2.3 几 种 常 见 的 连 续 型 分 布
.,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
1,均匀分布若 R.V,X在有限区间 (a,b)内取值,且则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布 。 记为 X～ U(a,b).
a xb
)(xf
c d
时，当 ),(),( badc?
}{ dXcP
dc xxf d)(
dc xab d1
.ab
cd
如：测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分布 。 在 (a,b)上随机掷质点 。 X表示质点的坐标,则一般认为 X～ U(a,b).
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
只与 z区间长度有关,与 z区间的位置无关 。 即 X落在两个长度相等的 z区间内的概率相等 。 具有上述特点的随机变量便是均匀分布的随机变量 。
X的分布函数为若随机变量 X具有概率密度
0,0
0,e)(
x
xxf x
2,指数分布则称随机变量 X服从指数分布,记作 X～ e(?),其中?＞
0是分布的参数 。
例如,电子元件的使用寿命,各种随机服务系统的服务时间,等等都可以认为是服从指数分布的 。
X的分布函数为
.00,
0,e1)(
x
xxF x?
.0,0
,0,e
1 0 0 0
1
)(
1 0 0 0
1
e
)h(3
1 0 0 0
x
x
xf
X
x
,其 概 率 密 度 为服 从 指 数 分 布单位：某 电 子 管 的 寿 命例
(1)求这种电子管能使用 1000h以上的概率；
(2)三个这种管子中恰有一个能使用 1000h以上的概率 。
解,(1)
}1 0 0 0{?XP
1 0 0 0
d)( xxf
1 0 0 0
1 0 0 0 de
1 0 0 0
1 xx
1000
1000e
x,e
1
(2) y:三个电子管中使用 1000h以上的管子数 。
)e,3( 1?By ～
}1{?yP,)e1(e 21113 C
指数分布具有无后效性,
.00,
0,e1)(
x
xxF x?
设寿命 X(单位：年 )～ e(?).
0, ts
.}{
)(1e
e
e
)(1
)(1
}{
}{
}{
},{
}|{
)(
无关与 stXP
tF
sF
tsF
sXP
tsXP
sXP
sXtsXP
sXtsXP
t
s
ts
3,正态 (Normal)分布它是最重要的连续型随机变量的分布 。
若随机变量 X具有概率密度其中?,? (? >0)为常数,则称 X服从参数为?,? 2的正态分布,
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x
记为 X～ N(?,?2).
x
2
1
)(xf
位置参数:?
越小，2? 的取值越集中，X
越大，2? 的取值越分散。X
N(0,1)：标准正态分布
.,e
2
1)( 2
2
xx
x
其概率密度
.de
2
1)( 2
2
tx
x t
其分布函数
.5.0?
)1,0(NX ～
)(1)( xx
)0(?
x
)(1 x
x?
)( x
)(x?
O x
查 表 计 算
)(}{ aaXP
yt
),,( 2NX ～设
)( xF
其分布函数
yt dd
y
x y
de
2
1 2
2
t
x
t
de
2
1 22
2)(
x
),( 2NX ～
}{ aXP? )(aF?
,
a
}{ bXaP )()( aFbF
.
ab
解：
例 4 设 X～ N(1,4),求 (1)P{0<X≤1.6}; (2)P{X>3}.
.2,1
}6.10{)1( XP
2
16.1
2
10
)5.0()3.0(
)]5.0(1[)3.0(
.3094.06915.016179.0
}3{)2(?XP }3{1 XP
2
131
)1(1
.1 5 8 7.08 4 1 3.01
解：
例 5 设 X～ N(?,?2),求 P{?-3?<X<?+3?}.
}33{ XP
33
)3()3( 1)3(2,9973.0?
%73.99
x 3 3?
X落在 (?-3?,? +3?)之外的概率为 0.0027,常把区间 (?- 3?,? +3? )看作是正态随机变量 X实际可能的取值区间,即所谓的,3?法则,。
很多随机变量服从或近似服从正态分布 。 如：人的身高,
体重；考试成绩；零件的加工尺寸；测量误差； ……
设 X～ N(0,1),给定? (0<? <1),满足 P{X＞ z? }=?
的点 z?称作标准正态分布的 上?分位点 (数 ).
)(?z?
)(x?
O x?z
1
05.0z如,645.1? 025.0z,96.1?
例 6 设 X~N(10,4),求 P(10<X<13),P(|X-10|<2).
解 P(10<X<13)=?
2
1013?
2
1010
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P(|X-10|<2)= P(8<X<12)
=2Φ(1)-1 =0.6826
2 1012 2108
=Φ(1)- Φ(-1) =Φ(1)- [1-Φ(1)]
例 7 设 X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,
P(X≤5.9)=0.758,求 μ及 σ.
