第二节 边缘分布例 2.2.1 设 (X,Y)~
其它0
1y0,1x0xy4)y,x(f
求 (X,Y)的联合分布函数,
1
1解 (1)x<0,或 y<0时,F(x,y)=0
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
F(x,y)= yx s td tds
00 4
22 yx?
(4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 1
00 4 s td tds
x 2x?
(5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= y s td tds
0
1
0 4
2y?
x
y
X
Y
4xy
综合即得,
1,11
10,1
1,10
10,10
000
),(
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有联合分布函数 F(x,y),而 X,Y各自都是随机变量,它们也有自己的分布函数 FX(x),FY(y),相对于二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数,我们分别称 FX(x),FY(y)
为 X和 Y的边缘分布函数 。 相应地,也有边缘概率密度和边缘分布律的概念 。 我们将它们统称为边缘分布 。
)11.3().,(l i m),()(
},{}{)(
),,(),(
yxFxFxF
YxXPxXPxF
X
yxFYX
y
X
X
即的边缘分布函数为则合分布函数为是二维随机变量，其联设一,边缘分布函数
)12.3().,(l i m),()( yxFyFyF
Y
xY
的边缘分布函数为同理，
.2,1,1
,20,1),4(
12
1
,2,10),12(
3
1
,20,10),
4
(
3
1
,000
),(
),(1
2
2
yx
yxyy
yxxx
yx
y
xyx
yx
yxF
YX
或的联合分布函数为设二维连续型随机变量例
).,(
),()2()(,)(,)1(
yxf
YXyFxFYX YX
率密度的联合概；的边缘分布函数求
.1,1
,10),12(
3
1
,0,0
),()(
)11.3()1(
2
x
xxx
x
xFxF
X
式，由解
.2,1
,20),4(
12
1
,0,0
),()(
)12.3(
y
yyy
y
yFyF
Y
式，由而式，由,),(),()9.3()2(
2
yx
yxFyxf
,,0
,20,10,
3
1),( 22
其他
yxxyx
yx
yxF
,,0
,2,10,
3
2
2
,20,10,
6
1
),(
2
22
其他
yxxx
yxxyyx
x
yxF
.,0
,20,10,
3
1
),(
),(
2
其他的联合概率密度为即
yxxyx
yxf
YX
，联合分布律为为二维离散型随机变量设 ),( YX
二,边缘分布律
1
},{
j
ji yYxXP
,,2,1,,},{ jipyYxXP ijji
1
))}((){(}{
j
jii yYxXPxXP则
1
)},({
j
ji yYxXP
)13.3(.,2,1,
1
ipp
j
iij
)14.3(.,2,1,}{,
1
jppyYP j
i
ijj同理
我们称
,2,1,}{
1
,
ipxXP
i
ii
为 X的边缘分布律,称
,2,1,}{, jpyYP jj
为 Y的边缘分布律 。
若 (X,Y)的联合分布律用表 3.1表示,则 pi.就是表格上第 i行元素之和,p.j就是表格上第 j列元素之和 。
我们分别将它们记在表格的边上,见表 3.2,这也是边缘分布名称的由来 。
…p.j…p.2p.1P{Y=yj}
pi.…pij…pi2pi1xi
p2.…p2j…p22p21x2
p1.…p1j…p12p11x1
P{X=xi}…yj…y2y1YX
不放回抽取。有放回抽取；分布律：
的联合分布律和边缘别求试就下列两种情况，分第二次抽取的是正品第二次抽取的是次品，
第一次抽取的是正品；
第一次抽取的是次品，
如下：量一件产品。定义随机变从中抽取两次，每次取件正品。现件次品，件产品，其中有设有例
)2()1(
),(
.,0
,1
,0
,1
,
82102
YX
Y
X
YX
解 (1)有放回抽取相互独立，故与此时事件 }{}{ jYiX
,1,0,1,0},{}{},{ jijYPiXPjYiXP
至此,求出了 (X,Y)的联合分布律 。
,251610 810 8}0{}0{}0,0{ YPXPYXP即
,25410 2108}1,0{ YXP同理，
,254108102}0,1{ YXP
.251102102}1,1{ YXP
,542542516}1,0{}0,0{}0{ YXPYXPXP
即 X的边缘分布律为
,51}0{1}1{ XPXP
pk
10X
5
4
5
1
pk
10Y
5
4
5
1
同理,可求出 Y的边缘分布律为
(X,Y)的联合分布律及边缘分布律也可用表格表示,见表 3.3.
