第二节 不定积分的计算方法
Chapter 5
一、第一类换元积分法
三,分部积分法
二、第二类换元积分法
四,有理函数积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 2
他方法。研究计算不定积分的其性质外，还需要进一步分的基本积分公式和不定积可见，除了前面介绍的
)1( 4 dxx
)1( 1000 dxx
,2s i n2c o s Cxxdx
.2s i n212c o s Cxxd x事实上
,2c o s2)2( i n xCx
,2s i n2c o s Cxx d x
利用二项展开式
.,计算量就很大若用二项展开式一、第一类换元积分法
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注,1.该定理将积分基本公式大大扩充了，例如：
Cxx d x c o ss i n
Cxxdx )1c o s ()1()1s i n (
)1co s ()1()1s i n ( 222 Cxxxxdxx
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 4
注,2,很多情况下要“凑微分”，例如：
Cxxdxdxx )1c o s ( )1()1s i n ()1s i n (
Cxxxdxdx 2s i n21 22c o s212c o s
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
所以，第一类换元积分法也叫 凑微分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 5
dxxxf )()]([
CuFduufxu )()()(?
dxxg )(
说明,使用此公式的关键在于将化为,)()]([ dxxxf dxxg )(
)()]([ xdxf
.))(( CxF
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 6
运用 凑微分法 其 难 点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成 )( xd?,这需要解题经验,记 住 下列一些微分式,会给 我们 解题 带来 很 大 帮助,
，)(1 baxdadx,)(21 2xdxdx?,)(2 xdxdx?
，)( xx eddxe?,|)|( l n1 xddxx?,)( c o ssi n xdxdx
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 7
例 1 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( )()([1 baxdbaxfa一般地
ux 23令
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 8
例 2 求,ln1 dxxx?
解 dxxx? ln1 )( l nln 1 xdx
xu ln duu1
Cu ln
.lnln Cx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 9
例 3 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
)(
)(1
11
2 a
xd
a
xa,a r c t a n1 Caxa
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 10
例 4 求,2si n? xdx
解 1? xdx2si n )2(2s i n21 xxd ;2c o s21 Cx
解 2? xdx2si n x d xx c o ssi n2
)( si nsi n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 3? xdx2si n x d xx c o ssi n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
可见，不同方式的积分可能会有不同形式的结果
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 11
例 5 求解
.t a n? x d x
dxxxxd x c o ss i nt a n
xxdc o sc o s
x d xc o t 请问,? dxxxsinc os ;s i nln Cx;co sln Cx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 12
,c o s 2 dxx?
C; 2s i n412s i n 2 xxxd x类似可得
dxxxd x 2 2c o s1c o s 2
x dxdx 2c o s2121
)2(2c o s412 xxdx
例 6 求解
.2s i n412 Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 13
例 7 求解 1 dxxs in1
.csc? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
)2(
)
2
( c o s
2
t a n
1
2
xd
xx )2( t a n
2
t a n
1 xd
x
Cx 2t a nln,)c o tl n ( c s c Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 14
解 2 dxxs in1? xdxc sc
dxxx2s ins in
)( c o sc o s1 1 2 xdx
)(c o s)c o s1 1c o s1 1(21 xdxx
.)c o tl n (c s cc o s1 c o s1ln21 CxxCxx
类似地可推出,)t a nl n ( s e cs e c Cxxx d x
例 7 求,csc? xdx
Cxx )]c o s1l n ()c o s1[l n (21
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 15
.)( )1( 连续t
化为积分将积分第二换元法是适当选择 dxxftx )(),(?
.)())(( dtttf
dtttfdxxf )())(()(于是;))(()()( 1 CxGCtGdttg
应满足其中代换 )( tx
.)(,0)( )2( 1 的存在以保证反函数 tt
问题?1 25 dxxx 引进第二类换元积分法二、第二类换元积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 16
问题?1 25 dxxx
解 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
引进第二类换元积分法二、第二类换元积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 17
定理 2
则
，有连续导数，且连续，设 0)()( ttxf
dtttfdxxf )())(()(;))(()( 1 CxGCtG
二、第二类换元积分法第二类换元积分法又称变量替换法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 18
例 8 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt t a ns ecln
t a
x22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 19
例 9 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? td tdx c o s2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 td ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t
2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 20
例 10 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t td ttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat a nt a ns e c
tdts e c Ctt )t a nl n ( se c
t a
x 22 ax?
