2.6 n维随机向量及分布在本节中,我们重点讨论二维随机变量,三维或更多维的随机变量的许多概念和结论是二维随机变量的推广 。
维随机变量。称为二维随机向量或二向量构成的上的随机变量，由它们是定义在样本空间和为其样本空间，为一随机试验，定义：设
),(
)()(
YX
YXE
时，二维取得数值一结果，说明：对应于试验的某 yxYX,,
随着就取得平面上的一个点随机变量 ).,(),( yxYX
看成二维随机点。将 ),( YX
也可在平面上随机变化，故试验结果的不同,),( YX
一,二维随机变量的联合分布函数二元函数
，称任何实数为二维随机变量，对于设定义 yxYX,),(2.3
)1.3(,},,{),( yxyYxXPyxF
的分布函数。称为的联合分布函数，也简为 ),(),( YXYX
O
y
0y
),( 00 yx
0x x
F(x,y)的几何意义：
概率。方的无穷矩形区域内的左下落在点机变量表示二维随处的函数值在时发生的概率。
同和事件表示事件联合分布函数
),(),(
),(
),(),(
}{}{),(
00
00
00
yxYX
yxF
yxyxF
yYxXyxF
如图：
),(),(
),(),(
},{
1112
2122
2121
yxFyxF
yxFyxF
yYyxXxP
内的概率为：
落在任一矩形区域二维随机变量的几何解释，不难得出根据
2121
,
),(),(
yYyxXx
YXyxF
O 1x 2x
y
1y
),( 22 yx
x
2y
),( 12 yx
),( 11 yx
),( 21 yx
}.,{1},{ bYaXPbYaXP
说明：
联合分布函数 F(x,y)具有以下基本性质：
,0),(l i m),(
yxFF
y
x
,0),(l i m),(,)2( yxFxFx y对于固定的
,0),(l i m),(, yxFyFy x对于固定的
.1),(0,)1( yxFyx,有对一切
.1),(l i m),(
yxFF
y
x
).,(),(
),(),(
),()3(
2121
2121
yxFyxFyyx
yxFyxFxxy
yxyxF
时当，固定的
，对于任意时，当固定的对于任意是单调不减的函数，即和分别对
.0),(),(),(),(
,)5(
11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yyxx,都有对于任意的
).,()0,(
),,(),0(),()4(
yxFyxF
yxFyxFyxyxF
的右连续函数，即和分别是二,二维离散型随机变量定义 3.3 若二维随机变量 (X,Y)的所有取值为有限个或可列个,则称 (X,Y)为二维离散型随机变量 。
易见 (X,Y)为二维离散型随机变量的充分必要条件是 X,Y分别为一维离散型随机变量 。
与一维随机变量类似,我们用分布律来描述二维离散型随机变量的概率分布 。
的概率分布。的分布律，或称为为的联合分布律，也简称为二维离散型随机变量称取值为
，其所有可能是二维离散型随机变量设定义
),(
),(),(
)2.3(,2,1,,},{)},(),{(
.,2,1,),,(
),(4.3
YX
YXYX
jiPyYxXPyxyxP
jiyx
YX
ijjiji
ji
联合分布函数的性质：
1 1
)4.3(.1)2(
i j
ijp
)3.3(.,2,1,,10)1( jip ij
(X,Y)的联合分布律也可用表格表示：
…pij…pi1pi1xi
…p2j…p22p21x2
…p1j…p12p11x1
…yj…y2y1YX
对平面上任一区域 D,由概率的可加性易得出：
)5.3(,},{}),{(
),( ),(
Djyix Djyix
ijji PyYxXPDYXP
因此,二维离散型随机变量 (X,Y)的联合分布函数为：
求和。的其中和式是对一切满足 jiDyx ji,),(?
