流体力学与流体机械
(三 )
多媒体教学课件李文科 制作第三章 流体动力学基础
第一节 流体流动的起因
第二节 流场的特征及分类
第三节 迹线与流线
第四节 流管、流束、流量和平均流速
第五节 流体的连续性方程
第六节 理想流体的运动微分方程第三章 流体动力学基础
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化
第十节 动量方程和动量矩方程第一节 流体流动的起因内 容 提 要
1,浮力造成的自然流动
2,压差造成的强制流动第一节 流体流动的起因由不同的起因所造成的流体的流动过程具有不同的流动特征 。 造成流体流动的原因可分为两大方面：
一是由浮力造成的,二是由外力或压差造成的 。
根据流体流动的起因不同,可将流体的流动分为自然流动和强制流动 。
1.自然流动,在流体流动的体系内,因各部分流体的温度不同所导致的密度不同而产生的浮力作用所造成的流动,称自然流动 。 在某流体中,当流体的某一部分受热时,则会因温度的升高而使其密度减小,此时,将在周围温度较低,密度较大的流体所产生的浮力作用下产生上浮的流动；反之,则产生下降的流动 。
第一节 流体流动的起因流体的自然流动一般都是和热量的传递过程同时存在的,
流体流动的特征则直接和换热过程有关,流场的特征与换热的温度场相互制约而并存 。 因此,自然流动中的动量交换过程一般来说是较为复杂的 。
2.强制流动,在流动的体系内,流体在外力或压差的作用下所产生的流动称为强制流动 。 如在泵或风机所提供的压力以及在喷射器所提供的喷射力作用下的流体的流动都属于强制流动 。
对于流体流动的分类,除按流体流动的起因分类外,还有其它一些分类方法,如前已提到过的 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动； 以及第一节 流体流动的起因以后我们将要学到的 稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚音速流动和超音速流动 等 。
第二节 流场的特征及分类内 容 提 要
一,流场的概念
二,研究流体运动的方法
三,稳定流场和非稳定流场
四,一维流场、二维流场和三维流场
五,控制体的概念第二节 流场的特征及分类一,流场的概念流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成,流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的 。 例如,室内空气的流动,室外大气的绕流,管道中水,蒸气或煤气的流动等,都是在建筑物的墙壁,管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的 。 因此,流体在流动过程中将连续地占据这些空间 。 我们 把流体流动所占据的全部空间称为 流场 。 流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律 。
二,研究流体运动的方法流体力学中,研究流体运动的方法有两种,拉格朗日法和 欧拉法 。
第二节 流场的特征及分类
1,拉格朗日法拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点运动的总和 。 他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置,
速度,压力及其它流动参量随时间的变化规律,然后把全部质点的运动情况综合起来,得到整个流体的运动 。 拉格朗日法实质上是 利用质点系动力学 来研究连续介质的运动 。
既然拉格朗日法首先描述单个质点沿其轨迹的运动,而流体又是由无数质点组成的,这就需要设法标明所描述的是哪个质点的运动 。 为此,选取在某一初始时刻 τ0各个质点的位置坐标 a,b,c来作为它们的标记 。 不同的质点在 τ0时必然占有各自不同的位置,因此,把 a,b,c作为 变数就能代表所有的第二节 流场的特征及分类流体质点 。 同时,每个流体质点在运动过程中的空间位置都是随时间 τ 在不断变化 。 所以,在直角坐标系中 流体质点的轨迹方程 可表示为
(3-1)
式中 a,b,c和 τ称为拉格朗日变数 。
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazz
cbayy
cbaxx
第二节 流场的特征及分类将式 (3-1)对时间求导,可得到某个 流体质点的速度为
(3-2)
)(
d
d
)(
d
d
)(
d
d
，，，
，，，
，，，
cbazzz
u
cbayyy
u
cbaxxx
u
z
y
x
第二节 流场的特征及分类同理可得到某个 流体质点的加速度为
(3-3)
流体质点的其它流动参量可以类似地表示为 a,b,c和 τ的函数 。 如 p=p(a,b,c,τ)
ρ=ρ(a,b,c,τ)
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazu
a
cbayu
a
cbaxu
a
z
z
y
y
x
x
第二节 流场的特征及分类
2,欧拉法欧拉法是以流体运动的空间作为观察对象,即着眼于整个流场的状态 。 研究某一时刻位于各不同空间点上流体质点的速度,压力,密度及其它流动参量的分布,然后把各个不同时刻的流体运动情况综合起来,从而得到整个流体的运动 。
实质上,欧拉法是研究表征流场内流体流动特征的各物理量的场 ——向量场和标量场 。 如速度场,压力场和密度场等 。
一般情况下,同一时刻不同空间点上流动参量是不同的,
因此,流动参量是空间点的坐标 (x,y,z)的函数,而在不同时刻同一空间点上流动参量也是不同的,因而,流动参量也是时间 τ 的函数 。 如第二节 流场的特征及分类
(3-4)
或
(3-4a)
(3-5)
(3-6)
式 (3-4)至式 (3-6)所 表示的函数式依次代表速度场,压力场和密度场 。 对于流体运动中的其它物理参量也可用同样的函数形式来表示 。
)(
)(
)(
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
zyx
zyxpp
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zz
yy
xx
第二节 流场的特征及分类在欧拉法中,通过流场中某点的流体质点的加速度可表示为：
(3-7)
或
(3-7a)
d
d
d
d
d
d
d
d z
z
uy
y
ux
x
uuua
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
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x
uuu
a
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x
uuu
a
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
zzzzz
z
yyyyy
y
xxxxx
x
第二节 流场的特征及分类由于在流场中任一流体质点都沿着一定的轨迹运动,可见,
运动的流体质点所经过的空间点的坐标也是随时间变化的,即
x,y,z都是时间 τ
x=x(τ),y=y(τ),z=z(τ) (a)
式 (a)是流体质点的运动轨迹方程 。 将式 (a)对时间 τ求导即得到流体质点沿运动轨迹的三个速度分量为
(b)
将式 (b)代入式 (3-7)和式 (3-7a)得
(3-7b)
zyx u
zuyux
d
d
d
d
d
d,，
z
uu
y
uu
x
uuua
zyx?
第二节 流场的特征及分类
(3-7c)
由式 (3-7b)可知,用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成,第一部分是 由于某一空间点上的流体质点的速度随时间变化而产生的,称为 当地加速度 或 时变加速度,即式
(3-7b,c)中等式 右端的第一项； 第二部分是 由于某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而引起的,称为 迁移加速度 或
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
z
z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
第二节 流场的特征及分类位变加速度,即式 (3-7b)中等式右端的后三项 。 当地加速度与迁移加速度之和称为 总加速度 。
为了加深对当地加速度与迁移加速度的理解,现举例说明这两个加速度的物理意义 。 如图 3-1所示,不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道,截面 2比截面 1小,则截面 2
图 3-1 流体在变截面管道内的流动第二节 流场的特征及分类的速度就要比截面 1的速度大 。 所以当流体质点从 1点流到 2点时,由于截面的收缩引起速度的增加,从而产生了迁移加速度；
如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化 (增加或减少 ),则管中每一点上流体质点的速度将相应发生变化 (增大或减少 ),从而产生了当 地加速度 。
在流体运动过程中,流体质点的其它流动参量的变化率也可写成与式 (3-7b)同样的形式,如
z
u
y
u
x
u
z
p
u
y
p
u
x
p
u
pp
zyx
zyx
d
d
d
d
第二节 流场的特征及分类在圆柱坐标系下,流体质点的加速度计算式为：
(3-8)
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
uu
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
u
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
z
z
zz
r
z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r
2
第二节 流场的特征及分类三,稳定流场和非稳定流场流体质点的流动参量是位置坐标 (x,y,z)和时间 τ 的函数,
一般情况下流体质点的流动参量是随位置坐标和时间而变化的 。
当流场中的流体在流动时,若流体质点的流动参量 (如速度 u和压力 p等 )不随时间 τ而变化,而只是位置坐标 (x,y,z)
的函数,这种流场被称为 稳定流场 。 稳定流场中流体的流动参量,如速度 u和压力 p等表达式可写成
0
0
),,(
),,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类稳定流场内流体的流动称为 稳定流动 。 如 图 3-2(a)所示,
在容器的侧壁开一小孔,液体从小孔向外流出 。 如果设法使容器内的液面高度保持不变 (如连续往容器内注入一定量的液体 )，
那么所观察到的从小孔流出的流股轨迹 也是不变的 。 这说明孔口处的流速以及流股内各空间点上的流速都不随时间而变化,
这种情况下的流动即为稳定流动 。 但是,在流股内不同的位置上的流体质点的运动速度则是不同的 。 就是说,稳定流动时,
流场中各点的流动参量虽然与时间无关,但一般仍是空间坐标的函数 。
如果流场中的流体在流动时,流体质点的流动参量既随时间而变化又随坐标而变化,这种流场则称为 非稳定流场 。
第二节 流场的特征及分类
(a)稳定流 (b)
图 3-2 稳定流动和非稳定流动第二节 流场的特征及分类这时的流动参量是时间 τ和坐标 (x,y,z)的函数,如速度,压力的表达式可写为非稳定流场内流体的流动则称为 非稳定流动 。 如图 3-2(b)，
如果不往容器内补充液体,显然随着流体从小孔向外流 出,容器内液面不断下降 。 这时可观察到,随着时间的增长,从小孔流出的流股的轨迹从初始状态逐渐向下弯曲 。 这说明流股内部各点的流速等各流动参量不仅是坐标的函数,而且随时间在不断地变化 。 这种情况下的流动则为非稳定流动 。
0
0
),,,(
),,,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类非稳定流动是比较多见的 。 但如果我们观察的时间比较长,
其流动参量的变化平均值趋于稳定；或者流体的流动参量随时间的变化非常缓慢,且在较短的时间内研究这种流动时,都可以近似地认为它们是稳定流动或作为稳定流动来处理 。 这样做,
方法比较简便,而且能满足工程上的实际需要 。
第二节 流场的特征及分类四,一维流场,二维流场和三维流场一般地,流体的流动都是在三维空间内进行,流体的流动参量多是三个坐标的函数,这种流场称为 三维流场 。 如自然环境中风或水的流动等都属三维流场内的流动 。 如果流场中流体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数,则它们分别被称为 二维流场 和 一维流场 。 很显然,自变量的数目越少,问题就越简单,因此,在流体力学的研究和实际工程技术中,在可能的条件下应尽量将三维的流场简化为二维流场甚至一维流场予以解决或近似求解 。
例如图 3-3所示一变截面圆管内粘性流体的流动,流体质点的速度既是半径 r的函数,又是沿轴线距离 x的函数,即第二节 流场的特征及分类
u=f(r,x)
显然这种流场为二维流场,但在工程上常将其简化为一维流场来求解 。 其办法就是在每个截面上取速度的平均值,图 3-3中
u在相应截面上的平均值 。 于是有即速度场只是 x的函数,这就是一维流场的问题 。
图 3-3 管内流速分布图
u
)(xfu?
