郑 永 冰数 学 与 数 量 经 济 学 院第二章 随机变量
随机变量的概念
一维离散型随机变量的分布律
离散型随机变量函数的分布律在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，
建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法．然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，
因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便．
本章，我们将引进概率论中的一个重要概念 —
随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律．
本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及计算，最后给出随机变量函数的分布．
2.1 随机变量的概念随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。
T0
H1
＝，
＝，
RX：
实例 做试验抛一枚匀质硬币,其样本空间
＝ {?}＝ {H,T}
可规定随机变量
X＝ X(?)＝
定义 设随机试验 E的样本空间是?,X＝ X(?),是定义在?上的一个单值实函数。若对任意实数 x,样本点?的集合 {?| X(?)?x}＝ {X?x}是一随机事件，则 X(?)称为随机变量，简记为 X,随机变量一般用英文大写字母 X,Y,Z
等表示,也可用希腊字母?,?,?等表示。
奇异型（混合型）
连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类：
随机变量按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两种形式：离散型随机变量和非离散型随机变量，非离散型随机变量中最主要的是连续型随机变量，我们将分别讨论它们的概率分布．
一般地,随机变量 X取值的概率称为该随机变量 X的概率分布,要研究随机变量 X的概率分布,我们就要完成如下两件事：
1,随机变量的取值范围是什么？
2,它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？
2.2 一维离散型随机变量的分布律一、分布律
1,定义 若随机变量 X取值 x1,x2,…,x n,… 且取这些值的概率依次为 p1,p2,…,p n,…,则称 X为离散型随机变量，而称
k
k
ppp
xxxX
21
21~
,2,1}{~ kpxXPX kk
为 X的分布律或概率分布 。
记为
1k
k,1p ＝
.
C
CC}kX{P
3
5
k3
3
k
2
＝＝
2,分布律的性质
(1) pk? 0,k＝ 1,2,… ; (2)
例 1 设袋中有 5只球,其中有 2只白 3只黑 。 现从中任取 3
只球 (不放回 ),求抽得的白球数 X为 k的概率 。
解 k可取值 0,1,2
解 X的所有可能取值为 1,2,3.
例 某射手有 3发子弹,连续向同一目标射击,直到击中目标为止或子弹用尽为止 。 设每次击中目标的概率为 0.8,求耗用子弹数 X的分布律 。
写分布律的原则：
}1{?XP,8.0?
}2{?XP ){( 击中｝第一次未击中而第二次P?
,16.08.02.0
(1)搞清 X的所有可能取值 。
(2)依次求出 X取每个值的概率,使所有概率和为 1。
}3{?XP
三次都未击中｝
次击中或前二次未击中，而第三{P?
.04.02.08.02.0 32X的分布律为
0.040.160.8P
321X
二,几种重要的离散型随机变量的概率分布
.1)(
,)(,
qpAP
pAPAA
，记果若一试验只考虑两个结
pqpk
10X
1,(0-1)分布
.,0
,,1
发生若发生若令
A
A
X
则称 X服从 (0-1)分布 。
利试验或伯努利试验。
重伯努验，称为次，总起来看作一个试独立重复进行将只考虑两个结果设试验
nnE
qpAPpAPAAE,1)(,)(,,
2,二项分布伯努利试验是应用广泛的重要的数学模型 。
,X=k”表示,在 n重伯努利试验中 A恰好发生 k
次,。
设 X表示 n重伯努利试验中 A发生的次数,则 X为随机变量,其所有可能取值为 0,1,2,…,n.
· · · · ·
}{ kXP?,knkkn qpC,,,2,1,0 nk
称 X服从参数为 n,p的二项分布 。 记为 X～ B(n,p).
当 n=1时,
在 n次重复独立试验中 A发生的次数 X～ B(n,p),其中 P=P(A).
这是 (0-1)分布 。
.1,0,}{ 1 kqpkXP kk
即 pqp
k
10X
例如,
抛 n次硬币,出现正面次数 X ～ B(n,0.5).
进行 100次射击,每次击中目标的概率为 0.01,则击中目标次数 X～ B(100,0.01).
恰击中 3次的概率为
}3{?XP,99.001.0 31 0 0331 0 0 C
至少击中一次的概率为
}1{?XP }0{1 XP
n99.01 ).(1 n
“小概率事件迟早会发生,。
从 N件产品,其中有 M件次品中有放回抽取 n次,
每次取一件,则得到的次品数 X
).,( NMnB～
.1}{
knk
k
n N
M
N
MCkXP?
