第三章 随机变量的数字特征第一节 数学期望用来刻画随机变量的特征的量,叫做随机变量的数字特征 。 这些数字特征虽不能完整地描述随机变量的统计规律,但刻画了随机变量在某些方面的重要特征 。
随机变量的常用的几个数字特征为：数学期望,方差,标准差,协方差,相关系数,矩和协方差矩阵 。
一,离散型随机变量的数学期望例 设随机变量 X的取值为 x1,x2,…,xl,X的分布律为
X xl x2 … xl
pk pl p2 … pl
设在 n次重 合 观测 的 结 果中,有 m1个 x1,m2 个
x2,…,ml个 xl(m1+m2+… +ml=n),则随机变量 X的 n次观测值的平均值为
)1.4(.22112211 nmxnmxnmxn xmxmxm llll
这是以频率为权的加权平均,若令
.,,2,1,)( li
n
mxfp i
ii
则 (4.1)式变为
.
1
2211?
i
iill pxpxpxpx?
在概率论中称为随机变量 X的数学期望 。 现在我们引进如下定义 。
定义 4.1 设离散型随机变量 X的分布律为
,,2,1,}{ kpxXP kk
，即或值，记为
，又称为均的数学期望，简称期望为随机变量则称收敛绝对收敛，即若级数
EXXE
Xpx
pxpx
k
kk
k
k
k
k
kk
)(
,||
1
11
1
)2.4(.)(
k
kk pxXE
不存在。不收敛，则称若 )(||
1
XEpx
k
kk?
的值。排列次序就不会影响取值的人为”。这样，随机变量所得级数的和保持不变数的各项任意重排后绝对收敛可以保证“级注：①级数
)(
1
XE
X
px
k
kk?
平均值的推广。值。所以说数学期望是的算术平均个实数化成求则的分布律为②特别，若
n
n
k
k
k
xxxnx
n
XE
nk
n
xXP
X
,,,,
1
)(
.,,2,1,
1
}{
21
1
例 4.1 设袋中装有 2个白球和 3个红球,将球一个一个取出,每次取出后不放回 。 设在第 X次第二次取得红球,求 E(X).
,3.02
5
2
3
C
C
解 X的所有可能取值为 2,3,4.
P{X=2}=P{在第二次第二次取得红球 }
=P{前两次都取得红球 }
P{X=3}=P{在第三次第二次取得红球 }
=P{前两次只取得一个红球而第三次取的是红球 }
,4.0
3
2
2
5
1
3
1
2
C
CC
P{X=4}=P{在第四次第二次取得红球 }
=P{前三次只取得一个红球而第四次取的是红球 }
或 P{X=4}=1-P{X=2}-P{X=3}=1-0.3-0.4=0.3.
即 X的分布律为
,3.0
2
2
3
5
1
3
2
2
C
CC
X 2 3 4
pk 0.3 0.4 0.3
从而 E(X)=2× 0.3+3× 0.4+4× 0.3=3.
求离散型随机变量的数学期望,关键是先求其分布律再求期望 。
例 4.3 某射手连续向一目标射击,直到第一次击中目标时为止,设 每 次 射 击 击 中 目 标 的 概 率 都 是
p(0<p<1),求射击次数 X的数学期望 。
,)(
1
1
1
1
k
k
k
k kqppkqXE
解 射击次数 X的分布律为
P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…,其中 q=1-p.
两边同乘以 q,
,)(
1
k
kkqpXqE
再将上面二式相减
,1
1
)()1(
1
1
11
1?
q
p
qpkqkqPXEq
k
k
k
k
k
k
.1)(
p
XE?从而
,d)()(
d)(
d)(||d)(
)(2.4
xxxfXE
XxxxfX
xxfxxxxf
xfX
期 望 或 均 值,即的 数 学作为的 数 学 期 望 存 在,并 将随 机 变 量收 敛,则 称绝 对 收 敛,即若 积 分
，的 概 率 密 度 为设 连 续 型 随 机 变 量定义不存在。发散，则称若 )(d)(|| XExxfx?
二,连续型随机变量的数学期望例 4.5 设随机变量 X在区间 [a,b]上服从均匀分布,
其概率密度为
.,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
求 E(X).
