第一章 事件与概率郑 永 冰数 学 与 数 量 经 济 学 院引言 概率论发展简介概率论产生于十七世纪。费马、帕斯卡和惠更斯是概率论的早期创立者。
赌徒问题。
费马（ 1601---1665）
法国人，律师，业余数学家。对于数论、
解析几何、概率论三方面都有重要贡献。
他是解析几何的创立者之一，数论上有著名的费马定理。
帕斯卡（ 1623---
1662）法国数学家
。在影射几何、概率论、流体力学中都有很著名的工作
。 16岁发现“帕斯卡六边形定理”，
23岁推测大气压力的存在,25岁放弃科学研究，献身于宗教。
惠更斯（
1629---1695）
荷兰天文学家
、物理学家、
数学家。
十七、十八世纪之交,Jacob Bernoulli在巨著
,猜度术,中给出了大数定律的最早形式。
Jacob Bernoulli（ 1654-
--1705）瑞士数学家族的第二代成员。由他开始，极坐标得到系统的应用。提出悬链线问题
，深入研究了双纽线与对数螺线。,猜度术,
更是概率论发展史上的一座里程碑。
Jacob Bernoulli之后，棣莫佛对概率论的发展作了巨大推进，给出了中心极限定理的特殊情形。
De Moivre(1667---
1754) 法国数学家，大部分时间在伦敦度过。
三角学上有著名的棣莫佛定理。
18世纪，英国的辛普生（ 1710---1761）和法国的蒲丰（ 1707---1788）也做了重要工作。
Buffon，他于 1760
年完成著作,或然算术试验,,导入
“蒲丰投针问题”
。
19世纪初拉普拉斯的工作。
,分析概率论,
,概率的哲学探讨,
统计规律性：
0000 02.5149
2516.51
43
22
拉普拉斯 (1749---
1827) 法国大数学家,主要著作有
,分析概率论,,
,天体力学,,
,宇宙体系论,
等。
19世纪概率论领域的代表性工作：
高斯,奠定了最小二乘法的基础。
泊松,推广了大数定律，引入了泊松分布。
切比雪夫,开始方法论方面的转折，最早意识到随机变量的概念和数学期望概念的全部意义
，并使用这些概念。大数定律的创立者之一。
马尔可夫,导入了马尔可夫链。
李雅普诺夫,最先用特征函数方法证明中心极限定理泊松（ 1781---1840）高斯（ 1777---1855）
切比雪夫（ 1821---1894） 马尔可夫（ 1856---1922）
李雅普诺夫（ A,M,
Lyapunov） (1857—
1918)，俄国数学家。
主要工作在微分方程、
概率论及力学方面。他创立的稳定性理论指导了近半个世纪以来的控制系统稳定性的研究。
20世纪 30年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以测度论为基础，建立了概率论的公理体系。
柯尔莫戈洛夫 （ 1903-
--1987）莫斯科学派的代表人物之一，在三角级数
、测度论、集论、积分论逻辑、微分方程、概率论等方面均有重要贡献，并在二次大战中做了许多开创性工作，如提出了空间的“熵”概念等。
一 随机试验
自然界中，有些现象，对它观察时，可能出现这种结果，也可能出现那种结果，这样的现象，叫随机现象。
概率论是研究随机现象的数量规律的一门学科。
随机现象的观测或测量，叫随机试验，
简称试验。用 E表示。
随机试验可表为 E
E5,记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；
E1,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面 ;E2,抛两枚硬币，考虑按次序可能出现的结果；
E3,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数 i;
E4,掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；
E6,对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果 ;
E7,在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
试验具有三个特点：
1、试验可以在相同条件下重复进行；
2、每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；
3、每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果。
二,样本空间与随机事件对应 E5的 样本空间为?={0,1,2,… }；
正? 反?