第二节 流场的特征及分类五,控制体的概念所谓 控制体,就是根据所研究问题的需要,在流场中划定的某一个确定的空间区域 。 这个区域的周界称为 控制面 。 控制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的,
但一旦选定之后,则不再随流体的流动及过程的进行而变化 。
同时,控制体的形状和位置相对于所选定的坐标系来说也是固定不变的 。 另外,控制 面可以是实际存在的表面,也可以是设想的表面 。 如图 3-4所示的 1234区域为所选的控制体,它相对于坐标系 xoy是固定的不变的,图中 1-3控制面和 2-4控制面是实际存在的表面,1-2控制面和 3-4控制 面为设想的表面 。
第二节 流场的特征及分类图 3-4 控制体和控制面第三节 迹线与流线内 容 提 要
一,迹线
二,流线
1,流线的概念
2,流线具有的两个特点
3,流线的性质
4,流线的微分方程第三节 迹线与流线为了使整个流场形象化,进而得到不同流场的运动特征,
需要研究同一流体质点在不同时间内或者同一瞬时众多流体质点间流动参量的关系,也就是质点参量的综合特性 。 前者称为迹线研究法,后者称为 流线研究法 。
一,迹线迹线 就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线 。 如在水流中撒入细微的铝粉或镁粉,然后去跟踪某些铝粉或镁粉微粒
(每一铝粉或镁粉微粒可近似表示一个流体质点 ),就可观察到它们的运动轨迹,也就是流体质点的迹线 。 通过迹线可以看出流体质点是作直线运动,还是作曲线运动,以及它们的运动途径在流场中是如何变化的 。
第三节 迹线与流线一般情况下,只有以拉格朗日法表示流体质点的运动时才能作出迹线 。 迹线的特点是,对于每一个质点都有一个运动轨迹,所以迹线是一族曲线,而且迹线只随质点不同而异,
而与时间无关 。 研究流体质点的迹线是拉格朗日法的内容,为了适应欧拉法的特点,还必须引入流线的概念,它也能形象地描绘出流场内的流动形态 。
二,流线流线 是在同一瞬时流场中连续分布的不同位置的质点的流动方向线 。 或者说,流线 是某一瞬时的一条空间曲线,该曲线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相重合 。 亦即 流线上各质点的流速都与流线相切 。
第三节 迹线与流线如图 3-5(a)所示,设在某一瞬时 τ,流场内某一空间点 a处的流体质点速度为 ua,沿 ua方向无穷小距离 b处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 ub,沿 ub方向无穷小距离 c处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 uc,依次类推,在同一瞬时 τ的流场空间内,
有一条经过流体质点 a,b,c,d,e…… 的折线 abcde…… 。 如果把这条折线上相邻点间的距离无限缩短并趋于零,则该折线就成为一条光滑的曲线,如图 3-5(b),这条光滑的曲线就是 τ
瞬时流场中的一根流线 。 我们还可以用简单的实验来显示出流场中的流线形状 。 例如在水流中撒布闪光铝粉或镁粉,在摄影灯光照射下,用快速照相机在极短的曝光时间内拍摄水流的照片,即可得到流线图 。 在照片上可以看出,这第三节 迹线与流线
(a)折线 (b)
图 3-5 流线示意图些流线是由很多闪亮的短线汇聚组成的,这些短线是在短促的曝光时间内,由很多铝粉或镁粉颗粒各自划出的 。 可见流线是客观存在的,它直接显示出流场内的流动形态 。
第三节 迹线与流线流线具有以下两个特点：
(1)流线是在某一瞬时所得到的一条曲线,而不是在一段时间内跟踪流体质点运动所得到的曲线 。
(2)它不是某一流体质点在运动中的轨迹线,而是通过很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速度向量所描绘出的曲线 。
第三节 迹线与流线流线的性质：
(1)在稳定流场中,流线在空间的位置和形状都不随时间而变化 。 在非稳定流场中,流线在空间的位置和形状是随时间而变化的 。
(2)在稳定流场中,流线和迹线相重合 。 在非稳定流场中,流线和迹线不重合 。
(3)流线与流线之间不能相交,同时,流线也不可能有分支,即不可能有横过流线的流体流动 。
(4)流线不能发生突然折转 。
第三节 迹线与流线现用反证法解释第三个性质的结论 。 如图 3-6所示,假定有两条流线 1,2在 A点相交,按流线的定义,在 A点所作出的代表流体质点速度向量的切线应有两条 。 可是在同一瞬时,
一个流体质点只能有一个速度向量,不可能同时有两个不同的速度向量,即一个流体质点在同一瞬时不可能同时向两个方向运动 。 除非 A点的速度为零,是一个驻点；或者 A点的速度无穷大,是一个 奇点 。 图 3-6 假定流线相交图第三节 迹线与流线这样,流线已被分割成了四条,而不再是两条相交的流线 。 所以过 A点只能有一条流线 。 故流线是不可能相交的 。 同时,流线也不可能有分支 (两条流线在某点相切除外 )。
另外,流体被视为连续介质,其中各点的流动参量都是坐标的连续函数 。 如果出现流线急剧折转现象,则必然破坏函数的连续性规律 。 所以只有在平滑曲线形状时才能保证连续流动条件 。 在工程设计中,对于和流体运动有直接关系的物体表面,
如管嘴的入口和风机的叶片等总是尽量作成流线型的,以减少能量损失 。
第三节 迹线与流线流线的微分方程式：
如图 3-7所示,在流线 上 A点处的流体质点的速度为 u,它在 x,y,z坐标轴上的投影分别为 ux,uy,uz,A点处流线上的一微元段长为 ds,其投影分别为 dx,dy,dz。 根据流线的定义,
A点的速度 u必与 A点的切线相重合,于是 有由此得到
(3-9)
式 (3-9)就是直角坐标系下的 流线微分方程式 。
su
u
s
y
u
u
s
x
u
u zyx
d
zd
d
d
d
d,，
第三节 迹线与流线在圆柱坐标系下的流线微分方程式为
(3-10)
图 3-7 流线上速度向量分解
zr u
z
u
r
u
r ddd
第四节 流管、流束、流量和平均流速内 容 提 要
1,流管和流束的概念
2,有效截面的概念
3,均匀流的概念
4,流量的概念及其计算
5,平均流速的概念第四节 流管、流束、流量和平均流速流线只能表示流场中流体质点的流动参量及流场的形态,
但不能表明流过的流体数量 。 为此引入流管和流束的概念 。
如图 3-9所示,在给定的瞬时在流场内任作一条不是流线的封闭曲线 B,通过封闭曲线 B上各点作流线,这些流线所构成的管状表面称之为 流管 。 因为流管是由流线构成的,所以它具有流线的一切特性 。 即流管上各点的流速方向都与流管的表面相切,流体质点不能穿过流管流进或流出 。 流管就象固体管子一样,将流体限制在管内 (或管外 )流动 。 流管内部流动的流体,亦即充满流管的一束流线族,则称为 流束 。 在稳定流场中,流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中,将随时间改变其形状和位置 。
第四节 流管、流束、流量和平均流速图 3-9 流管示意图 图 3-10 有效截面第四节 流管、流束、流量和平均流速在流束中与各流线都相垂直的 横截面称为流束的 有效截面
(或 过流截面 )。 流束中流线互相平行时,其有效截面为平面；
流线不平行时,其有效截面为曲面 。 如图 3-10所示 。
对于不可压缩流体,当流线皆为平行直线时的流动称为 均匀流 ；否则,称为 非均匀流 。 均匀流同一流线上各质点的速度相等,因此,其迁移加速度皆为零 。
有效截面面积为无限小的流束或流管,称为 微元流束 或 微元流管 。 对于微元流束,其有效截面上各点的速度可以认为是相同的 。
单位时间内通过有效截面的流体的数量,称为 流量 。 流体的数量可以用体积,质量或重量来计量,因此 流量又分为 体积第四节 流管、流束、流量和平均流速流量 (米 3/秒 ),质量流量 (千克 /秒 )和 重量流量 (牛顿 /秒 ),并分别用 Q,M和 G来表示 。
在流管内取一微小的有效 截面 dA,在 dA上可以认为流体的各个流动参量各点都相同 (如图 3-9)。 因此,通过有效截面 A
的体积流量 Q,质量流量 M和重量流量 G分别 为
(3-11)
(3-11a)
(3-11b)
式中 u— 有效截面上任意一点的速度,m/s；
ρ ——与速度 u相对应的流体的密度 (kg/m3)。
A dAuM?
A dAuQ
A dAugG?
第四节 流管、流束、流量和平均流速以上计算必须先找出微元流束的速度 u在整个有效截面 A上的分布规律,然后才能积分求解,但其速度分布规律在大部分工程问题中是很难能用解析法来确定的 。 因此,在工程计算中为了方便起见,引入平均流速的概念 。 平均流速是一个假想的流速 。 即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过,
这时通过该有效截面上流体的体积流量仍与各点以真实流速 u
流动时所得到的体积流量相同 。
若以 表示流管有效截面上的平均流速,按其定义可得则
(3-12)
u
A
A
Au
AA
Q
u
AuAuQ
d
1
d
第五节 流体的连续性方程内 容 提 要
一,直角坐标系下的三维连续性方程
二,圆柱坐标系下的三维连续性方程
三,一维稳定管流的连续性方程第五节 流体的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用 。 我们认为流体是连续介质,它在流动时连续地充满整个流场 。 在这个前提下,当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时,可以断定：若在某一定时间内,流出的流体质量和流入的流体质量不相等时,则这封闭曲面内就一定会有流体密度的变化,以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的,则流出的流体质量必然等于流入的流体质量 。 上述结论可以用数学分析表达成微分方程,称为 连续性方程 。
第五节 流体的连续性方程一,直角坐标系下的三维连续性方程在流场中任取一个微元平行六面体作为控制体,其边长分别为 dx,dy,dz(如图 3-11)。 假设微元六面体形心 a的坐标为 (x，
y,z),密度为 ρ(x,y,z,),速度为 。 现在来讨论流体经微元六面体各表面的流动情况 。
首先确定微元体六个面上的有关流动参量 。 由于微元六面体的各个表面都是很小的,故可以认为每个表面上各不同流体质点的流动参量都是相同的 。 因此,六个微元表面上的有关的流动参量可利用泰勒公式展开成以点 a(x,y,z)的有关流动参量来表示 。 现在先讨论 x轴方向上的流动情况,在垂直于 x轴的左侧面上 (b点 )流体的密度和流速 按泰勒级数展开后分别为
u?
第五节 流体的连续性方程图 3-11 微元六面体第五节 流体的连续性方程上两式忽略二阶以上无穷小量,并简化后为
2
2
2
2
2
2
)
2
d
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1
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2
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zyxuzy
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x
x
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，，，，
，，，，
第五节 流体的连续性方程应用同样的分析方法,可写出垂直于 x轴的右侧面 上 (c点 )流体的密度和流速表示式,即所以,在单位时间内从左侧微元面 dydz流入微元体的流体质量为同样在单位时间内从右侧微元面 dydz流出微元体的流体质量为单位时间内沿 x轴方向流体质量的变化为
2
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2
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zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
第五节 流体的连续性方程同理,在单位时间内沿 y轴和 z轴方向流体质量的变化分别为因此,
(a)
由于流体是作为连续介质来研究的,所以式 (a)所表示的六面体内流体质量的总变化,必然引起六面体内的流体的密度
zyx
x
u
zyx
x
u
x
u
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x
x
u
u
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u
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x
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)(
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2
d
)(
2
d
(dd)
2
d
)(
2
d
(
zyxzuzyxyu zy ddd)(ddd)( ；
zyx
z
u
y
u
x
u zyx ddd)()()(
第五节 流体的连续性方程的变化 。 在单位时间内,微元六面体内流体因密度变化而引起的质量变化为
(b)
根据流体流动的连续性,式 (a)和式 (b)必然是相等的,即全式通除以 dxdydz,移项后得
(3-13)
或写成
(3-13a)
zyxzyx
z
u
y
u
x
u zyx dddddd])()()([
zyx ddd
0)(
)()(
z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv u
第五节 流体的连续性方程将式 (3-13)中各项展开,合并整理后,可得到连续性微分方程的另一种形式,即
(3-13b)
式 (3-13)就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续性方程,该式具有普遍意义 。
对于可压缩流体的稳定流动,由于,则上式可写为
(3-14)
或 (3-14a)
0)(
d
d?
z
u
y
u
x
u zyx?
0
0)(
)()(
z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv?u
第五节 流体的连续性方程若流体是不可压缩的,则不论是稳定流动或非稳定流动,
其密度 ρ 均为常数,故 式 (3-13)可简化为
(3-15)
或 (3-15a)
式 (3-15)为不可压缩流体的三维连续性方程 。 它对于稳定流动和非稳定流动都适用 。 物理意义是,在单位时间内通过单位体积流体表面流入和流出控制空间的流体体积是相等的 。
对于二维流动的不可压缩流体,式 (3-15)可写为
(3-16)
0?
z
u
y
u
x
u zyx
0?
y
u
x
u yx
0div?u?