.ln
22
Ca axax
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 21
一般情形下，下列情况使用 三角代换,
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
但是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 22
例 11 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dtt 21 116 Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 23
补充,基本积分表;c o slnt a n)14( Cxx d x;s i nlnc o t)15( Cxxdx;)t a nl n ( s e cs e c)16( Cxxxdx;)c o tl n ( c s cc s c)17( Cxxx d x;a r c t a n11)18( 22 Caxadxxa
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 24;ln2 11)20( 22 Cxa xaadxxa;a r c si n1)21( 22 Caxdxxa
.)l n (1)22( 2222 Caxxdxax;ln2 11)19( 22 Cax axadxax
补充,基本积分表
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 25
两类积分换元法：
（一）第一换元 凑微分
（二）第二换元 三角代换、根式代换基本积分表小 结
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 26
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvvu
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式关键是 )( xu 和 )( xv 的选取
.)( duvuvu d vdxxf即：
三、分部积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 27
例 12 求积分,co s? xdxx
解 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
xdxx c o s xxd si n xdxxx si nsi n
.c o ss i n Cxxx
duvuvu d vdxxf)(
令,c o s xu? dvxdd x )21( 2
xdxx c o s则 xdxxx c o s2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu,
xdxxxx si n2c o s2
22
如果
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 28
例 13 求积分,? dxxe x
解,xu?,dvdedxe xx
总结
dxxe x cexe xx dxexe xxxde
duvuvu d vdxxf)(
xx dexdxex 22再如, 22 dxeex xx
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）
若被积函数是 幂函数 与 正 (余 )弦函数或 指数函数 的乘积,就考虑设 幂函数 为,
其余的为
u
dv
dxxeex xx 22
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 29
例 14 求积分,a rct a n? xdxx
解 )21(a r c t a n 2xxd
)( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
xdxx a r c t a n
duvuvu d vdxxf)(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 30
例 15 求积分,ln3? x d xx
解? xdxx ln3 xdxxx ln
4
1ln
4
1 44
.161ln41 44 Cxxx
总结
)41(ln 4 xxd
duvuvu d vdxxf)(
若被积函数是 幂函数 与 对数函数 或 反三角函数 的乘积，就考虑设 对数函数 或 反三角函数 为,其余的为u,dv
dxxxx 34 41ln41
.?ln xdx请问：
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 31
例 16 求积分,si n? xdxe x
解? xdxe x si n xxdes in
)( si nsi n xdexe xx
xdxexe xx c o ssi n xx x d exe c o ssi n
)c o sc o s(si n xdexexe xxx
x d xexxe xx si n)c o s( si n
x d xe x s i n,)c o s( si n2 Cxxe
x
注意循环形式
duvuvu d vdxxf)(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 32
合理选择,正确使用分部积分公式vu,
duvuvudvdxvudxxf)(
小 结
dx
e
x
x
xp
x
m?
cos
si n
)( dx
x
x
x
xp m?
ln
ar cta n
ar cs i n
)(
u dv u
dxxpm?)(
dv
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 33
四、简单有理函数的积分
)(
)()(
xQ
xPxR nnn axaxa110
有理函数,
nm? 时,为假分式 ; nm? 时,为真分式有理函数 相除 多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为
kk qxpx
NxM
ax
A
)(;)( 2
)04,N( 2 qpk
若干部分分式之和
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 34
例 17,将下列真分式分解为部分分式,
解 (1) 用拼凑法
22 )1()1(
1
xxxx 2)1(
1
x )1(
1
xx
2)1(
1
x )1( xx
2)1(
1
x 1
1
x x
1?