1P{Y=yj}
1
0
P{X=xi}10YX
25
16
25
4
5
4
25
4
25
1
5
1
5
4
5
1
表 3.3 (有放回抽取情形 )
(2)不放回抽取式有不相互独立，由乘法公与此时事件 }{}{ jYiX
,1,0,1,0},|{}{},{ jiiXjYPiXPjYiXP
}0|0{}0{}0,0{ XYPXPYXP即
,452897108
,45892108}1,0{ YXP同理
,45898102}0,1{ YXP
.45191102}1,1{ YXP
(X,Y)的联合分布律也可用表格表示 。 按行,列求和,即得 X和 Y的边缘分布律 。 见表 3.4.
1P{Y=yj}
1
0
P{X=xi}10YX
45
28
45
8
5
4
45
8
45
1
5
1
5
4
5
1
表 3.4 (不 放回抽取情形 )
从表 3.3,表 3.4看到,在两种不同情形下,X,Y的边缘分布律相同,但 (X,Y) 的联合分布律不同 。 因此看出,仅由 X和 Y的边缘分布不能确定 (X,Y)的联合分布 。
练习 设 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解 (1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4
同理,P(X+Y=2)=0.3,
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=3)=0.05
所以三,边缘概率密度为边缘概率密度。各自的概率密度称
，，联合概率密度为为二维连续型随机变量设
)(),(,
),(),(
yfxfYX
yxfYX
YX
,dd),(d),(d),()( uyyufvvufuxFxF
xx
X
由 (3.11)式及 (3.6)式可得从而 X的边缘概率密度为
( 3,1 5 ).d),()()(
yyxfxFxf XX
同理,Y的边缘概率密度为
( 3,1 6 ).d),()(
xyxfyf Y
为参数。时，视式求为参数，而用时，在积分中视式求用
yyf
xxf
Y
X
)(
)16.3()()15.3(
,9.3)15.3(
10.39.3}20,10:),{(
式及图中的阴影部分。由及图，见图解 xyxyxG
求边缘概率密度。
其他，
的联合概率密度为设例
,0
,20,10,32
),(
),(3
xyxxy
yxf
YX
xy?2
2
1
O
G
x x1
y
xy?2
2
1
O
G
y
x1
y
图 3.9 图 3.10
yyxfxf X d),()(
其他,0
,10,d32d),( 2
0
2
0
xyxyyyxf
xx
.,0
,10,4 3
其他
xx
xyxfyf Y d),()(
由 (3.16)式及图 3.10，
其他,0
,
2
1
0,d32d),(
1
2
1
2
yxxyxyxf
yy
.,0
,
2
1
0),41(16 2
其他
yyy
练习 设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
其他,0
0,),( yxeyxf y⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解 (1)x≤0时,f1(x)=0;
x>0时,f1(x)=
dy)y,x(f dyex y?
xe
ye?
所以,
0x0
0xe)x(f x
1
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
2/10 x1x y dyedx
2
1
1 e2e1
).(),(
,
,,
))((2
)1(2
1
e x p
12
1
),(
),,,,(),(4
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
21
2
2
2
121
yfxf
y
x
yyx
x
yxf
NYX
YX
求边缘概率密度其联合概率密度为
，服从二维正态分布设例
第二节第三章
.d),()(
yyxfxf X解
,d
1
1
d,
1
1
2
2
1
1
2
2
2
yt
xy
t
作变量代换，令
2
2
2
21
21
2
1
1
2
))((2
)1(2
1
yyxx
则
2
1
12
1
1
2
2
2
)1(
)1(2
1
xxy
,
22
)( 2
2
1
2
1 tx
第二节第三章
.dee
2
1
)( 2
2
2
12
2)
1(
1
txf
t
x
X
从而
.2de1de
2
1 2
2
2
2
tt
tt
，得利用
,,e
2
1
)(
2
12
2)
1(
1
xxf
x
X
于是
).,( 211NX ～即
,,e
2
1
)(
2
22
2)
2(
2
yyf
y
Y
同理，可得
).,( 222NY ～即第二节第三章的联合分布。边缘分布不能确定因此这又一次说明了由都是相同的。布，但它们的边缘分布应着不同的二维正态分对，不同的无关，亦即对于给定的都与参数这些边缘分布正态分布。我们还看到态分布的边缘分布仍是
：二维正态分布的一个重要性质这个例子说明了二维正
),(
,,,
2
2
2
121
YX
题。第题
。反例见习。但反之却不一定成立必定服从一维正态分布服从二维正态分布，则要特别注意的是，若
123
,),( YXYX
讨论。定联合分布，见后面的下，由边缘分布也能决
，在一定条件能决定联合分布。不过但一般仅由边缘分布不边缘分布，出结论：联合分布决定综合以上的讨论可以得
其它0
1y0,1x0xy4)y,x(f
求 (X,Y)的联合分布函数,
1
1解 (1)x<0,或 y<0时,F(x,y)=0
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
F(x,y)= yx s td tds
00 4
22 yx?