第五节 流体的连续性方程二,圆柱坐标系下的三维连续性方程在圆柱坐标系下的流场中,取出一微元六面体 ABCD作为控制体,如图 3-12所示 。 与上述推导方法相似,在忽略高阶无穷小量后,作如下简化推导：
单位时间内经 AB,BC和 CA面流入微元体的流体质量分别为同样,单位时间内经 CD,DA和 BD面流出微元体的流体质量分别为
rru
zru
zru
z dd
dd
ddr
第五节 流体的连续性方程图 3-12 圆柱坐标系下的微元体第五节 流体的连续性方程则单位时间内,微元体中的流体质量改变量为
(a)
同时,在单位时间内由于微元体中流体的密度变化而引起的微
(b)
rrz
z
u
u
zr
u
u
zrrr
r
u
u
z
z
r
r
dd]d
)(
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dd]d
)(
[
dd)d](d
)(
[
zrzurururu zrr ddd])()()([
zrr ddd
第五节 流体的连续性方程根据质量守恒原理可知,式 (a)必然与式 (b)相等,即上式两边同除以 rdθdrdz,并整理后得
(3-17)
式 (3-17)就是圆柱坐标系下的三维连续性方程 。
对于不可压缩流体,密度 ρ =常数,连续性方程为
(3-18)
zrrzrzurururu zrr dddddd])()()([
0)()()(?
z
u
r
u
r
u
r
u zrr?
0?
z
u
r
u
r
u
r
u zrr
第五节 流体的连续性方程三,一维稳定管流的连续性方程如图 3-13所示,A1,A2为流管的两个有效截面 。 dA1,dA2
为微元流束的有效截面,相应截面上的速度为 u1和 u2,流体的密度为 ρ1和 ρ2。 选取 控制体如图中虚线所示 。 根据质量守恒定律,在稳定流动的条件下,单位时间内流入控制体的质量应等于流出控制体的质量,即控制体内的质量应保持不变,即
(3-19)
式中 A——整个控制体的表面积,即控制面的面积,m2；
un— 控制面上各点的外法向速度,m/s。
根据流管的性质,不可能有流体穿过流管管壁流进流出,
即在流管侧表面上的法向速度 un=0,因此,式 (3-19)可以写成
0dA Au n?
第五节 流体的连续性方程图 3-13 流管内的流动第五节 流体的连续性方程
(3-20)
如果取 ρ1,ū1和 ρ2,ū2分别表示 A1和 A2截面上的平均密度和平均流速,则式 (3-20)可 写为
(3-21)
对于不可压缩流体,ρ 为常数,则有
(3-22)
或
(3-22a)
式 (3-22)是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程 。 它说明管截面上的平均流速与有效截面的面积成反比,即对于同一根流管 (或固体管道 ),在不可压缩流体稳定流动的条件下,管径
1
2
2
1
2211
A
A
u
u
AuAu
222111 AuAu
21 A 222A 111 dd AuAu
第五节 流体的连续性方程大的截面上平均流速小,而管径小的截面上平均流速大 。
应当指出,在推导流体连续性方程的过程中,并没有涉及到作用于流体上的力 。 故上述推导的各连续性方程式对于理想流体和粘性流体都是适用的 。
第六节 理想流体的运动微分方程内 容 提 要
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程
二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程
三,理想流体沿流线的运动微分方程第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用 。 它建立了理想流体的密度,流速,压力和外力之间的关系 。 下面就来讨论理想流体的运动微分方程 。
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程如图 3-15所示,在流动的流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz,平均密度为 ρ的微元平行六面体作为研究对象 。 由于是理想流体,所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的压力,而没有粘性力 。 若微元六面体的形心 A点的坐标为 (x,y,z),速度为 u,速度分量分别为 ux,uy,uz,压力为 p，
则作用在微元体六个表面中心点的压力可按泰勒级数展开后,
并忽略二阶以上无穷小量,表示于图 3-15上 。 例如在垂第六节 理想流体的运动微分方程图 3-15 微元六面体的受力情况第六节 理想流体的运动微分方程直于 x轴的左右两个平面中心点上的压力各等于由于各表面都是微元面积,所以这些压力可以作为各表面上的平均压力 。 另外,假设作用在微元六面体上的单位质量力 f的分量分别为 fx,fy和 fz。 则按牛顿第二定律 ΣF=ma,可以得到 x
轴方向的运动微分方程
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp
,
d
d
ddd
ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(
x
x
u
zyx
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
第六节 理想流体的运动微分方程整理后,得同样可得到 y轴方向和 z轴方向上的运动微分方程 。 于是,理想流体的运动微分方程为
(3-23)
它的向量形式为
(3-24)
d
d1 x
x
u
x
pf?
d
d1
d
d1
d
d1
z
z
y
y
x
x
u
z
p
f
u
y
p
f
u
x
p
f
d
dg r a d1 upf
第六节 理想流体的运动微分方程若以当地加速度和迁移加速度表示方程组 (3-23)各式右边的加速度,便得到
(3-25)
理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程,它对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的 。 当流体处于平衡状态时,ux=uy=uz=0,该运动微分方程成为欧拉平衡微分方程 。
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
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u
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p
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z
u
u
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x
u
u
u
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z
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z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
1
1
1
第六节 理想流体的运动微分方程二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程在圆柱坐标系下的形式,可用上述同样的办法导出,这里不再详细推导,只给出推导结果：
(3-26)
式 (3-26)就是圆柱坐标系下的理想流体运动微分方程,或称为欧拉运动微分方程 。 它的应用条件同式 (3-25)。
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
z
p
f
r
uu
z
u
u
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u
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u
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z
z
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z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r
1
1
1
2
第六节 理想流体的运动微分方程三,理想流体沿流线的运动微分方程如图 3-16所示,在理想流体的流场中,在流线方向上取出一长为 ds,端面积为 dA的柱形微元流体 。 根据流线的定义,
速度向量必定与流线相切,因此给出速度场为,
设柱形微元流体的平均密度为 ρ,中心处的压力为 p,上,下游两端面上的压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上无穷小量为 和,方向垂直于两端面 。 由于是理想流体,没有粘性力,所以柱形微元流体侧面上的表面力只有压力,都垂直于轴线,它们在流线方向上的分量为零 。 又设
),(?suu
2
d
2
d s
s
pps
s
pp
第六节 理想流体的运动微分方程图 3-16 流体微团受力分析第六节 理想流体的运动微分方程微元柱形流体所受的质量力只有重力,方向垂直向下,大小为
ρgdAds。 微元柱形流体运动所产生的切向加速度为 as,其受力情况见图 3-16。 根据牛顿第二定律,ΣFs=mas,有式中 θ 为流线切线与铅直轴的夹角 。
上式化简后并用 ρdAds去除,得
(a)
由于 (b)
(c)
ssaAsAgA
s
s
ppAs
s
pp ddc o sddd)
2
d(d)
2
d(
s
u
u
us
s
uuu
a
s
z
s
z
ag
s
p
s
s
d
d
d
d
c o slim
0c o s
1
0s
第六节 理想流体的运动微分方程将式 (b),(c)代入式 (a),得
(3-27)
这就是理想流体沿流线流动的运动微分方程,或称欧拉运动微分方程 。 它适用于理想流体在重力作用下沿流线方向流动的情况,并且对于可压缩流体和不可压缩流体的非稳定流动也都适用 。 同时,它表达了某一瞬时沿任意一根流线流体质点的压力,密度,速度和位移之间的微分关系 。
在稳定流动的条件下,,同时 p,z,u只是距离 s的函数,可将偏导数改写为全导数,从而得到理想流体沿流线稳
01 suuuszgsp
0u
第六节 理想流体的运动微分方程定流动的运动微分方程为
(3-28)
如果流体只是在水平面内流动,
(3-29)
0ddd uuzgp
0dd uup
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用内 容 提 要
1,伯努利方程的形式
2,伯努利方程的物理意义
3,伯努利方程的应用条件
4,使用伯努利方程时应注意的问题第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用前面已经推导出理想流体在重力作用下沿流线稳定流动的欧拉运动微分方程
(3-28)
对上式沿流线积分,得到
(3-30)
对于可压缩流体,必须根据状态方程等,找出压力 p与密度 ρ
之间的函数关系,上式第一项才能积分 。 对于不可压缩流体,
ρ 为常数,于是得到
Cuzgp
2
d 2
0ddd uuzgp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-31)
式 (3-31)就是著名的伯努利方程,它是单位质量流体的机械能守恒方程,所以也称 能量方程 。 它是由伯努利于 1738年首先提出的 。 伯努利方程在工程实际中得到广泛的应用 。
根据伯努利方程的推导过程,我们可以得到其 应用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线稳定流动的情况 。 在应用伯努利方程式 (3-31)时必须满足这些条件 。
Cuzgp
2
2
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用对于单位重量流体,式 (3-31)可写成
(3-31a)
对于单位体积流体,式 (3-31)还可写成
(3-31b)
式 (3-31a)多用于液体的流动情况,式 (3-31b)多用于气体的流动情况 。
1
2
2
C
g
uzp
2
2
2
C
g
uzp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用下面我们进一步讨论伯努利方程的 物理意义 。
伯努利方程的能量意义：
p/γ 表示单位重量流体所具有的压力能,称为 比压力能,
单位为 焦耳 /牛顿 。
z表示单位重量流体所具有的位能,称为 比位能,单位为焦耳 /牛顿 。
u2/2g表示单位重量流体所具有的动能,称为 比动能,单位为 焦耳 /牛顿 。
另外,单位重量流体所具有的压力能和位能之和 (p/γ +z)
称为单位重量流体的 总势能 ；
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用同样,单位重量流体所具有的压力能,位能和动能之和
(p/γ+z+u2/2g)称为单位重量流体的 总机械能 。
式 (3-31a)表明,理想的不可压缩流体在重力作用下沿流线稳定流动时,其单位重量流体的压力能,位能和动能之和保持常数,即 机械能是守恒的,并且 它们之间可以互相转换 。
但是沿不同的流线其积分常数值一般不同 。
式 (3-31)和式 (3-31b)中各项分别表示单位质量流体和单位体积流体所具有的压力能,位能和动能,也分别称为比压力能,比位能和比动能,单位分别为焦耳 /千克和焦耳 /米 3。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的几何意义：
p/γ ——表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称为压力高度,或称为压力压头和静压头,单位为米 ；
z——为流体质点相对于基准面的高度,称为位置高度,或称为几何压头和位压头,单位为米 ；
u2/2g——表示在没有阻力的情况下,具有速度 u的流体质点沿铅直方向向上自由喷射所能达到的高度,称为速度压头或动压头,单位为米 。
伯努利方程式 (3-31a)中,静压头和位压头之和称为 测压管压头 ；静压头,位压头和动压头三者之和称为 总压头 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用分别用 Hc和 Hz表示 。
即由于伯努利方程式 (3-31a)中各项都表示一高度,所以可用几何图形来表示它们之间的关系,如图 3-17所示 。 设以管中心线上的这根流线作为分析对象,连接中心线上各点 z的线叫做几何压头线 或 位压头线 ；连接 p/γ各顶点而成的线叫做 测压管压头线,它表示流线上各点 (p/γ+z)的变化 情况 。 就理想的不可压缩流体而言,由于没有能量损失,沿流线各点的总压头不
g
u
z
p
H
z
p
H
z
c
2
2
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用图 3-17 沿流线的各压头线第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用变,即 总压头线是一条水平线 。 但是在这根流线上各点的 p/γ、
z和 u2/2g之间是可以相互转换的 。
另外,伯努利方程是由欧拉运动微分方程积分得来的,所以它除了具有能量意义和几何意义外,还具有力学意义 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的力学意义：
p为单位面积上流体受到的压力,称为 静压,牛顿 /米 2；
γz为单位面积上,z高度的流体柱所具有的重力,称为 位压,牛顿 /米 2；
(u2/2g)γ相当于流体对单位面积上所作用的惯性冲击力,
称为 动压,牛顿 /米 2。
流场中某点处流体的静压与动压之和称为 总压 或 全压,牛顿 /米 2。
如果流体只在水平方向上流动,或者流场中坐标 z的变化与其它流动参量相比可以忽略不计时,则式 (3-31)可写为第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-32)
式 (3-32)表明,沿流线压力越低,则流速越高 。 对于液体而言,
当压力降低到汽化压力以下时,液体汽化生成气泡,称为空泡现象,这时伯努利方程不再适用 。
当伯努利方程应用于同一根流线上的不同两点时,式 (3-31)
至式 (3-31b)可分别 写成
(3-33)
(3-33a)
Cup
2
2
g
u
z
p
g
u
z
p
u
zg
pu
zg
p
22
22
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-33b)
式中 p1,z1,u1和 p2,z2,u2分别为同一根流线上 1,2两点处流体质点的参量 。
应当指出,对于液体来说,由于 在流动过程中受大气浮力的影响甚小,可以忽略不计,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 p1和 p2可以用绝对压力,也可以用相对压力,而不必考虑大气浮力的影响 。 对于气体来说,特别是热气体,由于在流动过程中受大气浮力的影响很大,比位能也将产生很大的变化,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 只能用绝对压力 (对于在同一水平面内的流线除外 )。
g
uzp
g
uzp
22
2
2
22
2
1
11
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程内 容 提 要
1,非稳定流动的伯努利方程
2,非稳定流动伯努利方程的应用条件第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程前面我们推导的理想流体沿流线非稳定流动的运动微分方程式 (3-27)为
(3-27)
对于不可压缩流体,ρ =常数,上式可以写成一般来说,是流线上位置坐标 s的函数 。 令时间保持不变,
沿流线积分上式,可得现设 1,2是流线上的两点,则有
u
01?