)1( xx
)1( xx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 35
(2) 用赋值法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x
2 x
A
3
B
原式 )2( xA 2?x 233 xxx 5
原式 )3( xB 3?x 323 xxx 6?
故 25 x原式 36 x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 36
(3) 混合法
)1)(21( 1 2xx xA21 21 xCBx
原式 )21( xA
21x 5
4?
C 541
215
4
6
1 CB
5
2B
5
1?C
原式 = x21
4
5
1
21
12
x
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 37
四种典型部分分式的积分,
CaxA ln
)1(?n CaxnA n1)(1
xax A d.1
xax A n d)(.2
xqxpx NxM d.3 2
xqxpx NxM n d)(.4 2
变分子为
)2(2 pxM? 2 pMN
再分项积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 38
例 18求解 已知
)1)(21(
1
2xx
5
1
x21
4
21
2
x
x
21
1
x
xx21 )21(d52原式 2
2
1
)1(
5
1
x
xd
215
1
x
x
x21ln52 )1(ln51 2x Cx a r c t a n51
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 39
例 19,求解 原式 xdxx 3223)22(2
1x
32 )32d(21 2
2
xx
xx
32ln21 2 xx
22 )2()1( )1d(3 x x
Cx 2 1a r c t a n23
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 40
例 20,求解 原式 xdxx 22 )22()22(
2 xx )22( x
1)1( 2x xd 22
2
)22(
)22(
xx
xxd
)1a r c t a n ( x 2212 xx C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 41
,d),( xbaxxR n令 n bxat
,d),( xxR n dxc bxa令 n dxc bxat
被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分,例如,
,d),,( xbaxbaxxR mn
,p bxat令,,的最小公倍数为 nmp
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 42
例 21,求,21 d3 xx
解 令,23 xu 则原式 u123u ud uduu 1 1)1(3
2
uduu )1 11(3
3? 221u u? u 1ln? C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 43
例 22.求解,6tx? 则有原式 23 tt tt d6 5
tttt d)1 11(6 2
6? 331t 221t? t? t 1ln? C?
令
Chapter 5
一、第一类换元积分法
三,分部积分法
二、第二类换元积分法
四,有理函数积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 2
他方法。研究计算不定积分的其性质外，还需要进一步分的基本积分公式和不定积可见，除了前面介绍的
)1( 4 dxx
)1( 1000 dxx
,2s i n2c o s Cxxdx
.2s i n212c o s Cxxd x事实上
,2c o s2)2( i n xCx
,2s i n2c o s Cxx d x
利用二项展开式
.,计算量就很大若用二项展开式一、第一类换元积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 3
注,1.该定理将积分基本公式大大扩充了，例如：
Cxx d x c o ss i n
Cxxdx )1c o s ()1()1s i n (
)1co s ()1()1s i n ( 222 Cxxxxdxx
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 4
注,2,很多情况下要“凑微分”，例如：
Cxxdxdxx )1c o s ( )1()1s i n ()1s i n (
Cxxxdxdx 2s i n21 22c o s212c o s
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
所以，第一类换元积分法也叫 凑微分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 5
dxxxf )()]([
CuFduufxu )()()(?
dxxg )(
说明,使用此公式的关键在于将化为,)()]([ dxxxf dxxg )(
)()]([ xdxf
.))(( CxF
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 6
运用 凑微分法 其 难 点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成 )( xd?,这需要解题经验,记 住 下列一些微分式,会给 我们 解题 带来 很 大 帮助,
，)(1 baxdadx,)(21 2xdxdx?,)(2 xdxdx?
，)( xx eddxe?,|)|( l n1 xddxx?,)( c o ssi n xdxdx
设 cuFduuf )()(,则有 定理 1
)()]([ xdxf,))(( CxF
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 7
例 1 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( )()([1 baxdbaxfa一般地
ux 23令
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 8
例 2 求,ln1 dxxx?
