
在粘性流体的一维流动中,我们曾经引用牛顿内摩擦定律作为研究流动阻力的基础,在研究粘性流体的平面和空间流动中也用这一定律作为基础,并加以适当推广 。
第一节 粘性流体的运动微分方程内 容 提 要
粘性流体运动微分方程的推导方法和过程
切向应力 τ 和法向应力 σ 的计算
纳维 ——斯托克斯方程的物理意义和使用条件第一节 粘性流体的运动微分方程推导粘性流体的运动微分方程的方法和过程与推导理想流体的欧拉运动微分方程相同,都是牛顿第二定律在流体力学中的应用,只是除了质量力和法向应力 (即压力 )外,还需要考虑粘性切应力的影响 。
在运动着的粘性流体中取出一边长分别为 dx,dy和 dz的微元平行六面体的流体微团作为分析对象,如图 6-1所示 。 作用在平行六面体上的力,不仅有质量力和法向应力,还有切向应力 。 因此,作用在流体微团六个表面上的表面力的合力不再垂直于所作用的表面,而是与作用面成某一倾角 。 图中 σ代表法向应力,τ代表切向应力 。 它们都有两个脚 标,第一个表示应力所在平面的法线方向,第二个表示应力本身的方向 。
第一节 粘性流体的运动微分方程为方便起见,假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向,
切向应力在经过 A(x,y,z)点的三个平面上的方向与坐标轴的方向相反,其他三个平面上的相同 。 f代表单位质量力 。
根据牛顿第二定律,可以写出沿 x轴的运动微分方程
d
d
zddd
dd)d(dddd(
dddd)d(ddddd
x
zx
zxzx
yx
yx
yx
xx
xxxxx
u
yx
yxz
z
yxxz
y
xzzyx
x
zyzyxf
第一节 粘性流体的运动微分方程图 6-1 粘性流体微元的受力情况第一节 粘性流体的运动微分方程化简后得同理可得 (6-1)
式 (6-1)是以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程 。 现在的问题是要寻找粘性流体中关于 ζ和 η的计算式 。 我们可以从流体微团在运动中的变形来获得这些应力和变形速度之间的关系式 。
)(
11
d
d
)(
11
d
d
)(
11
d
d
yxz
f
u
xzy
f
u
zyx
f
u
yzxzzz
z
z
xyzyyy
y
y
zxyxxx
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程
1.关于 τ 的计算：
首先研究切向应力之间的关系 。 根据达朗伯原理,作用于微元平行六面体上的各力对于通过中心点 M和 z轴相平行的轴的图 6-2 切向应力间的关系第一节 粘性流体的运动微分方程力矩之和应等于零,如图 6-2所示,又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量,可以略去不计,故有再略去四阶无穷小量,同时,方程两边同除以 dxdydz,得即同理可得 (6-2)
zxxz
yzzy
xyyx
xyyx
0
0
2
d
dd)d(
2
d
dd
2
d
dd)d(
2
d
dd
x
zyx
x
x
zy
y
zxy
y
y
zx
xy
xyxy
yx
yxyx
第一节 粘性流体的运动微分方程流体粘性引起的切向应力可按牛顿内摩擦定律式 (1-17)求得 。 理论证明,对于粘性流体微团有角变形运动时,流动所产生的粘性力与流体微团的角变形速度有关 。 借助弹性力学的理论可以推得,有角变形运动的流体流动所产生的 粘性切应力的大小与角变形速度间的关系为
(6-3)
y
zx
zxxz
x
yz
yzzy
z
xy
xyyx
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
2)(
2)(
2)(
第一节 粘性流体的运动微分方程式 (6-3)就是广义的牛顿内摩擦定律 。 其意义为,粘性切向应力的大小等于动力粘度和角变形速度的乘积的二倍 。
2.关于 σ 的计算：
对于理想流体,在同一点各个方向的法向应力 (压力 )是等值的,即 ζxx=ζyy=ζzz=－ p。 但对于粘性流体,由于粘性的影响,
流体微团除了发生角变形外,同时也发生线变形,即在使法向应力的大小有所改变 (与理想流体相比 ),产生了 附加的法向应力 。 同样,我们可以借助于弹性力学的理论推导出 法向应力与流体微团线变形速率之间的关系式,其结果是
，和有相对的线变形速率流体微团的法线方向上 zuyu、xu zyx
第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-4)
对于不可压缩流体,附加的法向应力等于动力粘度与线变形速率的乘积的二倍 。 由式 (6-4)可以看出,在粘性流体中,同一点的法向应力在三个互相垂直的方向上是不相等的 。
u
z
u
p
u
y
u
p
u
x
u
p
z
zz
y
yy
x
xx
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2
，0d iv?u?
第一节 粘性流体的运动微分方程现在将式 (6-3)和式 (6-4)代入式 (6-1),得到
(6-5)
)]}([)]([
)]d i v
3
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11
d
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zx
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x
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xx
p
f
u
z
y
xz
z
z
z
y
xz
y
y
y
y
xz
y
x
x
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程式 6-5就是 粘性流体的运动微分方程 。 在解决具体问题时,除上述方程组外,还应包括连续性方程；对于可压缩流体而言,
压力和密度的改变会引起温度的变化,因此还应包括状态方程；
对于非等温过程,还要引入能量方程 (热力学第一定律 )；在一般情况下,可压缩流体各点温度是变化的,还需要知道流体粘度随温度变化的关系式 μ=μ(T)。 现在对于七个未知量 ux,uy、
uz,p,ρ,T,μ,有七个方程,可以联立求解 。 如果过程是等温的,那么只有五个未知量 ux,uy,uz,p,ρ,相应的有五个方程,即运动方程 (三个 ),连续性方程 和状态方程 。
第一节 粘性流体的运动微分方程对于不可压缩流体,ρ=常数,且不可压缩流体在流动过程中温度变化很小,因此可将流体的粘性视为常数 。
于是式 (6-5)可简化为
(6-6)
式 (6-6)就是不可压缩粘性流体的运动微分方程,即著名的 纳维 ——斯托克斯方程 (简称 N-S方程 )。 它可以简化为理想流体的
，0d iv?u?
