第二节 方差
1,已知随机变量 X服从参数为 1/2的指数 分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。
解 1,EZ=3EX-2=4
2,EZ=EX-EY=2-(-2)=4
E(XY)==(EX)(EY)=-4
2,已知随机变量 X服从参数为 2的泊松 (Poisson)分布,
Y~N(-2,4),Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 E(XY)=( ).
课堂练习随机变量的方差与标准差是刻画随机变量 X与 E(X)
的偏离程度的数字特征。
随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值，
反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中，
除了要考虑随机变量取值的集中位置，还要考虑随机变量取值与其均值的偏离程度。
用什么量去刻画随机变量 X与其均值的偏离程度呢？
显然不能用 X-E(X)的期望，因为 E[X-E(X)]=E(X)-
E(X)=0，即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消，
可采用 E[|X-E(X)|]或 E{[X-E(X)]2}，因为在数学上绝对值的处理比较麻烦，因此采用后者度量随机变量 X与
E(X)的偏离程度，这个值就是方差。
一、方差与标准差的定义
，即为的标准差或均方差，记为称 )()( XXXD?
定义 4.3 设 X是一个随机变量，若 E{[X-E(X)]2}存在，则称 E{[X-E(X)]2}为随机变量 X的方差。记为 D(X)
或 Var(X)，即
D(X)=E{[X-E(X)]2},(4.9)
)10.4(.)()( XDX
由定义知方差 D(X)是一非负实数，它刻画了随机变量 X的取值与其均值的偏离程度。 D(X)越小,X的取值越集中在 E(X)附近； D(X)越大,X的取值越分散。方差
D(X)实质上是随机变量 X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望。
1
22
)11.4(;])([})({)(
,,2,1
}{
k
ik
kk
pXExXEXEXD
k
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则
，分布律为为离散型随机变量，其①若
方差的计算：
)12.4(.d)()]([})({)(
),(
22?
xxfXExXEXEXD
xfX 则概 率 密 度 为为 连 续 型 随 机 变 量,其②若
)13.4(.)]([)()(
)(
22 XEXEXD
XD
还有 一个 常用的 公式③计算 方差事实上，利用期望的性质，有
D(X)=E{X-E(X)2]=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.
例 4.14 设连续型随机变量 X的概率密度为
,,0
,10),1(
2
3
)(
2
其他
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.
320
19
8
3
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1
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2222
1
0
2
XEXEXD
xxxxxfxXE
xxxxxxfXE
从而求方差 D(X).
解例 4.15 设随机变量 X～ N(?,?2)，求方差 D(X)和标准差?(X).
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2
1
)(
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2
2
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XEXEXEXD
x
解
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2
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2
22
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2
2
2
tt
tt
可见，正态分布 N(?,?2)中，第二个参数?2是该分布的方差，方差?2越小，随机变量取值越集中在均值?
附近；反之，方差?2越大，随机变量的取值越分散。2
的含义与第 2章介绍正态分布时的描述是一致的。
.)()( XDX
二、方差的性质性质 1 设 C为常数，则 D(C)=0.
证 D(C)=E{[C-E(C)]2}=E[(C-C)2]=0.
性质 1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理解，因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况，
常数作为特殊的随机变量，其波动性为零，因此方差为零。
性质 2 设 a,b为常数，则 D(aX+b)=a2D(X).
证 D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)]2}
=E{[aX+b-aE(X)-b]2}
=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X).
推论 1 D(X+b)=D(X),b为常数。
这表明平移不会改变随机变量的波动情况，即不会改变方差。
推论 2 D(aX)=a2D(X),a为常数。
特别,D(-X)=D(X)，这表明将随机变量的取值全取相反数后，随机变量与其均值的偏离程度不变。
性质 3 D(X)=0的充分必要条件是 X以概率 1取常数
C，即 P{X=C}=1，这里 C=E(X)(证略 ).
性质 4 设随机变量 X与 Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
证 D(X+Y)=E{(X+Y)-E(X+Y)]2}
=E{X-E(X)}+[Y-E(Y)]}2
因为 X与 Y相互独立，所以 X-E(X)与 Y-E(Y)也相互独立,
由数学期望性质 4，
E{[X-E(X)][Y-E(Y)]=E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]
=[E(X)-E(X)][E(Y)-E(Y)]=0,
从而得到
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},(4.14)
简单叙述为“独立随机变量和的方差等于方差之和”。
.)(
11
n
k
k
n
k
k XDXD
推论 1 设随机变量 X与 Y相互独立，则有
D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y),
其中 a,b为常数。特别地，有
D(X-Y)=D(X)+D(Y).