.2d1d)()( baxabxxxxfXE
b
a
.
2
],[
],[
ba
ba
ba
的 中 点间变 量,其 均 值 为 区上 服 从 均 匀 分 布 的 随 机即 在 区 间解例 4.6 设 X～ N(?,?2),求 E(X).
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x
解 由题意知,X的概率密度为
.de
2
1
d)()( 22
2)(
xxxxxfXE
x
于是
，则作变量代替，令 xtxt dd,
ttXE
t
de
2
1
)()( 2
2
.de
2
1
2
de
2
1 2
2
2
2
ttt
tt
第一个积分利用标准正态分布的概率密度在 (-∞,+∞)上的积分为 1,第二个积分利用奇函数在对称区间上的积分为零而得 。
这说明,在正态分布 N(?,? 2)中,参数?是该分布的数学期望 。
三,随机变量函数的数学期望的数 学 期望 等 等。积而我 们只感兴 趣球的体是随 机变量，例 如 设 球的 直 径变量 函数的 数 学期望。
机们 有 时 感 兴 趣 的 只是 随在许 多 实际问 题 中，我
3
6
XV
X
一般的提法是,已知随机变量 X的分布,如何求随机变量 X的函数 Y=g(x)的数学期望呢？
定理 4.1 设随机变量 Y是随机变量 X的函数 Y=g(X),
y=g(x)为连续函数。
,,2,1,}{ kpxXP kk
(1) 若 X为离散型随机变量，其分布律为
)4.4(.)()]([)(
|)(|
1
1
k
kk
k
kk
pxgXgEYE
pxg 收敛，则有且
)5.4(.d)()()]([)(
d)(|)(|
)()2(
xxfxgXgEYE
xxfxg
xfX
收敛，则有
，且概率密度为为连续型随机变量，其若例 4.7 设随机变量 X在区间 [-2,2]上服从均匀分布，
Y=|X|,求 E(Y).
解 由题意,X的概率密度为
.,0
,22,
4
1
)(
其他
xxf
由 (4.5)式，
xxfxXEYE d)(|||)(|)(
.1d21d41||
2
0
2
2
xxxx
例 4.8 设某种商品每周的需求量 X是服从区间
[10,30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间 [10,30]中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100元；若供小于求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利 300元。为使商店经销这种商品所获利润期望值不少于 9280元，试确定每周最少进货量。
30),(300500
,10),(100500
)(
XttXt
tXXtX
XgY
解 设每周进货数量为 t(单位 )，又设商店经销这种商品每周的利润为 Y(元 )，依题意，求 t，使 E(Y)≥9280,
先确定利润 Y与需求量 X的关系：
由题设，随机变量 X的概率密度为
.30,2 0 03 0 0
,10,1 0 06 0 0
XttX
tXtX
,,0
,3010,
20
1
)(
其他
xxf
期望利润
3010 d)(201d)()()]([)( xxgxxfxgXgEYE
30
10
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20
1
t
t
xtxxtx
.5 2 5 03505.7 2 tt
定理 4.2 设 (X,Y)为二维随机变量,g(x,y)为二元连续函数。
的数学期望为函数绝对收敛，则随机变量且级数 ),(),(
1 1
YXgpyxg
i j
ijji
(1)若 (X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
,,2,1,,2,1,},{ jipyYxXP ijji
1 1
)6.4(.),()],([
i j
ijji pyxgYXgE
)7.4(dd),(),()],([ yxyxfyxgYXgE
绝对收敛，则随机变量函数 g(X,Y)的数学期望为注意①，若 (X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为 f(x,y),有
(2)若 (X,Y)为二维连续随机变量，其联合概率密度为 f(x,y)且广义积分
yxyxfyxg dd),(),(
也就是说，对于二维连续型随机变量，计算 E[g(X)]用
(4.8)式比用 (4.5)式计算方便。
②但当 (X,Y)为二维离散型随机变量时，由于求边缘分布律不复杂，用定理计算 E[g(x)]稍简洁些。
)8.4(dd),()()]([ yxyxfxgXgE
xyyxfxg dd),()(?