s
uuu
s
zg
s
p
0)
2
(
2
uuzgp
s
Csuuzgp s?
d
2 0
2
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
(3-34)
式 (3-34)就是不可压缩理想流体在重力作用下沿流线非稳定流动的伯努利方程 。 该方程的 使用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线非稳定流动的情况 。
s
uu
zg
pu
zg
p
s
uu
zg
p
s
uu
zg
p
s
s
ss
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d
2
d
2
2
1
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2
2
2
2
2
1
1
1
0
2
2
2
2
0
2
1
1
1
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化内 容 提 要
1,弯曲流线主法线方向上的运动微分方程
2,弯曲流线主法线方向上流体速度的变化规律
3,弯曲流线主法线方向上流体压力的变化规律
4,弯曲河道主法线方向上流体液位的变化规律第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化现在我们来讨论垂直于流线的主法线方向上的速度和压力的变化规律 。 参看图 3-24,在流线 BB'上 M点处取一柱形微元流体,柱轴与流线上 M点处的主法线相重合,柱形微元体的两个端面与柱轴相垂直,端面面积为 dA,柱体长为 dr,M点的曲率半径为 r。 设 M点处的流体压力为 p,流速为 u,柱形流体微团 (微元体 )的平均密度为 ρ,所受的质量力只有重力 。 则微元体在流线主法线方向所受到的力为,两端面上的总压力分别为重力在主法线方向的分量为 ρgdrdAcosθ,微元体侧面上的压力在主法线方向的分量为零,对于理想流体无粘性力 。 微元
ArrppArrpp d)2d(d)2d(,
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-24 流体微团受力分析第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化体在 M点主法线方向的加速度 ar(即法向加速度 )为 -u2/r。 根据牛顿第二定律 ΣFr=mar,有将上式进行简化整理,并注意到 cosθ=,得
(3-35)
式 (3-35)为理想流体沿流线稳定流动时主法线方向的运动微分方程 。
r
u
Ar
ArgA
r
r
p
pA
r
r
p
p
2
dd
c o sddd)
2
d
(d)
2
d
(
rz
r
u
r
zg
r
p 21?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化对于不可压缩流体,ρ 为常数,式 (3-35)可 写成
(3-36)
另外,在流场中各条流线的伯努利常数 (p/ρ+gz+u2/2=C)都具有同一数值的条件下,伯努利常数 C沿 r方向不变,因此它对
r的导数等于零,即或
(3-37)
比较式 (3-36)和式 (3-37),得
r
u
uzg
p
r
u
zg
p
r
)(
0)
2
(
2
r
uzgp
r
2
)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化或积分后的 (3-38)
式中 C是沿径向的积分常数,一般来讲它是沿流线方向不同位置坐标 s的函数 。 由此可见,在弯曲流线的主法线方向上,流体的速度随曲率半径的增大而减小 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的流速高,而外侧的流速低,如图 3-25所示 。
对于流体在同一水平面内流动的情况 (z=0),也可以得到同样的结论 。
0)(
2
ururru
r
u
u
r
u
Cru?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-25 弯曲流道中压力和速度分布图第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化下面讨论沿流线主法线方向上压力的变化规律 。
由式 (3-36) 可看出,等式右端 永远为正值,所以 也永为正值 。 这意味着随曲率半径 r的增大,也增大 。 如果流线都位于同一水平面内 (即在水平面内流动 ),或者重力变化的影响可以忽略不计时,
式 (3-36)可 写为
(3-39)
)( zgp
r
r
uzgp
r
2
)(
r
u2
)( zgp
0
2
r
u
r
p?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化由此可见,在弯曲 流线主法线方向上压力 p随曲率半径 r的增大而增加 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的压力小,而外侧的压力大 (如图 3-25所示 )。 沿流线主法线方向压力和速度的分布规律常用来分析工业上的旋风除尘器,旋风分离器以及燃烧装置上的旋风室等装置内的流动情况 。
同样,对于明渠流动,压力 p为 大气压保持不变,则式 (3-
36)可写 成
(3-40)
这说明,在弯曲河道的外侧的水位将高于河道内侧的水位 。
对于直线流动,即 r→∞,由式 (3-36)得到
(3-41)
0
2
gr
u
r
z
Czgpzgp
r
或0)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-26 直线流动中垂直于流线方向上的压力分布第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化设 1和 2是流线的某一垂直线上的任意两点 (图 3-26),则有
(3-41a)
式 (3-41)说明,在直线流动的条件下,沿垂直于流线的方向上的压力分布服从于静力学基本方程式 。
在直流流动中,如果不计重力的影响,则在式 (3-39)中令
r→∞,得它表明,当流线为直线且忽略重力的影响时 (即在同一水平面内的直线流动 ),沿流线法线方向上 的压力梯度为零,即没有压力变化 。
2
2
1
1 zgpzgp
0rp
第十节 动量方程和动量矩方程内 容 提 要
一,动量方程
二,动量矩方程第十节 动量方程和动量矩方程一,动量方程前面我们讨论了连续性方程,欧拉运动方程和伯努利方程 。
这些方程可以用来解决许多实际问题,如确定管道截面积,计算流体的流速,流量和压力分布等 。 而在本节中将要讨论的动量方程则特别适合于求解某些流体与流体间或流体与固体间有相互作用力的问题 。
流体的动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体应用 。
在物理学中,动量守恒定律有两种不同的表述方式 。 第一种表述方式是,物体动量的变化量等于该物体所受到的外力的总冲量 。
(3-42))(dd umF
第十节 动量方程和动量矩方程另一种表述方式是,物体动量对时间的变化率等于作用在该物体上的外力之和 。 即
(3-43)
流体的动量方程就是动量守恒定律第二种表述方式的具体形式 。
就是说,将式 (3-43)具体应用于讨论问题所取的控制体的流体上,便可得到流体的动量方程,即
(3-44)
式中 为控制体内流体的动量； 为作用在控制体内
V V A n AuuVuVuF dddd d
d
)(d umF
F
V Vu d
第十节 动量方程和动量矩方程流体上的外力之和 。 为控制体内流体的动量随时间的变化率,在稳定流动的条件下这一项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量的变化量 。 速度
un为控制面外法线方向上流体质点的速度 。 V为控制体的体积,
A为控制面的面积 。 在稳定流动的条件下,式 (3-44)可写为
(3-45)
其投影形式为
(3-45a)
A n Vuu d
A
nzz
A
nyy
A
nxx
A
n
AuuF
AuuF
AuuF
AuuF
d
d
d
d
V Vu d
第十节 动量方程和动量矩方程式 (3-45)和 (3-45a)就是稳定流动流体的动量方程 。
如图 3-27所示,我们取一根流管,并取流管的管壁和有效截面为控制面 。 设有效截面上流体的流速为均匀分布,ΣF是作用在控制体上的外力的总和,根据式 (3-45a)有
(3-46)
根据连续性方程可把式 (3-46)改写为
11112222
11112222
11112222
znznz
ynyny
xnxnx
uuAuuAF
uuAuuAF
uuAuuAF
QuAuA nn 111222
第十节 动量方程和动量矩方程图 3-27 流管内的控制体第十节 动量方程和动量矩方程
(4-46a)
稳定流动的动量方程的特点是,在计算过程中只涉及控制面上的流动参量,而不必考虑控制体内部的流动状态 。 因此它也可用于控制体内存在参量间断面的情况 。 其次,它不同于连续性方程和伯努利方程,动量方程是一个向量方程,应用投影方程比较方便 。 使用时应 注意 适当地选择控制面,完整地表达出作用在控制体和控制面上的外力,注意流动方向和投影的正负等 。
)(
)(
)(
12
12
12
zzz
yyy
xxx
uuQF
uuQF
uuQF
第十节 动量方程和动量矩方程应当指出,实际流体在管道内流动时,其管截面上的速度分布是不均匀的,并且一般情况下截面上的速度分布规律很难确定 。 所以 工程上常用截面平均流速来计算流体的动量 。 但是用平均流速计算出的流体的动量比实际流体的实际动量为小,需要加以修正,即若截面上流体的密度 ρ 均匀分布,则
(3-47)
式中 β ——动量修正系数,它是单位时间内通过有效截面的实
AA Au
u
AAu
Au
d)(1
d
2
2
2
AuAu 2A 2 d
第十节 动量方程和动量矩方程际动量与 按截面平均流速计算的流体动量的比值,它的大小取决于截面上流速分布的均匀程度 。 在工业管道和明渠流动中,
β的实验值一般为 1.02～ 1.05,因此,工程计算常取 β=1。 引用截面平均流速并取 β=1,式 (3-46a)对于实际流体的流动情况 仍然适用,只需要将相应的流速改用平均流速即可 。
第十节 动量方程和动量矩方程二,动量矩方程流体的动量矩方程是动量矩守恒定律在流体力学中的具体应用 。 对于某一控制体来说,动量矩守恒定律可表述为,作用在控制体上的外力矩之和等于单位时间内控制体中流体动量矩的变化量与单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量之和 。 其数学表达式为
(3-48)
式中 为作用在控制体上的外力矩之和 。
V A
n
V
AuruVru
VrurFM
dd
d
d
d
rFM
第十节 动量方程和动量矩方程为单位时间内控制体中流体动量矩的变化量,
在稳定流动中该项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量 。 为各外力或动量的作用点到矩心的距离,即 向径 。
如果将式 (3-48)具体应用到图 3-27所 示的流管上,可以得到稳定流的动量矩方程为
(3-49)
或写成 (3-50)
式中 Fτ,u1τ和 u2τ分别为外力 F及流速 u1和 u2在以 r,r1和 r2为半径的圆周上的切向分量 。
V Vru d
A n Auru d
r?