)(
1
d
d
)(
1
d
d
)(
1
d
d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
f
u
z
u
y
u
x
u
y
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f
u
z
u
y
u
x
u
x
p
f
u
zzz
z
z
yyy
y
y
xxx
x
x
第一节 粘性流体的运动微分方程
(μ=0)欧拉运动微分方程,也可以进一步简化为欧拉平衡微分方程 (ux=uy=uz=0)。 N-S方程适用于不可压缩牛顿流体的层流和紊流流动 。
在求解工程中的轴对称流动问题时,用圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程更为方便 。 若用 r,θ,z分别表示径向,圆周向 (切向 )和轴向坐标,ur,uθ,uz分别表示相应方向上的流速分量,fr,fθ,fz分别表示相应方向上的单位质量力,则对于不可压缩流体而言,圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程 为第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-7)
式 (6-7)与连续性方程式 (3-18)联立即可求解 。
)
11
(
1
)
211
(
1
)
211
(
1
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
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2
2
2
22
2
222
2
2
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uu
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u
u
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z
z
z
zz
r
z
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r
zr
rrrrr
r
r
z
rr
r
r
第二节 附面层的基本特征内 容 提 要
附面层的概念
附面层厚度的定义
附面层的基本特征
层流附面层、紊流附面层和混合附面层概念
判别层流附面层和紊流附面层的准则第二节 附面层的基本特征当空气,气体,蒸气和水等粘度很小的流体与其它物体作速度较高的相对运动时,一般雷诺数都很大 。 实验指出,在这些流动中,惯性力比粘性力大得多,可以略去粘性力；但在紧靠物体壁面的一层所谓 附面层 的流体薄层内,粘性力却大到约与惯性力相同的数量级,以致在这一区域中两者都不能略去 。
解决大雷诺数下绕物体流动的近似方法是以附面层理论为基础的,所以我们有必要了解附面层的一些基本概念和特征 。
现在来讨论粘性流体平滑地绕流某静止物体 (如机翼翼型 )
的情况,如图 6-4所示 。 在紧靠物体表面的薄层内,流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与来流速度 u∞同数量级的大小 。
这种 在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与第二节 附面层的基本特征来流速度相同数量级的流体薄层称为 附面层 。 在附面层内,流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大,即使粘度很小的流体,表现出的粘性力也较大,决不能忽略 。 由涡量计算公式在附面层内 很小,而 却很大,所以涡量 ξz≠0,因此,附面层内的流体有相当大的旋涡强度 。 当附面层内的有旋流离开物体而流向下游时,在物体后部形成尾涡区域 。 在尾涡区中,开始速度梯度很大,随着离开物体距离的增加,原有的旋涡将逐渐地扩散和衰减,速度分布逐渐趋向均匀,直到尾涡完全消失 (如图 6-4)。 在附面层外,速度梯度
,yuxu xyz xuy yux
第二节 附面层的基本特征图 6-4 绕流流场区域很小,即使粘度较大的流体,其粘性力也很小,可以忽略不计 。
所以可以认为,在附面层外的流动是无旋的势流流动 。
第二节 附面层的基本特征由此可见,当粘性流体绕物体流动时,可以 将整个绕流流场划分为三个区域,附面层区,尾涡区 和 外部势流区 。 在附面层和尾涡区域内,必须考虑物体的粘性力,它们应当按照粘性流体的有旋流动来处理；在附面层和尾涡区域以外的势流区域内,可按照理想流体的无旋流动来处理 。
在实际上,附面层内,外区域并没有一个明显的分界面,
也就是说,附面层的外边界,即附面层的厚度的概念并不很明显 。 一般在实际应用中 通常是把流体速度达到外部主流区速度的 99%的地方作为 附面层的外边界,或者说在附面层的外边界上流速达到层外势流速度的 99%,即
u|y=δ=0.99u∞(x) (6-9)
第二节 附面层的基本特征实际上附面层很薄,一般只有几毫米到几十毫米 。 为了清晰起见,图 6-4上是将附面层的尺寸放大了 。 从图 6-4中可以看出,
流体在前驻点 O处速度 为零,所以附面层的厚度在前驻点处为零,然后沿着流动方向厚度逐渐增加 。 另外,附面层的外边界和流线并不重合,流线伸入到附面层内,与外边界相交 。
原因是由于层外的流体质点不断地穿入到附面层里面去 。
综上所述,附面层有如下基本特征：
(1)与物体的长度相比,
(2)附面层内沿附面层厚度方向的速度变化非常急剧,即速度梯度很大；
(3)附面层沿着物体的流动方向逐渐增厚；
第二节 附面层的基本特征
(4)由于附面层很薄,因而可以近似地认为,附面层中各横截面上的压力等于同一截面上附面层外边界上的压力；
(5)在附面层内粘性力和惯性力是同一数量级；
(6)附面层内流体的流动是有旋流动；
(7)沿曲面的附面层易出现分离现象,并形成尾涡；
(8)附面层内流体的流动也有层流和紊流两种流动状态 。
全部附面层内都是层流的,称为 层流附面层 。 仅在附面层的起始部分是层流,而在其他部分是紊流的,称为 混合附面层 。
在层流与紊流之间有一个 过渡区域 ；在紊流附面层区,紧靠平板处,总是存在着一层极薄的 层流底层 。 如果全部附面层内都是紊流的,称为 紊流附面层 。
第二节 附面层的基本特征图 6-5 平板上的混合附面层对于附面层流动,判别层流和紊流的准则仍用雷诺数 Re，
雷诺数中的几何定性尺寸,一般是取离物体前缘点的距离 x，
特征速度可以取附面层外边界上主流的速度 u∞,即第二节 附面层的基本特征
(6-10)
实验得出,对于平板而言,层流转变为紊流的临界雷诺数为
Rexc=3× 105～ 3× 106,在工程应用上,常取 Rexc=5× 105 。 如果定性尺寸取临界转变点的附面层厚度 δc,则相应的临界雷诺数为 Reδc=2700～ 3500。 附面层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因素,如层外势流的紊流度,物体的形状及壁面的粗糙度,流场的压力梯度,流体的可压缩性,物体的加热或冷却效果等等都会影响 Rec。 实验证明,若增加流体的紊流度或增加物体壁面的粗糙度等都可使临界雷诺数的数值降低,即提早使层流转变为紊流 。
xuxu
x
Re
第三节 层流附面层的微分方程式内 容 提 要
附面层微分方程的简化过程
附面层微分方程的使用条件第三节 层流附面层的微分方程式附面层特性的确定,关系到流动阻力,能量损失,传热传质,流动的稳定性等重要工程实际问题 。 近几十年来,流体力学在这方面的发展很大,但迄今尚未全面解决 。 普朗特和冯 ·卡门在这方面作出了巨大的贡献,他们除了提出附面层的概念外,还推导了附面层的解析计算法和动量计算法,前者也称为附面层的微分方程,后者也称为附面层的动量积分方程 。
附面层的计算 主要解决的是附面层厚度沿界面的变化,流体压力分布和流动阻力的计算问题 。 现在我们根据附面层的特征,利用不可压缩粘性流体的运动微分方程,来研究附面层内流体的运动规律 。 为了简单起见,只讨论流体沿平板作稳定的平面流动情况,x轴与板面重合,方向与流向相同,假定第三节 层流附面层的微分方程式附面层内的流动全是层流,质量力忽略不计,则不可压缩粘性流体平面稳定流动的运动微分方程和连续性方程为
(6-11)
根据附面层的特征,应用数量级对比法,可将上式简化 。
由于附面层的厚度很小,它与平板尺寸和沿界面的流速 (ux)比起来可以看成是微小量,设其数量级为 ε?1,用符号 (～ )表示
0
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
x
u
y
p
y
u
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u
u
y
u
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u
x
p
y
u
u
x
u
u
yx
yyy
y
y
x
xxx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式数量级相同,则 δ～ ε。 令 x和 ux的数量级为 1,即 x～ 1,ux～ 1。
而令 y和 uy的数量级为 ε,其相应微分量与积分量相对应,即分别为 1和 ε。 式 (6-11)简化为
(6-12)
式 (6-12)就是不可压缩粘性流体作稳定平面层流流动的附面层微分方程式,也称为普朗特附面层微分方程 。 其边界条件是
y=0,ux=uy=0； y=δ,ux=u∞
0
0
1
2
2
y
u
x
u
y
p
y
u
x
p
y
u
u
x
u
u
yx
xx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式
u∞为附面层外缘的主流速度 。 当 时,主流速度 u∞为一常数,
与 x无关 。 否则,它将是 x的函数,即 u∞=u∞(x)。
