郑 永 冰数 学 与 数 量 经 济 学 院
2.2 随机变量的分布函数一,分布函数的概念定义 对任意实数 x,称
F(x)=P{X≤x}
为 R.V,X的分布函数 。
F(x)为普通函数 。
F(x)表示 R.V,X落在 x点及其左方的概率 。
O
X
xx
)(xF
)(xF
.21 xx
}{}{}{ 1221 xXPxXPxXxP
)()( 12 xFxF
分布函数的基本性质：
O
X
xx
)(xF
)(xF;1)(0)1( xF;)()()()2( 2121 为单调不减函数，即 xFxFxFxx;1)(lim)(
0)(lim)()3(
xFF
xFF
x
x
).()0()()4( xFxFxF右连续，即设 R.V,X的分布函数为 F(x),则
),(}{ aFaXP
),()(}{ aFbFbXaP
处 的 跳 跃 。在 aXF
aFaFaXP
)(
),0()(}{
图
)()(}{,0
}{}{}{
aFaFaXaP
bXPbXaPbXaP
计算 R.V,X落在其他区间内的概率都可用此三式转化,如 P{X>a}=1-F(a).
即 可 。令 0?
((
aa
]( ( ( (
}{)( xXPxF解例 1 R.V,X的分布律为
}.5.0{)5.0(},21{)( XPFXPxFX 及，并求的分布函数求
0.10.60.3pk
210X
xkx
kxXP }{
,0,0?x
}0{?XP,10 x
}1{}0{ XPXP
,3.0?
,9.0?,21 x
.2?x,1
}21{ XP
}5.0{?XP,0?
)1()2( FF 1.09.01
}.2{ XP
或
)5.0(F,3.0?
O x1 2
3.0
9.0
1
例 1.4.1 设随机变量 X服从参数为 0.7的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7,求 X的分布函数,
解 (1) 当 x<0时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
i
i
xXP )( =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
i
i
xXP )( =P(X=0)=0.3
(3)当 1≤x时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
i
i
xXP )(
=P(X=0)+P(X=1)=1 分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
0
所以
x
x
x
xF
11
103.0
00
)(
对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由 X
的取值点划分成的左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 X取值区间中新增加点的对应概率值,
例 1.4.2 设 X的分布函数为
x21
2x18.0
1x04.0
0x0
)x(F
求 X的概率分布,
解 X的取值为 X 0 1 2
由此可见解
x
X
O x 2
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离 。 求随机变量 X的分布函数 。
}{)( xXPxF
,0,0?x
2xk?
,4
2x
,20 x
.2?x,1
}20{1 XP?,2 2?k?
.41 k
F(x)为连续函数 。
}1{?XP 0?
.0}{, aXPa
.d)()(?
x
ttfxF则
,,0
,20,
2)(
其他
x
x
xF
.,0
,20,
2)(
其他令 x
x
xf
O x2
1
)(xF
一,连续型随机变量的概率密度
x ttfxF d)()(
定义 设 R.V,X的分布函数为 F(x),若存在
f(x)≥0,使对任意实数 X,总有则称 X为连续型 R.V.,称 f(x)为 X的概率密度函数 。 简称概率密度 。
连续型 R.V.的分布函数必为连续函数,因而 X取任一固定值的概率都为 0.
概率密度的基本性质：;0)()1(?xf
.1d)()2(
xxf
二者的关系：
).()(,d)()( xFxfttfxF
x?
设连续型 R.V.的概率密度为 f(x),分布函数为 F(x).
)()(}{ aFbFbXaP则
.d)(
b
a
xxf
或
a xb
)(xF
x
)(xf
在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,
可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间 。
例 1 设连续型 R.V,X的分布函数为
,1,
,10,
,0,0
)( 2
xB
xAx
x
xF
}.5.01.0{)3();()2(;,)1( XPxfXBA 的概率密度导数求解
1)()1(F由 1 B
处连续在由于 1)(?xxF,1 A
)()()2( xFxf
.,0
,10,2
其他
xx
}5.01.0{)3( XP )1.0()5.0( FF 24.01.05.0 22
5.0
1.0
d)( xxf
或
5.0 1.0 d2 xx
.24.0?
