随机变量的相互独立性与条件分布定义 称随机变量 X,Y相互独立,若对任意 a<b,c<d有,
连续型离散型是相互独立的与随机变量
)y(f)x(f)y,x(f
ppp
YX
21
j..iij
}dYc{P}bXa{P}dYc,bXa{P
定理 1
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有 aX+b与 cY+d相互独立,
定理 2
例 2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
(3)求 F(0,2).
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35
)0Y(P)0X(P)0Y,0X(P X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
(3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
例 2.2.3 设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y
的独立性,其中
(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
f1(x)=
|x|≤1?
1
1 dy4
1
2
1?
|x|>10
f2(y)=
1|y|0
1|y|
2
1
解 (1)
其它0
1|y|,1|x|)y,x(f 41
同理,
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
(2)
其它0
1yx1
)y,x(f
22
1|x|0
1|x|x12
)x(f
2
1
1|y|0
1|y|y12
)y(f
2
2?
1)0,0(f?
221
422)0(f)0(f
X,Y不独立,
例 2.2.4 设随机变量 X和 Y相互独立,试将下表补充完整,
X
x1
x2
Y y1 y2 y3
1/8
1/8
ip
jp? 1/6 1
1/24 1/41/12
1/2 1/3
3/43/8 1/4
类似可得,
若 X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性若 X与 Y相互独立,X～ B(n1,p)，Ｙ～ B(n２,p)，
则 X+Y～ B(n1+n2,p)
二项分布的可加性结论 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
结论 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布,
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
.即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
1,设随机变量 X,Y是相互独立的，且 X,Y等可能地取 0,1为值，求随机变量 Z=max(X,Y)的分布列。
解 X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
课堂练习
2,已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
.,0;0y,0x,e)y,x(f yx
其他
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X〈 Y}.
解 (1)
0x0
0xedye
)x(f 0
x)yx(
1?
0y0
0yedxe
)y(f 0
y)yx(
2
(2)P(X<Y)=
yx
dx dy)y,x(f
x
)yx(
0 dyedx
2
1?
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
),( YX
j
定义 设 是二维离散型随机变量，对于固定的,若,则称0}{
jyYP
,,2,1}{ ),(
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ji
j
ji
ji
jyY?
X
),( YX
0}{ xXP 0}{ yYP
为在 条件下随机变量 的 条件分布律,简称 条件分布,
当 是连续型随机变量时，由于对任意实数 X和 Y，有,
条件分布因此，不能直接用条件概率公式。此时我们用极限的方法引入,条件分布函数,的概念：
),( YX ),( yxf
),( YX )(yfY
Rx?
} { yYyxXP
y
y Y
x y
y
yyf
xyyxf
yYyP
yYyxXP
d)(
d]d),([
}{
,
设 的联合概率密度函数为,
关于 Y的边缘概率密度函数为,
给定 y，对于任意给定的 >0，当 时，考虑条件概率上式给出了在条件下的条件分布函数．为此我们引入以下定义
定义 给定 y，对于任意给定的 >0，? 0}{yYyP
yY?
),( YX ),( yxF
),( yx),( yxf
)(yfY
0)(?yfY
)( yxF YX }{lim
0 yYyxXP
}{
,lim
0?
yYyP
yYyxXP
若对任意的实数 x，极限
)( yxF YX
则称此极限为在条件 下的条件分布函数，
记为,
}{lim 0 yYyxXP
}{
,lim
0?
yYyP
yYyxXP 存在，
),( yxf
设 的联合分布函数为,概率密度函数为,若在点 处连续,Y的边缘概率密度函数为 连续，
且,则有
yFyF
yxFyxF
YY
,,lim
0
yFyF
yxFyxF
Y
0
0
l im
,,
l im
yF
y
yxF
Y?
,
)(
d),(
yf
xyxf
Y
x?