由式 (6-12)中 可知,在附面层内部,压力 p与坐标 y无关,附面层横截面上各点的压力相等,等于附面层外边界上的压力 。 于是附面层内的压力分布为 p=p(x),可以根据外部势流的速度由伯努利方程来确定,由此,附面层的压力 p可看作是已知数 。
方程组 (6-12)是在物体壁面为平面的假设条件下得到的,
它适用于平板和楔形等物体,但是,对于曲面的物体,只要壁面上的任何点的曲率半径与该处附面层厚度相比很大时 (如叶片叶型等 ),该方程组仍然是适用的,并具有足够的准确度 。
0 xp
0 xp
第三节 层流附面层的微分方程式但这时需要引用曲线坐标系,x轴沿着物体的曲面,y轴垂直于曲面 (如图 6-4)。
弯曲壁面与平壁附面层方程的差别在于对沿弯曲壁面流动所产生的离心力必须与 y方向的压力梯度相平衡,不再为零 。 但是如果壁面的曲率半径较大,附面层又极薄,壁面与附面层外边界之间的压力差很小,所以仍可以认为附面层横截面上的压力是几乎相等的 。
虽然层流附面层的微分方程式 (6-12)比一般的粘性流体运动微分方程要简化得多,但是该方程仍然是二阶非线性的偏微分方程,即使对于外形最简单的物体,求解也是十分困难的 。
yp
第四节 附面层的动量积分方程式内 容 提 要
附面层动量积分方程的推导过程
附面层动量积分方程的物理意义
附面层动量积分方程的使用方法第四节 附面层的动量积分方程式附面层动量积分方程式,简称动量方程式 。 它是 冯 ·卡门根据动量原理提出的 。 可以适用于层流附面层和紊流附面层,
以及有压力梯度和无压力梯度的情况 。 在沿流动方向有压力梯度时,主流区的流速 (即附面层外缘的流速 )是随 x而变化的,
即 u∞是 x的函数,用 u∞(x)表示 。 在无压力梯度时,u∞为常数 。
图 6-6所示为物体边界附面层的一部分 。 沿附面层划出垂直于纸面为一个单位厚度的微小控制体 abcd,其受力情况如图所示 。
现在应用动量定理来研究该控制体内的流体在单位时间内沿 x
方向的动量变化和外力之间的关系 。 并认为流体的流动是稳定的 。 质量力沿 x方向的 分量等于零 。
单位时间内在 x方向上经过 ab流入控制体的质量和带入的动量分别为第四节 附面层的动量积分方程式图 6-6 附面层内微小控制体第四节 附面层的动量积分方程式单位时间内在 x方向经 cd流出控制体的质量和带出的动量分别为根据连续性方程,对于稳定流动来说,必然有而
xyu
x
yux
x
K
KK
xyu
x
yux
x
m
mm
xx
ab
abcd
xx
ab
abcd
d)d(dd
d)d(dd
0
2
0
2
00
xyu
x
umuK
xyu
x
mmm
xbcbc
xabcdbc
d)d(
d)d(
0
0
0
2
0
d
d
yuK
yum
xab
xab
第四节 附面层的动量积分方程式式中 u∞为附面层外边界上的主流速度 。 这样,可得到单位时间内该控制体内流体沿 x方向的动量变化量为
(1)
现在计算作用在控制体上沿 x方向的外力之和,即作用在控制面 ab,bc,cd面上的总压力和作用在 ad面上的摩擦力 。 应当注意,bc是附面层的外边界,速度梯度趋近于零,因此沿 bc
面上没有切应力 。 则
00
2 d)d(d)d( xyu
x
uxyu
x
KKKK
xx
bcabcdx
)d)(d(
x
x
p
pP
pP
cd
ab
第四节 附面层的动量积分方程式式中,是作用在 bc面上的平均压力 。
壁面 ad作用在流体 (控制体 )上的切应力的合力为于是,单位时间内作用在该控制体上沿 x方向的各外力之合为由于 dxdδ?δdx,故忽略二阶无穷小量后,得到
(2)
d)d
2
1( x
x
ppP
bc?
xxpp d21
xxxppxxpppF x d)d)(d(d)d21( w
xxpxxxpF x )d(dd ww
xT dwab
第四节 附面层的动量积分方程式将式 (1)和式 (2)代入动量方程,并除以 dx得到
(6-13)
式 (6-13)就是附面层动量积分方程式 。 它是由冯 ·卡门在 1921年根据动量定理首先导出的,所以常称为 卡门动量积分方程 。 由第三节已知,在附面层内 p=p(x),而且从以后的计算中可知,
在附面层某截面上的速度分布 ux=ux(y),附面层的厚度 δ=δ(x)，
所以上式中左边的两个积分项也都只是 x的函数 。 因此上式中的偏导数可以改写为全导数,则式 (6-13)可写为
(6-14)
)(dd w
00
2
x
pyu
x
uyu
x xx
)
d
d(d
d
dd
d
d
w00
2
x
pyu
x
uyu
x xx
第四节 附面层的动量积分方程式如果附面层外边界上主流的速度 u∞在流动过程中不随 x而改变,如绕流平板的情况,即 u∞=常数 时,由伯努利方程可知附面层外边界上的压力 p也不随 x变化而保持常数,即
dp/dx=0。 因此式 (6-14)可 简化为
(6-15)
在以上推导附面层动量积分方程式的过程中,对壁面上的切应力 ηw未作任何假定,故式 (6-13)至 (6-15)对层流附面层和紊流附面层都适用 。 在附面层动量积分方程式中包含有 三个未知数常数221 up?
w0 d)(d
d
yuuux xx
第四节 附面层的动量积分方程式
ux,τW和 δ,因此,还需要找出两个补充关系式才能求解 。 通常 把沿附面层厚度方向的速度分布 ux=ux(y)以及切应力与附面层厚度的关系式 τw=τw(δ)作为两个补充关系式 。 一般在应用附面层动量积分方程式 (6-14)来求解附面层问题时,附面层内的速度分布是按已有的经验来假定的 。 假定的速度分布 ux=ux(y)
愈接近实际,则所得到的结果愈精确 。 所以,选择附面层内的速度分布函数 ux(y)是求解 附面层问题的重要关键 。
附面层内速度分布通常可取作多项式,三角函数式或双曲函数,指数函数和对数函数等形式,一般结合实际情况来选定 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度内 容 提 要
1,位移厚度 δ 1
2,动量损失厚度 δ 2
3,能量损失厚度 δ 3
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
1.位移厚度 δ 1
附面层的位移厚度又称 流量损失厚度 或称 排挤厚度,其含义是：对于不可压缩流体,当在理想流动情况下 (即不存在附面层 ),流速均等于主流速度 u∞时,流过 δ1的流量应和在实际情况下 (有附面层时 ),由于粘性的作用而使流速减低时整个流场减小的流量相等,即与流量损失量相等 。 如图 6-7所示,即面积 (1+3)=面积 (2+3)。 由此可见,在流量相等的条件下,犹如将没有粘性的理想流体从固体壁面向主流区推移了厚度为 δ1的距离,或者说向主流区排挤了一个 δ1的 距离 。 这就是位移厚度或排挤厚度名称的由来 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度图 6-7 位移厚度第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度理想流体流过 δ1厚度的流量为 u∞δ1(指单位宽度,下同 )实际情况下由于粘性的存在而使速度减低,从而减小的流体流量为于是所以 (6-16)
如果已知 ux/u∞与 y的关系,即可通过式 (6-16)计算附面层的位移厚度 δ1。
01
0
d)(
d)(
yuuu
yuu
x
x
001
d)1(d)1( y
u
uy
u
u xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
2.动量损失厚度 δ 2
动量损失厚度 δ2的定义与 δ1相似,即在理想情况下 (无粘性 )
通过厚度 δ2的 流体动量等于实际情况下整个流场中实际流量与速度减小量的乘积,也就是等于动量损失量,即即
(6-17)
00
2
0
2
2
d)1(d)1(
d)(
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
3.能量损失厚度 δ 3
能量损失厚度 δ3的定义为：在理想情况下通过厚度 δ3的流体的动能等于实际情况下整个流场的动能损失量,即
(6-18)
在已知 ux/u∞与 y的关系后,即可通过式 (6-17)和式 (6-18)计算附面层的动量损失厚度 δ2和能量损失厚度 δ3。 利用 δ1,δ2和 δ3
可以进行附面层的解析计算,并且可以根据 δ,δ1,δ2和 δ3间的比值来表达附面层中的速度分布 。
0
2
0
2
3
22
0
3
3
d])(1[d])(1[
d)(
2
1
2
1
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第六节 平板层流附面层的计算内 容 提 要
一,平板层流附面层的解析计算
平板层流附面层的解析计算方法
平板层流附面层的解析计算公式
二,平板层流附面层的近似计算
平板层流附面层的近似计算方法
平板层流附面层的近似计算公式第六节 平板层流附面层的计算一,平板层流附面层的解析计算平板层流附面层的解析计算就是从层流附面层的微分方程式 (6-12)及其边界条件出发,首先将运动方程式和连续性方程式归并,再进行简化,将偏微分方程组化成常微分方程式,最后进行求解,求得附面层中速度分布规律及沿流动方向附面层厚度的增长规律,并由此确定流动的切应力 ηW,摩擦总阻力 Ff
及阻力系数 Cf。 下面就来说明其计算方法及过程,如图 6-8所示 。
计算结果如下：
第六节 平板层流附面层的计算图 6-8 平板层流附面层第六节 平板层流附面层的计算
1.附面层厚度 δ 的计算式：
(6-22)
或
(6-23)
2.附面层位移厚度 δ １ 的计算式：
(6-24)
3.附面层动量损失厚度 δ 2的计算式：
(6-25)
)Re(Re0.5
Re
0.5
Re0.5
Re
0.5
0.5
2
1
2
1
xu
x
x
x
u
x
xx
x
x
x
其中
2
1
1 Re721.1Re
721.1721.1?