这表明“独立随机变量差的方差也等于方差之和”。
推论 2 若 X1,X2,…,Xn相互独立，则有进一步，若 X1,X2,…,Xn相互独立,a1,a2,…,ak,b为常数，则
.)(
1
2
1
n
k
kk
n
k
kk XDabXaD
)(
)(
XD
XEXY
在概率统计中，有时需要对随机变量“标准化”，
即对任何随机变量 X，若它的数学期望 E(X)，方差 D(X)
都存在，且 D(X)>0，则称为 X的标准化随机变量。
,0
)(
)()(
)(
)]([
)(
)(
)(?
XD
XEXE
XD
XEXE
XD
XEx
EYE
易见 Y是一无量纲的随机变量。注意到 E(X),D(X)为常数，由期望性质 2和方差性质 2得这正是标准化随机变量所具有的特征。
,1
)(
)(
)(
)]([
)(
)(
)(
XD
XD
XD
XEXD
XD
XEx
DYD
特别，若 X～ N(?,?2),我们已经知道 E(X)=?,
D(X)=? 2,则 X的标准化随机变量
).1,0(NXY ～
这种变换读者必须非常熟悉，在数理统计中经常采用。
本节计算几种常见分布的期望和方差。
1,(0-1)分布则 E(X)=0·q+1·p=p,
设 X服从 (0-1)分布，其分布律为
X 0 1
pk q p
,(0<p<1,q=1-p),
E(X2 )=02·q+12·p=p,
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq.
,,,2,1
,0
,1
ni
Ai
Ai
X i
不发生，次试验中在第发生，次试验中在第
2,二项分布设 X服从参数为 n,p的二项分布，即设 X～ B(n,p).
下面用两种方法求 E(X)和 D(X).
(1)不用 X的分布律。
我们知道,X可表示为在 n次重复独立试验中事件 A
发生的次数,p为每次试验事件 A发生的概率,q=1-p为每次试验事件 A不发生的概率。现用随机变量的分解法将随机变量 X进行分解。引入随机变量
.
1
n
i
iXXAn 发生的次数次重复独立试验中事件则在
n
i
n
i
ii n p qXDXDnpXEXE
1 1
.)()(,)()(
显然 X1,X2,…,Xn相互独立，均服从 (0-1)分布
Xi 0 1
pk q p
因 E(Xi)=p,D(Xi)=pq,i=1,2,…,n,所以由期望和方差的性质可得
,2,1,0,!e}{
kkkXp
k
3,泊松分布设 X服从参数为?(?>0)的泊松分布，即 X～ P(?),X
的分布律为
1
1
0 )!1(
e
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k
k
k
k
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则
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k
k
k
k
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而
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0
22
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l
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在泊松分布 P(?)中，它的唯一参数?既是期望又是方差。
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,)(
22
22
XD
XE从而
4,均匀分布设随机变量 X在区间 [a,b]上服从均匀分布，其概率密度为
,,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
5,指数分布
).5.4(2)( 见例则 baXE
),(
3
1
)(3
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33
22 aabb
ab
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ab
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b
a
.)(12 1)]([)()( 222 abXEXEXD于是设随机变量 X服从参数为?(?>0)的指数分布，其概率密度为
.00,
,0,e)(
x
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.
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xxxxXE
xxXE x de)(
0
22
002 de2e xxx xx
),)((2 2 的计算由 XE
.1)]([)()( 222 XEXEXD从而
6,正态分布设 X服从参数为?,?2的正态分布，即 X～ N(?,?2)，
其概率密度为
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x
则 E(X)=?(见例 4.6),D(X)=?2(见例 4.15).
正态随机变量的概率密度中的两个参数?和?2，分别是该正态随机变量的数学期望和方差。
例 4.16 设 X～ N(-2,2),Y～ N(0,1)，且 X与 Y相互独立。记
W=-2X,V=2X-Y.
求,(1)W的分布； (2)V的分布及 P{V>2}.
解 (1)W仍服从正态分布。
E(W)=E(-2X)=-2E(X)=-2(-2)=4,
D(W)=D(-2X)=4D(X)=4× 2=8,
于是 W～ N(4,8).