,)d()( xxfxg X?
例 4.9 设二维随机变量 (X,Y)只能取下列数值中的值,(0,-1),(-1,1),(0,1),(2,-1),且取这些值的概率依次为
0.2,0.1,0.3,0.4,求,(1)E(X2);(2)E(XY).
解 由题意写出 (X,Y)的联合分布律并计算边缘分布律如下：
X
Y -1 0 2 P{Y=yj}
-1 0 0.2 0.4 0.6
1 0.1 0.3 0 0.4
P{X=xi} 0.1 0.5 0.4 1
.7.1
4.025.001.0)1()()4.4()1( 2222
XE式，由
.9.0
012
4.0)1(23.01
02.0)1(01.0
1)1(0)1()1()(
)6.4()2(
i j
ijji
pyxXYE
式，由例 4.10 设 (X,Y)的联合概率密度为
.,0
,0,10,3
),(
其他
xyxx
yxf
).()4();()3();()2();(),()1( 2 XYEYXEYEXEXE?求：
解 用定理 4.2计算。
,
4
3
d3
d3ddd),()()1(
1
0
3
0
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1
0
xx
yxxyxyxxfXE
x
.
5
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yxxyxyxfxXE
x
.
8
3
d
2
3
d3ddd),()()2(
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0
1
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xx
yxyxyxyxyfYE
x
.
8
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d
2
9
d)(3d
dd),()()()3(
1
0
3
0
1
0
xxyyxxx
yxyxfyxYXE
x
.
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3
d
2
3
d3ddd),()()4(
1
0
4
0
2
1
0
xx
yyxxyxyxx y fXYE
x
四、数学期望的性质性质 1 设 C为常数，则 E(C)=C.
xxfbaxbaXE d)()()(
证 可将 C看成只取一个值 C的离散型随机变量 X，
即 P{X=C}=1，则 E(C)=C.
性质 2 设 a,b为常数，则 E(aX+b)=aE(X)+b.
证 设 X的概率密度为 f(x)，由定理 4.1有
xxfbxxxfa d)(d)(
.)( bXaE
推论 E(aX)=aE(X)，其中 a为常数。
第四章性质 3 E(X+Y)=E(X)+E(Y).
yxyxfyxYXE dd),()()(
证 设 (X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，由定理 4.2有推论
yxyxyfyxyxxf dd),(dd),(
).()( YEXE
可以简单地叙述为“和的期望等于期望之和”。这个性质还可以推广到 n个随机变量的场合。
n
k
kk
n
k
kk bXEabXaE
11
,)(
为常数。其中 baaa n,,,,21?
第一节性质 4 若 X与 Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y).
yxyxx y fXYE dd),()(
yxyfxx y f YX dd)()(
).()(d)(d)( YEXEyyyfxxxf YX
性质 4可以简单地叙述为“独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积”。这个性质也可推广到 n个独立随机变量的场合。
推论
n
k
k
n
k
i
n
XEXE
XXX
11
21
).(
,,,相互独立，则若?
例 4.11 设某年龄段一位健康者 (一般体检未发现病症 )在 10年内活着或自杀死亡的概率为 p(0<p<1,p已知 )，
在 10年内非自杀死亡的概率为 1-p,保险公司开办 10年人寿保险，参加需交保险费 a元 (已知 )。若 10年内非自杀死亡，保险公司赔偿 b元 (b>a),b应如何定，才能使保险公司期望获益？若有 m人参加保险，保险公司可期望从中收益多少？
).1()1)(()( pbapbaapXE k
解 设 Xk(单位：元 )表示保险公司从第 k个参保人身上所得收益。由题设,Xk的分布律为
Xk a a-b
pk p 1-p
保险公司期望收益益。才能使保险公司期望获即只有，得依题意，由,
1
.
1
0)(
p
a
ba
p
a
baXE k
为，保险公司可期望收益从而由期望性质
，司收益为人参加保险，则保险公若有
3
1
m
k
kXXm
m
k
k pmbmaXEXE
1
).1()()(
,,,2,1
,0
,1
ni
i
i
X i?