x
x
xx
u
x
2
1
2 Re6 6 4.0Re
6 6 4.06 6 4.0?
x
x
xx
u
x
第六节 平板层流附面层的计算
4.平板表面上 x处的摩擦切应力 τw的计算式：
(6-26)
5.平板表面上 x处的摩擦阻力系数 (称当地摩擦阻力系数 )Cfx的计算式：
(6-27)
2
1
2
2
w
Re3 3 2.0
3 3 2.03 3 2.0
xu
xu
u
x
u
u
2
1
2
2
1
2
2
w Re6 6 4.0
2
1
Re3 3 2.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
第六节 平板层流附面层的计算
6.对于长度为 L,宽度为 B的平板,单侧面上的总摩擦阻力 Ff的计算 式：
(6-28)
7.整个平板的总摩擦阻力系数 Cf的计算式：
(6-29)
式中,ReL— 按板长 L计算的雷诺数,即 ReL=u∞L/ν。
2
1
23
0
2
1
3
0
w
Re6 6 4.06 6 4.0
d3 3 2.0d
L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF
2
1
2
2
1
2
2
Re3 2 8.1
2
1
Re6 6 4.0
2
1
LL
f
f
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算二,平板层流附面层的近似计算如图 6-8,当自由来流绕流平板时,平板上附面层边界上的速度可取 u∞,且 u∞=常数 。 由伯努利方程可知沿流动方向不存在压力梯度,即 。 因此,平板层流附面层的动量积分方程式为
(6-15)
对于不可压缩流体,ρ =常数,则上式可写为
(6-30)
0w d)(d d yuuux xx
x
uy
u
u
u
u
x
u xx
d
dd)1(
d
d 22
0
2
w
0 xp
第六节 平板层流附面层的计算上式对 ηw并未加任何限制,对平板层流附面层和紊流附面层都适用 。 式中包含三个未知数 ux,ηw和 δ,需要另外增加两个补充关系式 。
第一个补充关系式,设层流附面层内的速度分布为 y的幂级数,
即 ux=ux(y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4 (1)
由于附面层的厚度很小,所以 y是个微小量,取幂级数的前五项已是足够精确了 。 待定系数 a0,a1,a2,a3和 a4由下列边界条件确定 。
边界条件：
(1) y=0处,ux=0；
(2) y=δ处,ux=u∞；
第六节 平板层流附面层的计算
(3) y=δ处,
(4) y=δ处,ux=u∞=常数,根据附面层微分方程式 (6-12)
(5) y=0处,ux=uy=0,由式 (6-12)得到利用上面的五个边界条件可求得：
将上面各系数代入式 (1),得到
(6-31)；，即 0)(0)( yuyu xx；可得到 0)( 2
2
yu x；0)( 02
2
yxyu
4433210 2020
uauaauaa,，，，
])()(2)(2[ 43 yyyuu x
第六节 平板层流附面层的计算或写成
(6-31a)
第二个补充关系式,对于层流附面层,可根据牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为
(6-32)
于是附面层动量损失厚度 δ 2为
(6-33)
uyyu
y
u
yy
x 2])(4)(62[)(
0
32
0w
43 )()(2)(2
yyy
u
u x
3 1 5
37
d])()(2)(21][)()(2)(2[
d)1(
4343
0
0
2
y
yyyyyy
y
u
u
u
u
xx
第六节 平板层流附面层的计算将式 (6-32)和式 (6-33)代入式 (6-30),得到上式整理后为对上式积分得上式为二次抛物线方程 。 由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0,由此得到 附面层的厚度 δ为
(6-34)
xu
u
d
d
315
372 2
xu d37630d
2
1
Re84.5
Re
84.584.5?
x
x
xx
u
x
Cxu
37
6 3 0
2
1 2
第六节 平板层流附面层的计算或者写成
(6-34a)
由式 (6-34)可以看出,平板层流附面层的厚度变化曲线为二次抛物线,δ随 x的增加而增大,随来流速度 u∞的 增加而减小,流体的粘性愈大,附面层也愈厚 。
附面层的厚度 δ 求出后,其它各量均可计算 。 把式 (6-34)
代入式 (6-32)得到 壁面上的粘性切应力 为
(6-35)
2
1
Re84.5
Re
84.5
x
xx
2
1
22
w
Re3 4 3.03 4 3.0
84.5
22
x
u
xu
u
x
uuu
第六节 平板层流附面层的计算当地摩擦阻力系数 为
(6-36)
对于长度为 L,宽度为 B的 平板一侧面上的 总摩擦阻力 为
(6-37)
平板的 总摩擦阻力系数 为
(6-38)
2
1
23
0
2
1
3
0 w
Re6 8 6.06 8 6.0
d3 4 3.0d
L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF
2
1
2
2
1
2
2
w Re6 8 6.0
2
1
Re3 4 3.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
2
1
2
2
1
2
2
Re3 7 2.1
2
1
Re6 8 6.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算附面层的位移厚度 δ 1和动量损失厚度 δ 2分别为
(6-39)
(6-33a)
动量积分方程的计算结果与微分方程的计算结果是很接近的 。 改变附面层中的流速分布式,可使两者的计算结果十分接近 。 这说明动量积分方程计算法是可以用于附面层计算的 。 对于除平板层流附面层以外的其他复杂情况 (如曲面绕流和紊流附面层等 ),难以或根本不能应用微分方程 计算,动量积分方程的计算方法是目前唯一可以采用的计算方法 。
2
1
2
2
1
43
00
1
Re6 8 6.084.5
3 1 5
37
3 1 5
37
Re7 5 2.17 5 2.184.5
10
3
10
3
d])()(2)(21[d)1(
x
x
x
x
u
x
x
u
x
u
x
y
yyy
y
u
u
第七节 平板紊流附面层的近似计算内 容 提 要
平板紊流附面层的近似计算方法
平板紊流附面层的近似计算公式
平板层流附面层和平板紊流附面层特征比较第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流附面层要比层流附面层复杂得多 。 因为流体在流动中不仅有粘性力存在,而且还产生紊流附加切应力 。 并且这部分应力在紊流附面层中的不同区域所占的比例不同,越远离壁面,
其所占的比例越大；越靠近壁面,其所占的比例越小,直到层流底层中这部分应力才不复存在 。 对这部分附加应力将如何考虑,目前还不能从理论上得到解决 。 上节所取的两个补充关系式是建立在层流的牛顿内摩擦定律和层流附面层微分方程基础上的,显然不能应用于紊流附面层 。 对于紊流附面层还必须设法另找两个补充关系式 。 人们对流体在圆管内作紊流流动的规律已完整地研究过,普朗特曾经作过这样的假设：沿平板附面层内的紊流流动与管内紊流流动相同 。 于是就可借用管内第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流流动的理论结果去寻找动量积分方程式的两个补充方程 。
这时,圆管中心线上的最大速度 umax相当于平板的来流速度 u∞，
圆管的半径 R相当于附面层的厚度 δ。 并且假定平板附面层从前缘开始 (x=0)处就是 紊流 。
与圆管内一样,紊流附面层内的速度分布规律也假定是七分之一次方指数规律,这与实验测得的结果很符合,于是有
(6-40)
另外一个补充方程,即紊流附面层内壁面上的切应力计算式可推导如下：
7
1
7
1
)(
)0()(
y
u
u
y
y
uu
x
x
第七节 平板紊流附面层的近似计算如图 6-9所示,当粘性流体在等直径管道内作稳定流动时,
由上式得到
(6-41)
平板紊流附面层内壁面上的切应力计算式就是借用圆管内紊流流动的壁面切 应力公式 (6-41),其中 沿程阻力 系数 λ在
4000<Re≤26.98(d/Δ)8/7的范围内可用布拉修斯公式 (5-39)计算,
即
lddudl x w22 4121?