)(
)(
1122
1122
ruruQrFM
ruruQrFM
第十节 动量方程和动量矩方程在应用动量方程时应当注意下列事项：
1.建立坐标系 。 按坐标系的方向确定速度与外力的各分量的正负号,与坐标方向相同者取正号,反之取负号 。
2.正确选择控制体 。 流体流入与流出的截面应选在流线为平行直线的地段上,流经控制体的固体表面应是控制空间的一部分控制面 。
3.所有作用在控制体上的外力和通过各控制面的动量变化率在列动量方程时都应计算进去 。 由于在选定的控制体范围内大气压的作用相互抵消,因此压力 p常按相对压力计算 。
4.当所选定的控制体范围不大时,流体所受的重力可以忽略不计 。
第十节 动量方程和动量矩方程另外,前面讨论的是控制体静止不动的动量方程 。 当控制体以匀速 uk相对于固定坐标系 XYZ运动时,仍然属于惯性控制体,因为控制体对于 XYZ并没有加速度 。 在稳定流的条件下,
式 (3-45)对于固结在匀速运动的控制体上的坐标系 xyz同样是适用的,但是式中所有的速度都是指相对于控制体的速度,因此,
动量方程可写成
(3-51)
式 (3-51)可应用于任一惯性控制体 (静止的控制体或以匀速运动的控制体 ),式中注角 xyz,只是为了强调此处速度是相对于控制体的速度 (即相对速度 )。
A d AuuF xyznxyz
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
(三 )
多媒体教学课件李文科 制作第三章 流体动力学基础
第一节 流体流动的起因
第二节 流场的特征及分类
第三节 迹线与流线
第四节 流管、流束、流量和平均流速
第五节 流体的连续性方程
第六节 理想流体的运动微分方程第三章 流体动力学基础
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化
第十节 动量方程和动量矩方程第一节 流体流动的起因内 容 提 要
1,浮力造成的自然流动
2,压差造成的强制流动第一节 流体流动的起因由不同的起因所造成的流体的流动过程具有不同的流动特征 。 造成流体流动的原因可分为两大方面：
一是由浮力造成的,二是由外力或压差造成的 。
根据流体流动的起因不同,可将流体的流动分为自然流动和强制流动 。
1.自然流动,在流体流动的体系内,因各部分流体的温度不同所导致的密度不同而产生的浮力作用所造成的流动,称自然流动 。 在某流体中,当流体的某一部分受热时,则会因温度的升高而使其密度减小,此时,将在周围温度较低,密度较大的流体所产生的浮力作用下产生上浮的流动；反之,则产生下降的流动 。
第一节 流体流动的起因流体的自然流动一般都是和热量的传递过程同时存在的,
流体流动的特征则直接和换热过程有关,流场的特征与换热的温度场相互制约而并存 。 因此,自然流动中的动量交换过程一般来说是较为复杂的 。
2.强制流动,在流动的体系内,流体在外力或压差的作用下所产生的流动称为强制流动 。 如在泵或风机所提供的压力以及在喷射器所提供的喷射力作用下的流体的流动都属于强制流动 。
对于流体流动的分类,除按流体流动的起因分类外,还有其它一些分类方法,如前已提到过的 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动； 以及第一节 流体流动的起因以后我们将要学到的 稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚音速流动和超音速流动 等 。
第二节 流场的特征及分类内 容 提 要
一,流场的概念
二,研究流体运动的方法
三,稳定流场和非稳定流场
四,一维流场、二维流场和三维流场
五,控制体的概念第二节 流场的特征及分类一,流场的概念流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成,流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的 。 例如,室内空气的流动,室外大气的绕流,管道中水,蒸气或煤气的流动等,都是在建筑物的墙壁,管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的 。 因此,流体在流动过程中将连续地占据这些空间 。 我们 把流体流动所占据的全部空间称为 流场 。 流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律 。
二,研究流体运动的方法流体力学中,研究流体运动的方法有两种,拉格朗日法和 欧拉法 。
第二节 流场的特征及分类
1,拉格朗日法拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点运动的总和 。 他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置,
速度,压力及其它流动参量随时间的变化规律,然后把全部质点的运动情况综合起来,得到整个流体的运动 。 拉格朗日法实质上是 利用质点系动力学 来研究连续介质的运动 。
既然拉格朗日法首先描述单个质点沿其轨迹的运动,而流体又是由无数质点组成的,这就需要设法标明所描述的是哪个质点的运动 。 为此,选取在某一初始时刻 τ0各个质点的位置坐标 a,b,c来作为它们的标记 。 不同的质点在 τ0时必然占有各自不同的位置,因此,把 a,b,c作为 变数就能代表所有的第二节 流场的特征及分类流体质点 。 同时,每个流体质点在运动过程中的空间位置都是随时间 τ 在不断变化 。 所以,在直角坐标系中 流体质点的轨迹方程 可表示为
(3-1)
式中 a,b,c和 τ称为拉格朗日变数 。
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazz
cbayy
cbaxx
第二节 流场的特征及分类将式 (3-1)对时间求导,可得到某个 流体质点的速度为
(3-2)
)(
d
d
)(
d
d
)(
d
d
，，，
，，，
，，，
cbazzz
u
cbayyy
u
cbaxxx
u
z
y
x
第二节 流场的特征及分类同理可得到某个 流体质点的加速度为
(3-3)
流体质点的其它流动参量可以类似地表示为 a,b,c和 τ的函数 。 如 p=p(a,b,c,τ)
ρ=ρ(a,b,c,τ)
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazu
a
cbayu
a
cbaxu
a
z
z
y
y
x
x
第二节 流场的特征及分类
2,欧拉法欧拉法是以流体运动的空间作为观察对象,即着眼于整个流场的状态 。 研究某一时刻位于各不同空间点上流体质点的速度,压力,密度及其它流动参量的分布,然后把各个不同时刻的流体运动情况综合起来,从而得到整个流体的运动 。
实质上,欧拉法是研究表征流场内流体流动特征的各物理量的场 ——向量场和标量场 。 如速度场,压力场和密度场等 。
一般情况下,同一时刻不同空间点上流动参量是不同的,
因此,流动参量是空间点的坐标 (x,y,z)的函数,而在不同时刻同一空间点上流动参量也是不同的,因而,流动参量也是时间 τ 的函数 。 如第二节 流场的特征及分类
(3-4)
或
(3-4a)
(3-5)
(3-6)
式 (3-4)至式 (3-6)所 表示的函数式依次代表速度场,压力场和密度场 。 对于流体运动中的其它物理参量也可用同样的函数形式来表示 。
)(
)(
)(
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
zyx
zyxpp
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zz
yy
xx
第二节 流场的特征及分类在欧拉法中,通过流场中某点的流体质点的加速度可表示为：
(3-7)
或
(3-7a)
d
d
d
d
d
d
d
d z
z
uy
y
ux
x
uuua
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
zzzzz
z
yyyyy
y
xxxxx
x
第二节 流场的特征及分类由于在流场中任一流体质点都沿着一定的轨迹运动,可见,
运动的流体质点所经过的空间点的坐标也是随时间变化的,即
x,y,z都是时间 τ
x=x(τ),y=y(τ),z=z(τ) (a)
式 (a)是流体质点的运动轨迹方程 。 将式 (a)对时间 τ求导即得到流体质点沿运动轨迹的三个速度分量为
(b)
将式 (b)代入式 (3-7)和式 (3-7a)得
(3-7b)
zyx u
zuyux
d
d
d
d
d
d,，
z
uu
y
uu
x
uuua
zyx?
第二节 流场的特征及分类
(3-7c)
由式 (3-7b)可知,用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成,第一部分是 由于某一空间点上的流体质点的速度随时间变化而产生的,称为 当地加速度 或 时变加速度,即式
(3-7b,c)中等式 右端的第一项； 第二部分是 由于某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而引起的,称为 迁移加速度 或
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
z
z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
第二节 流场的特征及分类位变加速度,即式 (3-7b)中等式右端的后三项 。 当地加速度与迁移加速度之和称为 总加速度 。
为了加深对当地加速度与迁移加速度的理解,现举例说明这两个加速度的物理意义 。 如图 3-1所示,不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道,截面 2比截面 1小,则截面 2
图 3-1 流体在变截面管道内的流动第二节 流场的特征及分类的速度就要比截面 1的速度大 。 所以当流体质点从 1点流到 2点时,由于截面的收缩引起速度的增加,从而产生了迁移加速度；
如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化 (增加或减少 ),则管中每一点上流体质点的速度将相应发生变化 (增大或减少 ),从而产生了当 地加速度 。
在流体运动过程中,流体质点的其它流动参量的变化率也可写成与式 (3-7b)同样的形式,如
z
u
y
u
x
u
z
p
u
y
p
u
x
p
u
pp
zyx
zyx
d
d
d
d
第二节 流场的特征及分类在圆柱坐标系下,流体质点的加速度计算式为：
(3-8)
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
uu
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
u
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
z
z
zz
r
z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r
2
第二节 流场的特征及分类三,稳定流场和非稳定流场流体质点的流动参量是位置坐标 (x,y,z)和时间 τ 的函数,
一般情况下流体质点的流动参量是随位置坐标和时间而变化的 。
当流场中的流体在流动时,若流体质点的流动参量 (如速度 u和压力 p等 )不随时间 τ而变化,而只是位置坐标 (x,y,z)
的函数,这种流场被称为 稳定流场 。 稳定流场中流体的流动参量,如速度 u和压力 p等表达式可写成
0
0
),,(
),,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类稳定流场内流体的流动称为 稳定流动 。 如 图 3-2(a)所示,
在容器的侧壁开一小孔,液体从小孔向外流出 。 如果设法使容器内的液面高度保持不变 (如连续往容器内注入一定量的液体 )，
那么所观察到的从小孔流出的流股轨迹 也是不变的 。 这说明孔口处的流速以及流股内各空间点上的流速都不随时间而变化,
这种情况下的流动即为稳定流动 。 但是,在流股内不同的位置上的流体质点的运动速度则是不同的 。 就是说,稳定流动时,
流场中各点的流动参量虽然与时间无关,但一般仍是空间坐标的函数 。
如果流场中的流体在流动时,流体质点的流动参量既随时间而变化又随坐标而变化,这种流场则称为 非稳定流场 。
第二节 流场的特征及分类
(a)稳定流 (b)
图 3-2 稳定流动和非稳定流动第二节 流场的特征及分类这时的流动参量是时间 τ和坐标 (x,y,z)的函数,如速度,压力的表达式可写为非稳定流场内流体的流动则称为 非稳定流动 。 如图 3-2(b)，
如果不往容器内补充液体,显然随着流体从小孔向外流 出,容器内液面不断下降 。 这时可观察到,随着时间的增长,从小孔流出的流股的轨迹从初始状态逐渐向下弯曲 。 这说明流股内部各点的流速等各流动参量不仅是坐标的函数,而且随时间在不断地变化 。 这种情况下的流动则为非稳定流动 。
0
0
),,,(
),,,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类非稳定流动是比较多见的 。 但如果我们观察的时间比较长,
其流动参量的变化平均值趋于稳定；或者流体的流动参量随时间的变化非常缓慢,且在较短的时间内研究这种流动时,都可以近似地认为它们是稳定流动或作为稳定流动来处理 。 这样做,
方法比较简便,而且能满足工程上的实际需要 。
第二节 流场的特征及分类四,一维流场,二维流场和三维流场一般地,流体的流动都是在三维空间内进行,流体的流动参量多是三个坐标的函数,这种流场称为 三维流场 。 如自然环境中风或水的流动等都属三维流场内的流动 。 如果流场中流体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数,则它们分别被称为 二维流场 和 一维流场 。 很显然,自变量的数目越少,问题就越简单,因此,在流体力学的研究和实际工程技术中,在可能的条件下应尽量将三维的流场简化为二维流场甚至一维流场予以解决或近似求解 。
例如图 3-3所示一变截面圆管内粘性流体的流动,流体质点的速度既是半径 r的函数,又是沿轴线距离 x的函数,即第二节 流场的特征及分类
u=f(r,x)
显然这种流场为二维流场,但在工程上常将其简化为一维流场来求解 。 其办法就是在每个截面上取速度的平均值,图 3-3中
u在相应截面上的平均值 。 于是有即速度场只是 x的函数,这就是一维流场的问题 。
图 3-3 管内流速分布图
u
)(xfu?