(2)V是两个相互独立的正态随机变量的线性组合，
因此根据第 3章,V仍服从正态分布。
E(V)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2× (-2)-0=-4,
D(V)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4× 2+1=9,
于是 V～ N(-4,9),从而
.0 2 2 7 5.09 7 7 2 5.01
)2(1
3
)4(2
1}2{
VP
npqnp二项分布 B(n,p)
1,10
,,,2,1,0,C}{
qpp
nkqpkXP knkkn?
方差期望分布律或密度函数分布几种常见分布的期望和方差列在表 4.1中。
pqpP{X=k}=p
kq1-k,k=0,1,
0<p<1,p+q=1(0-1)分布
0,
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x?
2?正态分布
N(?,?2)
.0,0
,0,e)(
x
xxf x1 21?
指数分布
e(?)
.,0
,,1)(
其他
bxa
abXf 2
ba?
12
)( 2ab?
均匀分布
U(a,b)
0
,2,1,0,e
!
}{
k
k
kXP
k
泊松分布 P(?)
1,已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)= 2.4,D(X)=1.44,
则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
2,设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E(X2)=( )
②
18.4
课堂练习
,e)x(f 1x2x1 2
求 EX和 DX.
3,设 X的密度函数为
2
2
2
2 σ
)-(x12xx,πσ2 π
所以,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
解 3.
4,设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,
σ>0常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])X[(E])CX[(E)4(
])X[(E])CX[(E)3(
])X[(E])CX[(E)2(
C)X(E])CX[(E)1(
22
22
22
222
解
E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
5,设
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfY a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解 EZ=E(1/Y)=
dy)y(fy
1
0
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y
2 dyea
1 22
0
)
|a|2
y(
2 dyea
1 2
0
)
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y(
2 )|a|2
y(de|a|2
a
1 2
|a|2
yu?令 EZ
0
u
2 duea
|a|2 2
2a
|a|2
2
|a|2
2
6,一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求 X的概率分布与 E[1/(1+X） ].
解 X的取值为 0,1,2,3
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1/2× 1/2=1/4
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
7,设 X与 Y同分布,X的概率密度为
其他,0
20,)( 283 xxxf
⑴ 已知事件 A={X>α}和 B={Y>α}独立,且 P(A+B)=3/4.
求常数 α； ⑵ 求 E(1/X2).
解 (1)由已知得,P(A)=P(B),A,B独立,所以,
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)]2=3/4
故 P(A)=1/2,0<a<2,
P(X>a)=?2 2
8
3
a
dxx 8a1
3
=1/2 所以,3 4a?
(2)E(1/X2)=2
0
2
2 4/3dxx8
3
x
1
1,已知随机变量 X服从参数为 1/2的指数 分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。
解 1,EZ=3EX-2=4
2,EZ=EX-EY=2-(-2)=4
E(XY)==(EX)(EY)=-4
2,已知随机变量 X服从参数为 2的泊松 (Poisson)分布,
Y~N(-2,4),Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 E(XY)=( ).
课堂练习随机变量的方差与标准差是刻画随机变量 X与 E(X)
的偏离程度的数字特征。
随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值，
反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中，
除了要考虑随机变量取值的集中位置，还要考虑随机变量取值与其均值的偏离程度。
用什么量去刻画随机变量 X与其均值的偏离程度呢？
显然不能用 X-E(X)的期望，因为 E[X-E(X)]=E(X)-
E(X)=0，即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消，
可采用 E[|X-E(X)|]或 E{[X-E(X)]2}，因为在数学上绝对值的处理比较麻烦，因此采用后者度量随机变量 X与
E(X)的偏离程度，这个值就是方差。
一、方差与标准差的定义
，即为的标准差或均方差，记为称 )()( XXXD?
定义 4.3 设 X是一个随机变量，若 E{[X-E(X)]2}存在，则称 E{[X-E(X)]2}为随机变量 X的方差。记为 D(X)
或 Var(X)，即
D(X)=E{[X-E(X)]2},(4.9)
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由定义知方差 D(X)是一非负实数，它刻画了随机变量 X的取值与其均值的偏离程度。 D(X)越小,X的取值越集中在 E(X)附近； D(X)越大,X的取值越分散。方差
D(X)实质上是随机变量 X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望。
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则
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还有 一个 常用的 公式③计算 方差事实上，利用期望的性质，有
D(X)=E{X-E(X)2]=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.