解 dxxx? ln1 )( l nln 1 xdx
xu ln duu1
Cu ln
.lnln Cx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 9
例 3 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
)(
)(1
11
2 a
xd
a
xa,a r c t a n1 Caxa
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 10
例 4 求,2si n? xdx
解 1? xdx2si n )2(2s i n21 xxd ;2c o s21 Cx
解 2? xdx2si n x d xx c o ssi n2
)( si nsi n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 3? xdx2si n x d xx c o ssi n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
可见，不同方式的积分可能会有不同形式的结果
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 11
例 5 求解
.t a n? x d x
dxxxxd x c o ss i nt a n
xxdc o sc o s
x d xc o t 请问,? dxxxsinc os ;s i nln Cx;co sln Cx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 12
,c o s 2 dxx?
C; 2s i n412s i n 2 xxxd x类似可得
dxxxd x 2 2c o s1c o s 2
x dxdx 2c o s2121
)2(2c o s412 xxdx
例 6 求解
.2s i n412 Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 13
例 7 求解 1 dxxs in1
.csc? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
)2(
)
2
( c o s
2
t a n
1
2
xd
xx )2( t a n
2
t a n
1 xd
x
Cx 2t a nln,)c o tl n ( c s c Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 14
解 2 dxxs in1? xdxc sc
dxxx2s ins in
)( c o sc o s1 1 2 xdx
)(c o s)c o s1 1c o s1 1(21 xdxx
.)c o tl n (c s cc o s1 c o s1ln21 CxxCxx
类似地可推出,)t a nl n ( s e cs e c Cxxx d x
例 7 求,csc? xdx
Cxx )]c o s1l n ()c o s1[l n (21
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 15
.)( )1( 连续t
化为积分将积分第二换元法是适当选择 dxxftx )(),(?
.)())(( dtttf
dtttfdxxf )())(()(于是;))(()()( 1 CxGCtGdttg
应满足其中代换 )( tx
.)(,0)( )2( 1 的存在以保证反函数 tt
问题?1 25 dxxx 引进第二类换元积分法二、第二类换元积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 16
问题?1 25 dxxx
解 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
引进第二类换元积分法二、第二类换元积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 17
定理 2
则
，有连续导数，且连续，设 0)()( ttxf
dtttfdxxf )())(()(;))(()( 1 CxGCtG
二、第二类换元积分法第二类换元积分法又称变量替换法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 18
例 8 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt t a ns ecln
t a
x22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 19
例 9 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? td tdx c o s2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 td ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t
2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 20
例 10 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t td ttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat a nt a ns e c
tdts e c Ctt )t a nl n ( se c
t a
x 22 ax?
.ln
22
Ca axax
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 21
一般情形下，下列情况使用 三角代换,
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
但是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 22
例 11 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dtt 21 116 Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
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补充,基本积分表;c o slnt a n)14( Cxx d x;s i nlnc o t)15( Cxxdx;)t a nl n ( s e cs e c)16( Cxxxdx;)c o tl n ( c s cc s c)17( Cxxx d x;a r c t a n11)18( 22 Caxadxxa
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 24;ln2 11)20( 22 Cxa xaadxxa;a r c si n1)21( 22 Caxdxxa
.)l n (1)22( 2222 Caxxdxax;ln2 11)19( 22 Cax axadxax
补充,基本积分表
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两类积分换元法：
（一）第一换元 凑微分
（二）第二换元 三角代换、根式代换基本积分表小 结
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设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvvu
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式关键是 )( xu 和 )( xv 的选取