第二节 流场的特征及分类五,控制体的概念所谓 控制体,就是根据所研究问题的需要,在流场中划定的某一个确定的空间区域 。 这个区域的周界称为 控制面 。 控制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的,
但一旦选定之后,则不再随流体的流动及过程的进行而变化 。
同时,控制体的形状和位置相对于所选定的坐标系来说也是固定不变的 。 另外,控制 面可以是实际存在的表面,也可以是设想的表面 。 如图 3-4所示的 1234区域为所选的控制体,它相对于坐标系 xoy是固定的不变的,图中 1-3控制面和 2-4控制面是实际存在的表面,1-2控制面和 3-4控制 面为设想的表面 。
第二节 流场的特征及分类图 3-4 控制体和控制面第三节 迹线与流线内 容 提 要
一,迹线
二,流线
1,流线的概念
2,流线具有的两个特点
3,流线的性质
4,流线的微分方程第三节 迹线与流线为了使整个流场形象化,进而得到不同流场的运动特征,
需要研究同一流体质点在不同时间内或者同一瞬时众多流体质点间流动参量的关系,也就是质点参量的综合特性 。 前者称为迹线研究法,后者称为 流线研究法 。
一,迹线迹线 就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线 。 如在水流中撒入细微的铝粉或镁粉,然后去跟踪某些铝粉或镁粉微粒
(每一铝粉或镁粉微粒可近似表示一个流体质点 ),就可观察到它们的运动轨迹,也就是流体质点的迹线 。 通过迹线可以看出流体质点是作直线运动,还是作曲线运动,以及它们的运动途径在流场中是如何变化的 。
第三节 迹线与流线一般情况下,只有以拉格朗日法表示流体质点的运动时才能作出迹线 。 迹线的特点是,对于每一个质点都有一个运动轨迹,所以迹线是一族曲线,而且迹线只随质点不同而异,
而与时间无关 。 研究流体质点的迹线是拉格朗日法的内容,为了适应欧拉法的特点,还必须引入流线的概念,它也能形象地描绘出流场内的流动形态 。
二,流线流线 是在同一瞬时流场中连续分布的不同位置的质点的流动方向线 。 或者说,流线 是某一瞬时的一条空间曲线,该曲线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相重合 。 亦即 流线上各质点的流速都与流线相切 。
第三节 迹线与流线如图 3-5(a)所示,设在某一瞬时 τ,流场内某一空间点 a处的流体质点速度为 ua,沿 ua方向无穷小距离 b处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 ub,沿 ub方向无穷小距离 c处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 uc,依次类推,在同一瞬时 τ的流场空间内,
有一条经过流体质点 a,b,c,d,e…… 的折线 abcde…… 。 如果把这条折线上相邻点间的距离无限缩短并趋于零,则该折线就成为一条光滑的曲线,如图 3-5(b),这条光滑的曲线就是 τ
瞬时流场中的一根流线 。 我们还可以用简单的实验来显示出流场中的流线形状 。 例如在水流中撒布闪光铝粉或镁粉,在摄影灯光照射下,用快速照相机在极短的曝光时间内拍摄水流的照片,即可得到流线图 。 在照片上可以看出,这第三节 迹线与流线
(a)折线 (b)
图 3-5 流线示意图些流线是由很多闪亮的短线汇聚组成的,这些短线是在短促的曝光时间内,由很多铝粉或镁粉颗粒各自划出的 。 可见流线是客观存在的,它直接显示出流场内的流动形态 。
第三节 迹线与流线流线具有以下两个特点：
(1)流线是在某一瞬时所得到的一条曲线,而不是在一段时间内跟踪流体质点运动所得到的曲线 。
(2)它不是某一流体质点在运动中的轨迹线,而是通过很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速度向量所描绘出的曲线 。
第三节 迹线与流线流线的性质：
(1)在稳定流场中,流线在空间的位置和形状都不随时间而变化 。 在非稳定流场中,流线在空间的位置和形状是随时间而变化的 。
(2)在稳定流场中,流线和迹线相重合 。 在非稳定流场中,流线和迹线不重合 。
(3)流线与流线之间不能相交,同时,流线也不可能有分支,即不可能有横过流线的流体流动 。
(4)流线不能发生突然折转 。
第三节 迹线与流线现用反证法解释第三个性质的结论 。 如图 3-6所示,假定有两条流线 1,2在 A点相交,按流线的定义,在 A点所作出的代表流体质点速度向量的切线应有两条 。 可是在同一瞬时,
一个流体质点只能有一个速度向量,不可能同时有两个不同的速度向量,即一个流体质点在同一瞬时不可能同时向两个方向运动 。 除非 A点的速度为零,是一个驻点；或者 A点的速度无穷大,是一个 奇点 。 图 3-6 假定流线相交图第三节 迹线与流线这样,流线已被分割成了四条,而不再是两条相交的流线 。 所以过 A点只能有一条流线 。 故流线是不可能相交的 。 同时,流线也不可能有分支 (两条流线在某点相切除外 )。
另外,流体被视为连续介质,其中各点的流动参量都是坐标的连续函数 。 如果出现流线急剧折转现象,则必然破坏函数的连续性规律 。 所以只有在平滑曲线形状时才能保证连续流动条件 。 在工程设计中,对于和流体运动有直接关系的物体表面,
如管嘴的入口和风机的叶片等总是尽量作成流线型的,以减少能量损失 。
第三节 迹线与流线流线的微分方程式：
如图 3-7所示,在流线 上 A点处的流体质点的速度为 u,它在 x,y,z坐标轴上的投影分别为 ux,uy,uz,A点处流线上的一微元段长为 ds,其投影分别为 dx,dy,dz。 根据流线的定义,
A点的速度 u必与 A点的切线相重合,于是 有由此得到
(3-9)
式 (3-9)就是直角坐标系下的 流线微分方程式 。
su
u
s
y
u
u
s
x
u
u zyx
d
zd
d
d
d
d,，
第三节 迹线与流线在圆柱坐标系下的流线微分方程式为
(3-10)
图 3-7 流线上速度向量分解
zr u
z
u
r
u
r ddd
第四节 流管、流束、流量和平均流速内 容 提 要
1,流管和流束的概念
2,有效截面的概念
3,均匀流的概念
4,流量的概念及其计算
5,平均流速的概念第四节 流管、流束、流量和平均流速流线只能表示流场中流体质点的流动参量及流场的形态,
但不能表明流过的流体数量 。 为此引入流管和流束的概念 。
如图 3-9所示,在给定的瞬时在流场内任作一条不是流线的封闭曲线 B,通过封闭曲线 B上各点作流线,这些流线所构成的管状表面称之为 流管 。 因为流管是由流线构成的,所以它具有流线的一切特性 。 即流管上各点的流速方向都与流管的表面相切,流体质点不能穿过流管流进或流出 。 流管就象固体管子一样,将流体限制在管内 (或管外 )流动 。 流管内部流动的流体,亦即充满流管的一束流线族,则称为 流束 。 在稳定流场中,流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中,将随时间改变其形状和位置 。
第四节 流管、流束、流量和平均流速图 3-9 流管示意图 图 3-10 有效截面第四节 流管、流束、流量和平均流速在流束中与各流线都相垂直的 横截面称为流束的 有效截面
(或 过流截面 )。 流束中流线互相平行时,其有效截面为平面；
流线不平行时,其有效截面为曲面 。 如图 3-10所示 。
对于不可压缩流体,当流线皆为平行直线时的流动称为 均匀流 ；否则,称为 非均匀流 。 均匀流同一流线上各质点的速度相等,因此,其迁移加速度皆为零 。
有效截面面积为无限小的流束或流管,称为 微元流束 或 微元流管 。 对于微元流束,其有效截面上各点的速度可以认为是相同的 。
单位时间内通过有效截面的流体的数量,称为 流量 。 流体的数量可以用体积,质量或重量来计量,因此 流量又分为 体积第四节 流管、流束、流量和平均流速流量 (米 3/秒 ),质量流量 (千克 /秒 )和 重量流量 (牛顿 /秒 ),并分别用 Q,M和 G来表示 。
在流管内取一微小的有效 截面 dA,在 dA上可以认为流体的各个流动参量各点都相同 (如图 3-9)。 因此,通过有效截面 A
的体积流量 Q,质量流量 M和重量流量 G分别 为
(3-11)
(3-11a)
(3-11b)
式中 u— 有效截面上任意一点的速度,m/s；
ρ ——与速度 u相对应的流体的密度 (kg/m3)。
A dAuM?
A dAuQ
A dAugG?
第四节 流管、流束、流量和平均流速以上计算必须先找出微元流束的速度 u在整个有效截面 A上的分布规律,然后才能积分求解,但其速度分布规律在大部分工程问题中是很难能用解析法来确定的 。 因此,在工程计算中为了方便起见,引入平均流速的概念 。 平均流速是一个假想的流速 。 即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过,
这时通过该有效截面上流体的体积流量仍与各点以真实流速 u
流动时所得到的体积流量相同 。
若以 表示流管有效截面上的平均流速,按其定义可得则
(3-12)
u
A
A
Au
AA
Q
u
AuAuQ
d
1
d
第五节 流体的连续性方程内 容 提 要
一,直角坐标系下的三维连续性方程
二,圆柱坐标系下的三维连续性方程
三,一维稳定管流的连续性方程第五节 流体的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用 。 我们认为流体是连续介质,它在流动时连续地充满整个流场 。 在这个前提下,当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时,可以断定：若在某一定时间内,流出的流体质量和流入的流体质量不相等时,则这封闭曲面内就一定会有流体密度的变化,以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的,则流出的流体质量必然等于流入的流体质量 。 上述结论可以用数学分析表达成微分方程,称为 连续性方程 。
第五节 流体的连续性方程一,直角坐标系下的三维连续性方程在流场中任取一个微元平行六面体作为控制体,其边长分别为 dx,dy,dz(如图 3-11)。 假设微元六面体形心 a的坐标为 (x，
y,z),密度为 ρ(x,y,z,),速度为 。 现在来讨论流体经微元六面体各表面的流动情况 。
首先确定微元体六个面上的有关流动参量 。 由于微元六面体的各个表面都是很小的,故可以认为每个表面上各不同流体质点的流动参量都是相同的 。 因此,六个微元表面上的有关的流动参量可利用泰勒公式展开成以点 a(x,y,z)的有关流动参量来表示 。 现在先讨论 x轴方向上的流动情况,在垂直于 x轴的左侧面上 (b点 )流体的密度和流速 按泰勒级数展开后分别为
u?
第五节 流体的连续性方程图 3-11 微元六面体第五节 流体的连续性方程上两式忽略二阶以上无穷小量,并简化后为
2
2
2
2
2
2
)
2
d
(
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1
)
2
d
(
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1
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2
d
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2
d
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2
d
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2
d
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x
x
x
x
u
x
x
x
x
u
zyxuzy
x
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x
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x
x
x
x
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x
x
x
x
xx
，，，，
，，，，
2
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2
d
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2
d
(
x
x
u
zyxuzy
x
xu
x
x
zyxzy
x
x
x
xx
，，，，
，，，，
第五节 流体的连续性方程应用同样的分析方法,可写出垂直于 x轴的右侧面 上 (c点 )流体的密度和流速表示式,即所以,在单位时间内从左侧微元面 dydz流入微元体的流体质量为同样在单位时间内从右侧微元面 dydz流出微元体的流体质量为单位时间内沿 x轴方向流体质量的变化为
2
d
)()
2
d
(
2
d
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2
d
(
x
x
u
zyxuzy
x
xu
x
x
zyxzy
x
x
x
xx
，，，，
，，，，
zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
第五节 流体的连续性方程同理,在单位时间内沿 y轴和 z轴方向流体质量的变化分别为因此,
(a)
由于流体是作为连续介质来研究的,所以式 (a)所表示的六面体内流体质量的总变化,必然引起六面体内的流体的密度
zyx
x
u
zyx
x
u
x
u
zy
x
x
u
u
x
x
zy
x
x
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ddd
)(
ddd)(
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2
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)(
2
d
(dd)
2
d
)(
2
d
(
zyxzuzyxyu zy ddd)(ddd)( ；
zyx
z
u
y
u
x
u zyx ddd)()()(
第五节 流体的连续性方程的变化 。 在单位时间内,微元六面体内流体因密度变化而引起的质量变化为
(b)
根据流体流动的连续性,式 (a)和式 (b)必然是相等的,即全式通除以 dxdydz,移项后得
(3-13)
或写成
(3-13a)
zyxzyx
z
u
y
u
x
u zyx dddddd])()()([
zyx ddd
0)(
)()(
z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv u
第五节 流体的连续性方程将式 (3-13)中各项展开,合并整理后,可得到连续性微分方程的另一种形式,即
(3-13b)
式 (3-13)就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续性方程,该式具有普遍意义 。
对于可压缩流体的稳定流动,由于,则上式可写为
(3-14)
或 (3-14a)
0)(
d
d?
z
u
y
u
x
u zyx?
0
0)(
)()(
z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv?u
第五节 流体的连续性方程若流体是不可压缩的,则不论是稳定流动或非稳定流动,
其密度 ρ 均为常数,故 式 (3-13)可简化为
(3-15)
或 (3-15a)
式 (3-15)为不可压缩流体的三维连续性方程 。 它对于稳定流动和非稳定流动都适用 。 物理意义是,在单位时间内通过单位体积流体表面流入和流出控制空间的流体体积是相等的 。
对于二维流动的不可压缩流体,式 (3-15)可写为
(3-16)
0?
z
u
y
u
x
u zyx
0?
y
u
x
u yx
0div?u?