个元件不发生故障，第个元件发生故障，第例 4.12 一套仪器共有 n个元件，第 i个元件发生故障的概率等于 pi (i=1,2,…,n)，问整套仪器平均有多少个元件发生故障？
.
1
n
i
ii XXiX 数，则个元件发生故障的元件为第即解 设随机变量 X表示整套仪器中发生故障的元件数，本题是求 E(X),显然求 X的分布律相当复杂。我们不采用 X的分布律，而是用另一种方法计算 E(X)。令
n
i
i
n
i
i XEXEXE
11
).()(3,于是由期望性质现在问题归结为求 E(Xi),由于 Xi的分布律为
.)(,)(
1
n
i
iii pXEpXE 从而故量 的方 法 。
解 随机 变,我 们就 可 以 用这 种 分分 布律 或 复 杂或 困 难 时机 变量 的量 的期 望,而 要求 出 随题 中,仅 需要 求 随 机变在 某些 问机 变量 的 分 解法 。 如 果的 普通 意 义,称 之为 随定,这 种处 理 方 法具 有 一计 算出然 后由 期 望 性质
，和表 示成 一 些 随机 变 量 之注,本 题将
)(3
1
XE
XXX
n
i
i?
pi1-pipk
10Xi,,,2,1,ni
随机变量的常用的几个数字特征为：数学期望,方差,标准差,协方差,相关系数,矩和协方差矩阵 。
一,离散型随机变量的数学期望例 设随机变量 X的取值为 x1,x2,…,xl,X的分布律为
X xl x2 … xl
pk pl p2 … pl
设在 n次重 合 观测 的 结 果中,有 m1个 x1,m2 个
x2,…,ml个 xl(m1+m2+… +ml=n),则随机变量 X的 n次观测值的平均值为
)1.4(.22112211 nmxnmxnmxn xmxmxm llll
这是以频率为权的加权平均,若令
.,,2,1,)( li
n
mxfp i
ii
则 (4.1)式变为
.
1
2211?
i
iill pxpxpxpx?
在概率论中称为随机变量 X的数学期望 。 现在我们引进如下定义 。
定义 4.1 设离散型随机变量 X的分布律为
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，又称为均的数学期望，简称期望为随机变量则称收敛绝对收敛，即若级数
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kk
k
k
k
k
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21
1
例 4.1 设袋中装有 2个白球和 3个红球,将球一个一个取出,每次取出后不放回 。 设在第 X次第二次取得红球,求 E(X).
,3.02
5
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C
C
解 X的所有可能取值为 2,3,4.
P{X=2}=P{在第二次第二次取得红球 }
=P{前两次都取得红球 }
P{X=3}=P{在第三次第二次取得红球 }
=P{前两次只取得一个红球而第三次取的是红球 }
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P{X=4}=P{在第四次第二次取得红球 }
=P{前三次只取得一个红球而第四次取的是红球 }
或 P{X=4}=1-P{X=2}-P{X=3}=1-0.3-0.4=0.3.
即 X的分布律为
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2
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CC
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从而 E(X)=2× 0.3+3× 0.4+4× 0.3=3.
求离散型随机变量的数学期望,关键是先求其分布律再求期望 。
例 4.3 某射手连续向一目标射击,直到第一次击中目标时为止,设 每 次 射 击 击 中 目 标 的 概 率 都 是
p(0<p<1),求射击次数 X的数学期望 。
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k
k
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k kqppkqXE
解 射击次数 X的分布律为
P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…,其中 q=1-p.
两边同乘以 q,
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再将上面二式相减
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期 望 或 均 值,即的 数 学作为的 数 学 期 望 存 在,并 将随 机 变 量收 敛,则 称绝 对 收 敛,即若 积 分
，的 概 率 密 度 为设 连 续 型 随 机 变 量定义不存在。发散，则称若 )(d)(|| XExxfx?
二,连续型随机变量的数学期望例 4.5 设随机变量 X在区间 [a,b]上服从均匀分布,
其概率密度为
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求 E(X).
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的 中 点间变 量,其 均 值 为 区上 服 从 均 匀 分 布 的 随 机即 在 区 间解例 4.6 设 X～ N(?,?2),求 E(X).