有 200台同类型仪器在独立地工作,每台仪器出故障的概率都是 0.3,则同一时刻正常工作的仪器数
～X ).(B,200 7.0
3,超几何分布设一批产品共 N件,其中有 M件次品 。 从中任取 n
件产品,则得到的次品数 X为随机变量 。
,}{ n
N
kn
MN
k
M
C
CCkXP
),m i n (),0m a x ( mnkNMn
称 X服从超几何分布 。
kNMnMnk
MNknnkMk
),,m i n (
,,
).,(
N
M
nB
X 服从二项分布的次品数若有放回抽取，则取出若不放回抽取或一块取,则取出的次品数 X服从超几何分布 。
N
件正品件次品
MN
M
件n?
但当 N很大时,且 n相对于 N很小时,不放回抽取可以近似认为是有放回抽取 。 次品数 X可认为近似服从二项分布 。
,2,1,0,!e}{
kkkXP
k
4,泊松 (Poisson)分布在实际问题中,我们关心的有些量都近似服从泊松分布：
设 R.V,X的分布律为则称 X服从参数为?的泊松分布 。 记作 X～ P(?).
一段时间内电话交换台收到的呼唤次数；
公共汽车站候车的旅客数；
放射性物质放射的粒子数；
某医院每天前来就诊的病人数 。
.!e)1(lim kppC
k
kn
n
k
n
k
nn
泊松定理：设 npn=?>0为常数,则应用：设 X～ B(n,p),则当 n很大且 p很小时,X近似服从 P(?),其中?=np.
三、常用分布律之间的关系
1,(0－ 1)分布和二项分布的关系
(0－ 1)分布是二项分布 B(n,p)中 n＝ 1时 的特款；
2,几何分布和负二项分布的关系几何分布是负二项分布 NB(r,p)中 r＝ 1时 的特款；
3,超几何分布和二项分布的关系定理 1 设在超几何分布 中,n是一个取定的正整数，而则
k＝ 0,1,2,…,n
pNMlimN ＝＝
,)p1(pC
C
CClim knkk
Nn
N
kn
MN
k
M
N
＝
4,二项分布和泊松分布的关系定理 2 设随机变量 Xn~B(n,pn),(n＝ 0,1,2,…),且
为常数，则
,0nplim nn
,e!k)p1(pClim
k
kn
n
k
n
k
nn
＝
,e!k)p1(pC kknkkn
该定理也称为 泊松定理 。
其中?＝ np,一般的,当 n?10,p?0.1时就可用 泊松分布近似代替二项分布 。
该定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布,当 n很大,p很小时,二项分布就可近似地看成是泊松分布,即另解 (用泊松分布 )
0k,e!k8}kX{PX 8k＝＝～
例 2 某人射击的命中率为 0.02,他独立射击 400次,试求其命中次数不少于 2的概率 。
解 设 X表示 400次独立射击中命中的次数,
故 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ 0.98400－ (400)(0.02)(0.98399)＝ 0.997165.
则 X～ B(400,0.02)，
由于?近似等于 np＝ (400)(0.02)＝ 8,故近似地有
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ 0.996981.
这里用 泊松分布 近似计算的相对误差仅为 0.0185%.
随机变量的概念
一维离散型随机变量的分布律
离散型随机变量函数的分布律在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，
建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法．然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，
因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便．
本章，我们将引进概率论中的一个重要概念 —
随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律．
本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及计算，最后给出随机变量函数的分布．
2.1 随机变量的概念随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。
T0
H1
＝，
＝，
RX：
实例 做试验抛一枚匀质硬币,其样本空间
＝ {?}＝ {H,T}
可规定随机变量
X＝ X(?)＝
定义 设随机试验 E的样本空间是?,X＝ X(?),是定义在?上的一个单值实函数。若对任意实数 x,样本点?的集合 {?| X(?)?x}＝ {X?x}是一随机事件，则 X(?)称为随机变量，简记为 X,随机变量一般用英文大写字母 X,Y,Z
等表示,也可用希腊字母?,?,?等表示。
奇异型（混合型）
连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类：
随机变量按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两种形式：离散型随机变量和非离散型随机变量，非离散型随机变量中最主要的是连续型随机变量，我们将分别讨论它们的概率分布．
一般地,随机变量 X取值的概率称为该随机变量 X的概率分布,要研究随机变量 X的概率分布,我们就要完成如下两件事：
1,随机变量的取值范围是什么？
2,它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？
2.2 一维离散型随机变量的分布律一、分布律
1,定义 若随机变量 X取值 x1,x2,…,x n,… 且取这些值的概率依次为 p1,p2,…,p n,…,则称 X为离散型随机变量，而称
k
k
ppp
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21
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为 X的分布律或概率分布 。
记为
1k
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.
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3
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3
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＝＝
2,分布律的性质
(1) pk? 0,k＝ 1,2,… ; (2)
例 1 设袋中有 5只球,其中有 2只白 3只黑 。 现从中任取 3
只球 (不放回 ),求抽得的白球数 X为 k的概率 。
解 k可取值 0,1,2
解 X的所有可能取值为 1,2,3.