第五节 流体的连续性方程二,圆柱坐标系下的三维连续性方程在圆柱坐标系下的流场中,取出一微元六面体 ABCD作为控制体,如图 3-12所示 。 与上述推导方法相似,在忽略高阶无穷小量后,作如下简化推导：
单位时间内经 AB,BC和 CA面流入微元体的流体质量分别为同样,单位时间内经 CD,DA和 BD面流出微元体的流体质量分别为
rru
zru
zru
z dd
dd
ddr
第五节 流体的连续性方程图 3-12 圆柱坐标系下的微元体第五节 流体的连续性方程则单位时间内,微元体中的流体质量改变量为
(a)
同时,在单位时间内由于微元体中流体的密度变化而引起的微
(b)
rrz
z
u
u
zr
u
u
zrrr
r
u
u
z
z
r
r
dd]d
)(
[
dd]d
)(
[
dd)d](d
)(
[
zrzurururu zrr ddd])()()([
zrr ddd
第五节 流体的连续性方程根据质量守恒原理可知,式 (a)必然与式 (b)相等,即上式两边同除以 rdθdrdz,并整理后得
(3-17)
式 (3-17)就是圆柱坐标系下的三维连续性方程 。
对于不可压缩流体,密度 ρ =常数,连续性方程为
(3-18)
zrrzrzurururu zrr dddddd])()()([
0)()()(?
z
u
r
u
r
u
r
u zrr?
0?
z
u
r
u
r
u
r
u zrr
第五节 流体的连续性方程三,一维稳定管流的连续性方程如图 3-13所示,A1,A2为流管的两个有效截面 。 dA1,dA2
为微元流束的有效截面,相应截面上的速度为 u1和 u2,流体的密度为 ρ1和 ρ2。 选取 控制体如图中虚线所示 。 根据质量守恒定律,在稳定流动的条件下,单位时间内流入控制体的质量应等于流出控制体的质量,即控制体内的质量应保持不变,即
(3-19)
式中 A——整个控制体的表面积,即控制面的面积,m2；
un— 控制面上各点的外法向速度,m/s。
根据流管的性质,不可能有流体穿过流管管壁流进流出,
即在流管侧表面上的法向速度 un=0,因此,式 (3-19)可以写成
0dA Au n?
第五节 流体的连续性方程图 3-13 流管内的流动第五节 流体的连续性方程
(3-20)
如果取 ρ1,ū1和 ρ2,ū2分别表示 A1和 A2截面上的平均密度和平均流速,则式 (3-20)可 写为
(3-21)
对于不可压缩流体,ρ 为常数,则有
(3-22)
或
(3-22a)
式 (3-22)是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程 。 它说明管截面上的平均流速与有效截面的面积成反比,即对于同一根流管 (或固体管道 ),在不可压缩流体稳定流动的条件下,管径
1
2
2
1
2211
A
A
u
u
AuAu
222111 AuAu
21 A 222A 111 dd AuAu
第五节 流体的连续性方程大的截面上平均流速小,而管径小的截面上平均流速大 。
应当指出,在推导流体连续性方程的过程中,并没有涉及到作用于流体上的力 。 故上述推导的各连续性方程式对于理想流体和粘性流体都是适用的 。
第六节 理想流体的运动微分方程内 容 提 要
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程
二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程
三,理想流体沿流线的运动微分方程第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用 。 它建立了理想流体的密度,流速,压力和外力之间的关系 。 下面就来讨论理想流体的运动微分方程 。
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程如图 3-15所示,在流动的流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz,平均密度为 ρ的微元平行六面体作为研究对象 。 由于是理想流体,所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的压力,而没有粘性力 。 若微元六面体的形心 A点的坐标为 (x,y,z),速度为 u,速度分量分别为 ux,uy,uz,压力为 p，
则作用在微元体六个表面中心点的压力可按泰勒级数展开后,
并忽略二阶以上无穷小量,表示于图 3-15上 。 例如在垂第六节 理想流体的运动微分方程图 3-15 微元六面体的受力情况第六节 理想流体的运动微分方程直于 x轴的左右两个平面中心点上的压力各等于由于各表面都是微元面积,所以这些压力可以作为各表面上的平均压力 。 另外,假设作用在微元六面体上的单位质量力 f的分量分别为 fx,fy和 fz。 则按牛顿第二定律 ΣF=ma,可以得到 x
轴方向的运动微分方程
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp
,
d
d
ddd
ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(
x
x
u
zyx
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
第六节 理想流体的运动微分方程整理后,得同样可得到 y轴方向和 z轴方向上的运动微分方程 。 于是,理想流体的运动微分方程为
(3-23)
它的向量形式为
(3-24)
d
d1 x
x
u
x
pf?
d
d1
d
d1
d
d1
z
z
y
y
x
x
u
z
p
f
u
y
p
f
u
x
p
f
d
dg r a d1 upf
第六节 理想流体的运动微分方程若以当地加速度和迁移加速度表示方程组 (3-23)各式右边的加速度,便得到
(3-25)
理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程,它对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的 。 当流体处于平衡状态时,ux=uy=uz=0,该运动微分方程成为欧拉平衡微分方程 。
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
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u
u
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p
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z
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z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
1
1
1
第六节 理想流体的运动微分方程二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程在圆柱坐标系下的形式,可用上述同样的办法导出,这里不再详细推导,只给出推导结果：
(3-26)
式 (3-26)就是圆柱坐标系下的理想流体运动微分方程,或称为欧拉运动微分方程 。 它的应用条件同式 (3-25)。
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
z
p
f
r
uu
z
u
u
r
u
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r
u
u
u
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p
f
z
z
zz
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z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r
1
1
1
2
第六节 理想流体的运动微分方程三,理想流体沿流线的运动微分方程如图 3-16所示,在理想流体的流场中,在流线方向上取出一长为 ds,端面积为 dA的柱形微元流体 。 根据流线的定义,
速度向量必定与流线相切,因此给出速度场为,
设柱形微元流体的平均密度为 ρ,中心处的压力为 p,上,下游两端面上的压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上无穷小量为 和,方向垂直于两端面 。 由于是理想流体,没有粘性力,所以柱形微元流体侧面上的表面力只有压力,都垂直于轴线,它们在流线方向上的分量为零 。 又设
),(?suu
2
d
2
d s
s
pps
s
pp
第六节 理想流体的运动微分方程图 3-16 流体微团受力分析第六节 理想流体的运动微分方程微元柱形流体所受的质量力只有重力,方向垂直向下,大小为
ρgdAds。 微元柱形流体运动所产生的切向加速度为 as,其受力情况见图 3-16。 根据牛顿第二定律,ΣFs=mas,有式中 θ 为流线切线与铅直轴的夹角 。
上式化简后并用 ρdAds去除,得
(a)
由于 (b)
(c)
ssaAsAgA
s
s
ppAs
s
pp ddc o sddd)
2
d(d)
2
d(
s
u
u
us
s
uuu
a
s
z
s
z
ag
s
p
s
s
d
d
d
d
c o slim
0c o s
1
0s
第六节 理想流体的运动微分方程将式 (b),(c)代入式 (a),得
(3-27)
这就是理想流体沿流线流动的运动微分方程,或称欧拉运动微分方程 。 它适用于理想流体在重力作用下沿流线方向流动的情况,并且对于可压缩流体和不可压缩流体的非稳定流动也都适用 。 同时,它表达了某一瞬时沿任意一根流线流体质点的压力,密度,速度和位移之间的微分关系 。
在稳定流动的条件下,,同时 p,z,u只是距离 s的函数,可将偏导数改写为全导数,从而得到理想流体沿流线稳
01 suuuszgsp
0u
第六节 理想流体的运动微分方程定流动的运动微分方程为
(3-28)
如果流体只是在水平面内流动,
(3-29)
0ddd uuzgp
0dd uup
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用内 容 提 要
1,伯努利方程的形式
2,伯努利方程的物理意义
3,伯努利方程的应用条件
4,使用伯努利方程时应注意的问题第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用前面已经推导出理想流体在重力作用下沿流线稳定流动的欧拉运动微分方程
(3-28)
对上式沿流线积分,得到
(3-30)
对于可压缩流体,必须根据状态方程等,找出压力 p与密度 ρ
之间的函数关系,上式第一项才能积分 。 对于不可压缩流体,
ρ 为常数,于是得到
Cuzgp
2
d 2
0ddd uuzgp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-31)
式 (3-31)就是著名的伯努利方程,它是单位质量流体的机械能守恒方程,所以也称 能量方程 。 它是由伯努利于 1738年首先提出的 。 伯努利方程在工程实际中得到广泛的应用 。
根据伯努利方程的推导过程,我们可以得到其 应用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线稳定流动的情况 。 在应用伯努利方程式 (3-31)时必须满足这些条件 。
Cuzgp
2
2
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用对于单位重量流体,式 (3-31)可写成
(3-31a)
对于单位体积流体,式 (3-31)还可写成
(3-31b)
式 (3-31a)多用于液体的流动情况,式 (3-31b)多用于气体的流动情况 。
1
2
2
C
g
uzp
2
2
2
C
g
uzp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用下面我们进一步讨论伯努利方程的 物理意义 。
伯努利方程的能量意义：
p/γ 表示单位重量流体所具有的压力能,称为 比压力能,
单位为 焦耳 /牛顿 。
z表示单位重量流体所具有的位能,称为 比位能,单位为焦耳 /牛顿 。
u2/2g表示单位重量流体所具有的动能,称为 比动能,单位为 焦耳 /牛顿 。
另外,单位重量流体所具有的压力能和位能之和 (p/γ +z)
称为单位重量流体的 总势能 ；
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用同样,单位重量流体所具有的压力能,位能和动能之和
(p/γ+z+u2/2g)称为单位重量流体的 总机械能 。
式 (3-31a)表明,理想的不可压缩流体在重力作用下沿流线稳定流动时,其单位重量流体的压力能,位能和动能之和保持常数,即 机械能是守恒的,并且 它们之间可以互相转换 。
但是沿不同的流线其积分常数值一般不同 。
式 (3-31)和式 (3-31b)中各项分别表示单位质量流体和单位体积流体所具有的压力能,位能和动能,也分别称为比压力能,比位能和比动能,单位分别为焦耳 /千克和焦耳 /米 3。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的几何意义：
p/γ ——表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称为压力高度,或称为压力压头和静压头,单位为米 ；
z——为流体质点相对于基准面的高度,称为位置高度,或称为几何压头和位压头,单位为米 ；
u2/2g——表示在没有阻力的情况下,具有速度 u的流体质点沿铅直方向向上自由喷射所能达到的高度,称为速度压头或动压头,单位为米 。
伯努利方程式 (3-31a)中,静压头和位压头之和称为 测压管压头 ；静压头,位压头和动压头三者之和称为 总压头 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用分别用 Hc和 Hz表示 。
即由于伯努利方程式 (3-31a)中各项都表示一高度,所以可用几何图形来表示它们之间的关系,如图 3-17所示 。 设以管中心线上的这根流线作为分析对象,连接中心线上各点 z的线叫做几何压头线 或 位压头线 ；连接 p/γ各顶点而成的线叫做 测压管压头线,它表示流线上各点 (p/γ+z)的变化 情况 。 就理想的不可压缩流体而言,由于没有能量损失,沿流线各点的总压头不
g
u
z
p
H
z
p
H
z
c
2
2
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用图 3-17 沿流线的各压头线第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用变,即 总压头线是一条水平线 。 但是在这根流线上各点的 p/γ、
z和 u2/2g之间是可以相互转换的 。
另外,伯努利方程是由欧拉运动微分方程积分得来的,所以它除了具有能量意义和几何意义外,还具有力学意义 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的力学意义：
p为单位面积上流体受到的压力,称为 静压,牛顿 /米 2；
γz为单位面积上,z高度的流体柱所具有的重力,称为 位压,牛顿 /米 2；
(u2/2g)γ相当于流体对单位面积上所作用的惯性冲击力,
称为 动压,牛顿 /米 2。
流场中某点处流体的静压与动压之和称为 总压 或 全压,牛顿 /米 2。
如果流体只在水平方向上流动,或者流场中坐标 z的变化与其它流动参量相比可以忽略不计时,则式 (3-31)可写为第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-32)
式 (3-32)表明,沿流线压力越低,则流速越高 。 对于液体而言,
当压力降低到汽化压力以下时,液体汽化生成气泡,称为空泡现象,这时伯努利方程不再适用 。
当伯努利方程应用于同一根流线上的不同两点时,式 (3-31)
至式 (3-31b)可分别 写成
(3-33)
(3-33a)
Cup
2
2
g
u
z
p
g
u
z
p
u
zg
pu
zg
p
22
22
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-33b)
式中 p1,z1,u1和 p2,z2,u2分别为同一根流线上 1,2两点处流体质点的参量 。
应当指出,对于液体来说,由于 在流动过程中受大气浮力的影响甚小,可以忽略不计,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 p1和 p2可以用绝对压力,也可以用相对压力,而不必考虑大气浮力的影响 。 对于气体来说,特别是热气体,由于在流动过程中受大气浮力的影响很大,比位能也将产生很大的变化,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 只能用绝对压力 (对于在同一水平面内的流线除外 )。
g
uzp
g
uzp
22
2
2
22
2
1
11
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程内 容 提 要
1,非稳定流动的伯努利方程
2,非稳定流动伯努利方程的应用条件第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程前面我们推导的理想流体沿流线非稳定流动的运动微分方程式 (3-27)为
(3-27)
对于不可压缩流体,ρ =常数,上式可以写成一般来说,是流线上位置坐标 s的函数 。 令时间保持不变,
沿流线积分上式,可得现设 1,2是流线上的两点,则有
u
01?