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第一个积分利用标准正态分布的概率密度在 (-∞,+∞)上的积分为 1,第二个积分利用奇函数在对称区间上的积分为零而得 。
这说明,在正态分布 N(?,? 2)中,参数?是该分布的数学期望 。
三,随机变量函数的数学期望的数 学 期望 等 等。积而我 们只感兴 趣球的体是随 机变量，例 如 设 球的 直 径变量 函数的 数 学期望。
机们 有 时 感 兴 趣 的 只是 随在许 多 实际问 题 中，我
3
6
XV
X
一般的提法是,已知随机变量 X的分布,如何求随机变量 X的函数 Y=g(x)的数学期望呢？
定理 4.1 设随机变量 Y是随机变量 X的函数 Y=g(X),
y=g(x)为连续函数。
,,2,1,}{ kpxXP kk
(1) 若 X为离散型随机变量，其分布律为
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1
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k
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pxgXgEYE
pxg 收敛，则有且
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收敛，则有
，且概率密度为为连续型随机变量，其若例 4.7 设随机变量 X在区间 [-2,2]上服从均匀分布，
Y=|X|,求 E(Y).
解 由题意,X的概率密度为
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由 (4.5)式，
xxfxXEYE d)(|||)(|)(
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2
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xxxx
例 4.8 设某种商品每周的需求量 X是服从区间
[10,30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间 [10,30]中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100元；若供小于求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利 300元。为使商店经销这种商品所获利润期望值不少于 9280元，试确定每周最少进货量。
30),(300500
,10),(100500
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解 设每周进货数量为 t(单位 )，又设商店经销这种商品每周的利润为 Y(元 )，依题意，求 t，使 E(Y)≥9280,
先确定利润 Y与需求量 X的关系：
由题设，随机变量 X的概率密度为
.30,2 0 03 0 0
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定理 4.2 设 (X,Y)为二维随机变量,g(x,y)为二元连续函数。
的数学期望为函数绝对收敛，则随机变量且级数 ),(),(
1 1
YXgpyxg
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(1)若 (X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
,,2,1,,2,1,},{ jipyYxXP ijji
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绝对收敛，则随机变量函数 g(X,Y)的数学期望为注意①，若 (X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为 f(x,y),有
(2)若 (X,Y)为二维连续随机变量，其联合概率密度为 f(x,y)且广义积分
yxyxfyxg dd),(),(
也就是说，对于二维连续型随机变量，计算 E[g(X)]用
(4.8)式比用 (4.5)式计算方便。
②但当 (X,Y)为二维离散型随机变量时，由于求边缘分布律不复杂，用定理计算 E[g(x)]稍简洁些。
)8.4(dd),()()]([ yxyxfxgXgE
xyyxfxg dd),()(?
,)d()( xxfxg X?
例 4.9 设二维随机变量 (X,Y)只能取下列数值中的值,(0,-1),(-1,1),(0,1),(2,-1),且取这些值的概率依次为
0.2,0.1,0.3,0.4,求,(1)E(X2);(2)E(XY).
解 由题意写出 (X,Y)的联合分布律并计算边缘分布律如下：
X
Y -1 0 2 P{Y=yj}
-1 0 0.2 0.4 0.6
1 0.1 0.3 0 0.4
P{X=xi} 0.1 0.5 0.4 1
.7.1
4.025.001.0)1()()4.4()1( 2222
XE式，由
.9.0
012
4.0)1(23.01
02.0)1(01.0
1)1(0)1()1()(
)6.4()2(
i j
ijji
pyxXYE
式，由例 4.10 设 (X,Y)的联合概率密度为
.,0
,0,10,3
),(
其他
xyxx
yxf
).()4();()3();()2();(),()1( 2 XYEYXEYEXEXE?求：
解 用定理 4.2计算。
,
4
3
d3
d3ddd),()()1(
1
0
3
0
2
1
0
xx
yxxyxyxxfXE
x
.
5
3
d3
d3ddd),()(
1
0
4
0
3
1
0
22
xx
yxxyxyxfxXE
x
.