例 4.14 设连续型随机变量 X的概率密度为
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从而求方差 D(X).
解例 4.15 设随机变量 X～ N(?,?2)，求方差 D(X)和标准差?(X).
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可见，正态分布 N(?,?2)中，第二个参数?2是该分布的方差，方差?2越小，随机变量取值越集中在均值?
附近；反之，方差?2越大，随机变量的取值越分散。2
的含义与第 2章介绍正态分布时的描述是一致的。
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二、方差的性质性质 1 设 C为常数，则 D(C)=0.
证 D(C)=E{[C-E(C)]2}=E[(C-C)2]=0.
性质 1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理解，因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况，
常数作为特殊的随机变量，其波动性为零，因此方差为零。
性质 2 设 a,b为常数，则 D(aX+b)=a2D(X).
证 D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)]2}
=E{[aX+b-aE(X)-b]2}
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推论 1 D(X+b)=D(X),b为常数。
这表明平移不会改变随机变量的波动情况，即不会改变方差。
推论 2 D(aX)=a2D(X),a为常数。
特别,D(-X)=D(X)，这表明将随机变量的取值全取相反数后，随机变量与其均值的偏离程度不变。
性质 3 D(X)=0的充分必要条件是 X以概率 1取常数
C，即 P{X=C}=1，这里 C=E(X)(证略 ).
性质 4 设随机变量 X与 Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
证 D(X+Y)=E{(X+Y)-E(X+Y)]2}
=E{X-E(X)}+[Y-E(Y)]}2
因为 X与 Y相互独立，所以 X-E(X)与 Y-E(Y)也相互独立,
由数学期望性质 4，
E{[X-E(X)][Y-E(Y)]=E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]
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从而得到
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},(4.14)
简单叙述为“独立随机变量和的方差等于方差之和”。
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推论 1 设随机变量 X与 Y相互独立，则有
D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y),
其中 a,b为常数。特别地，有
D(X-Y)=D(X)+D(Y).
这表明“独立随机变量差的方差也等于方差之和”。
推论 2 若 X1,X2,…,Xn相互独立，则有进一步，若 X1,X2,…,Xn相互独立,a1,a2,…,ak,b为常数，则
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在概率统计中，有时需要对随机变量“标准化”，
即对任何随机变量 X，若它的数学期望 E(X)，方差 D(X)
都存在，且 D(X)>0，则称为 X的标准化随机变量。
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易见 Y是一无量纲的随机变量。注意到 E(X),D(X)为常数，由期望性质 2和方差性质 2得这正是标准化随机变量所具有的特征。
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特别，若 X～ N(?,?2),我们已经知道 E(X)=?,
D(X)=? 2,则 X的标准化随机变量
).1,0(NXY ～
这种变换读者必须非常熟悉，在数理统计中经常采用。
本节计算几种常见分布的期望和方差。
1,(0-1)分布则 E(X)=0·q+1·p=p,
设 X服从 (0-1)分布，其分布律为
X 0 1
pk q p
,(0<p<1,q=1-p),
E(X2 )=02·q+12·p=p,
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq.
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不发生，次试验中在第发生，次试验中在第
2,二项分布设 X服从参数为 n,p的二项分布，即设 X～ B(n,p).
下面用两种方法求 E(X)和 D(X).
(1)不用 X的分布律。
我们知道,X可表示为在 n次重复独立试验中事件 A
发生的次数,p为每次试验事件 A发生的概率,q=1-p为每次试验事件 A不发生的概率。现用随机变量的分解法将随机变量 X进行分解。引入随机变量
.
1
n
i
iXXAn 发生的次数次重复独立试验中事件则在
n
i
n
i
ii n p qXDXDnpXEXE
1 1
.)()(,)()(
显然 X1,X2,…,Xn相互独立，均服从 (0-1)分布
Xi 0 1
pk q p
因 E(Xi)=p,D(Xi)=pq,i=1,2,…,n,所以由期望和方差的性质可得
,2,1,0,!e}{
kkkXp
k
3,泊松分布设 X服从参数为?(?>0)的泊松分布，即 X～ P(?),X
的分布律为
1
1
0 )!1(
e
!
e)(
k
k
k
k
kk
kXE
则
.ee
!
e
0
1
l
l
lk
l
,)]1([])1([)( 2 XXEXXXEXE
2
2
2
0 )!2(
e
!