},{),( yYxXPyxF
,},{
xix yjy
ij
xix yjy
ji PyYxXP
求和。的其中和式是对一切满足 jiyyxx ji,,
下面来看例题：
,9131}3{}0,0{ 2 号信箱两封信都投入到第PYXP
例 3.1 将两封信随机地投入编号为 1,2,3的信箱 。
设 X表示投入第 1号信箱中的信的数目,Y表示投入第 2号信箱中的信的数目 。 求 (X,Y)的联合分布律及
P{X≤Y}.
解 X和 Y的所有可能取值均为 0,1,2,(X,Y)的所有可能取值为 (i,j),i=0,1,2,j=0,1,2.
,9131}2{}2,0{ 2 号信箱两封信都投入到第PYXP
,
9
1
}0,2{,
9
2
}1,1{,
9
2
}0,1{ YXPYXPYXP
同理可得：
.0}2,2{}1,2{}2,1{ YXPYXPYXP
,
9
2
3
}32{
}1,0{
2
1
2
C
P
YXP
号信箱入第号信箱，而另一封信投有一封信投入第于是 (X,Y)的联合分布律用表格表示为
.
3
2
9
1
9
2
1
}1,2{}0,2{}0,1{(1
}{1}{
YXPYXPYXP
YXpYXP
002
01
0
210YX
9
1
9
1
9
1
9
2
9
2
9
2
三,二维连续型随机变量
)6.3(,d),(d),(
yx vvufuyxF
定义 3.5 对于二维随机变量 (X,Y),若存在非负函数 f (x,y),使对任意实数 x,y,(X,Y)的联合分布函数为则称 (X,Y)为二维连续型随机变量,且称 f (x,y)为二维连续型随机变量 (X,Y)的联合概率密度函数,简称为联合概率密度 。
)7.3(.0),()1(?yxf
联合概率密度 f (x,y)具有以下性质：
可以证明满足 (3.7)式和 (3.8)式的任意一个二元函数 f (x,y),必可作为某个二维连续型随机变量的联合概率密度函数 。
)8.3(.1),(dd),()2(
Fyxyxf
(3)若 f (x,y)在点 (x,y)处连续,则有
)9.3().,(),(
2
yxf
yx
yxF?
事实上,由 (3.6)式知
,d),(d),(d),(
yyx vvxfvvufu
xx
yxF
).,(d),(),(
2
yxfvvxf
yyx
yxF y?
(4)设 D为平面上的任意区域,则
D
yxyxfDYXp )10.3(.dd),(}),{(
即 (X,Y)落在区域 D内的概率等于联合概率密度 f (x,y)
在 D上的二重积分 。
对 (3.10)式的证明要用到较多的数学知识,略去,
但它是一个非常重要的公式 。 它将二维连续型随机变量 (X,Y)在平面区域 D内取值的概率问题转化为一个二重积分的计算 。 从二重积分的几何意义可以知道,P{(X,Y)∈ D}的值等于以 D为底,以曲面 z=f(x,y)
为顶的曲顶柱体的体积 。
},0),(:),{( yxfyxG
如果设
.,0
,,dd),(
dd),(dd),(}),{(
GD
GDyxyxf
yxyxfyxyxfDYXP
GD
GDD
故的过程为因此，一般计算概率 }),{( DYXP?；的区域画出使 Gyxf 0),()1(?；画出 GD?)2(
进行计算。
上化为累次积分在将二重积分 GDyxyxf
D
dd),()3(
下面来看例题：
}.{)2()1(
.,0
,10,10,
),(
),(2.3
2
YXPA
yxyAx
yxf
YX
；常数求：
其他的联合概率密度为已知二维随机变量例
.3.3},10
,10:),{(}0),(:),{()1(
如图解
x
xyxyxfyxG
y
1
O 1 x
G
由 (3.8)式知：
G
yxyxfyxyxf dd),(dd),(1
.,0
,10,10,
2
3
),(
.
2
3
2
其他故从而得
yxyx
yxf
A
1
0
21
0
21
0
,
2
1
3
d
2
1d)(d AxAxyyAxx
.
4.3}.:),{()2(
部分所示的阴影如图区域设 GDyxyxD
y
1
O 1 x
xy?