s
uuu
s
zg
s
p
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2
(
2
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2
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
(3-34)
式 (3-34)就是不可压缩理想流体在重力作用下沿流线非稳定流动的伯努利方程 。 该方程的 使用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线非稳定流动的情况 。
s
uu
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pu
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p
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2
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2
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0
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1
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化内 容 提 要
1,弯曲流线主法线方向上的运动微分方程
2,弯曲流线主法线方向上流体速度的变化规律
3,弯曲流线主法线方向上流体压力的变化规律
4,弯曲河道主法线方向上流体液位的变化规律第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化现在我们来讨论垂直于流线的主法线方向上的速度和压力的变化规律 。 参看图 3-24,在流线 BB'上 M点处取一柱形微元流体,柱轴与流线上 M点处的主法线相重合,柱形微元体的两个端面与柱轴相垂直,端面面积为 dA,柱体长为 dr,M点的曲率半径为 r。 设 M点处的流体压力为 p,流速为 u,柱形流体微团 (微元体 )的平均密度为 ρ,所受的质量力只有重力 。 则微元体在流线主法线方向所受到的力为,两端面上的总压力分别为重力在主法线方向的分量为 ρgdrdAcosθ,微元体侧面上的压力在主法线方向的分量为零,对于理想流体无粘性力 。 微元
ArrppArrpp d)2d(d)2d(,
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-24 流体微团受力分析第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化体在 M点主法线方向的加速度 ar(即法向加速度 )为 -u2/r。 根据牛顿第二定律 ΣFr=mar,有将上式进行简化整理,并注意到 cosθ=,得
(3-35)
式 (3-35)为理想流体沿流线稳定流动时主法线方向的运动微分方程 。
r
u
Ar
ArgA
r
r
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p
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p 21?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化对于不可压缩流体,ρ 为常数,式 (3-35)可 写成
(3-36)
另外,在流场中各条流线的伯努利常数 (p/ρ+gz+u2/2=C)都具有同一数值的条件下,伯努利常数 C沿 r方向不变,因此它对
r的导数等于零,即或
(3-37)
比较式 (3-36)和式 (3-37),得
r
u
uzg
p
r
u
zg
p
r
)(
0)
2
(
2
r
uzgp
r
2
)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化或积分后的 (3-38)
式中 C是沿径向的积分常数,一般来讲它是沿流线方向不同位置坐标 s的函数 。 由此可见,在弯曲流线的主法线方向上,流体的速度随曲率半径的增大而减小 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的流速高,而外侧的流速低,如图 3-25所示 。
对于流体在同一水平面内流动的情况 (z=0),也可以得到同样的结论 。
0)(
2
ururru
r
u
u
r
u
Cru?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-25 弯曲流道中压力和速度分布图第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化下面讨论沿流线主法线方向上压力的变化规律 。
由式 (3-36) 可看出,等式右端 永远为正值,所以 也永为正值 。 这意味着随曲率半径 r的增大,也增大 。 如果流线都位于同一水平面内 (即在水平面内流动 ),或者重力变化的影响可以忽略不计时,
式 (3-36)可 写为
(3-39)
)( zgp
r
r
uzgp
r
2
)(
r
u2
)( zgp
0
2
r
u
r
p?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化由此可见,在弯曲 流线主法线方向上压力 p随曲率半径 r的增大而增加 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的压力小,而外侧的压力大 (如图 3-25所示 )。 沿流线主法线方向压力和速度的分布规律常用来分析工业上的旋风除尘器,旋风分离器以及燃烧装置上的旋风室等装置内的流动情况 。
同样,对于明渠流动,压力 p为 大气压保持不变,则式 (3-
36)可写 成
(3-40)
这说明,在弯曲河道的外侧的水位将高于河道内侧的水位 。
对于直线流动,即 r→∞,由式 (3-36)得到
(3-41)
0
2
gr
u
r
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Czgpzgp
r
或0)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-26 直线流动中垂直于流线方向上的压力分布第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化设 1和 2是流线的某一垂直线上的任意两点 (图 3-26),则有
(3-41a)
式 (3-41)说明,在直线流动的条件下,沿垂直于流线的方向上的压力分布服从于静力学基本方程式 。
在直流流动中,如果不计重力的影响,则在式 (3-39)中令
r→∞,得它表明,当流线为直线且忽略重力的影响时 (即在同一水平面内的直线流动 ),沿流线法线方向上 的压力梯度为零,即没有压力变化 。
2
2
1
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0rp
第十节 动量方程和动量矩方程内 容 提 要
一,动量方程
二,动量矩方程第十节 动量方程和动量矩方程一,动量方程前面我们讨论了连续性方程,欧拉运动方程和伯努利方程 。
这些方程可以用来解决许多实际问题,如确定管道截面积,计算流体的流速,流量和压力分布等 。 而在本节中将要讨论的动量方程则特别适合于求解某些流体与流体间或流体与固体间有相互作用力的问题 。
流体的动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体应用 。
在物理学中,动量守恒定律有两种不同的表述方式 。 第一种表述方式是,物体动量的变化量等于该物体所受到的外力的总冲量 。
(3-42))(dd umF
第十节 动量方程和动量矩方程另一种表述方式是,物体动量对时间的变化率等于作用在该物体上的外力之和 。 即
(3-43)
流体的动量方程就是动量守恒定律第二种表述方式的具体形式 。
就是说,将式 (3-43)具体应用于讨论问题所取的控制体的流体上,便可得到流体的动量方程,即
(3-44)
式中 为控制体内流体的动量； 为作用在控制体内
V V A n AuuVuVuF dddd d
d
)(d umF
F
V Vu d
第十节 动量方程和动量矩方程流体上的外力之和 。 为控制体内流体的动量随时间的变化率,在稳定流动的条件下这一项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量的变化量 。 速度
un为控制面外法线方向上流体质点的速度 。 V为控制体的体积,
A为控制面的面积 。 在稳定流动的条件下,式 (3-44)可写为
(3-45)
其投影形式为
(3-45a)
A n Vuu d
A
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A
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A
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AuuF
AuuF
AuuF
AuuF
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V Vu d
第十节 动量方程和动量矩方程式 (3-45)和 (3-45a)就是稳定流动流体的动量方程 。
如图 3-27所示,我们取一根流管,并取流管的管壁和有效截面为控制面 。 设有效截面上流体的流速为均匀分布,ΣF是作用在控制体上的外力的总和,根据式 (3-45a)有
(3-46)
根据连续性方程可把式 (3-46)改写为
11112222
11112222
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znznz
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uuAuuAF
uuAuuAF
QuAuA nn 111222
第十节 动量方程和动量矩方程图 3-27 流管内的控制体第十节 动量方程和动量矩方程
(4-46a)
稳定流动的动量方程的特点是,在计算过程中只涉及控制面上的流动参量,而不必考虑控制体内部的流动状态 。 因此它也可用于控制体内存在参量间断面的情况 。 其次,它不同于连续性方程和伯努利方程,动量方程是一个向量方程,应用投影方程比较方便 。 使用时应 注意 适当地选择控制面,完整地表达出作用在控制体和控制面上的外力,注意流动方向和投影的正负等 。
)(
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uuQF
uuQF
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第十节 动量方程和动量矩方程应当指出,实际流体在管道内流动时,其管截面上的速度分布是不均匀的,并且一般情况下截面上的速度分布规律很难确定 。 所以 工程上常用截面平均流速来计算流体的动量 。 但是用平均流速计算出的流体的动量比实际流体的实际动量为小,需要加以修正,即若截面上流体的密度 ρ 均匀分布,则
(3-47)
式中 β ——动量修正系数,它是单位时间内通过有效截面的实
AA Au
u
AAu
Au
d)(1
d
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2
2
AuAu 2A 2 d
第十节 动量方程和动量矩方程际动量与 按截面平均流速计算的流体动量的比值,它的大小取决于截面上流速分布的均匀程度 。 在工业管道和明渠流动中,
β的实验值一般为 1.02～ 1.05,因此,工程计算常取 β=1。 引用截面平均流速并取 β=1,式 (3-46a)对于实际流体的流动情况 仍然适用,只需要将相应的流速改用平均流速即可 。
第十节 动量方程和动量矩方程二,动量矩方程流体的动量矩方程是动量矩守恒定律在流体力学中的具体应用 。 对于某一控制体来说,动量矩守恒定律可表述为,作用在控制体上的外力矩之和等于单位时间内控制体中流体动量矩的变化量与单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量之和 。 其数学表达式为
(3-48)
式中 为作用在控制体上的外力矩之和 。
V A
n
V
AuruVru
VrurFM
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d
rFM
第十节 动量方程和动量矩方程为单位时间内控制体中流体动量矩的变化量,
在稳定流动中该项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量 。 为各外力或动量的作用点到矩心的距离,即 向径 。
如果将式 (3-48)具体应用到图 3-27所 示的流管上,可以得到稳定流的动量矩方程为
(3-49)
或写成 (3-50)
式中 Fτ,u1τ和 u2τ分别为外力 F及流速 u1和 u2在以 r,r1和 r2为半径的圆周上的切向分量 。
V Vru d
A n Auru d
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)(
1122
1122
ruruQrFM
ruruQrFM
第十节 动量方程和动量矩方程在应用动量方程时应当注意下列事项：
1.建立坐标系 。 按坐标系的方向确定速度与外力的各分量的正负号,与坐标方向相同者取正号,反之取负号 。
2.正确选择控制体 。 流体流入与流出的截面应选在流线为平行直线的地段上,流经控制体的固体表面应是控制空间的一部分控制面 。
3.所有作用在控制体上的外力和通过各控制面的动量变化率在列动量方程时都应计算进去 。 由于在选定的控制体范围内大气压的作用相互抵消,因此压力 p常按相对压力计算 。
4.当所选定的控制体范围不大时,流体所受的重力可以忽略不计 。
第十节 动量方程和动量矩方程另外,前面讨论的是控制体静止不动的动量方程 。 当控制体以匀速 uk相对于固定坐标系 XYZ运动时,仍然属于惯性控制体,因为控制体对于 XYZ并没有加速度 。 在稳定流的条件下,
式 (3-45)对于固结在匀速运动的控制体上的坐标系 xyz同样是适用的,但是式中所有的速度都是指相对于控制体的速度,因此,
动量方程可写成
(3-51)
式 (3-51)可应用于任一惯性控制体 (静止的控制体或以匀速运动的控制体 ),式中注角 xyz,只是为了强调此处速度是相对于控制体的速度 (即相对速度 )。
A d AuuF xyznxyz
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论