(4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 1
00 4 s td tds
x 2x?
(5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= y s td tds
0
1
0 4
2y?
x
y
X
Y
4xy
综合即得,
1,11
10,1
1,10
10,10
000
),(
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有联合分布函数 F(x,y),而 X,Y各自都是随机变量,它们也有自己的分布函数 FX(x),FY(y),相对于二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数,我们分别称 FX(x),FY(y)
为 X和 Y的边缘分布函数 。 相应地,也有边缘概率密度和边缘分布律的概念 。 我们将它们统称为边缘分布 。
)11.3().,(l i m),()(
},{}{)(
),,(),(
yxFxFxF
YxXPxXPxF
X
yxFYX
y
X
X
即的边缘分布函数为则合分布函数为是二维随机变量，其联设一,边缘分布函数
)12.3().,(l i m),()( yxFyFyF
Y
xY
的边缘分布函数为同理，
.2,1,1
,20,1),4(
12
1
,2,10),12(
3
1
,20,10),
4
(
3
1
,000
),(
),(1
2
2
yx
yxyy
yxxx
yx
y
xyx
yx
yxF
YX
或的联合分布函数为设二维连续型随机变量例
).,(
),()2()(,)(,)1(
yxf
YXyFxFYX YX
率密度的联合概；的边缘分布函数求
.1,1
,10),12(
3
1
,0,0
),()(
)11.3()1(
2
x
xxx
x
xFxF
X
式，由解
.2,1
,20),4(
12
1
,0,0
),()(
)12.3(
y
yyy
y
yFyF
Y
式，由而式，由,),(),()9.3()2(
2
yx
yxFyxf
,,0
,20,10,
3
1),( 22
其他
yxxyx
yx
yxF
,,0
,2,10,
3
2
2
,20,10,
6
1
),(
2
22
其他
yxxx
yxxyyx
x
yxF
.,0
,20,10,
3
1
),(
),(
2
其他的联合概率密度为即
yxxyx
yxf
YX
，联合分布律为为二维离散型随机变量设 ),( YX
二,边缘分布律
1
},{
j
ji yYxXP
,,2,1,,},{ jipyYxXP ijji
1
))}((){(}{
j
jii yYxXPxXP则
1
)},({
j
ji yYxXP
)13.3(.,2,1,
1
ipp
j
iij
)14.3(.,2,1,}{,
1
jppyYP j
i
ijj同理
我们称
,2,1,}{
1
,
ipxXP
i
ii
为 X的边缘分布律,称
,2,1,}{, jpyYP jj
为 Y的边缘分布律 。
若 (X,Y)的联合分布律用表 3.1表示,则 pi.就是表格上第 i行元素之和,p.j就是表格上第 j列元素之和 。
我们分别将它们记在表格的边上,见表 3.2,这也是边缘分布名称的由来 。
…p.j…p.2p.1P{Y=yj}
pi.…pij…pi2pi1xi
p2.…p2j…p22p21x2
p1.…p1j…p12p11x1
P{X=xi}…yj…y2y1YX
不放回抽取。有放回抽取；分布律：
的联合分布律和边缘别求试就下列两种情况，分第二次抽取的是正品第二次抽取的是次品，
第一次抽取的是正品；
第一次抽取的是次品，
如下：量一件产品。定义随机变从中抽取两次，每次取件正品。现件次品，件产品，其中有设有例
)2()1(
),(
.,0
,1
,0
,1
,
82102
YX
Y
X
YX
解 (1)有放回抽取相互独立，故与此时事件 }{}{ jYiX
,1,0,1,0},{}{},{ jijYPiXPjYiXP
至此,求出了 (X,Y)的联合分布律 。
,251610 810 8}0{}0{}0,0{ YPXPYXP即
,25410 2108}1,0{ YXP同理，
,254108102}0,1{ YXP
.251102102}1,1{ YXP
,542542516}1,0{}0,0{}0{ YXPYXPXP
即 X的边缘分布律为
,51}0{1}1{ XPXP
pk
10X
5
4
5
1
pk
10Y
5
4
5
1
同理,可求出 Y的边缘分布律为
(X,Y)的联合分布律及边缘分布律也可用表格表示,见表 3.3.