例 某射手有 3发子弹,连续向同一目标射击,直到击中目标为止或子弹用尽为止 。 设每次击中目标的概率为 0.8,求耗用子弹数 X的分布律 。
写分布律的原则：
}1{?XP,8.0?
}2{?XP ){( 击中｝第一次未击中而第二次P?
,16.08.02.0
(1)搞清 X的所有可能取值 。
(2)依次求出 X取每个值的概率,使所有概率和为 1。
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三次都未击中｝
次击中或前二次未击中，而第三{P?
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0.040.160.8P
321X
二,几种重要的离散型随机变量的概率分布
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，记果若一试验只考虑两个结
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1,(0-1)分布
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发生若发生若令
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则称 X服从 (0-1)分布 。
利试验或伯努利试验。
重伯努验，称为次，总起来看作一个试独立重复进行将只考虑两个结果设试验
nnE
qpAPpAPAAE,1)(,)(,,
2,二项分布伯努利试验是应用广泛的重要的数学模型 。
,X=k”表示,在 n重伯努利试验中 A恰好发生 k
次,。
设 X表示 n重伯努利试验中 A发生的次数,则 X为随机变量,其所有可能取值为 0,1,2,…,n.
· · · · ·
}{ kXP?,knkkn qpC,,,2,1,0 nk
称 X服从参数为 n,p的二项分布 。 记为 X～ B(n,p).
当 n=1时,
在 n次重复独立试验中 A发生的次数 X～ B(n,p),其中 P=P(A).
这是 (0-1)分布 。
.1,0,}{ 1 kqpkXP kk
即 pqp
k
10X
例如,
抛 n次硬币,出现正面次数 X ～ B(n,0.5).
进行 100次射击,每次击中目标的概率为 0.01,则击中目标次数 X～ B(100,0.01).
恰击中 3次的概率为
}3{?XP,99.001.0 31 0 0331 0 0 C
至少击中一次的概率为
}1{?XP }0{1 XP
n99.01 ).(1 n
“小概率事件迟早会发生,。
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每次取一件,则得到的次品数 X
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n N
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有 200台同类型仪器在独立地工作,每台仪器出故障的概率都是 0.3,则同一时刻正常工作的仪器数
～X ).(B,200 7.0
3,超几何分布设一批产品共 N件,其中有 M件次品 。 从中任取 n
件产品,则得到的次品数 X为随机变量 。
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称 X服从超几何分布 。
kNMnMnk
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X 服从二项分布的次品数若有放回抽取，则取出若不放回抽取或一块取,则取出的次品数 X服从超几何分布 。
N
件正品件次品
MN
M
件n?
但当 N很大时,且 n相对于 N很小时,不放回抽取可以近似认为是有放回抽取 。 次品数 X可认为近似服从二项分布 。
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k
4,泊松 (Poisson)分布在实际问题中,我们关心的有些量都近似服从泊松分布：
设 R.V,X的分布律为则称 X服从参数为?的泊松分布 。 记作 X～ P(?).
一段时间内电话交换台收到的呼唤次数；
公共汽车站候车的旅客数；
放射性物质放射的粒子数；
某医院每天前来就诊的病人数 。
.!e)1(lim kppC
k
kn
n
k
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泊松定理：设 npn=?>0为常数,则应用：设 X～ B(n,p),则当 n很大且 p很小时,X近似服从 P(?),其中?=np.
三、常用分布律之间的关系
1,(0－ 1)分布和二项分布的关系
(0－ 1)分布是二项分布 B(n,p)中 n＝ 1时 的特款；
2,几何分布和负二项分布的关系几何分布是负二项分布 NB(r,p)中 r＝ 1时 的特款；
3,超几何分布和二项分布的关系定理 1 设在超几何分布 中,n是一个取定的正整数，而则
k＝ 0,1,2,…,n
pNMlimN ＝＝
,)p1(pC
C
CClim knkk
Nn
N
kn
MN
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M
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4,二项分布和泊松分布的关系定理 2 设随机变量 Xn~B(n,pn),(n＝ 0,1,2,…),且
为常数，则
,0nplim nn
,e!k)p1(pClim
k
kn
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,e!k)p1(pC kknkkn
该定理也称为 泊松定理 。
其中?＝ np,一般的,当 n?10,p?0.1时就可用 泊松分布近似代替二项分布 。
该定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布,当 n很大,p很小时,二项分布就可近似地看成是泊松分布,即另解 (用泊松分布 )
0k,e!k8}kX{PX 8k＝＝～
例 2 某人射击的命中率为 0.02,他独立射击 400次,试求其命中次数不少于 2的概率 。
解 设 X表示 400次独立射击中命中的次数,
故 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ 0.98400－ (400)(0.02)(0.98399)＝ 0.997165.
则 X～ B(400,0.02)，
由于?近似等于 np＝ (400)(0.02)＝ 8,故近似地有
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ 0.996981.
这里用 泊松分布 近似计算的相对误差仅为 0.0185%.