GDD
yxyxyxyxfYXP dd
2
3dd),(}{ 2
y
xyxy
0
21
0
d
2
3d
1
0
23 d
2
1 yyy
.2411?
).,(),)(2()1(
.,0
,0,0,e
),(
),(3.3
2
yxFYXA
yxA
yxf
YX
yx
的联合分布函数；常数求：
其他的联合概率密度为已知二维随机变量例
,
2
de
2
dedd),(1
)8.3()1(
0
0
2
A
x
A
yAyxyxf
x
yx
式，由解
.,0
,0,0,e2
),(
2
2
其他
，故从而得
yx
yxf
A
yx
(2)如图 3.5，
yx vvufuyxF d),(d),(
其他,0
,0,0,de2d
0
2
0
yxvu
y
vu
x
.,0
,0,0),e1)(e1( 2
其他
yxyx
y
O x
y
x
),( yx
四,两种常见的二维连续型随机变量的分布上服从均匀分布。在变量型随机的面积，则称二维连续为区域其中其他，
概率密度为的联合若为平面上的有界区域，设定义
GYX
GyxS
Gyx
Syxf
YXG
G
G
G
),(
dd
,0
,),(,
1
),(
),(6.3
1,均匀分布
.dd
1
dd),(}),{(
G
D
DGD
D
S
S
yx
S
yxyxfDYXP
SDGD
，则的面积为，且此时若此概率与 D的面积成正比,而与 D在 G内的位置和形状无关 。 这正是均匀分布的,均匀,含义 。 在第 1章中的某些几何概型问题也可用均匀分布来描述 。
}.{
}10:),{(
),(3,4
2XYP
xyyxG
YX
率上服从均匀分布，求概在区域设二维随机变量例下面来看例题：
.,0
,10,2
),(
),(,6.3
2
1
其他的联合概率密度为
，所以由定义的面积为易求出三角形区域解
xy
yxf
YX
G
2
2 dd),(}{
xy
yxyxfXYP
10
2
dd2
xy
xy
yx
xx yx 210 dd2
xy?
2xy?
G
x1O
y
10 2 d)(2 xxx
.31?
,,
,
))((2
)1(2
1
e x p
12
1
),(
),(7.3
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
21
yx
yyx
x
yxf
YX
度为的联合概率密若二维连续型随机变量定义
2,二维正态分布二维正态分布是具有独特性质的二维随机变量分布 。
.1||,0,0,,,,
),,,,,(),(
),(
21
2
1
2
121
2
1
2
121
为参数，且其中
～
作服从二维正态分布，记则称
NYX
YX
易见定义 3.7中的 f(x,y)满足 (3.7)式,可以证明
f(x,y)也满足 (3.8)式 。 图 3.7,图 3.8分别是 N(0,0,1,1,0)
和 N(0,1,1,0.5)的联合概率密度曲面 。
例 1 设 X为随机变量,若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
由题设,),1()044(21 XPXP 故应选 (4).
例 2 设 X,Y相互独立,且均服从正态分布
),0(),( 2N 则若概率,21)(bYaXP
.
2
1
)4(;
2
1
,
2
1
)3(;
2
1
,
2
1
)2(;
2
1
)1(
baba
baba
分析,),)(,)((~)( 222 babaNbYaX
由题设,,)(21)( babYaXP
即 a-b=1,故应选 (2).
例 3 设 ),,(~ 2NX 分布函数为 F(x),则对任意实数 x,有,
.1)()()4(;1)()()3(
);()()2();()()1(
xFxFxFxF
xFxFxFxF
分析,
O?x x X
)(Xf )()( xXPxXP
).4(
)(1)(
选?