1P{Y=yj}
1
0
P{X=xi}10YX
25
16
25
4
5
4
25
4
25
1
5
1
5
4
5
1
表 3.3 (有放回抽取情形 )
(2)不放回抽取式有不相互独立，由乘法公与此时事件 }{}{ jYiX
,1,0,1,0},|{}{},{ jiiXjYPiXPjYiXP
}0|0{}0{}0,0{ XYPXPYXP即
,452897108
,45892108}1,0{ YXP同理
,45898102}0,1{ YXP
.45191102}1,1{ YXP
(X,Y)的联合分布律也可用表格表示 。 按行,列求和,即得 X和 Y的边缘分布律 。 见表 3.4.
1P{Y=yj}
1
0
P{X=xi}10YX
45
28
45
8
5
4
45
8
45
1
5
1
5
4
5
1
表 3.4 (不 放回抽取情形 )
从表 3.3,表 3.4看到,在两种不同情形下,X,Y的边缘分布律相同,但 (X,Y) 的联合分布律不同 。 因此看出,仅由 X和 Y的边缘分布不能确定 (X,Y)的联合分布 。
练习 设 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解 (1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4
同理,P(X+Y=2)=0.3,
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=3)=0.05
所以三,边缘概率密度为边缘概率密度。各自的概率密度称
，，联合概率密度为为二维连续型随机变量设
)(),(,
),(),(
yfxfYX
yxfYX
YX
,dd),(d),(d),()( uyyufvvufuxFxF
xx
X
由 (3.11)式及 (3.6)式可得从而 X的边缘概率密度为
( 3,1 5 ).d),()()(
yyxfxFxf XX
同理,Y的边缘概率密度为
( 3,1 6 ).d),()(
xyxfyf Y
为参数。时，视式求为参数，而用时，在积分中视式求用
yyf
xxf
Y
X
)(
)16.3()()15.3(
,9.3)15.3(
10.39.3}20,10:),{(
式及图中的阴影部分。由及图，见图解 xyxyxG
求边缘概率密度。
其他，
的联合概率密度为设例
,0
,20,10,32
),(
),(3
xyxxy
yxf
YX
xy?2
2
1
O
G
x x1
y
xy?2
2
1
O
G
y
x1
y
图 3.9 图 3.10
yyxfxf X d),()(
其他,0
,10,d32d),( 2
0
2
0
xyxyyyxf
xx
.,0
,10,4 3
其他
xx
xyxfyf Y d),()(
由 (3.16)式及图 3.10，
其他,0
,
2
1
0,d32d),(
1
2
1
2
yxxyxyxf
yy
.,0
,
2
1
0),41(16 2
其他
yyy
练习 设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
其他,0
0,),( yxeyxf y⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解 (1)x≤0时,f1(x)=0;
x>0时,f1(x)=
dy)y,x(f dyex y?
xe
ye?
所以,
0x0
0xe)x(f x
1
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
2/10 x1x y dyedx
2
1
1 e2e1
).(),(
,
,,
))((2
)1(2
1
e x p
12
1
),(
),,,,(),(4
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
21
2
2
2
121
yfxf
y
x
yyx
x
yxf
NYX
YX
求边缘概率密度其联合概率密度为
，服从二维正态分布设例
第二节第三章
.d),()(
yyxfxf X解
,d
1
1
d,
1
1
2
2
1
1
2
2
2
yt
xy
t
作变量代换，令
2
2
2
21
21
2
1
1
2
))((2
)1(2
1
yyxx
则
2
1
12
1
1
2
2
2
)1(
)1(2
1
xxy
,
22
)( 2
2
1
2
1 tx
第二节第三章
.dee
2
1
)( 2
2
2
12
2)
1(
1
txf
t
x
X
从而
.2de1de
2
1 2
2
2
2
tt
tt
，得利用
,,e
2
1
)(
2
12
2)
1(
1
xxf
x
X
于是
).,( 211NX ～即
,,e
2
1
)(
2
22
2)
2(
2
yyf
y
Y
同理，可得
).,( 222NY ～即第二节第三章的联合分布。边缘分布不能确定因此这又一次说明了由都是相同的。布，但它们的边缘分布应着不同的二维正态分对，不同的无关，亦即对于给定的都与参数这些边缘分布正态分布。我们还看到态分布的边缘分布仍是
：二维正态分布的一个重要性质这个例子说明了二维正
),(
,,,
2
2
2
121
YX
题。第题
。反例见习。但反之却不一定成立必定服从一维正态分布服从二维正态分布，则要特别注意的是，若
123
,),( YXYX
讨论。定联合分布，见后面的下，由边缘分布也能决
，在一定条件能决定联合分布。不过但一般仅由边缘分布不边缘分布，出结论：联合分布决定综合以上的讨论可以得