解例 2 设随机变量 X的概率密度为
.,0
,21,2
,10,
)(
其他
xx
xAx
xf
的分布函数。常数求 XA )2(;)1(
1d)()1(
xxf由
1d)2(d
2
1
1
0
xxxAx有
1)2(
2
1
2
2
1
2 xA即
.1 A
.,0
,21,2
,10,
)(
其他
xx
xx
xf
解
x ttfxF d)()()2(
时，0?x
,10 时 x?)(xF
0 d0 t
x txF d0)(;0?
x tt0 d ;2
2x
,21 时 x?)(xF
0 d0 t 10 dtt;122
2
xx
x tt0 d)2(
,2时?x?)(xF
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.1?
21 d)2( tt x t2 d0
即 X的分布函数为
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,21,12
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)2(
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,10,
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,0,0d0
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x
tttF
x
x
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ttfxF
x
x
x
x
x
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或
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)(
2
2
x
xx
x
x
x
x
xF
二,几种重要的连续型随机变量的分布
.,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
1,均匀分布若 R.V,X在有限区间 (a,b)内取值,且则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布 。 记为 X～ U(a,b).
a xb
)(xf
c d
时，当 ),(),( badc?
}{ dXcP
dc xxf d)(
dc xab d1
.ab
cd
如：测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分布 。 在 (a,b)上随机掷质点 。 X表示质点的坐标,则一般认为 X～ U(a,b).
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
只与 z区间长度有关,与 z区间的位置无关 。 即 X落在两个长度相等的 z区间内的概率相等 。 具有上述特点的随机变量便是均匀分布的随机变量 。
X的分布函数为解 一小时内使用电话的用户数 X～ B(300,0.01)
}2{}1{}0{1}3{ XPXPXPxP
例 电话站为 300个用户服务,在一小时内每电话用户使用电话的概率等于 0.01,试用泊松定理近似计算,在一小时内至少有 3个用户使用电话的概率 。
X近似服从 P(3),(?=300× 0.01=3).
2!
e3
1!
e3
0!
e31 32313
.5 7 6 8.0e2171 3
2.2 随机变量的分布函数一,分布函数的概念定义 对任意实数 x,称
F(x)=P{X≤x}
为 R.V,X的分布函数 。
F(x)为普通函数 。
F(x)表示 R.V,X落在 x点及其左方的概率 。
O
X
xx
)(xF
)(xF
.21 xx
}{}{}{ 1221 xXPxXPxXxP
)()( 12 xFxF
分布函数的基本性质：
O
X
xx
)(xF
)(xF;1)(0)1( xF;)()()()2( 2121 为单调不减函数，即 xFxFxFxx;1)(lim)(
0)(lim)()3(
xFF
xFF
x
x
).()0()()4( xFxFxF右连续，即设 R.V,X的分布函数为 F(x),则
),(}{ aFaXP
),()(}{ aFbFbXaP
处 的 跳 跃 。在 aXF
aFaFaXP
)(
),0()(}{
图
)()(}{,0
}{}{}{
aFaFaXaP
bXPbXaPbXaP
计算 R.V,X落在其他区间内的概率都可用此三式转化,如 P{X>a}=1-F(a).
即 可 。令 0?
((
aa
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}{)( xXPxF解例 1 R.V,X的分布律为
}.5.0{)5.0(},21{)( XPFXPxFX 及，并求的分布函数求
0.10.60.3pk
210X
xkx
kxXP }{
,0,0?x
}0{?XP,10 x
}1{}0{ XPXP
,3.0?
,9.0?,21 x
.2?x,1
}21{ XP
}5.0{?XP,0?