2
w 8 xu?
4
1
25.0
25.0
)(
2 6 6.0
)(
3 1 6 4.0
Re
3 1 6 4.0
Rudu xx
第七节 平板紊流附面层的近似计算图 6-9 圆管紊流将上式代入式 (6-41),得在以上雷诺数范围内,平均流速 约等于 0.817umax,将
=0.817umax代入上式,并将圆管中心线上的速度 umax和半径 R用附面层外边界上的速度 u∞和附面层厚度 δ代替,则得到
4
1
2
w )(03325.0 Ruu
x
x
xu xu
第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-42)
由式 (6-17)和式 (6-40)可求得附面层的动量损失厚度 δ2为
(6-43)
将式 (6-42)和式 (6-43)代入动量积分方程式 (6-30),得或者
4
1
2
w )(0 2 3 3 4.0?
uu
72
7
d])()[(
d])(1[)(d)1(
0
7
2
7
1
7
1
0
7
1
0
2
y
yy
y
yy
y
u
u
u
u xx
x
u
x
u
u
u
d)0,2 4 (d
d
d
72
7
)(02334.0
4
1
4
1
24
1
2
第七节 平板紊流附面层的近似计算积分后得由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0。 由此得到附面层的厚度为
(6-44)
或者写成
(6-45)
将式 (6-44)代入式 (6-42),则得到板面上 x处的切应力为
(6-46)
当地摩阻系数为
Cxu
4
1
4
5
)(24.054
5
1
5
1
2.0
5
4
5
1
Re382.0
Re382.0
Re
382.0
)(382.0
x
x
x
x
x
x
x
u
5
1
25
1
2
w Re0297.0)(0297.0
xuxuu?
第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-47)
平板一侧的总摩阻为
(6-48)
平板的总摩阻系数为
(6-49)
5
1
2
5
1
2
2
w Re0 5 9 4.0
2
1
Re0 2 9 7.0
2
1
xxxf
u
u
u
C
5
1
25
1
2
0
5
1
5
1
2
0
w
Re037.0)(037.0
d)(0297.0d
L
LL
f
uBL
Lu
uBL
xxB
u
uxBF
5
1
2
5
1
2
2
Re074.0
2
1
Re037.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第七节 平板紊流附面层的近似计算实验测得的比较精确的平板紊流总摩擦阻力系数 Cf随 ReL
的变化关系式,与上面所推导的结果相一致,即
(6-50)
适用范围是 3× 105≤ReL≤107。 当 ReL>107时,式 (6-50)就不再准确,可利用施利希廷公式进行计算,即
(6-51)
平板紊流附面层的位移厚度 δ1和动量损失厚度 δ2分别为
(6-52)
(6-53)
5
1
Re074.0 LfC
)10Re10(
)Re( lg
455.0 96
58.2 L
L
fC
5
1
2
5
1
0
7
1
0
1
Re0 3 7.0
72
7
Re0 4 8.0
8
1
d])(1[d)1(
x
x
x
x
xy
y
y
u
u
第七节 平板紊流附面层的近似计算应当注意,我们在推导上述平板紊流附面层的公式时,是借用了圆管中紊流速度分布的七分之一次方指数规律和切应力公式,并且假定流动处在水力光滑壁的区域内,所以,以上所得到的结果只适用于一定的范围 。
通过以上讨论,我们比较一下平板层流附面层和平板紊流附面层的特征,可以找出它们的 重要差别 有：
(1)紊流附面层内沿平板壁面法向截面上的速度比层流附面层内的速度增加得快,也就是说,紊流附面层的速度分布曲线比层流附面层的速度分布曲线饱满得多 。 这与圆管中的情况相似 。
(2)沿流动方向平板壁面紊流附面层的厚度要比层流附面层的厚度增加得快,因为紊流的 δ与 x4/5 成正比,而层流的 δ
第七节 平板紊流附面层的近似计算则与 x1/2 成正比 。 这是由于在紊流附面层内流体微团发生横向运动,容易促使厚度迅速增加 。
(3)在其他条件相同的情况下,在紊流附面层中平板壁面上的切应力 ηw沿着壁面 (流动方向 )的减小要比在层流附面层中减小得慢 。 因为在紊流附面层中 ηw与 x－ 1/5 成正比,而在层流附面层中 ηw与 x－ 1/2 成正比 。
(4)在同一雷诺数 Rex下,紊流附面层的摩擦阻力系数比层流附面层的摩擦系数大得多 。 这是因为,在层流中摩擦阻力只是由于不同流层之间发生相对运动时因流体分子扩散而引起的；
在紊流中除了流体分子扩散作用外,还由于流体质点有很剧烈的横向掺混,而产生更大的摩擦阻力 。
第八节 平板混合附面层的近似计算内 容 提 要
两个假设条件
混合附面层总摩擦阻力系数的计算公式第八节 平板混合附面层的近似计算附面层内的流动状态主要由雷诺数决定,当雷诺数增大到某一数值时 (对平板而言,Rex在 3× 105～ 3× 106之间 ),附面层由层流转变为紊流,成为混合附面层,即平板前端是层流附面层,后部是紊流附面层 。 在层流附面层转变为紊流附面层之间有一个过渡区 。 若是大雷诺数下,可以看成是在某一截面上突然发生转变 (如图 6-10)。
由于混合附面层内的流动情况十分复杂,所以在研究平板混合附面层的摩擦阻力时,为简化计算,作下列 两个假设：
(1)在 B点由层流附面层突然转变为紊流附面层；
(2)在计算紊流附面层的厚度变化,层内速度分布和切应力分布时都认为是从前缘点 O开始的 。
第八节 平板混合附面层的近似计算图 6-10 平板上的混合附面层第八节 平板混合附面层的近似计算根据这两个假设,可用下列方法计算平板混合附面层的总摩擦阻力 。 令 FfM代表混合附面层的总摩擦阻力,FfL代表层流附面层的总摩擦阻力,FfT代表紊流附面层的总摩擦阻力,则式中,xc为临界转变点 B至前缘点 O的距离,CfL和 CfT及 CfT′分别为层流附面层和紊流附面层的总摩擦阻力系数 。
由上式可得到混合附面层的总摩擦阻力系数为
])([
2
1
2
1
2
1
2
1
'2
22'2
L
x
CCCBLu
xBuCxBuCBLuC
FFFFFF
c
LfTfTf
cLfcTfTf
LfTfTfLfTfMf OBOBOAOBBAOA
第八节 平板混合附面层的近似计算式中,取决于层流附面层转变为紊流附面层的临界雷诺数 Rexc,见表 6-2。
L
Tf
L
xLfTf
Tf
c
LfTfTf
c
LfTfTfMf
A
C
CC
C
Lu
xu
CCC
L
x
CCCC
c
ReRe
Re)(
/
/
)(
)(
'
'
'
，
c
cc
c x
xx
xLfTf CCA Re)Re
328.1
Re
074.0(Re)(
5.02.0
'
第八节 平板混合附面层的近似计算表 6-2 A与 Rexc之间的关系这样,
(6-54)
当雷诺数 ReL在 106～ 109的范围时,混合附面层的总摩擦阻力系数 CfM可按下 式进行计算
(6-55)
Rexc 3× 105 5 × 105 106 3× 106
A 1050 1700 3300 8700
)10Re103(ReRe 074.0 752.0 L
LL
Mf
AC
)10Re10(Re)Re( l g 455.0 9658.2 L
LL
Mf
AC
第八节 平板混合附面层的近似计算综上所述,因为层流附面层的摩擦阻力系数比紊流附面层的摩擦阻力系数要小得多,所以,层流附面层段越长,即层流附面层到紊流附面层的临界转变点 B离平板前缘越远,则平板混合附面层的摩擦阻力就越小 。
第九节 曲面附面层的分离现象内 容 提 要
曲面附面层分离的原因
压差阻力 (旋涡阻力 )的概念及其产生的原因第九节 曲面附面层的分离现象如前所述,当不可压缩粘性流体纵向流过平板时,在附面层外边界上沿平板方向 (流动方向 )的速度是相同的,而且整个流场,包括附面层内的压力都保持不变 。 当粘性流体绕曲面物体流动时,附面层外边界上沿流动方向的速度 u∞是变化的,所以曲面附面层内的压力也将同样发生变化 。 由于压力的变化将对附面层内的流动产生影响 。 关于曲面附面层的计算是很复杂的 。 在这里我们不准备作详细讨论,只着重说明曲面附面层的分离现象 。
如图 6-11为流体绕过一曲面物体的流动,u∞和 p∞表示无穷远处自由来流的速度和压力 。 由于流体绕流过物体的前驻点后,