.)( duvuvu d vdxxf即：
三、分部积分法
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例 12 求积分,co s? xdxx
解 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
xdxx c o s xxd si n xdxxx si nsi n
.c o ss i n Cxxx
duvuvu d vdxxf)(
令,c o s xu? dvxdd x )21( 2
xdxx c o s则 xdxxx c o s2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu,
xdxxxx si n2c o s2
22
如果
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例 13 求积分,? dxxe x
解,xu?,dvdedxe xx
总结
dxxe x cexe xx dxexe xxxde
duvuvu d vdxxf)(
xx dexdxex 22再如, 22 dxeex xx
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）
若被积函数是 幂函数 与 正 (余 )弦函数或 指数函数 的乘积,就考虑设 幂函数 为,
其余的为
u
dv
dxxeex xx 22
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例 14 求积分,a rct a n? xdxx
解 )21(a r c t a n 2xxd
)( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
xdxx a r c t a n
duvuvu d vdxxf)(
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例 15 求积分,ln3? x d xx
解? xdxx ln3 xdxxx ln
4
1ln
4
1 44
.161ln41 44 Cxxx
总结
)41(ln 4 xxd
duvuvu d vdxxf)(
若被积函数是 幂函数 与 对数函数 或 反三角函数 的乘积，就考虑设 对数函数 或 反三角函数 为,其余的为u,dv
dxxxx 34 41ln41
.?ln xdx请问：
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例 16 求积分,si n? xdxe x
解? xdxe x si n xxdes in
)( si nsi n xdexe xx
xdxexe xx c o ssi n xx x d exe c o ssi n
)c o sc o s(si n xdexexe xxx
x d xexxe xx si n)c o s( si n
x d xe x s i n,)c o s( si n2 Cxxe
x
注意循环形式
duvuvu d vdxxf)(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 32
合理选择,正确使用分部积分公式vu,
duvuvudvdxvudxxf)(
小 结
dx
e
x
x
xp
x
m?
cos
si n
)( dx
x
x
x
xp m?
ln
ar cta n
ar cs i n
)(
u dv u
dxxpm?)(
dv
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 33
四、简单有理函数的积分
)(
)()(
xQ
xPxR nnn axaxa110
有理函数,
nm? 时,为假分式 ; nm? 时,为真分式有理函数 相除 多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为
kk qxpx
NxM
ax
A
)(;)( 2
)04,N( 2 qpk
若干部分分式之和
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 34
例 17,将下列真分式分解为部分分式,
解 (1) 用拼凑法
22 )1()1(
1
xxxx 2)1(
1
x )1(
1
xx
2)1(
1
x )1( xx
2)1(
1
x 1
1
x x
1?
)1( xx
)1( xx
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(2) 用赋值法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x
2 x
A
3
B
原式 )2( xA 2?x 233 xxx 5
原式 )3( xB 3?x 323 xxx 6?
故 25 x原式 36 x
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(3) 混合法
)1)(21( 1 2xx xA21 21 xCBx
原式 )21( xA
21x 5
4?
C 541
215
4
6
1 CB
5
2B
5
1?C
原式 = x21
4
5
1
21
12
x
x
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四种典型部分分式的积分,
CaxA ln
)1(?n CaxnA n1)(1
xax A d.1
xax A n d)(.2
xqxpx NxM d.3 2
xqxpx NxM n d)(.4 2
变分子为
)2(2 pxM? 2 pMN
再分项积分
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例 18求解 已知
)1)(21(
1
2xx
5
1
x21
4
21
2
x
x
21
1
x
xx21 )21(d52原式 2
2
1
)1(
5
1
x
xd
215
1
x
x
x21ln52 )1(ln51 2x Cx a r c t a n51
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例 19,求解 原式 xdxx 3223)22(2
1x
32 )32d(21 2
2
xx
xx
32ln21 2 xx
22 )2()1( )1d(3 x x
Cx 2 1a r c t a n23
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 40
例 20,求解 原式 xdxx 22 )22()22(
2 xx )22( x
1)1( 2x xd 22
2
)22(
)22(
xx
xxd
)1a r c t a n ( x 2212 xx C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 41
,d),( xbaxxR n令 n bxat
,d),( xxR n dxc bxa令 n dxc bxat
被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分,例如,
,d),,( xbaxbaxxR mn
,p bxat令,,的最小公倍数为 nmp
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 42
例 21,求,21 d3 xx
解 令,23 xu 则原式 u123u ud uduu 1 1)1(3
2
uduu )1 11(3
3? 221u u? u 1ln? C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 48- 43
例 22.求解,6tx? 则有原式 23 tt tt d6 5
tttt d)1 11(6 2
6? 331t 221t? t? t 1ln? C?
令