)1()2( FF 1.09.01
}.2{ XP
或
)5.0(F,3.0?
O x1 2
3.0
9.0
1
例 1.4.1 设随机变量 X服从参数为 0.7的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7,求 X的分布函数,
解 (1) 当 x<0时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
i
i
xXP )( =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
i
i
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(3)当 1≤x时,F(x)=P(X≤x)=?
xx
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=P(X=0)+P(X=1)=1 分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
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所以
x
x
x
xF
11
103.0
00
)(
对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由 X
的取值点划分成的左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 X取值区间中新增加点的对应概率值,
例 1.4.2 设 X的分布函数为
x21
2x18.0
1x04.0
0x0
)x(F
求 X的概率分布,
解 X的取值为 X 0 1 2
由此可见解
x
X
O x 2
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离 。 求随机变量 X的分布函数 。
}{)( xXPxF
,0,0?x
2xk?
,4
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,20 x
.2?x,1
}20{1 XP?,2 2?k?
.41 k
F(x)为连续函数 。
}1{?XP 0?
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,20,
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其他
x
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,20,
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O x2
1
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一,连续型随机变量的概率密度
x ttfxF d)()(
定义 设 R.V,X的分布函数为 F(x),若存在
f(x)≥0,使对任意实数 X,总有则称 X为连续型 R.V.,称 f(x)为 X的概率密度函数 。 简称概率密度 。
连续型 R.V.的分布函数必为连续函数,因而 X取任一固定值的概率都为 0.
概率密度的基本性质：;0)()1(?xf
.1d)()2(
xxf
二者的关系：
).()(,d)()( xFxfttfxF
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设连续型 R.V.的概率密度为 f(x),分布函数为 F(x).
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b
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或
a xb
)(xF
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在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,
可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间 。
例 1 设连续型 R.V,X的分布函数为
,1,
,10,
,0,0
)( 2
xB
xAx
x
xF
}.5.01.0{)3();()2(;,)1( XPxfXBA 的概率密度导数求解
1)()1(F由 1 B
处连续在由于 1)(?xxF,1 A
)()()2( xFxf
.,0
,10,2
其他
xx
}5.01.0{)3( XP )1.0()5.0( FF 24.01.05.0 22
5.0
1.0
d)( xxf
或
5.0 1.0 d2 xx
.24.0?
解例 2 设随机变量 X的概率密度为
.,0
,21,2
,10,
)(
其他
xx
xAx
xf
的分布函数。常数求 XA )2(;)1(
1d)()1(
xxf由
1d)2(d
2
1
1
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1)2(
2
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,21,2
,10,
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其他
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解
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时，0?x
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,21 时 x?)(xF
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2
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21 d)2( tt x t2 d0
即 X的分布函数为
.2,1d0)2(
,21,12
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2
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,10,
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二,几种重要的连续型随机变量的分布
.,0
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1
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其他
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1,均匀分布若 R.V,X在有限区间 (a,b)内取值,且则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布 。 记为 X～ U(a,b).
a xb
)(xf
c d
时，当 ),(),( badc?
}{ dXcP
dc xxf d)(
dc xab d1
.ab
cd
如：测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分布 。 在 (a,b)上随机掷质点 。 X表示质点的坐标,则一般认为 X～ U(a,b).
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
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只与 z区间长度有关,与 z区间的位置无关 。 即 X落在两个长度相等的 z区间内的概率相等 。 具有上述特点的随机变量便是均匀分布的随机变量 。
X的分布函数为解 一小时内使用电话的用户数 X～ B(300,0.01)
}2{}1{}0{1}3{ XPXPXPxP
例 电话站为 300个用户服务,在一小时内每电话用户使用电话的概率等于 0.01,试用泊松定理近似计算,在一小时内至少有 3个用户使用电话的概率 。
X近似服从 P(3),(?=300× 0.01=3).
2!
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.5 7 6 8.0e2171 3