},,,{ 11100100
例如对应 E2的 样本空间为
试验 E的所有可能的最基本结果构成的集合称为
E的样本空间，用 Ω表示。 Ω中的元素即 E的每个结果叫做样本点或基本事件，用 ω表示。
对应 E1的 样本空间为?={,}；
A＝,恰有一次出现正面,
例如 对于试验 E2
B＝,至少至少有一次出现正面,
则 },{
1001A },,{ 100100B
任何事件均是某些样本点组成的集合,
随机事件可能发生,也可能不发生 。
当且仅当 A中某一样品点出现时,称为 A出现 。
两个特殊事件：
每次试验一定发生的事情称为必然事件，用
Ω表示；
每次试验一定不发生的事情称为不可能事件，
用 Φ表示；
一,事件的关系
称为事件 B包含事件 A（ 或事件 A包含于事件 B） 。
含义,A发生必导致 B发生 。
A
B
Ω
。相等，记为与
，则称，若
BAB
AABBA
，,BA?1
一,事件的关系
含义：事件 A,B至少发生一个 。
A B
Ω
推广：
至少发生一个。
，表示事件 n
n
i
i AAA,,1
1
至少发生一个。
，表示可列个事件
21
1
,AA
A
i
i
的并。与称为,BABA,2?
一,事件的关系称为 A与 B的交 。
含义,A与 B同时发生 。
推广：
同时发生。
，表示事件 n
n
i
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1
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，表示可列个事件
21
1
,AA
A
i
i
3、
.ABBA 或?
A B
Ω
一,事件的关系
含义,A与 B不可能同时发生 。
，＝、若?AB4
A B
Ω
则称 A与 B互不相容,或互斥 。
A
Ω
一,事件的关系
含义：在每一次试验中,A,B必有一个出现,
但不能同时出现 。
.
.
AAAA
AAAA
，且
，则的对立事件为记则称 A与 B互相对立,或互逆 。
，，＝、若 ABBA5
A
发生。不发生意味着即,AA
“A,B至少出现一个,
.ABBABABA
一,事件的关系含义,A发生且 B不发生 。
.BAABABA
易见称为 A与 B的差 。，,BA?6
A B
Ω
二,事件的运算设,A,B,C为三事件,则有
.1 BAABABBA,、交换律：
.)()(;)()(2
CABBCA
CBACBA
、结合律：
.)(
);)(()(3
ACABCBA
CABABCA
、分配律：
.·4 BAABBABA,摩根定律：、德
！注意：
，推广：
BABA
AAAA
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
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.
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赌徒问题。
费马（ 1601---1665）
法国人，律师，业余数学家。对于数论、
解析几何、概率论三方面都有重要贡献。
他是解析几何的创立者之一，数论上有著名的费马定理。
帕斯卡（ 1623---
1662）法国数学家
。在影射几何、概率论、流体力学中都有很著名的工作
。 16岁发现“帕斯卡六边形定理”，
23岁推测大气压力的存在,25岁放弃科学研究，献身于宗教。
惠更斯（
1629---1695）
荷兰天文学家
、物理学家、
数学家。
十七、十八世纪之交,Jacob Bernoulli在巨著
,猜度术,中给出了大数定律的最早形式。
Jacob Bernoulli（ 1654-
--1705）瑞士数学家族的第二代成员。由他开始，极坐标得到系统的应用。提出悬链线问题
，深入研究了双纽线与对数螺线。,猜度术,
更是概率论发展史上的一座里程碑。
Jacob Bernoulli之后，棣莫佛对概率论的发展作了巨大推进，给出了中心极限定理的特殊情形。
De Moivre(1667---
1754) 法国数学家，大部分时间在伦敦度过。
三角学上有著名的棣莫佛定理。
18世纪，英国的辛普生（ 1710---1761）和法国的蒲丰（ 1707---1788）也做了重要工作。
Buffon，他于 1760
年完成著作,或然算术试验,,导入
“蒲丰投针问题”
。
19世纪初拉普拉斯的工作。
,分析概率论,
,概率的哲学探讨,
统计规律性：
0000 02.5149
2516.51
43
22
拉普拉斯 (1749---
1827) 法国大数学家,主要著作有
,分析概率论,,
,天体力学,,
,宇宙体系论,
等。
19世纪概率论领域的代表性工作：
高斯,奠定了最小二乘法的基础。
泊松,推广了大数定律，引入了泊松分布。
切比雪夫,开始方法论方面的转折，最早意识到随机变量的概念和数学期望概念的全部意义
，并使用这些概念。大数定律的创立者之一。
马尔可夫,导入了马尔可夫链。
李雅普诺夫,最先用特征函数方法证明中心极限定理泊松（ 1781---1840）高斯（ 1777---1855）
切比雪夫（ 1821---1894） 马尔可夫（ 1856---1922）
李雅普诺夫（ A,M,
Lyapunov） (1857—
1918)，俄国数学家。
主要工作在微分方程、
概率论及力学方面。他创立的稳定性理论指导了近半个世纪以来的控制系统稳定性的研究。
20世纪 30年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以测度论为基础，建立了概率论的公理体系。