xFxF
例 5 设 X,Y相互独立,其中
3
2
3
1
21
p
X
而 Y服从参数为 1的指数分布,则 P{X-Y>0}=
分析,?),(}0{
0
yx
d x d yyxfYXP
解,}0{ YXP
).2(
3
1
1
3
2
3
1
)2()2()1()1(
}2,2{}1,1{
}2,0{}1,0{
21
2
0
1
0
eedyedye
YPXPYPXP
YXPYXP
XYXPXYXP
yy
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
维随机变量。称为二维随机向量或二向量构成的上的随机变量，由它们是定义在样本空间和为其样本空间，为一随机试验，定义：设
),(
)()(
YX
YXE
时，二维取得数值一结果，说明：对应于试验的某 yxYX,,
随着就取得平面上的一个点随机变量 ).,(),( yxYX
看成二维随机点。将 ),( YX
也可在平面上随机变化，故试验结果的不同,),( YX
一,二维随机变量的联合分布函数二元函数
，称任何实数为二维随机变量，对于设定义 yxYX,),(2.3
)1.3(,},,{),( yxyYxXPyxF
的分布函数。称为的联合分布函数，也简为 ),(),( YXYX
O
y
0y
),( 00 yx
0x x
F(x,y)的几何意义：
概率。方的无穷矩形区域内的左下落在点机变量表示二维随处的函数值在时发生的概率。
同和事件表示事件联合分布函数
),(),(
),(
),(),(
}{}{),(
00
00
00
yxYX
yxF
yxyxF
yYxXyxF
如图：
),(),(
),(),(
},{
1112
2122
2121
yxFyxF
yxFyxF
yYyxXxP
内的概率为：
落在任一矩形区域二维随机变量的几何解释，不难得出根据
2121
,
),(),(
yYyxXx
YXyxF
O 1x 2x
y
1y
),( 22 yx
x
2y
),( 12 yx
),( 11 yx
),( 21 yx
}.,{1},{ bYaXPbYaXP
说明：
联合分布函数 F(x,y)具有以下基本性质：
,0),(l i m),(
yxFF
y
x
,0),(l i m),(,)2( yxFxFx y对于固定的
,0),(l i m),(, yxFyFy x对于固定的
.1),(0,)1( yxFyx,有对一切
.1),(l i m),(
yxFF
y
x
).,(),(
),(),(
),()3(
2121
2121
yxFyxFyyx
yxFyxFxxy
yxyxF
时当，固定的
，对于任意时，当固定的对于任意是单调不减的函数，即和分别对
.0),(),(),(),(
,)5(
11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yyxx,都有对于任意的
).,()0,(
),,(),0(),()4(
yxFyxF
yxFyxFyxyxF
的右连续函数，即和分别是二,二维离散型随机变量定义 3.3 若二维随机变量 (X,Y)的所有取值为有限个或可列个,则称 (X,Y)为二维离散型随机变量 。
易见 (X,Y)为二维离散型随机变量的充分必要条件是 X,Y分别为一维离散型随机变量 。
与一维随机变量类似,我们用分布律来描述二维离散型随机变量的概率分布 。
的概率分布。的分布律，或称为为的联合分布律，也简称为二维离散型随机变量称取值为
，其所有可能是二维离散型随机变量设定义
),(
),(),(
)2.3(,2,1,,},{)},(),{(
.,2,1,),,(
),(4.3
YX
YXYX
jiPyYxXPyxyxP
jiyx
YX
ijjiji
ji
联合分布函数的性质：
1 1
)4.3(.1)2(
i j
ijp
)3.3(.,2,1,,10)1( jip ij
(X,Y)的联合分布律也可用表格表示：
…pij…pi1pi1xi
…p2j…p22p21x2
…p1j…p12p11x1
…yj…y2y1YX
对平面上任一区域 D,由概率的可加性易得出：
)5.3(,},{}),{(
),( ),(
Djyix Djyix
ijji PyYxXPDYXP
因此,二维离散型随机变量 (X,Y)的联合分布函数为：
求和。的其中和式是对一切满足 jiDyx ji,),(?
},{),( yYxXPyxF
,},{
xix yjy
ij
xix yjy
ji PyYxXP
求和。的其中和式是对一切满足 jiyyxx ji,,
下面来看例题：
,9131}3{}0,0{ 2 号信箱两封信都投入到第PYXP
例 3.1 将两封信随机地投入编号为 1,2,3的信箱 。
设 X表示投入第 1号信箱中的信的数目,Y表示投入第 2号信箱中的信的数目 。 求 (X,Y)的联合分布律及
P{X≤Y}.