沿上表面的流速将逐渐增加,直到曲面上某一点 M,然后第九节 曲面附面层的分离现象图 6-11 曲面附面层分离的形成示意图第九节 曲面附面层的分离现象又逐渐减小 。 由伯努利方程可知,相应的压力则先是逐渐降低
(dp/dx<0),而后又逐渐升高 (dp/dx>0)。 M点处附面层外边界上的速度最大,而压力最低 (dp/dx=0)。 沿曲面各点法向的速度剖面和压力变化曲线同时示于图 6-11中 。 图中实线表示流线,虚线表示附面层的外边界 。
我们从流体在附面层内流动的物理过程来说明曲面附面层的分离现象 。 当粘性流体流经曲面时,附面层内的流体质点被粘性力所阻滞而消耗动能,逐渐减速；越靠近物体壁面的流体微团受粘性力的阻滞作用越大,动能的消耗也越大,速度降低也越快,壁面上的流速为零 。 在曲面的降压加速段中 (M点以前 ),由于流体的部分压力能转变为流体的动能,附面层内流第九节 曲面附面层的分离现象体微团虽然受到粘性力的阻滞作用,但仍有足够的动能克服粘性力而继续前进 。 但是在曲面的升压减速段中 (M点以后 ),流体不仅因粘性力的阻滞作用而消耗动能,而且流体的部分动能还将转变为压力能 。 这就使得流体微团的动能消耗更大,流速迅速降低,附面层不断增厚 。 当流体流到曲面的某一点 S时,
靠近壁面的流体微团的动能已全被耗尽而停滞不前 。 跟着而来的流体微团也将同样停滞下来,以致越来越多的被停滞的流体微团在物体壁面和主流之间堆积起来 。 与此同时,在 S点之后,
压力的继续升高将使这部分流体微团被迫反向逆流,并迅速向外扩展 。 这样,主流便被挤得离开了物体壁面,形成了附面层的分离现象 。 在 ST线上一系列 流体微团的速度都等于零,
第九节 曲面附面层的分离现象成为主流和回流之间的间断面 。 由于间断面的不稳定性,很小的扰动就会引起间断面的波动,进而发展并破裂而形成旋涡 。
S点称为附面层的分离点,ST线 为零值流线 。 附面层分离时形成的旋涡,不断地被主流带走,在物体后部形成尾涡区 。 尾涡区中强烈的旋涡运动将消耗能量,使物体后部的压力不能恢复,造成物体前后明显的压力差,增加了物体的绕流阻力,
这种阻力称为 压差阻力,也称 旋涡阻力 。 在管道的扩张段中,
也有可能出现附面层的分离现象,产生压差阻力 。
综上所述 可得如下结论,粘性流体在压力降低区内流动
(加速流动 ),决不会出现附面层分离现象,只有在压力升高区内流动 (减速流动 ),才有可能出现附面层分离,出现旋涡 。
第九节 曲面附面层的分离现象尤其在主流的减速足够大的情况下,附面层的分离就一定会发生 。 例如,在圆柱体或球体这样的钝头体的后半部分上,当流体的流速足够大时,便会发生附面层的分离现象 。 这是由于在钝头体的后半部分有急剧的压力升高区,而引起主流减速加剧的缘故 。 因此,在工程上,若将钝头体的后半部分改为充分细长形的尾部,成为圆头尖尾的所谓流线形物体,就可使主流的速度缓慢降低,从而可避免或推迟附面层的分离,以减少由此而产生的压差阻力 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动内 容 提 要
粘性流体绕流圆柱体的流场特征
粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD及阻力系数
CD的计算
,卡门涡街”现象 和“阻力跌落”现象第十节 粘性流体绕圆柱体的流动在第四章中我们已经讨论了理想流体绕圆柱体的流动情况,
并得到圆柱面上 (r=r0)的速度分布和压力分布规律：
(4-70)
和 (4-71)
或者 (4-73)
由此可以看出,对于理想流体绕圆柱体流动时,其前后驻点处速度均为零,并且压力相等 。 但当粘性流体绕圆柱体流动时,
在圆柱体的表面上要形成附面层 。 若流体以相当于几个雷诺数
2
2
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第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
(如 Re<1～ 5)的很低的速度 u∞绕流圆柱体时,在开始瞬间与理想流体绕圆柱体的流动情况一样,流体在前驻点速度为零,而后沿圆柱体左右两侧流动,流动在圆柱体的前半部分是降压过程,速度逐渐增大到最大值；在后半部分是升压过程,速度逐渐减小,到后驻点重新等于零 (如图 6-13a所示 )。 当来流速度增加,即雷诺数增大时,使圆柱体后半部分的压力梯度增加,以致引起附面层分离,并在圆柱体的背后形成旋涡区 (如图 6-13b)。
这时,原来的后驻点已不再是驻点,沿圆柱面上的压力分布也不再符合式 (4-71)的规律 。 图 6-14绘出了沿圆柱面的三条无因次压力分布曲线,理论曲线 1是按公式 (4-73)绘制的,另外二条是粘性流体绕流圆柱体时,实测的压力分布曲线 。 其中第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13 卡门涡街的形成过程第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
————— 理论的压力分布
—·—·— Re=6.7× 105(超临界 )的压力分布
…………… Re=1.86× 105(亚临界 )的压力分布图 6-14 压力系数沿圆柱面的分布第十节 粘性流体绕圆柱体的流动中点划线 2对应于较高的绕流雷诺数,虚线 3对应于较低的雷诺数 。 绕流雷诺数为 Re=u∞d/ν,其中 d为圆柱体的直径,u∞为自由来流的速度,ν为流体的运动粘度 。 由图 6-14可以 看出：
(1)实际流体绕流与理想流体绕流的圆柱面上的压力分布曲线有一定的差别 。 只是在前驻点附近 ± 30° 左右的区域中,
两者的压力分布曲线基本上是相同的,而在其他范围内有较大的出入 。
(2)按理论压力分布曲线沿圆周积分,不管流体速度多大,
整个圆柱体浸在流体中是不受力的,这与实际情况出入较大 。
在实际流体绕流中,流动的流体对被绕流的圆柱体有一个沿流向的推力,由圆柱体的前侧指向后侧 。 这是由圆柱体前后第十节 粘性流体绕圆柱体的流动压力分布不对称而产生的 。 显然实际压力分布曲线能解释这种情况 。
(3)实际压力分布曲线,除前驻点附近 ± 30° 的区域内与理论曲线一致外,其他区域的压力分布形状与绕流的雷诺数 Re
有关 。 这表明压力分布曲线与圆柱体表面上附面层的性质有关,
也与附面层分离点的位置有关 。 当绕流雷诺数较低时,柱体表面的附面层属于层流附面层,附面层分离点较靠前,并且随雷诺数 Re的增大而前移,使旋涡区增大,因而压力分布曲线较平坦 。 当绕流雷诺数很大,超过临界值时,附面层由层流转变为紊流附面层 。 由于紊流附面层与主流进行动量交换的能力要比层流附面层强,保证了由主流向附面层供应能量,提高第十节 粘性流体绕圆柱体的流动了克服粘性阻力的能力,使附面层分离点的位置向柱体的后部推移,旋涡区大为减小,从而使流体对圆柱体的绕流得到改善 。
这就使压力分布曲线更接近于理论分布曲线,而且圆柱体后部压力得到提高 。 这说明不同 Re数下绕流情况是不同的,绕流
Re数越高,绕流情况越好,在超临界 Re数的情况下,绕流状况大为改善 。
前面已经讲到,当绕流雷诺数增加时,在圆柱体后部产生附面层分离,并有旋涡区形成 。 实验发现,在圆柱体后部的旋涡区内,旋涡总是成对出现,并且其旋转方向相反 (如图 6-13b
所示 )。 当绕流雷诺数超过 40以后,对称的旋涡不断增长,直到 Re≈60时,这对不稳定的对称旋涡将周期性地交替脱落 (如第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13c),最后形成几乎稳定的,非对称的,多少有些规则的,
旋转方向相反的交错旋涡,称为 卡门涡街 (如图 6-13d)。 它以比来流速度 u∞小得多的速度 u*运动 。 实验证明,有规则的卡门涡街,只能在 Re=60～ 5000的范围内观察到,而且在大多数情况下是不稳定的 。 卡门证明,对圆柱体后的卡门涡街,当
Re≈150时,只有在两列旋涡之间的距离 h与同列中相邻两旋涡的间距 l之比 h/l=0.2806的情况下,才能真正达到稳定 。 图 6-15
是卡门涡街的流谱 。 根据动量定理对如图 6-15所 示的卡门涡街进行理论计算,得到作用在单位长度圆柱体上的阻力为
(6-56) ])(12.1)(83.2[ 2**2
u
u
u
uhuF
D?
