随机向量函数的分布例 设随机变量 X1与 X2相互独立,分别服从二项分布
B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此对于 k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 独立性有
kkk
knkk
n
knkk
n
kkk
ppCppC
kXkXPkYP
21
2222
2
1111
1
21
)1()1(
),()( 2211
kkk
knnkk
n
k
n ppCC
21
212
2
1
1
)1(
k
nn
kkk
k
n
k
n CCC 21
21
2
2
1
1
由 得 knnkk
nn ppC 2121 )1( )( kYP?
所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
离散型随机向量函数的分布例 设随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)
和 f2(x),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 对任何 a<b,令 y=x1+x2,则
bxxa
dxdxxfxfbXXaPbYaP
21
21221121 )()()()(
212211
2
2
)()( dxdxxfxfxb xa 22122 )()( dxdyxyfxf ba
dydxxfxyfb
a
)()( 21
所以,Y的概率密度函数为
dxxfxyfyf Y )()()( 21
作变换 t=y-x,又可得
dxxyfxfyf Y )()()( 21
连续型随机变量和的概率密度函数结论 1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
即 若随机变量 X1和 X2相互独立，概率密度函数分别为
f1(x)和 f2(x)，则 Y= X1+X2的概率密度函数为
dxxfxyfyf Y )()()( 21
dxxyfxf )()( 21
例 设随机变量 X1和 X2相互独立,且均服从标准正态分布
N~(0,1),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 由题意得
dxxfxyfyf Y )()()( 21
2
22
2
11
2
2
2
1
2
1)(,
2
1)( xx exfexf
X1和 X2相互独立,故
ee
xyx
2
)(
2
22
2
1
dxee
yxy 22 )
2
(
4
2
1
22
yxt令
dtee
ty
24
22
22
1
)( 2 due u
4
2
2
1 ye
)2,0(~ NY
设随机向量 (X,Y)的联合密度函数为 f(x,y),记 Z=g(X,Y).
(1) 求 Z的分布函数
)),(()()( zYXgPzZPzF
zyxg
dx dyyxf
),(
),(
(2) 对 F(z)求导即得 Z的概率密度函数 f(z).
随机变量函数的概率密度函数另一求法 ----分布函数法例 设随机变量 X与 Y独立，概率密度函数为
其他其他 0
0
2
)(,
0
0
2
)(
22
ye
yf
xe
xf
y
Y
x
X
.22 的概率密度函数求 YXZ
解 (X,Y)的联合密度函数为
其他0
0,0
4
),(
)( 22 yxe
yxf
yx
0)()()(,0)1( 22 zYXPzZPzFz Z时
d x d yyxfzFz
zYX
Z
22
),()(,0)2( 时 dx dye
zYX
yx
22
22 )(4
20 0 24
drred r21 ze
0)(?zfZ
22)( z
Z zezf
所以,
00
02)( 2
z
zzezf z
Z
例 设随机向量 (X,Y)服从区域
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求 U=|X-Y|的概率密度函数,
解 (X,Y)的联合概率密度为
其它0
31,31
4
1
),(
yx
yxf
1 3
3
1
(1) u≤0时,F(u)=0
y-x=u
y-x=-u
y-x=-2
由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点,
(2) 0<u<2时,d x d yuF
uyx
|| 4
1)(
G
4
2u
uSS
D
G
(3) u≥2时,F(u)=1
f (u )=0
f (u )=1-u/2
f (u )=0
所以
其它0
20
2
11
)(
uu
uf
（ 2） 商的分布
}{)( zZPzF Z
z
y
xD
z
yxyxfz
Y
XP
:
dd,}{
0
:
0
:
dd,dd,
y
yzxD
y
yzxD
z z
yxyxfyxyxf
yxyxfyxyxf zyzy dd,dd,00
Y
XZ?
求 （ Y≠0）的概率密度函数．
对于任意的实数 z，有
y
图 3.7
o
yzx?
x
0?Z
对固定的 y和 z，先作变换,uyx?
yuyuyfyyuyuyfyzF zzZ dd,dd,)( 00
yuyuyfy dd,ｚ
z uyyuyfy dd，
yyzyfyzf Z d,)(
yyfzyfyzf YXZ d)]()(|[|)(
则有所以若 X与 Y相互独立，则练习
1、设 (X,Y)服从
其它0
,0),( yxeyxf y
求
}21{,}1{ YXPYXP
2、已知随机变量 (X,Y)相互独立且具有相同的概率密度函数
)(xf
其中 )(xf 连续。
}{ YXP?求求二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)。
,2 XY?X的分布函数是,)(xF3、
B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此对于 k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 独立性有
kkk
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由 得 knnkk
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所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
离散型随机向量函数的分布例 设随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)
和 f2(x),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 对任何 a<b,令 y=x1+x2,则
bxxa
dxdxxfxfbXXaPbYaP
21
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2
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所以,Y的概率密度函数为
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作变换 t=y-x,又可得
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连续型随机变量和的概率密度函数结论 1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
即 若随机变量 X1和 X2相互独立，概率密度函数分别为
f1(x)和 f2(x)，则 Y= X1+X2的概率密度函数为
dxxfxyfyf Y )()()( 21
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例 设随机变量 X1和 X2相互独立,且均服从标准正态分布
N~(0,1),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 由题意得
dxxfxyfyf Y )()()( 21
2
22
2
11
2
2
2
1
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X1和 X2相互独立,故
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1 ye
)2,0(~ NY
设随机向量 (X,Y)的联合密度函数为 f(x,y),记 Z=g(X,Y).
(1) 求 Z的分布函数
)),(()()( zYXgPzZPzF
zyxg
dx dyyxf
),(
),(
(2) 对 F(z)求导即得 Z的概率密度函数 f(z).
随机变量函数的概率密度函数另一求法 ----分布函数法例 设随机变量 X与 Y独立，概率密度函数为
其他其他 0
0
2
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0
2
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22
ye
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Y
x
X
.22 的概率密度函数求 YXZ
解 (X,Y)的联合密度函数为
其他0
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4
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0)()()(,0)1( 22 zYXPzZPzFz Z时
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Z
例 设随机向量 (X,Y)服从区域
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求 U=|X-Y|的概率密度函数,
解 (X,Y)的联合概率密度为
其它0
31,31
4
1
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yx
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1 3
3
1
(1) u≤0时,F(u)=0
y-x=u
y-x=-u
y-x=-2
由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点,
(2) 0<u<2时,d x d yuF
uyx
|| 4
1)(
G
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G
(3) u≥2时,F(u)=1
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（ 2） 商的分布
}{)( zZPzF Z
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Y
XZ?
求 （ Y≠0）的概率密度函数．
对于任意的实数 z，有
y
图 3.7
o
yzx?
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对固定的 y和 z，先作变换,uyx?
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则有所以若 X与 Y相互独立，则练习
1、设 (X,Y)服从
其它0
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求
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2、已知随机变量 (X,Y)相互独立且具有相同的概率密度函数
)(xf
其中 )(xf 连续。
}{ YXP?求求二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)。
,2 XY?X的分布函数是,)(xF3、