解 X和 Y的所有可能取值均为 0,1,2,(X,Y)的所有可能取值为 (i,j),i=0,1,2,j=0,1,2.
,9131}2{}2,0{ 2 号信箱两封信都投入到第PYXP
,
9
1
}0,2{,
9
2
}1,1{,
9
2
}0,1{ YXPYXPYXP
同理可得：
.0}2,2{}1,2{}2,1{ YXPYXPYXP
,
9
2
3
}32{
}1,0{
2
1
2
C
P
YXP
号信箱入第号信箱，而另一封信投有一封信投入第于是 (X,Y)的联合分布律用表格表示为
.
3
2
9
1
9
2
1
}1,2{}0,2{}0,1{(1
}{1}{
YXPYXPYXP
YXpYXP
002
01
0
210YX
9
1
9
1
9
1
9
2
9
2
9
2
三,二维连续型随机变量
)6.3(,d),(d),(
yx vvufuyxF
定义 3.5 对于二维随机变量 (X,Y),若存在非负函数 f (x,y),使对任意实数 x,y,(X,Y)的联合分布函数为则称 (X,Y)为二维连续型随机变量,且称 f (x,y)为二维连续型随机变量 (X,Y)的联合概率密度函数,简称为联合概率密度 。
)7.3(.0),()1(?yxf
联合概率密度 f (x,y)具有以下性质：
可以证明满足 (3.7)式和 (3.8)式的任意一个二元函数 f (x,y),必可作为某个二维连续型随机变量的联合概率密度函数 。
)8.3(.1),(dd),()2(
Fyxyxf
(3)若 f (x,y)在点 (x,y)处连续,则有
)9.3().,(),(
2
yxf
yx
yxF?
事实上,由 (3.6)式知
,d),(d),(d),(
yyx vvxfvvufu
xx
yxF
).,(d),(),(
2
yxfvvxf
yyx
yxF y?
(4)设 D为平面上的任意区域,则
D
yxyxfDYXp )10.3(.dd),(}),{(
即 (X,Y)落在区域 D内的概率等于联合概率密度 f (x,y)
在 D上的二重积分 。
对 (3.10)式的证明要用到较多的数学知识,略去,
但它是一个非常重要的公式 。 它将二维连续型随机变量 (X,Y)在平面区域 D内取值的概率问题转化为一个二重积分的计算 。 从二重积分的几何意义可以知道,P{(X,Y)∈ D}的值等于以 D为底,以曲面 z=f(x,y)
为顶的曲顶柱体的体积 。
},0),(:),{( yxfyxG
如果设
.,0
,,dd),(
dd),(dd),(}),{(
GD
GDyxyxf
yxyxfyxyxfDYXP
GD
GDD
故的过程为因此，一般计算概率 }),{( DYXP?；的区域画出使 Gyxf 0),()1(?；画出 GD?)2(
进行计算。
上化为累次积分在将二重积分 GDyxyxf
D
dd),()3(
下面来看例题：
}.{)2()1(
.,0
,10,10,
),(
),(2.3
2
YXPA
yxyAx
yxf
YX
；常数求：
其他的联合概率密度为已知二维随机变量例
.3.3},10
,10:),{(}0),(:),{()1(
如图解
x
xyxyxfyxG
y
1
O 1 x
G
由 (3.8)式知：
G
yxyxfyxyxf dd),(dd),(1
.,0
,10,10,
2
3
),(
.
2
3
2
其他故从而得
yxyx
yxf
A
1
0
21
0
21
0
,
2
1
3
d
2
1d)(d AxAxyyAxx
.
4.3}.:),{()2(
部分所示的阴影如图区域设 GDyxyxD
y
1
O 1 x
xy?
GDD
yxyxyxyxfYXP dd
2
3dd),(}{ 2
y
xyxy
0
21
0
d
2
3d
1
0
23 d
2
1 yyy
.2411?
