2.4 随机变量函数的分布已知 R.V,X的分布,及 Y=g(X),y=g(x)为连续函数,
如何求 R.V,Y=g(X)的分布？
一,X是离散型 R.V.情形此时 Y=g(X)必为离散型 R.V.为求 R.V,Y的分布律,
(1)搞清 Y=g(X)的所有取值； (2)求 Y取每个值的概率 。
解
0.2+0.250.3+0.150.1pk
410Y
即
0.45
4
0.450.1pk
10Y
例 1 设 X具有概率分布
X -1 0 1 2 3
pk 0.2 0.3 0.1 0.15 0.25
41014Y=(X-1)2
3210-1X
求 Y=(X-1)2的概率分布 。
)(yFY }{ yYP })({ yxgP
二,X是连续型 R.V.情形先求 Y=g(X)的分布函数再求导得 Y的概率密度 fY(y) =FY'(y).
—— 分布函数法例 2 设 X～ N(0,1),求 Y=X2的概率密度 。
解

xxf
x
X,e
2
1
)( 2
2
,0?y }{)( yYPyF Y,0?
,0?y }{)( yYPyF Y }{ 2 yXP
}{ yXyP
x
y
y
x
de
2
1 2
2

x
y x
de
2
2
0
2
2
)()( yFyf YY
y
y
2
1
e
2
2
2
,e
2
1 2y
y
,0?y
,0,0?y

,,0
,10),1(6
)(
其他
xxx
xf X
例 3 随机变量 X的概率密度为求 Y=1-2X的概率密度 。
解
,1y }{)( yYPyF Y,0?
,1?y }{)( yYPyF Y,1?
,11 y }{)( yYPyF Y }21{ yXP

2
1 yXP

2
1 d)(y X xxf

2
1
d)(1
y
X xxf?
2
1
0
d)1(61
y
xxx
32 )1(
4
1)1(
4
31 yy
,11 y )()( yFyf YY









2
1
2
11
2
16 yy
)1(43 2y


.,0
.11),1(
4
3
)(
2
其他即 yyyf Y
解


,,0
,21,
3
1
)(
其他
xxf
X
例 4 设 R.V,X～ U(-1,2),其概率密度为求 y=x2的概率密度 。
y
O x1? 2
4
1
2xy?
,0?y,0)(?yFY
,4?y,1)(?yFY
y
O x1? 2
4
1
2xy?
,10 y
}{)( yYPyF Y
}{ 2 yXP }{ yXyP
yy X xxf d)( yy xd31,3
2 y
,41 y
}{)( yYPyF Y
}{ 2 yXP
}1{ yXP
y x1 d31 3
1?
y



.,0
,41,
6
1
,10,
3
1
)()(
其他
y
y
y
y
yFyf
YY