e)1()]1((
k
k
k
k
kk
kkXXE
而
,ee
!
e 22
0
22
l
l
lk
l
在泊松分布 P(?)中，它的唯一参数?既是期望又是方差。
.)(
,)(
22
22
XD
XE从而
4,均匀分布设随机变量 X在区间 [a,b]上服从均匀分布，其概率密度为
,,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
5,指数分布
).5.4(2)( 见例则 baXE
),(
3
1
)(3
d1)( 22
33
22 aabb
ab
abx
ab
xXE
b
a
.)(12 1)]([)()( 222 abXEXEXD于是设随机变量 X服从参数为?(?>0)的指数分布，其概率密度为
.00,
,0,e)(
x
xxf x
.
1
e
1
deede)(
0
000
x
xxx
xxxxXE
xxXE x de)(
0
22
002 de2e xxx xx
),)((2 2 的计算由 XE
.1)]([)()( 222 XEXEXD从而
6,正态分布设 X服从参数为?,?2的正态分布，即 X～ N(?,?2)，
其概率密度为
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x
则 E(X)=?(见例 4.6),D(X)=?2(见例 4.15).
正态随机变量的概率密度中的两个参数?和?2，分别是该正态随机变量的数学期望和方差。
例 4.16 设 X～ N(-2,2),Y～ N(0,1)，且 X与 Y相互独立。记
W=-2X,V=2X-Y.
求,(1)W的分布； (2)V的分布及 P{V>2}.
解 (1)W仍服从正态分布。
E(W)=E(-2X)=-2E(X)=-2(-2)=4,
D(W)=D(-2X)=4D(X)=4× 2=8,
于是 W～ N(4,8).
(2)V是两个相互独立的正态随机变量的线性组合，
因此根据第 3章,V仍服从正态分布。
E(V)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2× (-2)-0=-4,
D(V)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4× 2+1=9,
于是 V～ N(-4,9),从而
.0 2 2 7 5.09 7 7 2 5.01
)2(1
3
)4(2
1}2{
VP
npqnp二项分布 B(n,p)
1,10
,,,2,1,0,C}{
qpp
nkqpkXP knkkn?
方差期望分布律或密度函数分布几种常见分布的期望和方差列在表 4.1中。
pqpP{X=k}=p
kq1-k,k=0,1,
0<p<1,p+q=1(0-1)分布
0,
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x?
2?正态分布
N(?,?2)
.0,0
,0,e)(
x
xxf x1 21?
指数分布
e(?)
.,0
,,1)(
其他
bxa
abXf 2
ba?
12
)( 2ab?
均匀分布
U(a,b)
0
,2,1,0,e
!
}{
k
k
kXP
k
泊松分布 P(?)
1,已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)= 2.4,D(X)=1.44,
则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
2,设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E(X2)=( )
②
18.4
课堂练习
,e)x(f 1x2x1 2
求 EX和 DX.
3,设 X的密度函数为
2
2
2
2 σ
)-(x12xx,πσ2 π
所以,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
解 3.
4,设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,
σ>0常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])X[(E])CX[(E)4(
])X[(E])CX[(E)3(
])X[(E])CX[(E)2(
C)X(E])CX[(E)1(
22
22
22
222
解
E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
5,设
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfY a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解 EZ=E(1/Y)=
dy)y(fy
1
0
a2
y
2 dyea
1 22
0
)
|a|2
y(
2 dyea
1 2
0
)
|a|2
y(
2 )|a|2
y(de|a|2
a
1 2
|a|2
yu?令 EZ
0
u
2 duea
|a|2 2
2a
|a|2
2
|a|2
2
6,一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求 X的概率分布与 E[1/(1+X） ].
解 X的取值为 0,1,2,3
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1/2× 1/2=1/4
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
7,设 X与 Y同分布,X的概率密度为
其他,0
20,)( 283 xxxf
⑴ 已知事件 A={X>α}和 B={Y>α}独立,且 P(A+B)=3/4.
求常数 α； ⑵ 求 E(1/X2).
解 (1)由已知得,P(A)=P(B),A,B独立,所以,
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)]2=3/4
故 P(A)=1/2,0<a<2,
P(X>a)=?2 2
8
3
a
dxx 8a1
3
=1/2 所以,3 4a?
(2)E(1/X2)=2
0
2
2 4/3dxx8
3
x
1