).,(),)(2()1(
.,0
,0,0,e
),(
),(3.3
2
yxFYXA
yxA
yxf
YX
yx
的联合分布函数；常数求：
其他的联合概率密度为已知二维随机变量例
,
2
de
2
dedd),(1
)8.3()1(
0
0
2
A
x
A
yAyxyxf
x
yx
式，由解
.,0
,0,0,e2
),(
2
2
其他
，故从而得
yx
yxf
A
yx
(2)如图 3.5，
yx vvufuyxF d),(d),(
其他,0
,0,0,de2d
0
2
0
yxvu
y
vu
x
.,0
,0,0),e1)(e1( 2
其他
yxyx
y
O x
y
x
),( yx
四,两种常见的二维连续型随机变量的分布上服从均匀分布。在变量型随机的面积，则称二维连续为区域其中其他，
概率密度为的联合若为平面上的有界区域，设定义
GYX
GyxS
Gyx
Syxf
YXG
G
G
G
),(
dd
,0
,),(,
1
),(
),(6.3
1,均匀分布
.dd
1
dd),(}),{(
G
D
DGD
D
S
S
yx
S
yxyxfDYXP
SDGD
，则的面积为，且此时若此概率与 D的面积成正比,而与 D在 G内的位置和形状无关 。 这正是均匀分布的,均匀,含义 。 在第 1章中的某些几何概型问题也可用均匀分布来描述 。
}.{
}10:),{(
),(3,4
2XYP
xyyxG
YX
率上服从均匀分布，求概在区域设二维随机变量例下面来看例题：
.,0
,10,2
),(
),(,6.3
2
1
其他的联合概率密度为
，所以由定义的面积为易求出三角形区域解
xy
yxf
YX
G
2
2 dd),(}{
xy
yxyxfXYP
10
2
dd2
xy
xy
yx
xx yx 210 dd2
xy?
2xy?
G
x1O
y
10 2 d)(2 xxx
.31?
,,
,
))((2
)1(2
1
e x p
12
1
),(
),(7.3
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
21
yx
yyx
x
yxf
YX
度为的联合概率密若二维连续型随机变量定义
2,二维正态分布二维正态分布是具有独特性质的二维随机变量分布 。
.1||,0,0,,,,
),,,,,(),(
),(
21
2
1
2
121
2
1
2
121
为参数，且其中
～
作服从二维正态分布，记则称
NYX
YX
易见定义 3.7中的 f(x,y)满足 (3.7)式,可以证明
f(x,y)也满足 (3.8)式 。 图 3.7,图 3.8分别是 N(0,0,1,1,0)
和 N(0,1,1,0.5)的联合概率密度曲面 。
例 1 设 X为随机变量,若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
由题设,),1()044(21 XPXP 故应选 (4).
例 2 设 X,Y相互独立,且均服从正态分布
),0(),( 2N 则若概率,21)(bYaXP
.
2
1
)4(;
2
1
,
2
1
)3(;
2
1
,
2
1
)2(;
2
1
)1(
baba
baba
分析,),)(,)((~)( 222 babaNbYaX
由题设,,)(21)( babYaXP
即 a-b=1,故应选 (2).
例 3 设 ),,(~ 2NX 分布函数为 F(x),则对任意实数 x,有,
.1)()()4(;1)()()3(
);()()2();()()1(
xFxFxFxF
xFxFxFxF
分析,
O?x x X
)(Xf )()( xXPxXP
).4(
)(1)(
选?
xFxF
例 5 设 X,Y相互独立,其中
3
2
3
1
21
p
X
而 Y服从参数为 1的指数分布,则 P{X-Y>0}=
分析,?),(}0{
0
yx
d x d yyxfYXP
解,}0{ YXP
).2(
3
1
1
3
2
3
1
)2()2()1()1(
}2,2{}1,1{
}2,0{}1,0{
21
2
0
1
0
eedyedye
YPXPYPXP
YXPYXP
XYXPXYXP
yy
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