8
3
d
2
3
d3ddd),()()2(
1
0
3
0
1
0
xx
yxyxyxyxyfYE
x
.
8
9
d
2
9
d)(3d
dd),()()()3(
1
0
3
0
1
0
xxyyxxx
yxyxfyxYXE
x
.
10
3
d
2
3
d3ddd),()()4(
1
0
4
0
2
1
0
xx
yyxxyxyxx y fXYE
x
四、数学期望的性质性质 1 设 C为常数，则 E(C)=C.
xxfbaxbaXE d)()()(
证 可将 C看成只取一个值 C的离散型随机变量 X，
即 P{X=C}=1，则 E(C)=C.
性质 2 设 a,b为常数，则 E(aX+b)=aE(X)+b.
证 设 X的概率密度为 f(x)，由定理 4.1有
xxfbxxxfa d)(d)(
.)( bXaE
推论 E(aX)=aE(X)，其中 a为常数。
第四章性质 3 E(X+Y)=E(X)+E(Y).
yxyxfyxYXE dd),()()(
证 设 (X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，由定理 4.2有推论
yxyxyfyxyxxf dd),(dd),(
).()( YEXE
可以简单地叙述为“和的期望等于期望之和”。这个性质还可以推广到 n个随机变量的场合。
n
k
kk
n
k
kk bXEabXaE
11
,)(
为常数。其中 baaa n,,,,21?
第一节性质 4 若 X与 Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y).
yxyxx y fXYE dd),()(
yxyfxx y f YX dd)()(
).()(d)(d)( YEXEyyyfxxxf YX
性质 4可以简单地叙述为“独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积”。这个性质也可推广到 n个独立随机变量的场合。
推论
n
k
k
n
k
i
n
XEXE
XXX
11
21
).(
,,,相互独立，则若?
例 4.11 设某年龄段一位健康者 (一般体检未发现病症 )在 10年内活着或自杀死亡的概率为 p(0<p<1,p已知 )，
在 10年内非自杀死亡的概率为 1-p,保险公司开办 10年人寿保险，参加需交保险费 a元 (已知 )。若 10年内非自杀死亡，保险公司赔偿 b元 (b>a),b应如何定，才能使保险公司期望获益？若有 m人参加保险，保险公司可期望从中收益多少？
).1()1)(()( pbapbaapXE k
解 设 Xk(单位：元 )表示保险公司从第 k个参保人身上所得收益。由题设,Xk的分布律为
Xk a a-b
pk p 1-p
保险公司期望收益益。才能使保险公司期望获即只有，得依题意，由,
1
.
1
0)(
p
a
ba
p
a
baXE k
为，保险公司可期望收益从而由期望性质
，司收益为人参加保险，则保险公若有
3
1
m
k
kXXm
m
k
k pmbmaXEXE
1
).1()()(
,,,2,1
,0
,1
ni
i
i
X i?
个元件不发生故障，第个元件发生故障，第例 4.12 一套仪器共有 n个元件，第 i个元件发生故障的概率等于 pi (i=1,2,…,n)，问整套仪器平均有多少个元件发生故障？
.
1
n
i
ii XXiX 数，则个元件发生故障的元件为第即解 设随机变量 X表示整套仪器中发生故障的元件数，本题是求 E(X),显然求 X的分布律相当复杂。我们不采用 X的分布律，而是用另一种方法计算 E(X)。令
n
i
i
n
i
i XEXEXE
11
).()(3,于是由期望性质现在问题归结为求 E(Xi),由于 Xi的分布律为
.)(,)(
1
n
i
iii pXEpXE 从而故量 的方 法 。
解 随机 变,我 们就 可 以 用这 种 分分 布律 或 复 杂或 困 难 时机 变量 的量 的期 望,而 要求 出 随题 中,仅 需要 求 随 机变在 某些 问机 变量 的 分 解法 。 如 果的 普通 意 义,称 之为 随定,这 种处 理 方 法具 有 一计 算出然 后由 期 望 性质
，和表 示成 一 些 随机 变 量 之注,本 题将
)(3
1
XE
XXX
n
i
i?
pi1-pipk
10Xi,,,2,1,ni