解 P(X≤-1.6)=,0 36.0)6.1(
,06.1
,9 6 4.00 3 6.01)6.1( 所以,8.1
6.1
又 P(X≤5.9)=,758.0)9.5(
所以,7.09.5
联立解方程组得,μ=3,σ=3.8
特别 Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
例 8 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 80分之间的概率。
解 设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P(X>96)=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977
24/σ=2,故,σ=12
所求 P(60<X<84)= )
12
7260()
12
7284(
)1()1( =0.682
1,已知 X~N(3,22),且
P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ )
2,设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
3
①
)1()44(1p
课堂练习
f(x)
x0 μ
P(X≤μ) P(X≥μ)
例 设 X为随机变量,若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
由题设,),1()044(
2
1 XPXP 故应选 (4).
例 是 的密度函数 则,( ))(xf X 1)(0 xf;4/1)1(,8/1)1( XPXP
内任一子区间上取值的条件概率例 8 设随机变量 的绝对值不大于 1 ；X
在事件 出现的条件下,)11( X
)1,1(?
与该子区间的长度成正比,
(1) 的分布函数X );( xF
(2) 取负值的概率X,p
X 在试求
)( xF
分布函数 三性质
)(xF① 的单调不减
② 1)(0 xF 1)(F 0)(F
③ 右连续 )()0( xFxF
解 0)()()(PxXPxF
1)()()( PxXPxF当,1?x
当 推导较复杂先做准备工作,,11 x
)1()1()11()11( XPXPXPXP
由题设知
8/54/18/11
)1()111( xkXxXP设于是当,1x(1)
上式中令 得 1x k21? 2/1 k
2/)1()111( xXxXP
还可另法求 k
)11,1( XxXP
)1()1()( xXPFxF
)11( XP )111( XxXP
2/)1)(8/5( x又
)1()1()1()1( XPXPXPF
8/18/10
于是当 时，11 x
.16/)75()1()1()( xFxXPxF
16/)15( x
1,0x
1,1?x
11,16/)75( xx?)( xF
1? 0 1
1
)(xF
x
(2)
.16/7)00()]00()0([)0( FFFF
)0()0()0( XPXPXPp
1,0x
1,1?x
11,8/]1)1(5[ xxk?)( xF
4/1)01()1()1( FFXP由题设 得
4/18/)110(1 k 2/1 k
[附 ] k 的另一求法
.,0
,,
1
)(
其他
bxa
abxf
1,均匀分布若 R.V,X在有限区间 (a,b)内取值,且则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布 。 记为 X～ U(a,b).
a xb
)(xf
c d
时，当 ),(),( badc?
}{ dXcP
dc xxf d)(
dc xab d1
.ab
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如：测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分布 。 在 (a,b)上随机掷质点 。 X表示质点的坐标,则一般认为 X～ U(a,b).
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
只与 z区间长度有关,与 z区间的位置无关 。 即 X落在两个长度相等的 z区间内的概率相等 。 具有上述特点的随机变量便是均匀分布的随机变量 。
X的分布函数为若随机变量 X具有概率密度
0,0
0,e)(
x
xxf x
2,指数分布则称随机变量 X服从指数分布,记作 X～ e(?),其中?＞
0是分布的参数 。
例如,电子元件的使用寿命,各种随机服务系统的服务时间,等等都可以认为是服从指数分布的 。
X的分布函数为
.00,
0,e1)(
x
xxF x?
.0,0
,0,e
1 0 0 0
1
)(
1 0 0 0
1
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)h(3
1 0 0 0
x
x
xf
X
x
,其 概 率 密 度 为服 从 指 数 分 布单位：某 电 子 管 的 寿 命例
(1)求这种电子管能使用 1000h以上的概率；
(2)三个这种管子中恰有一个能使用 1000h以上的概率 。
解,(1)
}1 0 0 0{?XP
1 0 0 0
d)( xxf
1 0 0 0
1 0 0 0 de
1 0 0 0
1 xx
1000
1000e
x,e
1
(2) y:三个电子管中使用 1000h以上的管子数 。
)e,3( 1?By ～
}1{?yP,)e1(e 21113 C
指数分布具有无后效性,
.00,
0,e1)(
x
xxF x?
设寿命 X(单位：年 )～ e(?).
0, ts
.}{
)(1e
e
e
)(1
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}{
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}|{
)(
无关与 stXP
tF
sF
tsF
sXP
tsXP
sXP
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sXtsXP
t
s
ts
3,正态 (Normal)分布它是最重要的连续型随机变量的分布 。
若随机变量 X具有概率密度其中?,? (? >0)为常数,则称 X服从参数为?,? 2的正态分布,
,,e
2
1
)( 22
2)(
xxf
x
记为 X～ N(?,?2).
x
2
1
)(xf
位置参数:?