)( yxF YX?
x
Y
xyf yxf d)( ),(
亦即这样，若记 为在 的条件下 X
的 条件概率密度函数,则由上式知
)( yxf YX yY?
yf
yxfyxf
Y
YX
,)(?
类似地,我们可以定义 和)( xyF
XY )(
),()(
xf
yxfxyf
X
XY?
连续型离散型是相互独立的与随机变量
)y(f)x(f)y,x(f
ppp
YX
21
j..iij
}dYc{P}bXa{P}dYc,bXa{P
定理 1
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有 aX+b与 cY+d相互独立,
定理 2
例 2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
(3)求 F(0,2).
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35
)0Y(P)0X(P)0Y,0X(P X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
(3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
例 2.2.3 设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y
的独立性,其中
(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
f1(x)=
|x|≤1?
1
1 dy4
1
2
1?
|x|>10
f2(y)=
1|y|0
1|y|
2
1
解 (1)
其它0
1|y|,1|x|)y,x(f 41
同理,
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
(2)
其它0
1yx1
)y,x(f
22
1|x|0
1|x|x12
)x(f
2
1
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1|y|y12
)y(f
2
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1)0,0(f?
221
422)0(f)0(f
X,Y不独立,
例 2.2.4 设随机变量 X和 Y相互独立,试将下表补充完整,
X
x1
x2
Y y1 y2 y3
1/8
1/8
ip
jp? 1/6 1
1/24 1/41/12
1/2 1/3
3/43/8 1/4
类似可得,
若 X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性若 X与 Y相互独立,X～ B(n1,p)，Ｙ～ B(n２,p)，
则 X+Y～ B(n1+n2,p)
二项分布的可加性结论 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
结论 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布,
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
.即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
1,设随机变量 X,Y是相互独立的，且 X,Y等可能地取 0,1为值，求随机变量 Z=max(X,Y)的分布列。
解 X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
课堂练习
2,已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
.,0;0y,0x,e)y,x(f yx
其他
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X〈 Y}.
解 (1)
0x0
0xedye
)x(f 0
x)yx(
1?
0y0
0yedxe
)y(f 0
y)yx(
2
(2)P(X<Y)=
yx
dx dy)y,x(f
x
)yx(
0 dyedx
2
1?
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
),( YX
j
定义 设 是二维离散型随机变量，对于固定的,若,则称0}{
jyYP
,,2,1}{ ),(
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ji
j
ji
ji
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X
),( YX
0}{ xXP 0}{ yYP
为在 条件下随机变量 的 条件分布律,简称 条件分布,
当 是连续型随机变量时，由于对任意实数 X和 Y，有,
条件分布因此，不能直接用条件概率公式。此时我们用极限的方法引入,条件分布函数,的概念：
),( YX ),( yxf
),( YX )(yfY
Rx?
} { yYyxXP
y
y Y
x y
y
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yYyP
yYyxXP
d)(
d]d),([
}{
,
设 的联合概率密度函数为,
关于 Y的边缘概率密度函数为,
给定 y，对于任意给定的 >0，当 时，考虑条件概率上式给出了在条件下的条件分布函数．为此我们引入以下定义
定义 给定 y，对于任意给定的 >0，? 0}{yYyP
yY?
),( YX ),( yxF
),( yx),( yxf
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)( yxF YX }{lim
0 yYyxXP
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0?
yYyP
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若对任意的实数 x，极限
)( yxF YX
则称此极限为在条件 下的条件分布函数，
记为,
}{lim 0 yYyxXP
}{
,lim
0?
yYyP
yYyxXP 存在，
),( yxf
设 的联合分布函数为,概率密度函数为,若在点 处连续,Y的边缘概率密度函数为 连续，
且,则有
yFyF
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YY
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亦即这样，若记 为在 的条件下 X
的 条件概率密度函数,则由上式知
)( yxf YX yY?
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类似地,我们可以定义 和)( xyF
XY )(
),()(
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X
XY?