柯尔莫戈洛夫 （ 1903-
--1987）莫斯科学派的代表人物之一，在三角级数
、测度论、集论、积分论逻辑、微分方程、概率论等方面均有重要贡献，并在二次大战中做了许多开创性工作，如提出了空间的“熵”概念等。
一 随机试验
自然界中，有些现象，对它观察时，可能出现这种结果，也可能出现那种结果，这样的现象，叫随机现象。
概率论是研究随机现象的数量规律的一门学科。
随机现象的观测或测量，叫随机试验，
简称试验。用 E表示。
随机试验可表为 E
E5,记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；
E1,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面 ;E2,抛两枚硬币，考虑按次序可能出现的结果；
E3,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数 i;
E4,掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；
E6,对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果 ;
E7,在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
试验具有三个特点：
1、试验可以在相同条件下重复进行；
2、每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；
3、每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果。
二,样本空间与随机事件对应 E5的 样本空间为?={0,1,2,… }；
正? 反?
},,,{ 11100100
例如对应 E2的 样本空间为
试验 E的所有可能的最基本结果构成的集合称为
E的样本空间，用 Ω表示。 Ω中的元素即 E的每个结果叫做样本点或基本事件，用 ω表示。
对应 E1的 样本空间为?={,}；
A＝,恰有一次出现正面,
例如 对于试验 E2
B＝,至少至少有一次出现正面,
则 },{
1001A },,{ 100100B
任何事件均是某些样本点组成的集合,
随机事件可能发生,也可能不发生 。
当且仅当 A中某一样品点出现时,称为 A出现 。
两个特殊事件：
每次试验一定发生的事情称为必然事件，用
Ω表示；
每次试验一定不发生的事情称为不可能事件，
用 Φ表示；
一,事件的关系
称为事件 B包含事件 A（ 或事件 A包含于事件 B） 。
含义,A发生必导致 B发生 。
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。相等，记为与
，则称，若
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一,事件的关系
含义：事件 A,B至少发生一个 。
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，表示事件 n
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含义,A与 B同时发生 。
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，表示可列个事件
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.ABBA 或?
A B
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一,事件的关系
含义,A与 B不可能同时发生 。
，＝、若?AB4
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则称 A与 B互不相容,或互斥 。
A
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一,事件的关系
含义：在每一次试验中,A,B必有一个出现,
但不能同时出现 。
.
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，且
，则的对立事件为记则称 A与 B互相对立,或互逆 。
，，＝、若 ABBA5
A
发生。不发生意味着即,AA
“A,B至少出现一个,
.ABBABABA
一,事件的关系含义,A发生且 B不发生 。
.BAABABA
易见称为 A与 B的差 。，,BA?6
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二,事件的运算设,A,B,C为三事件,则有
.1 BAABABBA,、交换律：
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CABBCA
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、结合律：
.)(
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、分配律：
.·4 BAABBABA,摩根定律：、德
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，推广：
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