越小，2? 的取值越集中，X
越大，2? 的取值越分散。X
N(0,1)：标准正态分布
.,e
2
1)( 2
2
xx
x
其概率密度
.de
2
1)( 2
2
tx
x t
其分布函数
.5.0?
)1,0(NX ～
)(1)( xx
)0(?
x
)(1 x
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)( x
)(x?
O x
查 表 计 算
)(}{ aaXP
yt
),,( 2NX ～设
)( xF
其分布函数
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y
x y
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2
1 2
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2
1 22
2)(
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.
ab
解：
例 4 设 X～ N(1,4),求 (1)P{0<X≤1.6}; (2)P{X>3}.
.2,1
}6.10{)1( XP
2
16.1
2
10
)5.0()3.0(
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.3094.06915.016179.0
}3{)2(?XP }3{1 XP
2
131
)1(1
.1 5 8 7.08 4 1 3.01
解：
例 5 设 X～ N(?,?2),求 P{?-3?<X<?+3?}.
}33{ XP
33
)3()3( 1)3(2,9973.0?
%73.99
x 3 3?
X落在 (?-3?,? +3?)之外的概率为 0.0027,常把区间 (?- 3?,? +3? )看作是正态随机变量 X实际可能的取值区间,即所谓的,3?法则,。
很多随机变量服从或近似服从正态分布 。 如：人的身高,
体重；考试成绩；零件的加工尺寸；测量误差； ……
设 X～ N(0,1),给定? (0<? <1),满足 P{X＞ z? }=?
的点 z?称作标准正态分布的 上?分位点 (数 ).
)(?z?
)(x?
O x?z
1
05.0z如,645.1? 025.0z,96.1?
例 6 设 X~N(10,4),求 P(10<X<13),P(|X-10|<2).
解 P(10<X<13)=?
2
1013?
2
1010
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P(|X-10|<2)= P(8<X<12)
=2Φ(1)-1 =0.6826
2 1012 2108
=Φ(1)- Φ(-1) =Φ(1)- [1-Φ(1)]
例 7 设 X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,
P(X≤5.9)=0.758,求 μ及 σ.
解 P(X≤-1.6)=,0 36.0)6.1(
,06.1
,9 6 4.00 3 6.01)6.1( 所以,8.1
6.1
又 P(X≤5.9)=,758.0)9.5(
所以,7.09.5
联立解方程组得,μ=3,σ=3.8
特别 Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
例 8 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 80分之间的概率。
解 设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P(X>96)=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977
24/σ=2,故,σ=12
所求 P(60<X<84)= )
12
7260()
12
7284(
)1()1( =0.682
1,已知 X~N(3,22),且
P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ )
2,设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
3
①
)1()44(1p
课堂练习
f(x)
x0 μ
P(X≤μ) P(X≥μ)
例 设 X为随机变量,若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
由题设,),1()044(
2
1 XPXP 故应选 (4).
例 是 的密度函数 则,( ))(xf X 1)(0 xf;4/1)1(,8/1)1( XPXP
内任一子区间上取值的条件概率例 8 设随机变量 的绝对值不大于 1 ；X
在事件 出现的条件下,)11( X
)1,1(?
与该子区间的长度成正比,
(1) 的分布函数X );( xF
(2) 取负值的概率X,p
X 在试求
)( xF
分布函数 三性质
)(xF① 的单调不减
② 1)(0 xF 1)(F 0)(F
③ 右连续 )()0( xFxF
解 0)()()(PxXPxF
1)()()( PxXPxF当,1?x
当 推导较复杂先做准备工作,,11 x
)1()1()11()11( XPXPXPXP
由题设知
8/54/18/11
)1()111( xkXxXP设于是当,1x(1)
上式中令 得 1x k21? 2/1 k
2/)1()111( xXxXP
还可另法求 k
)11,1( XxXP
)1()1()( xXPFxF
)11( XP )111( XxXP
2/)1)(8/5( x又
)1()1()1()1( XPXPXPF
8/18/10
于是当 时，11 x
.16/)75()1()1()( xFxXPxF
16/)15( x
1,0x
1,1?x
11,16/)75( xx?)( xF
1? 0 1
1
)(xF
x
(2)
.16/7)00()]00()0([)0( FFFF
)0()0()0( XPXPXPp
1,0x
1,1?x
11,8/]1)1(5[ xxk?)( xF
4/1)01()1()1( FFXP由题设 得
4/18/)110(1 k 2/1 k
[附 ] k 的另一求法