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD是由摩擦阻力 Ff和压差阻力
FP两部分组成,其阻力系数一般通过实验测得 。 图 6-16中绘出了粘性流体绕圆柱体流动时,阻力系数 CD随绕流雷诺数 Re的变化关系 。 阻力系数 CD的定义 式为
(6-57)
式中,FD— 圆柱体对流体的阻力,牛顿；
A— 圆柱体的最大迎流面积,A=直径 d× 长度 L。
由图 6-16可见,在附面层没有分离时,阻力系数 CD随 Re的增大下降较快 。 但当出现附面层分离后,雷诺数增大时,随分
Au
F
C DD
2
2
1
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动离点前移,旋涡区增大,压差阻力略有增大,摩擦阻力减小,
这时 CD随 Re增大而继续减小,但比无分离时缓慢 。 当 Re>103
以后,摩擦阻力已在总阻力中变得微不足道,阻力主要由压差阻力组成,因分离点不再前移,CD 基本成一定值 。 当
Re>2× 105时,阻力系数 CD突然减小,这表明当 Re数超过临界值后,圆柱体表面的层流附面层转变为紊流附面层,使附面层分离点突然向后推移,旋涡区减小,绕流得到改善,圆柱体后压力提高,使圆柱体前后的压力差减小,这时虽然摩擦阻力有所增加,但由于压差阻力显著减小,而使得总阻力 FD减小,从而使阻力系数 CD大幅度下降,出现,阻力跌落,现象 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-15 卡门涡街流谱第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-16 圆柱体的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十节 粘性流体绕圆柱体的流动圆柱体后尾流的流动状态在小雷诺数下是层流,在较大的雷诺数时形成卡门涡街 。 随着雷诺数的增加 (150<Re<300)，
在尾流中出现流体微团的横向运动,由层流状态过渡为紊流状态 。 到 Re≈300时,整个尾流区成为紊流,而旋涡不断消失在紊流中 。
在圆柱体后尾流的卡门涡街中,两列旋转方向相反的旋涡周期性地均匀交替脱落,有一定的脱落频率 。 旋涡的脱落频率
n可按斯特罗哈提出的经验公式计算,即
(6-58)
式中 nd/u∞=St称为斯特罗哈数,它是一个相似准数,与雷诺
)102Re250()Re 7.191(198.0St 5
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动数 Re有关 。 除此之外,根据罗斯柯 1954年的实验结果,St与 Re
之间存在着如图 6-17所示的关系,在大雷诺数 (Re>103)下,斯特罗哈数近似等于常数,即 St=0.21。
图 6-17 St数与 Re数的关系第十节 粘性流体绕圆柱体的流动卡门涡街交替脱落时会产生振动,并发生声响效应,这种声响是由于卡门涡街周期性脱落时引起的流体中的压力脉动所造成的声波,正如日常生活中听到风吹电线嘘嘘发响一样 。 工业上使用的空气预热器等多由圆管组装而成,流体绕流圆管时,
卡门涡街的交替脱落会引起预热器管箱中气柱的振动 。 如果卡门涡街的脱落频率恰好与管箱的声学驻波频率相重合时,就会诱发强烈的管箱声学驻波振动 (产生共振 ),产生很大的噪声,
造成空气预热器管箱的激烈振动 。 严重时,能使空气预热器的管箱振鼓,甚至破裂 。 如果我们改变管箱和气柱的固有频率,
使之与卡门涡街的脱落频率错开,避免发生共振,则可防止设备的破坏 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动应当指出,不只是流体绕圆柱体流动时才产生卡门涡街 。
当流体绕流其它非流线型的物体时,只要发生附面层的脱离,
都可能会出现卡门涡街 。 因此,有些设备或设施,例如水下建筑或航空设备等都作成流线型,以避免附面层的分离及产生卡门涡街的破坏作用 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动内 容 提 要
蠕流的概念
斯托克斯方程及其解析结果
绕流球体的阻力系数 CD及其计算
自由沉降速度的概念及其计算
非球形物体自由沉降速度的计算
减小绕流物体阻力的措施第十一节 粘性流体绕球体的流动工程上遇到粘性流体绕球体的流动情况也很多,象燃料炉炉膛空气流中的煤粉颗粒,油滴,烟道烟气中的灰尘以及锅炉汽包内蒸气空间中蒸气夹带的水滴等,都可以近似地看作小圆球 。 因此我们要经常研究固体微粒和液体细滴在流体中的运动情况 。 比如,在气力输送中要研究固体微粒在何种条件下才能被气流带走；在除尘器中要解决在何种条件下尘粒才能沉降；
在煤粉燃烧技术中要研究煤粉颗粒的运动状况等问题 。
当煤粉和灰尘等微小颗粒在空气,烟气或水等流体中运动时,由于这些微粒的尺寸以及流体与微粒间的相对运动速度都很小,所以在这些运动中雷诺数都很小,即它们的惯性力与粘性力相比要小得多,可以忽略不计 。 又由于微粒表面的附面层第十一节 粘性流体绕球体的流动极薄,于是质量力的影响也很小,也可略去 (这种情况下的绕流运动常称为 蠕流 )。 这样,在稳定流动中,可把纳维 — 斯托克斯方程简化 为
(6-59)
不可压缩流体的连续性方程为
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
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2
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2
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第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-18 小雷诺数时绕圆球的流动
0?
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u zyx
第十一节 粘性流体绕球体的流动
1851年斯托克斯首先解决了粘性流体绕圆球作雷诺数很小
(Re<1)的稳定流动时,圆球所受的阻力问题 。 在这种情况下,
除略去惯性力和质量力外,还假定绕流时在球面上不发生附面层的分离 (如图 6-18)。 将式 (6-59)及连续性方程式转化为球坐标形式,并结合边界条件进行理论求解,可得 解析结果 (具体解析过程在这里不再详述,可参考有关著作 )为速度分布：
(6-60)
压力分布：
(6-61)
c o s
2
3
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)
4
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2
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r
r
r
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r
r
r
r
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r
第十一节 粘性流体绕球体的流动式中 u∞和 p∞分别为无穷远处流体的速度和压力,r0为圆球的半径 。
在圆球的前后两驻点 A和 B处的压力是在前驻点 A(θ=180° )
在后驻点 B(θ=0° )
由此可见,流体对圆球在 x方向上的作用力有一个合力,
即在 x方向上流体对圆球有一个推力 。 为了确定这个推力 (阻力 )
的大小,先要求出球面上各点的法向应力和切向应力 (图 6-18)。
由于在球面 上
0
0
2
3
2
3
r
u
pp
r
u
pp
B
A
，，,0/0/0/uuru rr
第十一节 粘性流体绕球体的流动
ur(r0,θ)=uθ(r0,θ)=0,于是可得到
(6-62)
现在求流体作用在球面上的法向力和切向力沿 x轴方向的分量 Fp和 Ff。 在球面上划出微元带形表面 (图 6-18),其面积
dA=2πr0sinθ·r0dθ=2πr20sinθdθ,于是
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2
3
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1
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第十一节 粘性流体绕球体的流动则粘性流体绕流圆球时所受到的阻力 (即流体作用在圆球上的推力 )为
FD=FP+Ff=πdμu∞+2πdμu∞=3πdμu∞ (6-63)
其中 FP为 压差阻力,Ff为 摩擦阻力,FD为 总阻力 。 式中 d=2r0
为圆球的直径 。
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第十一节 粘性流体绕球体的流动式 (6-63)就是粘性流体绕流圆球的 斯托克斯阻力公式 。 其阻力系数为
(6-64)
式中 A— 圆球的 迎流面积,A=(1/4)πd2。 当雷诺数 Re<1时,式
(6-64)与 实验结果很相符合 。
实验证明,绕流球体的阻力系数 CD随着绕流雷诺数 Re的增加而减小 。 图 6-19绘出了粘性流体绕圆球流动的阻力系数 CD
随 Re数变化的实验曲线,其临界雷诺数 Rec=(2～ 3)× 105。 对应于图 6-19各区域的 CD近似计算 公式有
Re
2424
4
1
2
1
3
2
1 222
du
du
ud
Au
F
C DD
第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-19 圆球和圆盘的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十一节 粘性流体绕球体的流动
)656(
)102Re5 0 0(44.0
)1 0 0 0Re10(
Re
13
)1 0 0( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)5( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)1( R e
Re
24
5
2
1
牛顿公式，
阿连公式，
奥森修正公式，
奥森公式，
斯托克斯公式，
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
第十一节 粘性流体绕球体的流动现在我们 研究一个圆球在静止流体中的运动情况 。 一个直径为 d的圆球从静止开始,在静止的流体中自由下落,由于重力的作用,下降速度逐渐增大,同时,圆球受到的流体阻力也逐渐增大 。 当圆球的重量 G与作用在圆球上的流体的浮力 FB及流体的阻力 FD达到 平衡时,
G=FB+FD
圆球在流体中将以等速度 uf自由沉降 。 这一临界速度 uf称为圆球的 自由沉降速度 。 将圆球的重量 G=(1/6)πd3γs，
流体的浮力 FB=(1/6)πd3γ，
和流体对圆球的阻力 FD=CD(1/2)ρu2f·( 1/4)πd2代入 上式,
第十一节 粘性流体绕球体的流动得 (6-66)
当 Re<1时,将 CD=24/Re代入上式,得到
(6-67)
当 Re=10～ 1000时,将 CD= 代入式 (6-66)得
(6-68)
当 Re=500～ 2× 105时,将 CD=0.44代入式 (6-66)得
(6-69)
s
D
s
D
f C
dg
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2
5.0 )()39
4(
ss
f gddgu 3)(74.1
2
1
Re13
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果圆球是在气体中沉降时,由于气体的密度 ρ比球体的密度 ρs小得多,故式 (6-67),(6-68),(6-69)可以 近似地写为
(6-70)
(6-71)
(6-72)
对于非球形物体,自由沉降速度公式 (6-66)同样适用,只需引入 当量直径 de和 圆球度 Ω的概念,它们 的定义为
)1( R e
18
2
dgu s
f
)1 0 0 0Re10()()
39
4( 313232
5.0
ddgu ssf?
)102Re500(3)(74.1 52
1
dgdgu ss
f
第十一节 粘性流体绕球体的流动
(6-73)
(6-74)
式中 V0为物体的体积,A0为物体的表面积 。 对于正方体
Ω=0.806,圆柱体 Ω=0.86,煤粉 Ω=0.70,砂粒 Ω=0.53～ 0.63。
于是
(6-75)
由于,所以上式也可写为
(6-75a)
0
3
2
0
00
0
3 0
8 3 6.4
6
A
V
AV
AV
V
d
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的实际物体的表面积体积为的圆球的表面积体积为
s
D
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f C
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3
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0
06
A
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e
s
D
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Vgu
0
08
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果球体能被以速度为 u∞的垂直上升的流体带走,则它的绝对运动速度为
us=u∞-uf (6-76)
因此,当 uf=u∞时,圆球的绝对速度 us等于零,即圆球将悬浮在流体中静止不动 。 这时流体的上升速度 u∞称为圆球的 悬浮速度,
它的数值与 uf相等 。 所以,只有当流体的上升速度 u∞大于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球才会被流体带走；反之,当流体的上升速度 u∞小于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球将在流动的流体中沉降 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动通过前面对流动阻力的讨论可知,粘性流体绕物体流动所产生的阻力是由切向应力和压力差所造成的,故 流动阻力分为摩擦阻力 和 压差阻力 两种 。
摩擦阻力是流体粘性直接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,流体对物体表面作用有切向应力,由切向应力而产生摩擦阻力 。 所以,摩擦阻力是指作用在物体表面上的切向应力在来流方向上的投影的总和 。
压差阻力是流体粘性间接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,比如说绕圆柱体流动时,如果附面层在压力升高
(dp/dx>0)的区域内发生分离,形成旋涡,则在从分离点开始的圆柱体后部所受到的流体压力,大致接近于分离点的压力,而第十一节 粘性流体绕球体的流动不能恢复到理想流体绕圆柱体流动时应有的压力数值 (见图 6-
14),这样,就破坏了作用在圆柱体上前后压力的对称性,从而产生圆柱体前后的压力差,形成了压差阻力 。 而旋涡所携带的能量也将在整个尾涡区中被消耗而变成热量最后散失掉 。 所以压差阻力是指作用在物体表面上的压力在来流方向上的投影的总和 。 压差阻力的大小与物体的形状有很大的关系,所以又称为形状阻力 。 压差阻力和摩擦阻力之和称为物体阻力 。 虽然物体阻力的形成过程,从物理观点来看完全清楚,可是,要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力,至今还是十分困难 。
物体阻力目前都是用实验方法测得的 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动根据物体阻力的形成过程,我们可以 采用以下措施来减小绕流物体的阻力：
(1)根据工程需要,尽可能 采用流线型物体,这样可避免附面层的分离,大大减小压差阻力 。
(2)对于流线型物体,为了进一步减小粘性阻力,可以考虑 设计成层流型体 。 因为流线型物体的阻力主要是摩擦阻力
(没有附面层分离 )。 为进一步减小摩阻,应该使其附面层全为层流附面层,这是因为层流附面层的摩擦阻力要比紊流附面层的摩擦阻力小得多 。
(3)对于 非流线型物体应使其附面层为紊流附面层 。 虽然这样做增加了摩擦阻力,但由于紊流附面层内流速分布比较第十一节 粘性流体绕球体的流动
,饱满,,本身具有的能量较大,因而能够大大推迟附面层的分离,减小分离后的旋涡区,从而大大减小了压差阻力 。 摩阻略增,压阻大减,最终使总的物体阻力有所降低 。
(4)对附面层进行人工控制 。 这样可防止和推迟附面层的分离,从而减小压差阻力 。 具体方法有 吹喷和抽吸 等,以增加附面层内流体的动能,使附面层不分离或减缓附面层分离 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
